Estimation d`état et de paramètres pour les systèmes quantiques

THÈSE DE DOCTORAT
de
l’Université de recherche Paris Sciences et Lettres
PSL
Research University
Préparée à MINES ParisTech
Estimation d'état et de paramètres pour les systèmes quantiques ouverts
Estimation of state and parameters in open quantum systems
COMPOSITION DU JURY :
M. Yacine CHITOUR
Lab. des Signaux et Système, Université
Paris Sud, Rapporteur
M. Éric MOULINES
Centre de Mathématiques Appliquées,
École Polytechnique, Rapporteur
M. Madalin GUTA
School of Mathematical Sciences, Univ.
of Nottingham, Examinateur
M. Igor DOTSENKO
Lab. Kastler Brossel, Collège de France,
Examinateur
M. Pierre ROUCHON
Centre Automatiques et Systèmes, Mines
ParisTech, Examinateur
M. Benjamin HUARD
Lab. Pierre Aigrain, École Normale
Supérieure, Président
Soutenue par PIERRE SIX
le 22 novembre 2016
h
Ecole doctorale n°432
SCIENCES DES MÉTIERS DE L’INGÉNIEUR
Spécialité MATHÉMATIQUES ET AUTOMATIQUE
Dirigée par Pierre ROUCHON
h

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Résumé
La communauté scientifique a réussi ces dernières années à bâtir des systèmes quantiques
simples sur lesquels des séries de mesures sont acquises successivement le long de trajectoires
quantiques et sans réinitialisation de l’état (opérateur densité) par l’expérimentateur.
L’objet de cette thèse est d’adapter les méthodes de tomographie quantique (estimation
d’état et de paramètres) à ce cadre pour prendre en compte la rétroaction de la mesure
sur l’état, la décohérence et les imperfections expérimentales.
Durant le processus de mesure, l’évolution de l’état quantique est alors gouvernée par
un processus de Markov à états cachés (filtres quantiques de Belavkin). Pour des mesures
en temps continu, nous commençons par montrer comment discrétiser l’équation maîtresse
stochastique tout en préservant la positivité et la trace de l’état quantique, et ainsi se
ramener aux filtres quantiques en temps discret. Ensuite, nous développons, à partir de
trajectoires de mesures en temps discret, des techniques d’estimation par maximum de
vraisemblance pour l’état initial et les paramètres. Cette estimation est accompagnée de
son intervalle de confiance. Lorsqu’elle concerne des valeurs de paramètres (tomographie
de processus quantique), nous donnons un résultat de robustesse grâce au formalisme des
filtres particulaires et nous proposons une méthode de maximisation fondée sur le calcul du
gradient par l’adjoint et bien adaptée au cas multiparamétrique. Lorsque l’estimation porte
sur l’état initial (tomographie d’état quantique), nous donnons une formulation explicite
de la fonction de vraisemblance grâce aux états adjoints, montrons que son logarithme est
une fonction concave de l’état initial et élaborons une expression intrinsèque de la variance
grâce à des développements asymptotiques de moyennes bayésiennes et reposant sur la
géométrie de l’espace des opérateurs densité.
Ces méthodes d’estimation ont été appliquées et validées expérimentalement pour
deux types de mesures quantiques : des mesures en temps discret non destructives de
photons dans le groupe d’électrodynamique quantique en cavité du LKB au Collège de
France, des mesures diffusives de la fluorescence d’un qubit supraconducteur dans le groupe
d’électronique quantique du LPA à l’ENS Paris.
Mots-clés
Tomographie quantique ; Filtres quantiques ; Équation maîtresse stochastique ; Qubit
supraconducteur ; Électrodynamique quantique en cavité ; Maximum de vraisemblance ;
Estimation bayésienne ; Calcul du gradient par l’adjoint ; Développement asymptotique
d’intégrales de Laplace

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Abstract
In recent years, the scientifical community has succeeded in experimentally building
simple quantum systems on which series of measurements are successively acquired along
quantum trajectories, without any reinitialization of their state (density operator) by
the physicist. The subject of this thesis is to adapt the quantum tomography techniques
(state and parameters estimation) to this frame, to take into account the feedback of the
measurement on the state, the decoherence and experimental imperfections.
During the measurement process, the evolution of the quantum state is then governed
by a hidden-state Markov process (Belavkin quantum filters). Concerning continuous-time
measurements, we begin by showing how to discretize the stochastic master equation,
while preserving the positivity and the trace of the quantum state, and so reducing to
discrete-time quantum filters. Then, we develop, starting from trajectories of discrete-
time measurements, some maximum-likelihood estimation techniques for initial state and
parameters. This estimation is coupled with its confidence interval. When it concerns the
value of parameters (quantum process tomography), we provide a result of robustness
using the formalism of particular filters, and we propose maximization technique based
on the calculus of gradient by adjoint method, well adapted to the multi-parametric case.
When the estimation concerns the initial state (quantum state tomography), we give an
explicit formulation of the likelihood function thanks to the adjoint states, show that its
logarithm is a concave function of the initial state and build an intrinsic expression of
the variance, obtained from asymptotic developments of bayesian means, lying on the
geometry of the space of density operators.
These estimation techniques have been applied and experimentally validated for two
types of quantum measurements : discrete-time non-destructive measurements of photons
in the group of cavity quantum electro-dynamics of LKB at Collège de France, diffusive
measurements of the fluorescence of a supra-conducting qubit in the quantum electronics
group of LPA at ENS Paris.
Keywords
Quantum tomography ; Quantum filters ; Stochastic master equation ; Superconducting
qubit ; Cavity quantum electrodynamics ; Maximum-likelihood ; Bayesian estimation ;
Gradient calculus by adjoint method ; Asymptotic expansion of Laplace’s integrals