Exercices 1 — algèbre et fonctions Droites Quadratiques Polynômes

Exercices 1 — algèbre et fonctions
Calcul différentiel – Automne 2016 – Yannick Delbecque
Droites
Polynômes
Question 1
Déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite d’équation
3x + 2y = 1.
Question 6
Factoriser complètement les polynômes suivants.
a) 4x3 − 3x2 + 4x − 3
e) x2 + 25
Question 2
Donner l’équation de la droite. . .
b) x2 + 5x + 6
f) 3x3 − 108x
c) 9x2 + 12x + 4
g) 18x5 + 32x3
d) 16x2 − 81
h) x4 − 5x2 + 4
a) de pente −5 qui passe par le point (−3, 4) ;
b) passant par les points (−2, 4) et (1, −5) ;
c) parallèle à la droite trouvée en a) qui passe par le point
(1, −2).
Question 7
Trouver les zéros des fonctions polynomiales suivantes.
a) f (x) = 4x − 3
Quadratiques
d) f (x) = (x − 1)(x + 1)
√ e) f (x) = x(x − 1) x + 2
b) f (x) = 2
Question 3
Trouver les zéros de chacune des fonctions polynomiales cidessous en factorisant.
a) f (x) =
x2 + 7x + 12
3x2 + 5x
c) f (x) =
b) f (x) =
9 − 4x2
d) f (x) = −x2 − 100
Question 4
Utiliser la formule quadratique pour trouver les zéros de chacune
des fonctions suivantes.
a) f (x) = −3x2 + 2x − 6
c) f (x) = x2 + 11
b) f (x) = 6x2 − 17x + 12
d) f (x) = 9x2 − 6x + 1
Question 5
Déterminer quelle fonction quadratique de la forme f (x) = ax2 +
bx + c est illustrée dans le graphe suivant.
c) f (x) = 2x2 − 5x + 2
f) f (x) =
(x − 2)(x + 1)
x2 + 3
Question 8
Effectuer les divisions polynomiales suivantes.
x2 − 1
x−1
x2 − 1
b)
x+1
x2 + 1
c)
x−1
x3 − 1
d)
x−1
a)
x3 − 1
x2 − 1
x4 − x3 − 2x2 + 3x − 1
f)
x−1
x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 2
g)
x+1
e)
Question 9
Le polynôme P(x) = x3 − 4x2 + 3x − 15 peut également s’écrire de
la manière suivante.
P(x) = (x − 3) x2 − x + 5
y
a) Peut-on le factoriser davantage ? Expliquer.
b) Vérifier que x = 3 est un zéro de P(x) dans les deux formes
données dans la question.
3
−2
4
x
c) Trouver, s’il y en a, d’autres valeurs de x pour lesquelles
P(x) = 0.
Question 10
Soit le polynôme P(x) = x4 − 5x3 − 8x2 − 24.
a) Sans effectuer de division, dire si (x −2) est un facteur de P(x).
b) Est-ce que (x + 2) divise P(x) ?
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2
Question 11
Soit le polynôme P(x) = x4 + 3x2 + 2.
a) Donner l’équation de la droite passant par (−1, f (−1)) et
(2, f (2))
b) Vérifier que le point (1, −3) sont sur le graphe de f
a) Ce polynôme a-t-il des zéros ?
c) Donner l’équation de la droite passant par (1, −3) et (2, f (2))
b) Existe-t-il une factorisation pour de P(x) ?
c) Cela contredit-il le théorème de factorisation ? Expliquer.
Fonctions
Question 16
Faire une esquisse du graphe des fonctions suivantes.
√
√ 2
c) f (x) = − x + 3 + 2 2
√
d) f (x) = x + 1 − 1
a) f (x) = (x − 2)2 + 1
Question 12
Soit f la fonction ayant le graphe suivant. Évaluer f pour les
valeurs de x données.
1
x+2
−1
Question 17
Déterminer lesquelles des équations suivantes définissent des fonctions si on considère x comme variable indépendante et y comme
variable dépendante. Si l’équation donnée défini une fonction, donner la règle de correspondance et son domaine de définition.
f (x)
3
2
1
−2
b) f (x) =
x
1 2 3
a) yx = 1
e) 2 x = y2
b) x + y = 1
f) 2y = x2
c) x2 + y2 = 1
g) 2x2 − y + 8 = 3x
d) x3 + y3 = 0
a) x = −2
c) x = 3/2
e) x = 3
b) x = 1
d) x = 2
f) x = π
Question 13
Évaluer. . .
√
1
1
=
y x2
i) sin(y) = x
h)
j) sin(x) = 3y + 2
Question 18
Soit f la fonction définie de la manière suivante.



x2 si x < −2




f (x) = 
−x si − 2 ≤ x ≤ 1




 x2 si 1 < x
a) f (3) si f (x) = x3
h) f (y) si f (x) =
b) f (1) si f (x) = x3/2
i) f (y + h) si f (x) =
a) Évaluer f (−3), f (−2), f (0), f (1/2), f (1), f (2).
c) f (9) si f (x) = x3/2
√
3
d) f 2 si f (x) = x3/2
j) f (1) si f (x) =
b) Quel est le domaine de f ?
k) f (x + h) si f (x) = x5/2
e) f (2) si f (x) = 22/3 x1/3
l) f (2) si f (x) = log(x − 1)
x2 + 1
1
x
5/2
x
f) f (1 + h) si f (x) = x2
m) f (0) si f (x) = 2(x−1)
g) f (3 + h) si f (x) = x3
n) f (−1) si f (x) =
o) f (1) si f (x) =
1
x+1
2(x−1)
Question 19
Soit f la fonction définie de la manière suivante.

1


si x ≤ 2
 x−1
f (x) = 

x
si 2 < x
a) Évaluer f (−1), f (0), f (1), f (2).
Question 14
Considérons les fonctions définie par f (x) = 2x, g(x) = x2 et
1
. Évaluer les expressions suivantes.
h(x) = x+1
a) 3 f (x) − 5
d) f (x)g(x)
g) [ f ◦ g ◦ h](x)
b) f (3x − 5)
e) f (g(x))
h) [h ◦ g ◦ f ](x)
c) f (x) + h(x)
f) g( f (x))
i) [g ◦ h ◦ f ](x)
Question 15
Soit la fonction définie par f (x) = x3 − 4x.
b) Quel est le domaine de f ?
Question 20
La fonction valeur absolue est la fonction définie de la manière
suivante.



−x si x < 0
|x| = 

x
si 0 ≤ x
a) Évaluer | − 3|, |0|, |2|.
b) Quel est le domaine de la fonction valeur absolue ?
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Exercices 1 — algèbre et fonctions
3
c) Est-ce que la fonction valeur absolue admet une fonction inverse ?
√
d) Montrer que |x| = x2 pour tout x ∈ R.
e) Montrer que |ab| = |a||b| pour tout a, b ∈ R. (Ind. Utiliser le
résultat précédent).
Question 21
La distance d(x, y) entre x et y sur la droite réelle peut être définie
par
d(x, y) = |x − y|.
Utiliser cette idée de distance pour déterminer quelles valeurs de
x ∈ R satisfont les relations suivantes. (ind. faire une esquisse rapide
peut aider !)
Question 23
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes.
a) f (x) = x100 + x50 + 1
1
b) f (x) =
2x − 3
1
c) f (x) =
(x − 3)(x + 2)
3x − 1
d) f (x) =
2x + 5
2
e) f (x) = 2
x − 16
3
f) f (x) =
(x − 4)2
2x2 − 3x − 5
x2 − x − 2
√
h) f (x) = x − 1
√
i) f (x) = 2x − 5
√
j) f (x) = x3
g) f (x) =
a) |x − 1| = 1
b) |x − 2| < 1
c) |x + 1| ≤ 2
√
d) |x| < 2
e) |x| > 1
f) |x| = π
Question 22
Déterminer si les fonctions f et g suivantes sont des fonctions
inverses une de l’autre.
x 3
a) f (x) = 2x − 3 et g(x) = +
2 2
√
3
b) f (x) = x + 1 et g(x) = x3 − 1
2x + 1
2x + 1
c) f (x) =
et g(x) =
3x − 2
3x − 2
p
(x − 1)3
√
f (x) = x2 − 1
p
x2 + 1
f (x) =
−x + 2
f (x) = 3 2
x − x + 5x
f (x) = |x3 − 1|
1
f (x) =
|x − 1|
1
f (x) =
|x| − 1
1
f (x) = √
x2 − 4x − 5
1
f (x) =
log(x − 4) − 1
r
2x − x2
f (x) =
x2 + x − 2
k) f (x) =
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Question 24
Déterminer les points de croisement avec les axes des fonctions
suivantes.
a) f (x) =
p
x2 − 4
√ 2/3
b) f (x) = x − 3 3
p
c) f (x) = −x2 + 3x + 4
d) f (x) = x4 − 16
e) f (x) = x3 + 27
1
f) f (x) = 1 +
1 + 1x
Solutions
Question 1
b) x = − 32 et x =
Équation de la droite : y = −3x/2 + 1/2.
Pente=−3/2, ordonnée à l’origine =
1/2
c) x = − 53 et x = 0
a)
d) La fonction n’a pas de zéro
b) (x + 2)(x + 3)
√
e) x = 0,x = 1 et x = − 2
c) (3x + 2)2
f) x = 2 et x = −1
3
2
Question 4
a) La fonction n’a pas de zéro
b) x =
4
3
et x =
3
2
c) La fonction n’a pas de zéro
d) x =
1
3
(4x − 3)(x2 + 1)
c) x = 2 et x = 1/2
d) x = 1 et x = −1
d) (4x − 9)(4x + 9)
Question 2
a) y = −5x − 11
14
1
b) y = x −
3
3
c) y = −5x + 3
Question 6
(zéro double)
e) x2 + 25
f) 3x(x − 6)(x + 6)
g) 2x3 (9x2 + 16)
h) (x + 2)(x − 2)(x + 1)(x − 1)
Question 8
a) x + 1
b) x − 1
c) x + 1 reste 2
d) x2 + x + 1
Question 3
Question 5
a) x = −3 et x = −4
2
8
1
f (x) = − x2 + x +
3
3
3
Question 7
e) x reste x − 1
a) x=3/4
f) x3 − 2x + 1
b) aucun zéro
g) x4 + 2x2 + 1 reste 1
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Exercices 1 — algèbre et fonctions
Question 9
4
Question 14
x2 − x+5 n’a pas
a) Non, car le facteur
de zéro : le discriminant b2 − 4ac de
la formule quadratique est négatif,
il n’y a donc pas de zéros.
b) 6x − 10
g)
2
(x+1)2
c) 2x +
h)
1
4x2 +1
1
(2x+1)2
b) Laissé à l’étudiant.
d) 2x3
c) Il n’y en a pas d’autres, d’après la
factorisation.
e) 2x2
1
x+1
i)
Question 21
a) f (x) = 1x , dom( f ) = R \ {0}.
b) ]1, 3[
a) {2, 0}
f) 4x2
a) 6x − 5
Question 17
b) f (x) = 1 − x, dom( f ) = R
c) pas une fonction !
c) [−3, 1]
√ √
d) ] − 2, 2[
d) f (x) = −x, dom( f ) = R
e) ] − ∞, −1[∪]1, ∞[
e) Pas une fonction.
f) {−π, π}
f) f (x) = log2 (x2 ), dom( f ) = R \ {0}.
Question 10
Question 15
g) f (x) = 2x2 − 3x + 8, dom( f ) = R.
a) (x − 2) n’est pas un facteur de P(x)
a) y = −x + 2
h) f (x) = x2 , dom( f ) = R \ {0}
b) Oui
b) f (1) = 13 − 4(1) = −3
i) Pas une fonction.
c) y=-3x-6
j) f (x) =
Question 11
sin(x)−2
,
3
dom( f ) = R.
b) f et g sont des fonctions inverses
Question 16
a) Chacun des termes de x4 + 3x2 + 2
consistent en une puissance paire
de x avec un facteur positif, les
valeurs prises par P(x) sont donc
toujours strictement positives. Elle
n’admet donc pas de zéros.
c) f et g sont des fonctions inverses
a)
f (x)
Question 18
(2, 1)
+
b) Il existe une factorisation :
1)(x2 + 2). On peut la trouver en posant y = x2 et en factorisant y2 +3y+
2.
(x2
c) Chacun des facteurs de ce polynôme est irréductible. P(x) n’a
donc pas de facteur du premier degré, donc le théorème n’est pas
contredit.
a) f (−3) = 9, f (−2) = 2, f (0) = 0,
f (1/2) = −1/2, f (1) = −1, f (2) = 4.
b) dom( f ) = R \ {3/2}
b) dom( f ) = R
d) dom( f ) = R \ {−5/2}
f) dom( f ) = R \ {4}
g) dom( f ) = R \ {2, −1}
h) dom( f ) = [1, ∞[
Question 19
i) dom( f ) = [5/2, ∞[
a) f (−1) = −1/2, f (0) = −1, f (1) n’est
pas défini, f (2) = 1.
k) dom( f ) = [1, ∞[
b) dom( f ) = R \ {1}
m) dom( f ) = R
x
j) dom( f ) = [0, ∞[
a) f (−1) n’est pas défini
b) f (1) = 1
c)
d) f (2) = 3
√
√
(− 3, 2 2)
e) f (3) n’est pas défini
o) dom( f ) = R
p) dom( f ) = R \ {1}
q) dom f = R \ {−1, 1}
Question 20
x
Question 13
h)
p
y2 + 1
b) 1
i)
1
y+h
c) 27
√
d) 2
j) 1
k) (x + h)5/2
e) 2
l) 0
g) (3 +
=
27 + 27h +
9h2 + h3
h)3
l) dom( f ) =]−∞, −1 ] ∪ [1, ∞[
n) dom( f ) = R \ {0}
f (x)
f) f (π) = 1
f) (1 + h)2 = 1 +
2h + h2
c) dom( f ) = R \ {3, −2}
e) dom( f ) = R \ {−4, 4}
f (x)
Question 12
a) 27
Question 23
a) dom( f ) = R
x
b)
−2
c) f (3/2) = 1
Question 22
a) f (g(x)) = 2 2x + 32 − 3 = x et
3
g( f (x)) = 2x−3
2 + 2 = x, donc f et
g sont des fonctions inverses.
a) f (−3) = 3, f (0) = 0, f (2) = 2
o) 1
t) dom( f ) = [−2, 0] ∪ [1, 2]
b) R
d)
f (x)
m) 1/2
n) Non défini
(division par
zéro).
r) dom( f ) =]−∞, −1 [ ∪ ]5, ∞[
s) dom( f ) =]4, ∞[
x
(−1, −1)
c) Non, car pour une valeur y donnée
de l’image il existe généralement 2
valeur x du domaine tels que |x| = y.
√
d) Si x ≥ 0, |x| = x et x2 = x, on a
donc l’égalité.
Si x < 0, alors |x| =
√
−x et x2 = −x.
√ On a donc Dans
tout les cas on x2 = |x|, QED.
p
√
e) |ab|
(ab)2 =
a2 b2 =
√ √=
a2 b2 = |a||b|, QED.
Calcul différentiel – 201-NYA – Automne 2016
Question 24
a) Ne croise pas l’axe des y, x = ±2
√
b) y = 3, x = 3 3
c) y = 2, x = −1 ou 4
d) y = −16, x = −2 ou 2
e) y = 27, x = −3
f) Ne croise pas l’axe des y, x = −1/2