Logique mathématique Nom : Prénom: Université de Bourgogne

Logique mathématique
Nom : Prénom:
Université de Bourgogne 2012-2013 Mathématiques M12
durée du test: 20 min
•Les notes de cours ne sont pas autorisées.
Question 1. (3 pts) Soit un ensemble de 50 animaux qui sont soit mâle soit femelle, soit
carnivore soit herbivore. On considère les propositions suivantes:
•Ptout mâle est carnivore
•Qil existe un mâle carnivore et il existe une femelle carnivore.
Alors dans l’ensemble des 50 animaux:
1. pour prouver que Pest vrai, il suffit de vérifier que tous les herbivores sont des femelles.
Ovrai faux
Justification: si on note Mla proposition "être mâle" et Cla proposition "être carnivore" alors
Ps’écrit M⇒C. La contraposée est donc (non C)⇒(non M)c’est-à-dire les herbivores sont
des femelles.
2. pour prouver que Pest faux, il est nécessaire de vérifier que tous les mâles sont herbivores.
vrai Ofaux
Justification: Il suffit de trouver un mâle herbivore, puisque la négation est (non Cet M).
3. pour prouver que Qest vrai, il suffit de trouver une femelle carnivore.
vrai Ofaux
Justification: cela ne suffit pas, il s’agit d’une conjonction, deux proposition doivent se réaliser
en même temps: il faut aussi trouver un mâle carnivore.
4. pour prouver que Qest vrai, il est nécessaire de trouver une femelle carnivore.
Ovrai faux
Justification: la proposition Qet une conjonction de deux propositions "il existe un mâle carni-
vore" et "il existe une femelle carnivore". Pour que la conjonction soit vraie, il faut que les deux
propositions soient vraie et donc en particulier il faut une femelle carnivore.
5. pour prouver que Qest faux, il est nécessaire de vérifier que les 50 animaux sont herbivores.
vrai Ofaux
Justification: Il suffit de vérifier que tous les mâles sont herbivores ou vérifier que toutes les
femelles le sont.
Question 2. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
non(Pet Q)⇒non Q⇒(Q⇒P)
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Logique mathématique
Nom : Prénom:
(2 pts) La proposition est vraie. En effet, les propositions suivantes sont équivalentes: (le passage
de la première à la seconde fait appel à la contraposée)
non(Pet Q)⇒non Q
Q⇒(Pet Q)
(Pet Q)ou non Q
(Pou non Qet Qou non Q
C’est une conjonction de deux proposition avec la seconde Qou non Qqui est toujours vraie.
La proposition globale est donc juste equivalente à la première partie: (PounonQqui, par
définition est équivalente à Q⇒P. Une équivalence étant une double implication, la proposition
énoncée est vraie. On peut aussi utiliser une table de vérité pour la vérifier.
Question 3. Ecrire avec des connecteurs logiques:
si Palors Qsinon R
Réponse (1 pt): (P⇒Q)et (non P⇒R).
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