Logique mathématique Nom : Prénom: Université de Bourgogne

Logique mathématique
Nom :
Prénom:
Université de Bourgogne
2012-2013
Mathématiques M12
durée du test: 20 min
• Les notes de cours ne sont pas autorisées.
Question 1. (3 pts) Soit un ensemble de 50 animaux qui sont soit mâle soit femelle, soit
carnivore soit herbivore. On considère les propositions suivantes:
• P tout mâle est carnivore
• Q il existe un mâle carnivore et il existe une femelle carnivore.
Alors dans l’ensemble des 50 animaux:
1. pour prouver que P est vrai, il suffit de vérifier que tous les herbivores sont des femelles.
O
vrai
faux
Justification: si on note M la proposition "être mâle" et C la proposition "être carnivore" alors
P s’écrit M ⇒ C. La contraposée est donc (non C) ⇒ (non M ) c’est-à-dire les herbivores sont
des femelles.
2. pour prouver que P est faux, il est nécessaire de vérifier que tous les mâles sont herbivores.
O
vrai
faux
Justification: Il suffit de trouver un mâle herbivore, puisque la négation est (non C et M ).
3. pour prouver que Q est vrai, il suffit de trouver une femelle carnivore.
O
vrai
faux
Justification: cela ne suffit pas, il s’agit d’une conjonction, deux proposition doivent se réaliser
en même temps: il faut aussi trouver un mâle carnivore.
4. pour prouver que Q est vrai, il est nécessaire de trouver une femelle carnivore.
O
vrai
faux
Justification: la proposition Q et une conjonction de deux propositions "il existe un mâle carnivore" et "il existe une femelle carnivore". Pour que la conjonction soit vraie, il faut que les deux
propositions soient vraie et donc en particulier il faut une femelle carnivore.
5. pour prouver que Q est faux, il est nécessaire de vérifier que les 50 animaux sont herbivores.
O
vrai
faux
Justification: Il suffit de vérifier que tous les mâles sont herbivores ou vérifier que toutes les
femelles le sont.
Question 2. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
non(P et Q) ⇒ non Q ⇒ (Q ⇒ P )
1
Logique mathématique
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(2 pts) La proposition est vraie. En effet, les propositions suivantes sont équivalentes: (le passage
de la première à la seconde fait appel à la contraposée)
non(P et Q) ⇒ non Q
Q ⇒ (P et Q)
(P et Q) ou non Q
(P ou non Q et Q ou non Q
C’est une conjonction de deux proposition avec la seconde Q ou non Qqui est toujours
vraie.
La proposition globale est donc juste equivalente à la première partie: (P ounonQ qui, par
définition est équivalente à Q ⇒ P . Une équivalence étant une double implication, la proposition
énoncée est vraie. On peut aussi utiliser une table de vérité pour la vérifier.
Question 3. Ecrire avec des connecteurs logiques:
si P alors Q sinon R
Réponse (1 pt): (P ⇒ Q) et (non P ⇒ R).
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