DESCRIPTIFS DES COURS 2010-2011 Topologie algébrique

Filières concernées Nombre d'heures Validation Crédits
ECTS
Bachelor en sciences - mathématiques Cours: 2 ph
Exercice: 2 ph oral: 30 min 6
Bachelor en sciences - pluridisciplinaire en sciences et sport
(mathématiques) Cours: 2 ph Exercice: 2 ph oral: 30 min 6
Master en sciences - mathématiques Cours: 2 ph
Exercice: 2 ph oral: 30 min 6
Pilier principal B A - mathématiques Cours: 2 ph
Exercice: 2 ph oral: 30 min 6
ph=période hebdomadaire, pg=période globale, j=jour, h=heure, min=minute
Période d'enseignement:
• Semestre Printemps
Equipe enseignante:
Professeur: Bruno Colbois
Assistant: Asma Hassannezhad
Objectifs:
A la fin du cours, l'étudiant aura vu de manière détaillée un invariant algébrique extrêmement important, le groupe fondamental.
Un objectif essentiel sera d'être capable de calculer le groupes fondamental sur des exemples. Pour cela, on présentera en détail le théorème
de Van Kampen.
Cela sera l'occasion d'introduire de manière naturelle les groupes donnés par générateurs et relations, qui jouent un rôle très important en
mathématiques.
Enfin, la dernière partie du cours sera consacrée aux revêtements: l'objctif est d'une part de comprendre cette technique permettant de
construire de nombreux exemples, d'autre part de faire le lien entre le groupe fondamental et des constructions plus géométriques.
Contenu:
La topologie algébrique consiste à décrire certain espaces topologiques, par exemple des surfaces, en leur associant des invariants de nature
algébrique. Cela peut être un groupe (le groupe fondamental), un espace vectoriel ou une algèbre (cohomologie de De Rham). En général, la
première partie du cours consiste à construire l'invariant algébrique associé à l'espace topologique. Dans un deuxième temps, on développe
des méthodes algébriques pour calculer ces invariants dans des situations assez compliquées (théorème de Van Kampen, suite de
Mayer-Vietoris). Enfin, on applique ce qui a été fait à la construction et à la compréhension d'exemples. Une question parmi d'autre est :
comment montrer qu'une sphère http://www.mathcurve.com/surfaces/sphere/sphere.shtml ne peut pas se déformer en un tore
http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/toretopologic.shtml ; ou encore, comment montrer qu'un tore à n anses
http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tn.shtml ne peut pas se déformer en un tore à m anses si m est différent de n.
Selon les années, on abordera l'un ou l'autre de ces sujets. Sans que cela soit gravé dans le marbre, on traite en général alternativement ce qui
tourne autour du groupe fondamental et des revêtements et ce qui tourne autour de la cohomologie de De Rham.
Mots clés pour le cours de cette année autour du groupe fondamental: Groupe fondamental, théorème de Van Kampen, groupes donnés par
générateurs et relations, revêtements et leur classification.
Table des matières.
1 Groupe fondamental
1.1 Homotopie
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Topologie algébrique: Groupe fondamental et revêtements (3MT2025)

1.2 Définition du groupe fondamental
1.3 Calcul du groupe fondamental
2 Théorème de Van Kampen
2.1 Introduction
2.2 Digression sur les groupes .
2.3 Le théorème de Van-Kampen et ses applications .
3 Revêtements
3.1 Définition et propriétés des revêtements
3.2 Homomorphismes et automorphismes de revtements
3.3 Action du groupe fondamental de la base sur l'espace total
Forme de l'évaluation:
Examen oral de 30 minutes portant sur le cours et les exercices.
Documentation:
Le cours est mis en ligne après chaque séance sur claroline dans la rubrique "document".
Références bibliographiques
C. Godbillon, Topologie algébrique, Hermann
A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002. Le cours traitera les ch. 0 et 1 de ce livre qui peuvent être téléchargés à
l'adresse
http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
J.R. Munkres, Topology (second edition), Prentice-Hall, 2000.
Pré-requis:
Cours de topologie de la deuxième année du bachelor de mathématiques
Forme de l'enseignement:
Cours de 4 périodes hebdomadaires au semestre de printemps 2010 (6 ECTS) 2h. de cours et 2h. d'exercices.
Les séries d'exercices sont distribuées aux étudiants à l'avance. Elles sont dans tous les cas mises en ligne sous "documents". Une série est
susceptible de durer plusieurs semaines.
Les étudiants préparent la série d'exercice avant la séance d'exercices: La séance d'exercices est consacrée avant tout à poser des questions
à l'assistant sur les exercices préparés.
Après la séance d'exercices, les étudiants rédigent la série d'exercices et la rendent à l'assistant qui la corrige et la rend dans les meilleurs
délais.
Aide aux étudiants: en cas de difficulté dans la préparation ou dans la rédaction d'une série d'exercices, les étudiants sont vivement invités à
consulter l'assistant. Les étudiants sont également invités à consulter les ouvrages donnés en référence.
Compléments: une partie des séances d'exercices sont susceptibles d'être consacrées à des compléments au cours.
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Topologie algébrique: Groupe fondamental et revêtements (3MT2025)

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