Feuille de Travaux Dirigés n 1 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 1
Mimats
Semestre 10
Exercice 1 Soit G un graphe acyclique (et donc nécessairement simple). Montrer que G possède au plus
n − 1 arêtes.
Exercice 2 Montrer qu’un graphe est biparti si et seulement si il ne contient pas de chaîne fermée de
longueur impair.
Exercice 3
1. Montrer qu’un graphe G est fortement connexe si et seulement si G est connexe et tout arc est dans
un circuit.
2. Le résultat est-il encore vrai si on remplace la condition par : G est connexe et tout sommet est dans
un circuit ?
3. Est-il vrai que si dans un graphe G on a x → y et y → x alors il existe un circuit élémentaire passant
par x et y ?
Exercice 4 Soit G = (V, E) un graphe orienté avec V = {1, 2, . . . , n}. On considère la matrice A = (ai,j )
définie par
(
1 si i → j
ai,j =
0 sinon
On considère l’algorithme suivant
pour i = 1 à n faire
ai,i = 1
pour j = 1 à n faire
pour k = 1 à n faire
aj,k = max{aj,k , aj,i ai,k }
fin
fin
fin
1. Appliquer l’algorithme au graphe suivant
2. Vérifier que, après avoir appliquer l’algorithme, on a ai,j = 1 si et seulement si i → j.
3. Comment trouver les composantes fortement connexes avec cet algorithme.
Exercice 5 Soit G = (V, E) un graphe simple. Le sommet v est appelé point d’articulation de G, si
G\{v} contient plus de composantes connexes que G.
1. Trouver les points d’articulation du graphe suivant.
2. Montrer que le graphe Kn n’a pas de point d’articulation.
On supposera le graphe G connexe. Un sous-ensemble V 0 de V est appelé ensemble d’articulation si le
graphe G privé de V 0 et de toutes les arêtes incidentes à V 0 n’est plus connexe.
1
3. Montrer que {b, c, e} est un ensemble d’articulation du graphe suivant
4. Montrer que tout graphe connexe non complet possède un ensemble d’articulation.
Soit G un graphe. On définit κ(G) comme étant le nombre minimal de sommet que l’on doit enlever à G
pour obtenir soit un graphe non connexe soit un graphe à un seul sommet.
5. Montrer que κ(G) = n − 1 si et seulement si G = Kn .
6. Si κ(G) = 0, que peut-on dire sur G ?
De la même manière, une arête est appelée arête d’articulation si le graphe obtenue en enlevant cette arrête
n’est plus connexe. Un ensemble de coupure est un sous-ensemble E 0 de E tel que le graphe G0 = (V, E 0 )
n’est pas connexe. On définit alors λ(G) comme étant le nombre minimal d’arêtes à enlever pour obtenir
soit un graphe non connexe soit un graphe à un seul sommet.
7. Calculer λ(G) pour les graphes suivants :
8. On suppose que G a n sommets et que G est simple. Montrer que λ(G) = n − 1 si et seulement
G = Kn .
9. Montrer que κ(G) ≤ λ(G).
10. Montrer que κ(G) ≤ λ(G) ≤ minv∈V deg(v).
Exercice 6 Le but de cet exercice est de prouver le Théorème suivant :
Théorème de Ore. Tout graphe simple G = (V, E) ayant n ≥ 3 sommets et tel que le deg(u)+deg(v) ≥ n
pour toute paire de sommets non adjacents possède un cycle hamiltonien.
1. Montrer que si G ne possède pas de cycle hamiltonien alors il existe un graphe H avec les mêmes
sommets que G tel que si on ajoute une arête à H alors H a un cycle hamiltonien.
2. Montrer que H possède un chaîne hamiltonienne.
3. Soient v1 , . . . , vn les sommets de la chaîne hamiltonienne ci-dessus. Montrer qu’il existe 1 < i < n tel
que (v1 , vi ) ∈ E et (vi−1 , vn ) ∈ E.
4. En déduire que H possède un cycle hamiltonien dans G. Conclure.
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