Équivalence des grammaires de fonction simple

UNIVERSIT´ E DU QU´ EBEC EN OUTAOUAIS
´
EQUIVALENCE DES GRAMMAIRES DE FONCTION SIMPLE
M´ EMOIRE
PR´ ESENT´ E
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DE LA MAˆ ITRISE EN INFORMATIQUE
PAR
C´ EDRIC BASTIEN
D´ ECEMBRE 2006

UNIVERSIT´ E DU QU´ EBEC EN OUTAOUAIS
D´epartement d’informatique et d’ing´enierie
Ce m´emoire intitul´e :
´
EQUIVALENCE DES GRAMMAIRES DE FONCTION SIMPLE
pr´esent´e par
C´edric Bastien
pour l’obtention du grade de maˆıtre `es science (M.Sc.)
a ´et´e ´evalu´e par un jury compos´e des personnes suivantes :
Dr. Jurek Czyzowicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Directeur de recherche
Dr. Wojciech Fraczak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codirecteur de recherche
Dr. Kamel Adi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr´esident du jury
Dr. Andrzej Pelc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Membre du jury
M´emoire accept´e le : 1 d´ecembre 2006

Remerciements
Merci `a Jurek Czyzowicz pour m’avoir transmis le d´esir d’entreprendre des ´etudes
sup´erieures et m’avoir donn´e le goˆut `a la recherche.
Merci `a Wojciech Fraczak pour m’avoir encourag´e et aid´e tout au long de la pr´epa-
ration et de la r´edaction de ce m´emoire.
Merci `a Didier Caucal pour s’ˆetre g´en´ereusement offert de r´eviser ce travail et pour
ses nombreux conseils.
Merci `a Feliks Welfeld et `a toute l’´equipe de IDT Canada Inc. pour m’avoir fourni
l’´equipement et le support n´ecessaires `a la mise en oeuvre de la partie exp´erimentale
de ce travail.
Merci au CRSNG pour avoir financ´e ce travail de recherche.
Enfin, merci `a ma famille et `a mes amis pour les nombreux sourires qu’ils m’ap-
portent jour apr`es jour.

Table des mati`eres
Remerciements i
Liste des figures v
Liste des tableaux vi
R´esum´e vii
1 Introduction 1
1.1 Classification de paquets sur les r´eseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Probl`eme de l’´equivalence des grammaires de fonction simple . . . . . . . 3
1.3 R´esultats ................................... 4
2 Revue de la litt´erature 6
2.1 Langages et le probl`eme de la d´ecidabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Langagessimples ........................... 7
2.1.2 Autres classes de langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Transductions................................. 8
2.2.1 Fonctionssimples........................... 9
2.2.2 Autres classes de transductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

iii
3 Terminologie et notions ´el´ementaires 11
3.1 Symboles, mots et langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Op´erations sur les mots et langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4´ Equivalence des grammaires simples 13
4.1 Grammairessimples ............................. 13
4.2 Quotient d’un langage simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Fonction de d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Comparaison de chaˆınes compress´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.5 Algorithme d’´equivalence des grammaires simples . . . . . . . . . . . . . 21
4.5.1 Preuve d’exactitude et complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Exemples d’ex´ecution de ´ EquivalenceGS ................. 26
5´ Equivalence des grammaires de fonction simple 29
5.1 Grammaires de fonction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Groupe libre sur l’alphabet Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Fonction de d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.5 Quotient d’une fonction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.6 Proc´edure extraire_equation ....................... 39
5.6.1 Preuves de terminaison et d’exactitude . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.7 Algorithme d’´equivalence des grammaires de fonction simple . . . . . . . 45
5.7.1 Relation de type self-proving ..................... 45
5.7.2 Description de l’algorithme ´ EquivalenceGFS .......... 46
5.7.3 Preuve d’exactitude et complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.8 Exemple d’ex´ecution de ´ EquivalenceGFS ................ 50