Planche 1 (Mines) Soit E un espace vectoriel euclidien. Montrer que

Planche 1
(Mines)
Soit E un espace vectoriel euclidien. Montrer que l’ensemble P des projecteurs orthogonaux est compact.
Trouver les extrema de (p, q) ∈ P 2 7−→ Tr(pq) puis, lorsque E est un plan, de (p, q, r) ∈ P 3 7−→ Tr(pqr).
Planche 2
(Ensi)
Z
Soit z ∈ C ; déterminer la valeur, lorsqu’elle a un sens, de l’intégrale
0
Planche 3
2π
exp(kit)
dt.
z − exp(it)
(Centrale)
1) Soit E euclidien de dimension paire 2n, F et G des sous-espaces vectoriels de dimension n. Existe-t-il
D droite vectorielle incluse dans F et D0 droite vectorielle incluse dans G telles que D0 , resp. D, soit la
projection orthogonale de D sur G, resp. de D0 sur F ?
2) Soit a un complexe non nul ; étudier l’application z ∈ C 7−→ z + az. Montrer que l’image du cercle-unité
est une ellipse ou un segment dont on donnera respectivement les caractéristiques.
Planche 4
(Ensi)
1) Soit C cercle d’un plan euclidien. Dire pourquoi toute application continue de C k dans R (avec k ∈ N∗ )
−−→ −→
est bornée et atteint ses bornes. Exemple : extrema de (A, B, C) ∈ C 3 7−→ h AB , AC i. Interpréter
géométriquement la configuration du maximum.
2) Si M ∈ Mn (R) est inversible, montrer que M −1 ∈ R[M ]. En conclure que si A est une sous-algèbre de
Mn (R), A contient l’inverse de toute matrice inversible de A.
Planche 5
(Centrale)
1) E est un espace vectoriel euclidien. Montrer que l’ensemble des symétries orthogonales est compact, et
non connexe par arcs lorsque dim E > 2. Quels sont les points isolés de cet ensemble ?
2) Soit M ∈ Mn (R). Vect(In , M ) est-il : une sous-algèbre de Mn (R), un corps ?
Planche 6
(Centrale)
E est un espace vectoriel euclidien, et q une forme quadratique sur E. Déterminer la borne supérieure de
q(x) exp(−( x )2 ) lorsque x décrit E.
Planche 7
(Mines)
n √
Y
k−1
√
On pose un =
. Étudier la suite (un )n>2 puis la série de terme général (uα
n ), α > 0 étant donné.
k
+
1
k=2
Planche 8
(Tpe)
Caractériser les éléments inversibles dans Z/2n Z . Si x est un tel inversible, proposer une méthode de calcul
k
de son inverse utilisant une récurrence sur n. En proposer une seconde fondée sur le calcul des x2 . Comparer le nombre d’opérations nécessaires. Généraliser à Z/pn Z , où p est un entier premier.
Planche 9
(X)
Exercice 1) Soit E un R–espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel et P l’ensemble
des éléments de la forme p1 ◦ . . . ◦ pr , où r > 1 et où les pi sont des projecteurs de noyau F . Cet ensemble,
muni de la loi ◦, est-il un groupe ? Déterminer le rang et la trace d’un élément de P .
Exercice 2) Soit M ∈ Mk (C). Montrer que M est nilpotente si, et seulement si, il existe une suite de
matrices Mn semblables à M et de limite nulle.
Planche 10
(Ensi)
·
A
1) Comparer, pour A ∈ Mn (R), le rang de
0
¸
−In
et celui de A. Étudier les cas extrêmes.
A
2) Donner de
+∞
X
x4n+1
une représentation (sous forme intégrale) valable pour x dans un intervalle de R
4n + 1
n=0
+∞
X
(−1)n
à préciser. Comment en déduire une expression de
?
4n + 1
n=0
Planche 11
(X)
On considérera dans cet exercice Mn (R) comme une partie de Mn (C). Soit alors E un sous-espace vectoriel
de Mn (C) stable par l’application M 7−→ <(M ). Si E rencontre GLn (C), montrer qu’il rencontre GLn (R).
En conclure que si A, B ∈ Mn (R) sont conjuguées par le groupe unitaire, elles le sont par le groupe orthogonal.
Planche 12
(Ens)
On donne un entier n > 1 ; si P ⊂ C, on désigne par MP l’ensemble des matrices M ∈ Mn (C) dont le
spectre est inclus dans P . Si P est ouvert, fermé, compact, dire respectivement si MP est ouvert, fermé,
compact. Si P est le cercle unité, déterminer le minimum de Tr (M ∗ M ) lorsque M décrit MP .
Planche 13
(Mines)
Z
(n+1)π
sin t
exp(−xt) dt, où n > 0.
t
nπ
+
Montrer qu’elle converge uniformément sur R et que la somme est une fonction de classe C1 . Déterminer
cette somme.
Exercice 2 : soit A ∈ Mn (R) telle que A5 = A + In . Montrer que det A > 0.
Exercice 1 : soit la série de fonctions de terme général un (x) =
Planche 14
(Mines)
Z 1
Exercice 1 : on munit E = C([ 0 ; 1 ] , R) du produit scalaire < canonique > (f, g) 7→
f (t)g(t) dt. Montrer
0
µ
¶
Z x
que l’endomorphisme T : f 7→ T f : x →
7
f (t) dt possède un adjoint, noté T ∗ . Quels sont les valeurs
0
propres de T ∗ ◦ T ?
Exercice 2 : chercher les matrices réelles carrées nilpotentes
M¶ telles
µ
µ que I¶+ M soit orthogonale.
A B
A 0
Exercice 3 : à quelle condition nécessaire et suffisante
et
ont-elles même rang ? (A et C
0 C
0 C
sont des matrices carrées.)
Planche 15
(Mines)
Z
x
Exercice 1 : déterminer les applications continues de R+ dans R+ telles que ∀ x > 0, f (x) 6
f (t) dt.
0
Exercice 2 : soit E un
µ plan
¶ vectoriel, et u ∈ L (E). Existe-t-il une base B de E dans laquelle u ait une
0 a
matrice de la forme
? Dans ce cas, montrer que a et b sont indépendants du choix d’une telle base.
1 b
µ
¶
µ
¶
0 x
0 1
En déduire que, pour tout (x, y) ∈ K2 , la matrice
est semblable à la matrice
.
1 y
x y
Planche 16
(Centrale)
E = Mn (R) est muni d’une norme quelconque.
0
n
n
n−1
a) Montrer que ∀ R > 0, ∃ M > 0 | A, B ∈ B
A−B .
¶n=⇒ ∀ n ∈ N, A − B 6 nM R
µ (0 ; R)
A
−→ exp A quand n −→ +∞, uniformément sur tout
b) En conclure que, pour toute matrice A, I +
n
compact de E.
c) En conclure que, pour toute matrice A, det (exp M ) = exp Tr M .
Planche 17
(Ensi)
Exercice 1 : calculer
Z
2
µZ
1
x
√
x
sin
¶
¶
Z 4 µZ 2
πx
πx
dx
dy dx +
sin
dy
√
2y
2y
2
x
Exercice 2 : reconnaı̂tre la surface d’équation x2 + y 2 + z 2 − yz − zx − xy = 1.
Planche 18
(Centrale)
C1
Exercice 1 (à préparer ). Soit g : R −−→ R telle que g n’est sommable ni sur R− ni sur R+ et que :
∀ t 6= 0, tg(t) > 0. Soit (u, I) une solution maximale de l’équation différentielle
u00 + u0 + g(u) = 0
On définit sur I la fonction V par
Z
u(t)
V (t) =
0
Ã
2
u0 (v)
g(v) +
2
!
dv
a) Calculer la dérivée de V . Montrer que u et u0 sont bornées sur R+ ∩ I. Montrer que R+ ⊂ I.
2
b) Montrer que u0 (t) est intégrable sur R+ . Montrer que lim u0 (t) = 0 puis que lim u(t) = 0.
t→+∞
t→+∞
∞
Exercice 2) (sans préparation). Soit f de classe C , 2π – périodique. Montrer que les coefficients de
Fourier de f sont en O(1/nk ) pour tout k. Comment montre-t-on que la série de Fourier d’une fonction
f converge normalement vers f si f est C12π ?
Planche 19
(Centrale)
µ
A
Soit A une matrice réelle symétrique définie positive avec A1 et A2 carrées : A = t 1
B
a) Montrer que A1 et A2 sont symétriques définies positives.
b) Montrer que det A 6 det A1 det A2 .
Planche 20
(Tpe – Eivp)
a) Étude de la suite définie par u0 > 0 et ∀ n ∈ N, un+1 =
b) Nature de la série de terme général : un (x) =
Planche 21
¶
B
.
A2
u2n + 3
.
2un + 2
+∞
X
nxn + x2n
.
Calcul
de
un (x).
n2 − 1
n=2
(Tpe – Eivp)
Exercice 1) Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Soit f application affine qui à M (x, y, z)
associe M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) tel que :ç

1

(α + 2x + 2y − z)
 x0 =


3


1
(α − 1 − x + 2y + 2z)
y0 =

3




 z 0 = 1 (α − 2 + 2x − y + 2z)
3
Déterminer en fonction de α l’ensemble des points invariants de f . Discuter suivant les valeurs de α la
nature de f .
Exercice 2) Soit E un espace vectoriel de dimension 3, f ∈ L (E) telle que f 3 = 0 et f 2 6= 0. Déterminer
l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f .
Planche 22
(Mines)
Z
Exercice 1) Calculer, pour x ∈ ] −π ; π [, l’intégrale I =
0
π
2
dt
dt.
1 + cos x cos t
Exercice 2 (sans préparation ; il n’y a là qu’une partie de l’énoncé ). Soit E un espace vectoriel euclidien. Soit ϕ l’endomorphisme de L (E) défini par ϕ(f ) = f ∗ + 4f . Montrer que ϕ est diagonalisable.
Calculer Tr(ϕ) et rg(ϕ) (. . . ) Montrer que (f, g) ∈ E 2 7→ Tr(f ∗ g) est un produit scalaire.
Planche 23
(Tpe)
Z
bx
sin t
dt.
t2
ax
Exercice 2 (sans préparation) : déterminer les propriétés topologiques (ouvert ?, fermé ?, dense ?, etc.) de
l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn (R).
Exercice 1 : on donne 0 < a < b ; calculer lim
x→0
Planche 24
(Tpe)
Exercice 1 : soit A et B deux matrices colonnes réelles non liées ; déterminer les éléments propres de
A t B + B t A.
Exercice 2 : déterminer les sous-groupes additifs de Z/nZ.
Planche 25
(Mines)
©
ª
Exercice 1 : on pose H = A ∈ M2 (C) | t A = A et Tr A = 0 .
a) H est-il 
un sous-espace vectoriel ?
3
R
M2 (C)


 −→

¶
µ
x
z
x + iy . Dire si f est une bijection de R3 sur H . Exprimer
b) Soit f :
y  7−→
V
=


x − iy
−z

z
det f (V )©en fonction de V .
ª
c) G = U ∈ M2 (C) | t U U = I2 et det U = 1 . Si U ∈ G , montrer que l’application ψU : A 7−→ U −1 AU
est un automorphisme de H .
µ ix
¶
e
0
−1
d) Reconnaı̂tre dU = f ◦ ψU ◦ f . Exemple : U =
.
0 e−ix
00
Exercice 2 (sans préparation) : soit l’équation y + ω 2 y = f , où ω > 0 et f continue de R dans R. Si
f est périodique, existe-t-il une solution périodique ?
Planche 26
(Centrale)
Soit, dans un plan euclidien affine, un vrai triangle ABC. Si M lui est intérieur (au sens large), on pose
dA (M ) = d(M, (BC)) et on définit de même dB (M ) et dC (M ).
a) Pour (u, v, w) ∈ R3 , on pose f (M ) = udA (M ) + vdB (M ) + wdC (M ). Cette application peut-elle être
constante ?
b) Montrer que f admet et atteint des extrema. Préciser en quels points.
Planche 27
(Mines)
+∞
X
(−1)n
.
(2n + 1)(3n + 1)
n=0
Exercice 2 : soit A et B dans Mn (C). Montrer que l’endomorphisme de Mn (C) défini par M 7−→ AM − M B
est bijectif si, et seulement si, A et B ont des spectres disjoints.
Exercice 1 : calculer
Planche 28
(Centrale)
On donne f continue, de carré intégrable, de R+ dans R et on pose g(x) =
a) Prolonger g par continuité en 0.
Z
b
b) Soit a, b tels que 0 < a < b. Montrer que
a
Z
1
x
x
f (t) dt pour x > 0.
0
Z
g 2 (t) dt = ag 2 (a) − bg 2 (b) + 2
b
f (t)g(t) dt. En déduire que
a
Z
b
s
Z
a
puis que
s
Z
b
b
g 2 (t) dt 6 ag 2 (a) + 2
Z
a
s
Z
g (t) dt 6
2
f (t) dt +
a
Z
+∞
ag 2 (a) +
0
f 2 (t) dt
0
Z
+∞
c) Montrer que g 2 et f g sont intégrables et que
Z
+∞
g 2 (t) dt = 2
0
Planche 29
f 2 (t) dt
0
s
+∞
2
+∞
g 2 (t) dt
f (t)g(t) dt.
0
(Centrale)
Z
2
1
2
Exercice 1 : E = C ([ 0 ; 1 ] , R), ϕ : (f, g) ∈ E 7−→
(f (t)g(t) + f 0 (t)g 0 (t)) dt.
0
a) Montrer que ϕ est un produit scalaire.
n
o
00
b) V = {f ∈ E, f (0) = f (1) = 0}, W = f ∈ E, f = f . Montrer que E = V ⊕W ; quelle est la projection
orthogonale sur W ?
½Z 1
¾
2
02
c) Eα, β = {f ∈ E, f (0) = α et f (1) = β}. Déterminer inf
(f (t) + f (t)) dt .
f ∈Eα, β
Planche 30
0
(Centrale)
Soit (an )n>0 une suite positive, de limite nulle, et a 6= 0 réel.
a) Vérifier que la suite (un )n>0 telle que u0 = a et un+1 = un + an +
a2n
est bien définie. Quel en est le
un
signe ?
b) Si u0 > 0, quel est le lien entre la nature de (un ) et celle de la série {an } ?
c) On suppose u0 < 0 et (un ) majorée par M < 0. Que dire de la nature de (un ) et de celle de {an } ?
d) Que dire si u0 < 0 et (an ) décroissante ?
Planche 31
(Ensi)
Exercice 1 : tracer la courbe t 7−→
µ
¶
t
cos t, sin t + tg
.
2

a b
Exercice 2 : ensemble des points M (x, y, z) de R3 euclidien tels que la matrice  c a
b c
Planche 32

c
b  soit orthogonale.
a
(Centrale)
a) Soit E un espace vectoriel normé, B0 (a, r) et B0 (a0 , r0 ) deux boules fermées. À quelle condition a-t-on
B0 (a, r) ⊂B0 (a0 , r0 ) ?
\
b) On suppose E complet. Soit (B0n )n>0 une suite décroissante de boules fermées. Montrer que
B0n
n>0
est une boule fermée.
Planche 33
(Centrale)
Chercher successivement {P ∈ C[X], P (Q) ⊂ Q} puis {P ∈ C[X], P (Q) = Q}.
Planche 34
(Mines)
Z
π
1) Combien de fois l’application x 7−→
cos(x sin t) dt s’annule-t-elle sur
hπ
i
;π ?
2
1 1 1
2) Soit a, b, c > 0 tels que abc = 1 et a + b + c > + + . Peut-on avoir a > b > 1 > c ?
a b
c
0
Planche 35
(iie)
Cours : continuité et dérivabilité des intégrales à paramètres (énoncés précis !)
Exercice : soit A = (ai, j ) une matrice symétrique réelle d’ordre n vérifiant ai, j ∈ {0, 1} et ai, i = 0
pour tout (i, j). On suppose en outre que la somme des coefficients de chaque ligne vaut k et que les
coefficients non diagonaux de A2 sont tous égaux à 1.
a) Que valent les coefficients diagonaux de A2 ?
b) Vérifier que le vecteur-colonne V ∈ Rn dont les composantes valent toutes 1 est vecteur propre de A. En
déduire que n = k 2 − k + 1.
c) Montrer que la restriction de X 7−→ A2 X à V ⊥ est une homothétie ; en déduire le spectre de A.
d) En considérant la trace de A, montrer finalement que k = 2.
Planche 36
(Ensea)
On donne p un entier > 0 ; on note respectivement E(x) et F (x)
du réel
½ les
µ parties
¶ ¾ entière net fractionnaire
³n´ o
n
n
n
et F
.
x. Trouver rayon de convergence et somme des séries entières E
x
x
p
3
n>0
n>0
Planche 37
(Ensea)
Soit n ∈ N∗ , ω = exp(2iπ/n) et A la matrice de terme général aj, k = ω (j−1)(k−1) . Déterminer AA et A2 .
En déduire | det(A)|.
Planche 38
(Ensi)
Exercice 1 : énoncer les principales propriétés du groupe Sn ; montrer que son centre est réduit à {I} pour
n > 3.
Z π/4
1
.
Exercice 2 : trouver une relation de récurrence concernant In =
tgn x dx. Montrer que In ∼
2n
0
Planche 39
(Centrale)
m
µ
n
¶
S tA
Montrer qu’une matrice réelle symétrique de la forme M =
, où S et T sont carrées définies
A −T
positives d’ordre m et n respectivement, est inversible. Déterminer la signature de la forme quadratique
canoniquement associée à M .
Planche 40
(Ens)
Soit A matrice réelle symétrique à coefficients > 0. Montrer qu’il existe une unique valeur propre λ de
module maximal. Montrer que λ > 0 et que le sous-espace vectoriel propre associé est une droite engendrée
par un vecteur à composantes > 0.
Planche 41
(Ens)
Soit ϕ un morphisme continu de groupe de U dans GLn (R). Montrer que, pour tout z ∈ U, det ϕ(z) = 1 et
que le spectre de ϕ(z) est inclus dans U.
Planche 42
(Ens–Informatique)
Si y est un mot sur un alphabet A , on note y le même mot, mais lu à l’envers. Déterminer un algorithme
qui décide si deux mots u et v sur A peuvent s’écrire respectivement xyz et xyz, avec x, y, z ∈ A ∗ . [Indication ultérieure : remarquer que si u et v sont comme supra, alors au et av le sont aussi pour toute lettre a.]
Planche 43
(Mines)
Exercice 1 : que dire d’une fonction 2π – périodique de classe C∞ pour laquelle il existe M > 0 tel que
∀ (n, x) ∈ N × R, |f (n) (x)| 6 M ?
Exercice 2 : soit G un sous-groupe additif de R tel qu’il existe un nombre fini d’ensembles distincts de la
déf
forme x + G = {x + g | g ∈ G}, lorsque x décrit R. Montrer que G = R.
Planche 44
(Centrale)
Z
Exercice 1 : domaine de convergence réel de la série entière de terme général un xn , où un =
Z π
cos u
Exercice 2 : étudier
du.
3
3
0 cos u + sin u
Planche 45
1
(1 − t2 )n dt.
0
(Centrale)
Z
Soit E = R2 [X] ; on pose, pour (P, Q) ∈ E 2 , ϕ(P, Q) =
Z +∞
t4 P (t) exp(−t) dt.
+∞
tP (t)Q(t) exp(−t) dt et, pour P ∈ E, f (P ) =
0
0
a) Vérifier que ϕ est un produit scalaire.
b) Vérifier que f est une forme linéaire. Conclure ; préciser cette forme.
c) Étudier les extrema locaux ou absolus de P ∈ E 7−→ f (P ) exp (−ϕ(P, P )).
Planche 46
(Mines)
Soit E un espace vectoriel euclidien et soit p ∈ L (E) un projecteur.
a) Dans quel cas a-t-on p∗ ∈ Vect {I, p} ?
b) On pose q = p+p∗ . À quelle condition q est-il un endomorphisme positif ? Montrer que q 2 −q est toujours
positif. Que peut-on en conclure quant aux valeurs propres de q ?
Planche 47
(Centrale)
Soit un déterminant symétrique réel d’ordre impair dont les coefficients sont entiers, les diagonaux étant de
plus pairs. Montrer que ce déterminant est pair.
Planche 48
(Ulm)
Soit G le groupe GLn (Z) des matrices de déterminant ±1 à coefficients entiers relatifs. Soit d > 3 un entier
et ϕ qui à M ∈ G associe sa réduite modulo d, dans Mn (Z/dZ). Si G0 est un sous-groupe fini de G, montrer
que ϕ|G0 est injective.
Planche 49
(Ens Lyon)
Z
Soit f ∈ C (R) à support compact. On définit fˆ par x ∈ R 7−→
0
1)
2)
3)
4)
Si f est C2 , montrer que fˆ est intégrable sur R.
Montrer que fˆ est C∞ sur R.
Montrer que fˆ est développable en série entière sur R.
Si f 6= 0, montrer que fˆ n’est pas à support compact.
Planche 50
+∞
f (t) exp(itx) dt.
−∞
(Ens Cachan)
On donne k > 2 un entier et on désigne par Fk l’ensemble des fonctions f ∈ Ck (R) telles que f 0 ne s’annule
00
pas et que f (x) − x, f 0 (x) − 1, f (x), . . . , f (k) (x) tendent vers 0 en ±∞. Montrer que Fk est un groupe
pour la loi ◦.
Planche 51
(Ulm–Lyon–Cachan)
Soit ϕ strictement concave, de classe C2 de [ 0 ; 1 ] dans R telle que ϕ(0) < 0 et ϕ(1) < 0. On pose A =
Z 1
©
ª
2
0
1
u0 (t) dt
u de classe C et Cm de [ 0 ; 1 ] dans R telles que u(0) = u(1) = 0 et u > ϕ . Déterminer inf
Aϕ
et, le cas échéant, caractériser les u atteignant cet infimum.
Planche 52
0
(X)
©
ª
Soit Σ = (x0 , x1 , . . . , xn ) une subdivision de [ a ; b ] et S = f ∈ R [ a ; b ] telles que ∀ i, f|[ xi ; xi+1 ] ∈ R3 [X] .
1) Montrer que S est un sous-espace vectoriel de R [ a ; b ] et en donner la dimension.
Z b
00 2
00
f (t) dt = f (b)f 0 (b) −
2) On pose S0 = {f ∈ S telles que ∀ i, f (xi ) = 0}. Si f ∈ S0 , montrer que
00
f (a)f 0 (a).
3) Donner le dimension de l’espace des solutions du système


 f (x0 ) = y0
..
.


f (xn ) = yn
a
où la fonction inconnue f ∈ S0 .
Planche 53
(X)
Z
+∞
1) Que pensez-vous de
0
dx
? Calculer
1 − x2
Z
0
+∞
Log x dx
.
1 − x2
2) Soit u ∈ L (E), où dim E < ∞. Montrer que, pour tout entier naturel n, dim Ker un+2 − dim Ker un+1 6
dim Ker un+1 − dim Ker un .
Planche 54
(Centrale)
1) Soit K un convexe fermé de C, f C0 de [ 0 ; 2π ] dans K et g C0 de [ 0 ; 2π ] dans R+ telle que
Z 2π
Z 2π
1
1
g(t) dt = 1. Montrer que
f (t)g(t) dt ∈ K.
2π 0
2π 0
2) Soit {an z n } une série entière convergeant uniformément sur le disque-unité fermé D = D0 (0 ; 1) ; on
∞
n
X
X
pose f (z) =
an z n et Pr, n (x) =
r|k| exp(kix).
k=0
Z
k=−n
n
X
Pr, n (t)f (exp(i(x − t))) dt =
an rn exp(nix).
0
k=0
¸
·
1
et x ∈ R ?
b) Quel est le signe de Pr, n (x) pour r ∈ 0 ;
2
c) Que peut-on en conclure si f envoie le cercle-unité U dans lui-même ?
1
a) Montrer que
2π
Planche 55
2π
(Centrale)
Z
+∞
On pose, pour P, Q ∈ R[X], h P , Q i =
2
P (t) Q(t) e−t dt.
−∞
1) Montrer que h . , . i est un produit scalaire.
Z +∞
√
2
2) Calculer In =
tn e−t dt sachant que I0 = π.
−∞
3) Donner une baseµZ
orthonormale de F = {XP (X),
¶ P ∈ R1 [X]}.
+∞
2 2 −t2
4) Calculer inf 2
(1 − at − bt ) e
dt .
(a, b)∈R
Planche 56
−∞
(Tpe)
A) Soit I et J deux intervalles de R, f un C3 – difféomorphisme de I
µ 00 ¶0
µ ¶2
f
1 f 00
−
.
f0
2 f0
1) Exprimer S(g ◦ f ) en fonction de S(g) et de S(f ).
2) Résoudre S(f ) = 0.
sur J
et S définie par S(f ) =
Z
B) Domaine de définition, continuité, dérivabilité, équivalent aux bornes de F (x) =
0
+∞
sin2 xt
dt.
t2 (1 + t2 )
Planche 57
(Tpe)
A) Soit E = Mn (R) muni du produit scalaire h M , N i = Tr( t M N ).
1) Calculer U , où (U )i, j = 1 pour tout (i, j).
√
2) Soit U = (ui, j ) ∈ GOn (R), montrer que U 6 n n.
B) Déterminer et représenter le lieu des centres de courbure du graphe de y = Log x.
C) [ Sans préparation. ] Si u ∈ L (E) et u3 + u2 + u = 0, montrer que Ker u et Ker (u2 + u + I) sont
supplémentaires.
Planche 58
(Ensi)
Z
π/2
Exercice 1 : montrer que la série un de terme général (−1)n
cosn x dx converge et en calculer la somme.
0
Exercice 2 : soit E un R – espace vectoriel de dimension 3, u ∈ L (E) tel que u2 = u3 , u2 6= u et rg (u−I) = 2.


1 0 0
Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de u est 0 0 1.
0 0 0
Planche 59
(Centrale)
Exercice 1 : on donnait numériquement une certaine matrice M ∈ M3 (R) et on demandait, en s’aidant de
Maple, de déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 stables par X 7−→ M X.
Exercice 2 : trouver {M ∈ Mn (K) | ∀ N ∈ Mn (K), det(M + N ) = det M + det N } pour n > 2 donné.
Planche 60
(Centrale)
1) Montrer que P (X) = X 3 − X − 1 possède des zéros α ∈ R, β et β ∈ C \ R, avec |β| < 1.
n
2) Montrer que ∀ n ∈ N, Sn = αn + β n + β ∈ Z.
1
π
3) Étudier la nature de la série un de terme général sin αn en la rapprochant de celle de terme général
n
2
1
π
sin Sn .
n
2
Planche 61
(Mines)
Exercice 1 : soit P, Q ∈ C[X] ; existe-t-il λ ∈ R+ tel que ∀ z ∈ C, |P (z)| 6 λ |Q(z)| ?
Exercice 2 : soit (an ) et (bn ) deux suites réelles telles que un (x) = an cos nx + bn sin nx converge simZ 2π
plement vers 0 sur R. Montrer que an et bn tendent vers 0. [ On pourra introduire
u2n (t) dt. ]
0