Exercices 1 — algèbre et fonctions Droites Quadratiques Polynômes

Exercices 1 — algèbre et fonctions
Calcul différentiel – Automne 2016 – Yannick Delbecque
Droites
Question 1
Déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite d’équation
3x+2y=1.
Question 2
Donner l’équation de la droite. . .
a) de pente −5 qui passe par le point (−3,4);
b) passant par les points (−2,4) et (1,−5);
c) parallèle à la droite trouvée en a) qui passe par le point
(1,−2).
Quadratiques
Question 3
Trouver les zéros de chacune des fonctions polynomiales ci-
dessous en factorisant.
a) f(x)=x2+7x+12
b) f(x)=9−4x2
c) f(x)=3x2+5x
d) f(x)=−x2−100
Question 4
Utiliser la formule quadratique pour trouver les zéros de chacune
des fonctions suivantes.
a) f(x)=−3x2+2x−6
b) f(x)=6x2−17x+12
c) f(x)=x2+11
d) f(x)=9x2−6x+1
Question 5
Déterminer quelle fonction quadratique de la forme f ( x )= ax2 +
bx +cest illustrée dans le graphe suivant.
x
y
−2 4
3
Polynômes
Question 6
Factoriser complètement les polynômes suivants.
a) 4x3−3x2+4x−3
b) x2+5x+6
c) 9x2+12x+4
d) 16x2−81
e) x2+25
f) 3x3−108x
g) 18x5+32x3
h) x4−5x2+4
Question 7
Trouver les zéros des fonctions polynomiales suivantes.
a) f(x)=4x−3
b) f(x)=2
c) f(x)=2x2−5x+2
d) f(x)=(x−1)(x+1)
e) f(x)=x(x−1)x+√2
f) f(x)=(x−2)(x+1)
x2+3
Question 8
Effectuer les divisions polynomiales suivantes.
a) x2−1
x−1
b) x2−1
x+1
c) x2+1
x−1
d) x3−1
x−1
e) x3−1
x2−1
f) x4−x3−2x2+3x−1
x−1
g) x5+x4+2x3+2x2+x+2
x+1
Question 9
Le polynôme P ( x )= x3− 4 x2 +3 x− 15 peut également s’écrire de
la manière suivante.
P(x)=(x−3)x2−x+5
a) Peut-on le factoriser davantage? Expliquer.
b) Vérifier que x =3 est un zéro de P ( x ) dans les deux formes
données dans la question.
c) Trouver, s’il y en a, d’autres valeurs de x pour lesquelles
P(x)=0.
Question 10
Soit le polynôme P(x)=x4−5x3−8x2−24.
a) Sans effectuer de division, dire si ( x− 2) est un facteur de P ( x ).
b) Est-ce que (x+2) divise P(x)?

Exercices 1 — algèbre et fonctions 2
Question 11
Soit le polynôme P(x)=x4+3x2+2.
a) Ce polynôme a-t-il des zéros?
b) Existe-t-il une factorisation pour de P(x) ?
c) Cela contredit-il le théorème de factorisation? Expliquer.
Fonctions
Question 12
Soit f la fonction ayant le graphe suivant. Évaluer f pour les
valeurs de xdonnées.
x
f(x)
−2123
1
2
3
a) x=−2
b) x=1
c) x=3/2
d) x=2
e) x=3
f) x=π
Question 13
Évaluer. . .
a) f(3) si f(x)=x3
b) f(1) si f(x)=x3/2
c) f(9) si f(x)=x3/2
d) f3
√2si f(x)=x3/2
e) f(2) si f(x)=22/3x1/3
f) f(1 +h) si f(x)=x2
g) f(3 +h) si f(x)=x3
h) f(y) si f(x)=√x2+1
i) f(y+h) si f(x)=1
x
j) f(1) si f(x)=x5/2
k) f(x+h) si f(x)=x5/2
l) f(2) si f(x)=log(x−1)
m) f(0) si f(x)=2(x−1)
n) f(−1) si f(x)=1
x+1
o) f(1) si f(x)=2(x−1)
Question 14
Considérons les fonctions définie par f ( x )=2 x , g ( x )= x2 et
h(x)=1
x+1. Évaluer les expressions suivantes.
a) 3 f(x)−5
b) f(3x−5)
c) f(x)+h(x)
d) f(x)g(x)
e) f(g(x))
f) g(f(x))
g) [ f◦g◦h](x)
h) [h◦g◦f](x)
i) [g◦h◦f](x)
Question 15
Soit la fonction définie par f(x)=x3−4x.
a) Donner l’équation de la droite passant par ( − 1 ,f ( − 1)) et
(2,f(2))
b) Vérifier que le point (1,−3) sont sur le graphe de f
c) Donner l’équation de la droite passant par (1 ,− 3) et (2 ,f (2))
Question 16
Faire une esquisse du graphe des fonctions suivantes.
a) f(x)=(x−2)2+1
b) f(x)=1
x+2−1
c) f(x)=−x+√32+2√2
d) f(x)=√x+1−1
Question 17
Déterminer lesquelles des équations suivantes définissent des fonc-
tions si on considère x comme variable indépendante et y comme
variable dépendante. Si l’équation donnée défini une fonction, don-
ner la règle de correspondance et son domaine de définition.
a) yx =1
b) x+y=1
c) x2+y2=1
d) x3+y3=0
e) 2x=y2
f) 2y=x2
g) 2x2−y+8=3x
h) 1
y=1
x2
i) sin(y)=x
j) sin(x)=3y+2
Question 18
Soit fla fonction définie de la manière suivante.
f(x)=
x2si x<−2
−xsi −2≤x≤1
x2si 1 <x
a) Évaluer f(−3), f(−2), f(0), f(1/2), f(1), f(2).
b) Quel est le domaine de f?
Question 19
Soit fla fonction définie de la manière suivante.
f(x)=
1
x−1si x≤2
xsi 2 <x
a) Évaluer f(−1), f(0), f(1), f(2).
b) Quel est le domaine de f?
Question 20
La fonction valeur absolue est la fonction définie de la manière
suivante.
|x|=
−xsi x<0
xsi 0 ≤x
a) Évaluer |−3|,|0|,|2|.
b) Quel est le domaine de la fonction valeur absolue?
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Exercices 1 — algèbre et fonctions 3
c) Est-ce que la fonction valeur absolue admet une fonction in-
verse?
d) Montrer que |x|=√x2pour tout x∈R.
e) Montrer que |ab| = |a||b| pour tout a,b∈R . (Ind. Utiliser le
résultat précédent).
Question 21
La distance d ( x,y ) entre x et y sur la droite réelle peut être définie
par
d(x,y)=|x−y|.
Utiliser cette idée de distance pour déterminer quelles valeurs de
x∈R satisfont les relations suivantes. (ind. faire une esquisse rapide
peut aider!)
a) |x−1|=1
b) |x−2|<1
c) |x+1| ≤ 2
d) |x|<√2
e) |x|>1
f) |x|=π
Question 22
Déterminer si les fonctions f et g suivantes sont des fonctions
inverses une de l’autre.
a) f(x)=2x−3 et g(x)=x
2+3 2
b) f(x)=3
√x+1 et g(x)=x3−1
c) f(x)=2x+1
3x−2et g(x)=2x+1 3x−2
Question 23
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes.
a) f(x)=x100 +x50 +1
b) f(x)=1
2x−3
c) f(x)=1
(x−3)(x+2)
d) f(x)=3x−1
2x+5
e) f(x)=2
x2−16
f) f(x)=3
(x−4)2
g) f(x)=2x2−3x−5
x2−x−2
h) f(x)=√x−1
i) f(x)=√2x−5
j) f(x)=√x3
k) f(x)=p(x−1)3
l) f(x)=√x2−1
m) f(x)=px2+1
n) f(x)=−x+2
x3−x2+5x
o) f(x)=|x3−1|
p) f(x)=1
|x−1|
q) f(x)=1
|x|−1
r) f(x)=1
√x2−4x−5
s) f(x)=1
log(x−4) −1
t) f(x)=r2x−x2
x2+x−2
Question 24
Déterminer les points de croisement avec les axes des fonctions
suivantes.
a) f(x)=px2−4
b) f(x)=x−3√32/3
c) f(x)=p−x2+3x+4
d) f(x)=x4−16
e) f(x)=x3+27
f) f(x)=1+1
1+1
x
Solutions
Question 1
Équation de la droite : y = − 3 x/ 2+1 / 2.
Pente= − 3 / 2, ordonnée à l’origine =
1/2
Question 2
a) y=−5x−11
b) y=1
3x−14 3
c) y=−5x+3
Question 3
a) x=−3 et x=−4
b) x=−3
2et x=3 2
c) x=−5
3et x=0
d) La fonction n’a pas de zéro
Question 4
a) La fonction n’a pas de zéro
b) x=4
3et x=3 2
c) La fonction n’a pas de zéro
d) x=1
3(zéro double)
Question 5
f(x)=−1
3x2+2 3x+8 3
Question 6
a) (4x−3)(x2+1)
b) (x+2)(x+3)
c) (3x+2)2
d) (4x−9)(4x+9)
e) x2+25
f) 3x(x−6)(x+6)
g) 2x3(9x2+16)
h) (x+2)(x−2)(x+1)(x−1)
Question 7
a) x=3/4
b) aucun zéro
c) x=2 et x=1/2
d) x=1 et x=−1
e) x=0,x=1 et x=−√2
f) x=2 et x=−1
Question 8
a) x+1
b) x−1
c) x+1 reste 2
d) x2+x+1
e) xreste x−1
f) x3−2x+1
g) x4+2x2+1 reste 1
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Exercices 1 — algèbre et fonctions 4
Question 9
a) Non, car le facteur x2−x +5 n’a pas
de zéro : le discriminant b2− 4 ac de
la formule quadratique est négatif,
il n’y a donc pas de zéros.
b) Laissé à l’étudiant.
c) Il n’y en a pas d’autres, d’après la
factorisation.
Question 10
a) (x−2) n’est pas un facteur de P(x)
b) Oui
Question 11
a) Chacun des termes de x4 +3 x2 +2
consistent en une puissance paire
de x avec un facteur positif, les
valeurs prises par P ( x ) sont donc
toujours strictement positives. Elle
n’admet donc pas de zéros.
b) Il existe une factorisation : ( x2 +
1)( x2 +2). On peut la trouver en po-
sant y = x2 et en factorisant y2 +3 y +
2.
c) Chacun des facteurs de ce poly-
nôme est irréductible. P ( x ) n’a
donc pas de facteur du premier de-
gré, donc le théorème n’est pas
contredit.
Question 12
a) f(−1) n’est pas défini
b) f(1) =1
c) f(3/2) =1
d) f(2) =3
e) f(3) n’est pas défini
f) f(π)=1
Question 13
a) 27
b) 1
c) 27
d) √2
e) 2
f) (1 + h )
2
=1+
2h+h2
g) (3 + h )
3
=
27 +27 h +
9h2+h3
h) py2+1
i) 1
y+h
j) 1
k) (x+h)5/2
l) 0
m) 1/2
n) Non défini
(division par
zéro).
o) 1
Question 14
a) 6x−5
b) 6x−10
c) 2x+1
x+1
d) 2x3
e) 2x2
f) 4x2
g) 2
(x+1)2
h) 1
4x2+1
i) 1
(2x+1)2
Question 15
a) y=−x+2
b) f(1) =13−4(1) =−3
c) y=-3x-6
Question 16
a)
x
f(x)
(2,1)
b)
x
f(x)
−2
c)
x
f(x)
(−√3,2√2)
d)
x
f(x)
(−1,−1)
Question 17
a) f(x)=1
x, dom( f)=R\{0}.
b) f(x)=1−x, dom( f)=R
c) pas une fonction!
d) f(x)=−x, dom( f)=R
e) Pas une fonction.
f) f(x)=log2(x2), dom( f)=R\{0}.
g) f(x)=2x2−3x+8, dom( f)=R.
h) f(x)=x2, dom( f)=R\{0}
i) Pas une fonction.
j) f(x)=sin(x)−2
3, dom( f)=R.
Question 18
a) f ( − 3) =9, f ( − 2) =2, f (0) =0,
f (1 / 2) = − 1 / 2, f (1) = − 1, f (2) =4.
b) dom( f)=R
Question 19
a) f ( − 1) = − 1 / 2, f (0) = − 1, f (1) n’est
pas défini, f(2) =1.
b) dom( f)=R\{1}
Question 20
a) f(−3) =3, f(0) =0, f(2) =2
b) R
c) Non, car pour une valeur y donnée
de l’image il existe généralement 2
valeur x du domaine tels que |x| = y .
d) Si x≥ 0, |x| = x et
√x2
= x , on a
donc l’égalité. Si x< 0, alors |x| =
−x et
√x2
= −x . On a donc Dans
tout les cas on √x2=|x|, QED.
e) |ab| =
p(ab)2
=
√a2b2
=
√a2√b2=|a||b|, QED.
Question 21
a) {2,0}
b) ]1,3[
c) [−3,1]
d) ] −√2,√2[
e) ] −∞,−1[∪]1,∞[
f) {−π, π}
Question 22
a) f ( g ( x )) =2
x
2+3 2−
3= x et
g ( f ( x )) =
2x−3
2
+
3
2
= x , donc f et
gsont des fonctions inverses.
b) fet gsont des fonctions inverses
c) fet gsont des fonctions inverses
Question 23
a) dom( f)=R
b) dom( f)=R\{3/2}
c) dom( f)=R\{3,−2}
d) dom( f)=R\{−5/2}
e) dom( f)=R\{−4,4}
f) dom( f)=R\{4}
g) dom( f)=R\{2,−1}
h) dom( f)=[1,∞[
i) dom( f)=[5/2,∞[
j) dom( f)=[0,∞[
k) dom( f)=[1,∞[
l) dom( f)=]−∞,−1 ] ∪[1,∞[
m) dom( f)=R
n) dom( f)=R\{0}
o) dom( f)=R
p) dom( f)=R\{1}
q) dom f=R\{−1,1}
r) dom( f)=]−∞,−1 [ ∪]5,∞[
s) dom( f)=]4,∞[
t) dom( f)=[−2,0] ∪[1,2]
Question 24
a) Ne croise pas l’axe des y,x=±2
b) y=3, x=3√3
c) y=2, x=−1 ou 4
d) y=−16, x=−2 ou 2
e) y=27, x=−3
f) Ne croise pas l’axe des y , x = − 1 / 2
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