Feuille de Travaux Dirigés n 1 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦1
Mimats Semestre 10
Exercice 1 Soit Gun graphe acyclique (et donc nécessairement simple). Montrer que Gpossède au plus
n−1arêtes.
Exercice 2 Montrer qu’un graphe est biparti si et seulement si il ne contient pas de chaîne fermée de
longueur impair.
Exercice 3
1. Montrer qu’un graphe Gest fortement connexe si et seulement si Gest connexe et tout arc est dans
un circuit.
2. Le résultat est-il encore vrai si on remplace la condition par : Gest connexe et tout sommet est dans
un circuit ?
3. Est-il vrai que si dans un graphe Gon a x→yet y→xalors il existe un circuit élémentaire passant
par xet y?
Exercice 4 Soit G= (V, E)un graphe orienté avec V={1,2, . . . , n}. On considère la matrice A= (ai,j )
définie par
ai,j =(1si i→j
0sinon
On considère l’algorithme suivant
pour i= 1 ànfaire
ai,i = 1
pour j= 1 ànfaire
pour k= 1 ànfaire
aj,k = max{aj,k, aj,iai,k }
fin
fin
fin
1. Appliquer l’algorithme au graphe suivant
2. Vérifier que, après avoir appliquer l’algorithme, on a ai,j = 1 si et seulement si i→j.
3. Comment trouver les composantes fortement connexes avec cet algorithme.
Exercice 5 Soit G= (V, E)un graphe simple. Le sommet vest appelé point d’articulation de G, si
G\{v}contient plus de composantes connexes que G.
1. Trouver les points d’articulation du graphe suivant.
2. Montrer que le graphe Knn’a pas de point d’articulation.
On supposera le graphe Gconnexe. Un sous-ensemble V0de Vest appelé ensemble d’articulation si le
graphe Gprivé de V0et de toutes les arêtes incidentes à V0n’est plus connexe.
1

3. Montrer que {b, c, e}est un ensemble d’articulation du graphe suivant
4. Montrer que tout graphe connexe non complet possède un ensemble d’articulation.
Soit Gun graphe. On définit κ(G)comme étant le nombre minimal de sommet que l’on doit enlever à G
pour obtenir soit un graphe non connexe soit un graphe à un seul sommet.
5. Montrer que κ(G) = n−1si et seulement si G=Kn.
6. Si κ(G) = 0, que peut-on dire sur G?
De la même manière, une arête est appelée arête d’articulation si le graphe obtenue en enlevant cette arrête
n’est plus connexe. Un ensemble de coupure est un sous-ensemble E0de Etel que le graphe G0= (V, E0)
n’est pas connexe. On définit alors λ(G)comme étant le nombre minimal d’arêtes à enlever pour obtenir
soit un graphe non connexe soit un graphe à un seul sommet.
7. Calculer λ(G)pour les graphes suivants :
8. On suppose que Gansommets et que Gest simple. Montrer que λ(G) = n−1si et seulement
G=Kn.
9. Montrer que κ(G)≤λ(G).
10. Montrer que κ(G)≤λ(G)≤minv∈Vdeg(v).
Exercice 6 Le but de cet exercice est de prouver le Théorème suivant :
Théorème de Ore. Tout graphe simple G= (V, E)ayant n≥3sommets et tel que le deg(u)+deg(v)≥n
pour toute paire de sommets non adjacents possède un cycle hamiltonien.
1. Montrer que si Gne possède pas de cycle hamiltonien alors il existe un graphe Havec les mêmes
sommets que Gtel que si on ajoute une arête à Halors Ha un cycle hamiltonien.
2. Montrer que Hpossède un chaîne hamiltonienne.
3. Soient v1, . . . , vnles sommets de la chaîne hamiltonienne ci-dessus. Montrer qu’il existe 1< i < n tel
que (v1, vi)∈Eet (vi−1, vn)∈E.
4. En déduire que Hpossède un cycle hamiltonien dans G. Conclure.
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