Planche 1 (Mines) Soit E un espace vectoriel euclidien. Montrer que

Planche 1(Mines)
Soit Eun espace vectoriel euclidien. Montrer que l’ensemble Pdes projecteurs orthogonaux est compact.
Trouver les extrema de (p, q)∈P27−→ Tr(pq) puis, lorsque Eest un plan, de (p, q, r)∈P37−→ Tr(pqr).
Planche 2(Ensi)
Soit z∈C; d´eterminer la valeur, lorsqu’elle a un sens, de l’int´egrale Z2π
0
exp(kit)
z−exp(it)dt.
Planche 3(Centrale)
1) Soit Eeuclidien de dimension paire 2n,Fet Gdes sous-espaces vectoriels de dimension n. Existe-t-il
Ddroite vectorielle incluse dans Fet D0droite vectorielle incluse dans Gtelles que D0, resp. D, soit la
projection orthogonale de Dsur G, resp. de D0sur F?
2) Soit aun complexe non nul ; ´etudier l’application z∈C7−→ z+az. Montrer que l’image du cercle-unit´e
est une ellipse ou un segment dont on donnera respectivement les caract´eristiques.
Planche 4(Ensi)
1) Soit Ccercle d’un plan euclidien. Dire pourquoi toute application continue de Ckdans R(avec k∈N∗)
est born´ee et atteint ses bornes. Exemple : extrema de (A, B, C)∈C37−→ h−−→ AB , −→ AC i. Interpr´eter
g´eom´etriquement la configuration du maximum.
2) Si M∈Mn(R) est inversible, montrer que M−1∈R[M]. En conclure que si Aest une sous-alg`ebre de
Mn(R), Acontient l’inverse de toute matrice inversible de A.
Planche 5(Centrale)
1) Eest un espace vectoriel euclidien. Montrer que l’ensemble des sym´etries orthogonales est compact, et
non connexe par arcs lorsque dim E>2. Quels sont les points isol´es de cet ensemble ?
2) Soit M∈Mn(R). Vect(In, M) est-il : une sous-alg`ebre de Mn(R), un corps ?
Planche 6(Centrale)
Eest un espace vectoriel euclidien, et qune forme quadratique sur E. D´eterminer la borne sup´erieure de
q(x) exp(−(x)2) lorsque xd´ecrit E.
Planche 7(Mines)
On pose un=
n
Y
k=2
√k−1
√k+ 1.´
Etudier la suite (un)n>2puis la s´erie de terme g´en´eral (uα
n), α > 0 ´etant donn´e.
Planche 8(Tpe)
Caract´eriser les ´el´ements inversibles dans Z/2nZ. Si xest un tel inversible, proposer une m´ethode de calcul
de son inverse utilisant une r´ecurrence sur n. En proposer une seconde fond´ee sur le calcul des x2k. Com-
parer le nombre d’op´erations n´ecessaires. G´en´eraliser `a Z/pnZ,o`u pest un entier premier.
Planche 9(X)
Exercice 1) Soit Eun R–espace vectoriel de dimension finie, Fun sous-espace vectoriel et P l’ensemble
des ´el´ements de la forme p1◦. . . ◦pr, o`u r>1 et o`u les pisont des projecteurs de noyau F. Cet ensemble,
muni de la loi ◦, est-il un groupe ? D´eterminer le rang et la trace d’un ´el´ement de P .
Exercice 2) Soit M∈Mk(C). Montrer que Mest nilpotente si, et seulement si, il existe une suite de
matrices Mnsemblables `a Met de limite nulle.
Planche 10 (Ensi)
1) Comparer, pour A∈Mn(R), le rang de ·A−In
0A¸et celui de A.´
Etudier les cas extrˆemes.

2) Donner de
+∞
X
n=0
x4n+1
4n+ 1 une repr´esentation (sous forme int´egrale) valable pour xdans un intervalle de R
`a pr´eciser. Comment en d´eduire une expression de
+∞
X
n=0
(−1)n
4n+ 1 ?
Planche 11 (X)
On consid´erera dans cet exercice Mn(R) comme une partie de Mn(C). Soit alors Eun sous-espace vectoriel
de Mn(C) stable par l’application M7−→ <(M). Si Erencontre GLn(C), montrer qu’il rencontre GLn(R).
En conclure que si A, B ∈Mn(R) sont conjugu´ees par le groupe unitaire, elles le sont par le groupe ortho-
gonal.
Planche 12 (Ens)
On donne un entier n>1 ; si P⊂C, on d´esigne par MPl’ensemble des matrices M∈Mn(C) dont le
spectre est inclus dans P. Si Pest ouvert, ferm´e, compact, dire respectivement si MPest ouvert, ferm´e,
compact. Si Pest le cercle unit´e, d´eterminer le minimum de Tr (M∗M) lorsque Md´ecrit MP.
Planche 13 (Mines)
Exercice 1 : soit la s´erie de fonctions de terme g´en´eral un(x) = Z(n+1)π
nπ
sin t
texp(−xt) dt, o`u n>0.
Montrer qu’elle converge uniform´ement sur R+et que la somme est une fonction de classe C1. D´eterminer
cette somme.
Exercice 2 : soit A∈Mn(R) telle que A5=A+In. Montrer que det A > 0.
Planche 14 (Mines)
Exercice 1 : on munit E= C([ 0 ; 1 ] ,R) du produit scalaire <canonique >(f, g)7→ Z1
0
f(t)g(t) dt. Montrer
que l’endomorphisme T:f7→ µT f :x7→ Zx
0
f(t) dt¶poss`ede un adjoint, not´e T∗. Quels sont les valeurs
propres de T∗◦T?
Exercice 2 : chercher les matrices r´eelles carr´ees nilpotentes Mtelles que I+Msoit orthogonale.
Exercice 3 : `a quelle condition n´ecessaire et suffisante µA B
0C¶et µA0 0C¶ont-elles mˆeme rang ? (Aet C
sont des matrices carr´ees.)
Planche 15 (Mines)
Exercice 1 : d´eterminer les applications continues de R+dans R+telles que ∀x>0, f(x)6Zx
0
f(t) dt.
Exercice 2 : soit Eun plan vectoriel, et u∈L (E). Existe-t-il une base B de Edans laquelle uait une
matrice de la forme µ0a
1b¶? Dans ce cas, montrer que aet bsont ind´ependants du choix d’une telle base.
En d´eduire que, pour tout (x, y)∈K2, la matrice µ0x
1y¶est semblable `a la matrice µ0 1 x y¶.
Planche 16 (Centrale)
E=Mn(R) est muni d’une norme quelconque.
a) Montrer que ∀R>0,∃M>0|A, B ∈B0(0 ; R) =⇒ ∀n∈N, An−Bn6nMRn−1A−B.
b) En conclure que, pour toute matrice A,µI+A
n¶n
−→ exp Aquand n−→ +∞, uniform´ement sur tout
compact de E.
c) En conclure que, pour toute matrice A, det (exp M) = exp Tr M.

Planche 17 (Ensi)
Exercice 1 : calculer
Z2
1µZx
√x
sin πx
2ydy¶dx+Z4
2µZ2
√x
sin πx
2ydy¶dx
Exercice 2 : reconnaˆıtre la surface d’´equation x2+y2+z2−yz −zx −xy = 1.
Planche 18 (Centrale)
Exercice 1 (`a pr´eparer). Soit g:RC1 −−→ Rtelle que gn’est sommable ni sur R−ni sur R+et que :
∀t6= 0, tg(t)>0. Soit (u, I) une solution maximale de l’´equation diff´erentielle
u00 +u0+g(u) = 0
On d´efinit sur Ila fonction Vpar
V(t) = Zu(t)
0Ãg(v) + u0(v)2
2!dv
a) Calculer la d´eriv´ee de V. Montrer que uet u0sont born´ees sur R+∩I. Montrer que R+⊂I.
b) Montrer que u0(t)2est int´egrable sur R+. Montrer que lim
t→+∞u0(t) = 0 puis que lim t→+∞u(t) = 0.
Exercice 2) (sans pr´eparation). Soit fde classe C∞, 2π– p´eriodique. Montrer que les coefficients de
Fourier de fsont en O(1/nk) pour tout k. Comment montre-t-on que la s´erie de Fourier d’une fonction
fconverge normalement vers fsi fest C1
2π?
Planche 19 (Centrale)
Soit Aune matrice r´eelle sym´etrique d´efinie positive avec A1et A2carr´ees : A=µA1B
tB A2¶.
a) Montrer que A1et A2sont sym´etriques d´efinies positives.
b) Montrer que det A6det A1det A2.
Planche 20 (Tpe – Eivp)
a) ´ Etude de la suite d´efinie par u0>0 et ∀n∈N, un+1 =u2
n+ 3
2un+ 2.
b) Nature de la s´erie de terme g´en´eral : un(x) = nxn+x2n
n2−1.Calcul de
+∞
X
n=2
un(x).
Planche 21 (Tpe – Eivp)
Exercice 1) Soit Eun espace affine euclidien de dimension 3. Soit fapplication affine qui `a M(x, y, z)
associe M0(x0, y0, z0) tel que :¸c
x0=1
3(α+ 2x+ 2y−z)
y0=1
3(α−1−x+ 2y+ 2z)
z0=1
3(α−2+2x−y+ 2z)
D´eterminer en fonction de αl’ensemble des points invariants de f. Discuter suivant les valeurs de αla
nature de f.
Exercice 2) Soit Eun espace vectoriel de dimension 3, f∈L (E) telle que f3= 0 et f26= 0. D´eterminer
l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f.
Planche 22 (Mines)
Exercice 1) Calculer, pour x∈]−π;π[, l’int´egrale I=Zπ
2
0
dt
1 + cos xcos tdt.

Exercice 2 (sans pr´eparation ; il n’y a l`a qu’une partie de l’´enonc´e ). Soit Eun espace vectoriel eucli-
dien. Soit ϕl’endomorphisme de L (E) d´efini par ϕ(f) = f∗+ 4f. Montrer que ϕest diagonalisable.
Calculer Tr(ϕ) et rg(ϕ) (...) Montrer que (f, g)∈E27→ Tr(f∗g) est un produit scalaire.
Planche 23 (Tpe)
Exercice 1 : on donne 0 < a < b ; calculer lim
x→0Zbx
ax
sin t
t2dt.
Exercice 2 (sans pr´eparation) : d´eterminer les propri´et´es topologiques (ouvert ?, ferm´e ?, dense ?, etc.) de
l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(R).
Planche 24 (Tpe)
Exercice 1 : soit Aet Bdeux matrices colonnes r´eelles non li´ees ; d´eterminer les ´el´ements propres de
AtB+BtA.
Exercice 2 : d´eterminer les sous-groupes additifs de Z/nZ.
Planche 25 (Mines)
Exercice 1 : on pose H = ©A∈M2(C)|tA=Aet Tr A= 0ª.
a) H est-il un sous-espace vectoriel ?
b) Soit f:
R3−→ M2(C)
V=
x
y
z
7−→ µz x + iy
x−iy−z¶. Dire si fest une bijection de R3sur H . Exprimer
det f(V) en fonction de V.
c) G = ©U∈M2(C)|tUU =I2et det U= 1ª. Si U∈G , montrer que l’application ψU:A7−→ U−1AU
est un automorphisme de H .
d) Reconnaˆıtre dU=f−1◦ψU◦f. Exemple : U=µeix0
0 e−ix¶.
Exercice 2 (sans pr´eparation) : soit l’´equation y00 +ω2y=f, o`u ω > 0 et fcontinue de Rdans R. Si
fest p´eriodique, existe-t-il une solution p´eriodique ?
Planche 26 (Centrale)
Soit, dans un plan euclidien affine, un vrai triangle ABC. Si Mlui est int´erieur (au sens large), on pose
dA(M) = d(M, (BC)) et on d´efinit de mˆeme dB(M) et dC(M).
a) Pour (u, v, w)∈R3, on pose f(M) = udA(M) + vdB(M) + wdC(M). Cette application peut-elle ˆetre
constante ?
b) Montrer que fadmet et atteint des extrema. Pr´eciser en quels points.
Planche 27 (Mines)
Exercice 1 : calculer
+∞
X
n=0
(−1)n
(2n+ 1)(3n+ 1).
Exercice 2 : soit Aet Bdans Mn(C). Montrer que l’endomorphisme de Mn(C) d´efini par M7−→ AM −M B
est bijectif si, et seulement si, Aet Bont des spectres disjoints.
Planche 28 (Centrale)
On donne fcontinue, de carr´e int´egrable, de R+dans Ret on pose g(x) = 1
xZx
0
f(t) dtpour x > 0.
a) Prolonger gpar continuit´e en 0.
b) Soit a, b tels que 0 < a < b. Montrer que Zb
a
g2(t) dt=ag2(a)−bg2(b) + 2 Zb
a
f(t)g(t) dt. En d´eduire que

Zb
a
g2(t) dt6ag2(a)+2sZb
a
g2(t) dtZ+∞
0
f2(t) dt
puis que
sZb
a
g2(t) dt6sZ+∞
0
f2(t) dt+sag2(a) + Z+∞
0
f2(t) dt
c) Montrer que g2et fg sont int´egrables et que Z+∞
0
g2(t) dt= 2 Z+∞
0
f(t)g(t) dt.
Planche 29 (Centrale)
Exercice 1 : E= C2([ 0 ; 1 ] ,R), ϕ: (f, g)∈E27−→ Z1
0
(f(t)g(t) + f0(t)g0(t)) dt.
a) Montrer que ϕest un produit scalaire.
b) V={f∈E, f (0) = f(1) = 0},W=nf∈E, f =f00 o. Montrer que E=V⊕W; quelle est la projection
orthogonale sur W?
c) Eα, β ={f∈E, f(0) = αet f(1) = β}. D´eterminer inf
f∈Eα, β ½Z1
0
(f2(t) + f02(t)) dt¾.
Planche 30 (Centrale)
Soit (an)n>0une suite positive, de limite nulle, et a6= 0 r´eel.
a) V´erifier que la suite (un)n>0telle que u0=aet un+1 =un+an+a2
n
un
est bien d´efinie. Quel en est le
signe ?
b) Si u0>0, quel est le lien entre la nature de (un) et celle de la s´erie {an}?
c) On suppose u0<0 et (un) major´ee par M < 0. Que dire de la nature de (un) et de celle de {an}?
d) Que dire si u0<0 et (an) d´ecroissante ?
Planche 31 (Ensi)
Exercice 1 : tracer la courbe t7−→ µcos t, sin t+ tg t
2¶.
Exercice 2 : ensemble des points M(x, y, z) de R3euclidien tels que la matrice 
a b c
c a b
b c a
soit orthogonale.
Planche 32 (Centrale)
a) Soit Eun espace vectoriel norm´e, B0(a, r) et B0(a0, r0) deux boules ferm´ees. ` A quelle condition a-t-on
B0(a, r)⊂B0(a0, r0) ?
b) On suppose Ecomplet. Soit (B0
n)n>0une suite d´ecroissante de boules ferm´ees. Montrer que \n>0B0 n
est une boule ferm´ee.
Planche 33 (Centrale)
Chercher successivement {P∈C[X], P (Q)⊂Q}puis {P∈C[X], P (Q) = Q}.
Planche 34 (Mines)
1) Combien de fois l’application x7−→ Zπ
0
cos(xsin t) dts’annule-t-elle sur hπ
2;πi?
2) Soit a, b, c > 0 tels que abc = 1 et a+b+c > 1
a+1 b+1 c.Peut-on avoir a > b > 1> c ?
Planche 35 (iie)
Cours : continuit´e et d´erivabilit´e des int´egrales `a param`etres (´enonc´es pr´ecis !)
Exercice : soit A= (ai, j ) une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre nv´erifiant ai, j ∈ {0,1}et ai, i = 0