Construction de la triangulation de Delaunay de segments par un

Construction de la triangulation de Delaunay de
segments par un algorithme de flip
Mathieu Brévilliers
Laboratoire LMIA
Université de Haute-Alsace
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Triangulation de points
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Triangulation de points
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
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Triangulation de points
Théorème
Pour tout ensemble S de n sites, soit n′ le nombre de sites sur la
frontière de l’enveloppe convexe de S.
Toute triangulation de S admet :
2n − n′ − 2 faces et
3n − n′ − 3 arêtes.
Exemples où n = 8 et n′ = 6 : 8 faces et 15 arêtes
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Triangulation de Delaunay
Triangulation quelconque
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Triangulation de Delaunay
Triangulation quelconque
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Triangulation de Delaunay
Soutenance de thèse
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5 / 42
Triangulation de Delaunay
Triangulation quelconque
Triangulation de Delaunay
Régularité
La triangulation de Delaunay maximise le minimum des
angles des triangles.
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Soutenance de thèse
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Algorithme de flip
Une triangulation quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de S
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Algorithme de flip
Une triangulation quelconque de S
⇓
Modifications locales
⇓
Triangulation de Delaunay de S
1
Comment savoir si la triangulation courante est de Delaunay ?
2
Quelles sont les modifications locales à effectuer ?
3
L’algorithme converge-t-il vers la triangulation de Delaunay ?
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Légalité d’une arête
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Légalité d’une arête
t
u
r
s
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Légalité d’une arête
Arête légale
Arête illégale
t
t
u
r
u
r
s
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s
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Légalité d’une arête
Arête légale
Arête illégale
t
t
u
r
u
r
s
s
Théorème
La triangulation de Delaunay de S est la seule
triangulation de S dont toutes les arêtes sont légales.
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Modifications locales
Arête illégale
t
u
r
s
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Modifications locales
Arête illégale
t
t
u
r
s
s
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u
r
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8 / 42
Modifications locales
Arête illégale
t
t
u
r
s
s
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u
r
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8 / 42
Modifications locales
Arête illégale
Arête légale
t
t
u
r
s
s
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u
r
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Exemple
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Convergence de l’algorithme
Un flip d’arête doit améliorer la triangulation.
Observation du relèvement de la triangulation courante sur un
paraboloïde de dimension trois.
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Convergence de l’algorithme
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
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Triangulation de segments
Définition
Une triangulation de segments T de S est une partition de l’enveloppe
convexe conv(S) de S en sites, faces et arêtes tels que :
1
Chaque face de T est un triangle ouvert dont les sommets sont
sur trois sites de S distincts et dont les côtés ouverts ne coupent
pas S,
2
Aucune face ne peut être ajoutée sans couper une face déjà
existante,
3
Les arêtes de T sont les composantes connexes de
conv(S) \ (F ∪ S), où F est l’union des faces de T .
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Triangulation de segments
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
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Propriétés topologiques
Triangulation de segments
S4
S7
S6
S1
S5
S8
S3
S2
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Propriétés topologiques
Triangulation de segments
S4
S4
S7
S7
S6
S1
Graphe
S5
S1
S5
S8
S8
S3
S6
S3
S2
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
S2
Soutenance de thèse
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15 / 42
Propriétés topologiques
Triangulation de segments
S4
S4
S7
S7
S6
S1
Graphe
S5
S1
S5
S8
S8
S3
S6
S3
S2
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
S2
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
15 / 42
Propriétés topologiques
Triangulation de segments
S4
S4
S7
S7
S6
S1
Graphe
S5
S1
S5
S8
S8
S3
S6
S3
S2
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
S2
Soutenance de thèse
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Propriétés topologiques
Triangulation de segments
S4
S4
S7
S7
S6
S1
Graphe
S5
S1
S5
S8
S8
S3
S6
S3
S2
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
S2
Soutenance de thèse
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Propriétés topologiques
Théorème
Pour tout ensemble S de n sites, soit n′ le nombre de côtés de
l’enveloppe convexe de S qui sont pas des sites.
Toute triangulation de segments de S admet :
2n − n′ − 2 faces et
3n − n′ − 3 arêtes.
Exemples où n = 8 et n′ = 5 : 9 faces et 16 arêtes
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
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Propriétés topologiques
Triangulation de segments
S4
S4
S7
S6
S1
Carte combinatoire
S5
S8
S3
S1
S7
S5
S6
S3
S2
S2
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
S8
Soutenance de thèse
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Propriétés topologiques
Triangulations de segments
S4
S7
S6
S1
Carte combinatoire
S8
S5
S3
S4
S2
S1
S4
S7
S5
S6
S3
S7
S8
S2
S6
S1
S5
S8
S3
S2
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Triangulation de Delaunay de segments
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
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Triangulation de Delaunay de segments
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
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Triangulation de Delaunay de segments
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
20 / 42
Triangulation de Delaunay de segments
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Lien avec le diagramme de Voronoï de segments
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Lien avec le diagramme de Voronoï de segments
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21 / 42
Lien avec le diagramme de Voronoï de segments
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
21 / 42
Lien avec le diagramme de Voronoï de segments
Théorème
La triangulation de Delaunay de segments de S est duale du
diagramme de Voronoï de segments de S.
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9 décembre 2008
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Légalité géométrique d’une arête
Définition
Une arête e est légale si les sites r , s, t et u ne rencontrent pas les
intérieurs des cercles C1 et C2 .
Exemples
r
u
C1
t
e
u
r
C1
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t
C2
C2
e
s
s
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Légalité géométrique d’une arête
Théorème
La triangulation de Delaunay de segments de S est l’unique
triangulation de segments de S dont toutes les arêtes sont
géométriquement légales.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Légalité géométrique d’une arête
Théorème
La triangulation de Delaunay de segments de S est l’unique
triangulation de segments de S dont toutes les arêtes sont
géométriquement légales.
Et si une triangulation a la même topologie que celle de Delaunay ?
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Légalité topologique d’une arête
Les faces d’une triangulation...
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Légalité topologique d’une arête
Les faces d’une triangulation...
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
...et leurs triangles de tangence
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Légalité topologique d’une arête
Exemple 1
e
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Légalité topologique d’une arête
Exemple 1
Arête légale
e
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
25 / 42
Légalité topologique d’une arête
Exemple 1
Arête légale
e
Exemple 2
Arête illégale
e
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
25 / 42
Légalité topologique d’une arête
Remarque : le test des cercles vides n’est pas toujours suffisant.
r
e
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Légalité topologique d’une arête
Remarque : le test des cercles vides n’est pas toujours suffisant.
r
e
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
26 / 42
Légalité topologique d’une arête
Définition
Une arête e est topologiquement légale si les deux conditions
suivantes sont réunies.
Quand on considère les triangles de tangences des faces adjacentes
àe:
1
les cercles circonscrits à ces triangles sont localement vides,
2
le polygone correspondant à la frontière de l’arête e est
correctement orienté.
e
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Légalité topologique d’une arête
Théorème
Une triangulation de segments dont toutes les
arêtes sont légales a la même topologie que la
triangulation de Delaunay de segments.
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Algorithme de flip : difficultés rencontrées
Méthode 1 : Extension directe de l’algorithme de flip classique
Flipper les arêtes qui sont géométriquement illégales.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Algorithme de flip : difficultés rencontrées
Méthode 1 : Extension directe de l’algorithme de flip classique
Flipper les arêtes qui sont géométriquement illégales.
Problème
Si la triangulation courante a la même topologie que la triangulation de
Delaunay de segments, alors l’algorithme effectue des modifications
topologiques.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Algorithme de flip : difficultés rencontrées
Méthode 2 : utiliser la légalité topologique
Flipper les arêtes qui sont topologiquement illégales.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Algorithme de flip : difficultés rencontrées
Méthode 2 : utiliser la légalité topologique
Flipper les arêtes qui sont topologiquement illégales.
Problème
Le polygone associé à une arête topologiquement illégale n’est pas
forcément convexe.
e
t
v
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Algorithme de flip : difficultés rencontrées
Méthode 2 : utiliser la légalité topologique
Flipper les arêtes qui sont topologiquement illégales.
Problème
Le polygone associé à une arête topologiquement illégale n’est pas
forcément convexe.
P
e
t
v
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Triangulations de S-polygones
Un S-polygone
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Triangulations de S-polygones
Une triangulation de segments d’un S-polygone
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Triangulations de S-polygones
Une triangulation de Delaunay de segments d’un S-polygone
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Algorithme de flip
Au départ : une triangulation de segments de S.
L’algorithme traite toutes les arêtes en boucle.
Pour chaque arête, on calcule la triangulation de Delaunay de
segments de son polygone associé.
Exemple d’étape de l’algorithme
e
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
32 / 42
Fonctions localement convexes
Fonction localement convexe
Si U est une région de R2 , une fonction φ : U → R est localement
convexe si la restriction de φ à chaque segment inclus dans U est
convexe.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Fonctions localement convexes
Fonction localement convexe
Si U est une région de R2 , une fonction φ : U → R est localement
convexe si la restriction de φ à chaque segment inclus dans U est
convexe.
On note L(U) l’ensemble des fonctions φ : U → R qui sont localement
convexes sur U.
Enveloppe convexe inférieure d’une fonction
Étant donnée une fonction f : U ∩ S → R, l’enveloppe convexe
inférieure de f sur (U, S) est la fonction fU,S définie sur U par
fU,S (x) = sup{φ(x) : φ ∈ L(U), ∀y ∈ U ∩ S, φ(y) ≤ f (y)}.
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Soutenance de thèse
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33 / 42
Relèvements des triangulations de segments de U
Théorème
Si t est un triangle de Delaunay de U, alors fU,S est affine sur t.
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
34 / 42
Relèvements des triangulations de segments de U
Théorème
Si t est un triangle de Delaunay de U, alors fU,S est affine sur t.
Si t est un triangle
inclus dans U,
dont les sommets sont dans S, et
sur lequel fU,S est affine,
alors t est un triangle de Delaunay de U.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
34 / 42
Relèvements des triangulations de segments de U
Théorème
L’ensemble des triangles
inclus dans U,
dont les sommets sont dans S, et
sur lesquels fU,S est affine
est l’ensemble des faces d’une triangulation de segments de U.
Cette triangulation est dite induite par fU,S .
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Relèvements des triangulations de segments de U
Théorème
Une triangulation de segments de U est de Delaunay si
et seulement si elle est induite par fU,S .
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
34 / 42
Relèvements des triangulations de segments de U
Définition
Soit T une triangulation de segments de U. La fonction fU,S,T : U → R
est définie de la manière suivante :
– fU,S,T (p) = f (p) si p est un point de S,
– fU,S,T (p) = ft,S (p) si p est dans une face t de T ,
– fU,S,T (p) = fe,S (p) si p est dans une arête e de T .
U
t
e
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35 / 42
Relèvements des triangulations de segments de U
Théorème
Si T est la triangulation de Delaunay de segments
de U, alors
fU,S,T = fU,S .
Pour toute triangulation de segments T de U,
fU,S,T ≥ fU,S .
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
35 / 42
Convergence de l’algorithme
On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn
obtenue à une étape n de l’algorithme de flip.
Théorème
La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand
n tend vers +∞.
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
36 / 42
Convergence de l’algorithme
On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn
obtenue à une étape n de l’algorithme de flip.
Théorème
La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand
n tend vers +∞.
Preuve :
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
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9 décembre 2008
36 / 42
Convergence de l’algorithme
On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn
obtenue à une étape n de l’algorithme de flip.
Théorème
La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand
n tend vers +∞.
Preuve :
1
Montrer que la suite (fn )n∈N est décroissante,
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
36 / 42
Convergence de l’algorithme
On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn
obtenue à une étape n de l’algorithme de flip.
Théorème
La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand
n tend vers +∞.
Preuve :
1
2
Montrer que la suite (fn )n∈N est décroissante,
Montrer que la fonction g vers laquelle (fn )n∈N converge est
localement convexe.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
36 / 42
Convergence de l’algorithme
On note fn la fonction fconv (S),S,Tn correspondant à la triangulation Tn
obtenue à une étape n de l’algorithme de flip.
Théorème
La suite de fonctions (fn )n∈N décroît vers fconv (S),S quand
n tend vers +∞.
Preuve :
1
2
Montrer que la suite (fn )n∈N est décroissante,
Montrer que la fonction g vers laquelle (fn )n∈N converge est
localement convexe.
Proposition
L’angle minimal de la triangulation courante Tn est
supérieur ou égal à une valeur qui ne dépend que de la
triangulation de segments initiale T0 .
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Soutenance de thèse
9 décembre 2008
36 / 42
Convergence de l’algorithme
Corollaire
Il existe un entier N tel que, quel que soit n ≥ N, la
triangulation Tn a la même topologie que la triangulation
de Delaunay de segments de S.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
37 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
s
v
t
u
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9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
38 / 42
Exemple
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Remarques sur le comportement de l’algorithme
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
39 / 42
Remarques sur le comportement de l’algorithme
L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales,
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
39 / 42
Remarques sur le comportement de l’algorithme
L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales,
une arête peut être traitée plusieurs fois,
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
39 / 42
Remarques sur le comportement de l’algorithme
L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales,
une arête peut être traitée plusieurs fois,
une arête topologiquement illégale n’est pas forcément
immédiatement flippable,
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Remarques sur le comportement de l’algorithme
L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales,
une arête peut être traitée plusieurs fois,
une arête topologiquement illégale n’est pas forcément
immédiatement flippable,
une arête topologiquement légale peut être flippée, devenir
illégale, et être à nouveau flippée plus tard pour redevenir légale.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Remarques sur le comportement de l’algorithme
L’algorithme traite même les arêtes topologiquement légales,
une arête peut être traitée plusieurs fois,
une arête topologiquement illégale n’est pas forcément
immédiatement flippable,
une arête topologiquement légale peut être flippée, devenir
illégale, et être à nouveau flippée plus tard pour redevenir légale.
La complexité de cet algorithme de flip est donc difficile à évaluer.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Résultats expérimentaux
Nombres d'étapes en fonction du nombre de sites de S
1 600 000
1 400 000
Nombre d'étapes
1 200 000
1 000 000
800 000
600 000
400 000
200 000
2
0
00
4
4
00
4
6
00
4
8
00
10 4
00
12 4
00
14 4
00
16 4
00
18 4
00
20 4
00
22 4
00
24 4
00
26 4
00
28 4
00
30 4
00
32 4
00
34 4
00
36 4
00
38 4
00
40 4
00
4
0
Nombre de sites
Nombre d'étapes "utiles"
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Nombre total d'étapes
Soutenance de thèse
Nombre de flips
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Résultats expérimentaux
Nombre d'arêtes illégales en fonction du nombre d'étapes effectuées
30 000
Nombre d'arêtes illégales
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
10
00
80 0
0
15 00
0
0
22 00
0
00
29 0
0
0
36 00
0
0
43 00
0
0
50 00
0
0
57 00
0
0
64 00
0
0
71 00
0
00
78 0
0
0
85 00
0
0
92 00
0
0
99 00
0
1
0
06 00
0
1
0
13 00
0
1
0
20 00
0
1
00
27 0
0
1
0
34 00
0
1
00
41 0
0
00
0
0
Nombre d'étapes
Nombre d'arêtes illégales
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Conclusion
Nouvelle généralisation de la notion de triangulation d’un
ensemble de segments,
Extension de la légalité des arêtes pour caractériser la
triangulation de Delaunay de segments,
Algorithme de flip pour construire la triangulation de Delaunay de
segments.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Conclusion
Nouvelle généralisation de la notion de triangulation d’un
ensemble de segments,
Extension de la légalité des arêtes pour caractériser la
triangulation de Delaunay de segments,
Algorithme de flip pour construire la triangulation de Delaunay de
segments.
Perspectives :
Amélioration de l’algorithme de flip,
Optimalité de la triangulation de Delaunay de segments,
Sites plus généraux,
Généralisation en 3D.
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
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Exemple avec 5 000 sites
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
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Exemple avec 5 000 sites
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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Exemple avec 5 000 sites
Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA)
Soutenance de thèse
9 décembre 2008
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