Projet 6

Modélisation de l’expérience de Millikan Dans ce projet, on se propose de modéliser l’expérience de Millikan. Cette expérience, réalisée par Millikan et Fletcher en 1909 et qui leur valut le prix Nobel de physique en 1923, permis la première mesure de la charge élémentaire de l’électron. Un peu d’histoire : Le début du 20ème siècle marque le début de l’ère quantique : l’énergie est quantifiée par Max Planck en 1900 ; la lumière le fut par Albert Einstein en 1905. Qu’en est-­‐il de la charge électrique ? Pendant les années 1870, les physiciens allemands Julius Plücker et Johann Wilhelm Hittorf étudient la conductivité électrique des gaz dans des ampoules de verre scellées munies d'une cathode et d'une anode qui permettent de soumettre le gaz à un courant électrique. Ils observent l'émission, par la cathode, de faisceaux de particules chargées si l'ampoule contient un gaz à basse pression. Les rayons de ce faisceau sont appelés rayons cathodiques. Dans le même temps, le physicien anglais William Crookes met au point le premier tube à rayons cathodiques avec un vide poussé à l'intérieur, nommé par la suite tube de Crookes. Il montre que les rayons lumineux apparaissant dans le tube transmettent de l'énergie, et se déplacent de la cathode vers l'anode. De plus, en appliquant un champ magnétique, il est capable de défléchir les rayons cathodiques, montrant ainsi que le faisceau se comporte comme s'il était chargé. En 1879, il propose d'expliquer ces propriétés par ce qu'il appelle "matière radiante". Il estime qu'il s'agit d'un quatrième état de la matière, consistant en molécules chargées négativement, projetées à grande vitesse de la cathode. Le physicien britannique Arthur Schuster poursuit les expériences de Crookes en disposant des plaques métalliques parallèlement aux rayons cathodiques, par lesquelles il peut appliquer différents potentiels électriques. Il observe que le champ électrique défléchit les rayons vers la plaque chargée positivement, ce qui renforce la preuve que les rayons portent une charge négative. En mesurant la déflexion selon la différence de potentiel, il est capable, en 1890, de mesurer le rapport masse sur charge 𝑚 /𝑒 des composants des rayons. En 1896-­‐1897, le physicien britannique Joseph John Thomson réalise des expériences indiquant que les rayons cathodiques sont effectivement des particules individualisées, plutôt que des ondes ou des molécules comme les physiciens le croient à l'époque : l’électron est né. Thomson fait de bonnes estimations à la fois de la charge 𝑒 et de la masse 𝑚 de l’électron. Historiquement, l'électron est la première particule élémentaire qui fut découverte. 1. Description de l’expérience de Millikan Lorsque Millikan entreprit ses travaux en 1909, l’existence de l’électron était bien établie, le rapport 𝑒/𝑚 correctement mesuré et la valeur probable de la charge électrique élémentaire évaluée. Restait à la mesurer directement… 2 Projet Python 6 : Modélisation de l’expérience de Millikan • Principe de l’expérience de Millikan Le principe de l’expérience de Millikan consiste à étudier le comportement d’un brouillard de gouttelettes d’huile dans un champ électrique. Chaque gouttelette du brouillard est soumise à son poids, qui entraîne sa chute. Cette chute ayant lieu dans un champ électrique, la gouttelette est également soumise à la force de Lorentz. Un champ électrique adéquat peut donc permettre de créer une force sur la gouttelette qui soit suffisante pour compenser son poids et stopper la chute. En mesurant le rayon de la gouttelette, il est facile de calculer sa masse. La force de Lorentz est quant à elle proportionnelle au champ électrique. Le facteur de proportionnalité est la charge électrique 𝑞 portée par la goutte, qui est un multiple entier de la charge élémentaire 𝑒 . • Présentation du dispositif expérimental Le dispositif expérimental de l’expérience historique de Millikan est composé de : -­‐ une cuve, qui permet d’isoler thermiquement la chambre expérimentale -­‐ une source ionisante, tube qui émet des rayons X, dont le rôle est de charger électriquement les gouttelettes par ionisation -­‐ un condensateur, composé de deux plaques (percées en leur centre pour laisser le passage aux gouttelettes), qui permettent d’appliquer une différence de potentiel, donc un champ électrique uniforme 𝐸! -­‐ une lunette d’observation -­‐ un vaporisateur, qui pulvérise les gouttelettes d’huile au-­‐dessus du condensateur. 2. Modélisation de l’expérience Dans notre modélisation, nous ferons les simplifications suivantes : -­‐ nous négligerons les courants de convection pouvant apparaître dans la chambre -­‐ nous supposerons que la charge électrique des gouttelettes est constante pendant la durée de l’expérience, c’est-­‐à-­‐dire que nous négligerons les interactions des gouttelettes entre elles ou avec les éventuelles molécules présentes dans la chambre -­‐ nous supposerons les gouttelettes parfaitement sphériques et de taille identique -­‐ nous supposerons que les gouttelettes sont soumises à une force de frottement fluide : 𝐹 = 6𝜋𝜂𝑟𝑣 -­‐ nous supposerons le champ électrique uniforme (de valeur 𝐸! ) dans la chambre, ce qui suppose que la mesure de la vitesse des gouttelettes n’est pas effectuée près des plaques du condensateur -­‐ le référentiel du laboratoire pourra être supposé galiléen pendant la durée de l’expérience Projet Python 6 : Modélisation de l’expérience de Millikan 3 1) Effectuer un bilan des forces s’exerçant sur une gouttelette et les représenter sur un schéma. 2) En déduire que l’équation différentielle régissant l’évolution de la vitesse selon l’axe 𝑂𝑧 vertical descendant s’écrit : 𝑑𝑣!
4
+ 6𝜋𝜂𝑟𝑣! = 𝜋𝑟 ! 𝑔 𝜌!!"#$ − 𝜌!"# − 𝑞𝐸! 𝑑𝑡
3
3) En déduire qu’au cours de sa chute, la gouttelette admet une vitesse limite. 𝑚
4) Déterminer la durée caractéristique que met la gouttelette pour atteindre cette vitesse limite. 5) Déterminer l’expression de la vitesse limite 𝑣! atteinte par la gouttelette dans le cas où le champ électrique est dans le même sens que le champ de pesanteur. 6) Déterminer l’expression de la vitesse limite 𝑣! atteinte par la gouttelette dans le cas où le champ électrique est de sens opposé au le champ de pesanteur. 7) En déduire que la charge électrique 𝑞 d’une gouttelette d’huile vaut : 𝑞=
9𝜋
𝜂 ! 𝑣! − 𝑣!
× 𝑣! + 𝑣! 2𝐸! 𝑔 𝜌!!"#$ − 𝜌!"#
3. Simulation numérique On souhaite ici modéliser numériquement l’expérience de Millikan. Pour les modélisations, on prendra les valeurs suivantes : • 𝜂 = 1,81. 10!! Pa. s • 𝜌!!"#$ = 875,3 kg. m!! • 𝜌!"# = 1,29 kg. m!! • 𝑟 = 1 µμm • 𝑞 = 1,6. 10!!" C • 𝑔 = 9,81 m. s !! • 𝑣! = 0 m. s !! • 𝐸! = 40 000 V. m!! 8) Importer les modules scientifiques nécessaires pour le problème. 9) Déclarer et affecter les variables nécessaires pour le problème. 10) Définir un vecteur (noté t) contenant 500 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑡! = 0 s et 𝑡!"# = 0,001 s. • Modélisation numérique de l’expérience de Millikan 11) Définir une fonction (notée Millikan_Bas) définissant l’équation différentielle régissant l’évolution de la vitesse de la gouttelette le long de l’axe vertical lorsque le champ électrique est orienté dans le même sens que le champ de pesanteur. 12) Définir une fonction (notée Millikan_Haut) définissant l’équation différentielle régissant l’évolution de la vitesse de la gouttelette le long de l’axe vertical lorsque le champ électrique est orienté dans le même inverse du champ de pesanteur. 13) Résoudre numériquement les deux équations différentielles précédentes. On notera Solution_Bas et Solution_Haut les solutions correspondantes. 4 Projet Python 6 : Modélisation de l’expérience de Millikan 14) Tracer sur deux figures distinctes l’évolution temporelle de la vitesse de la gouttelette pour les deux solutions trouvées. 15) Déterminer la vitesse limite 𝑣! atteinte par la gouttelette dans le cas où le champ électrique est dans le même sens que le champ de pesanteur et la vitesse limite 𝑣! atteinte par la gouttelette dans le cas où le champ électrique est de sens opposé au le champ de pesanteur. Montrer que l’on retrouve alors bien la valeur de la charge élémentaire de l’électron. • Comparaison entre résolution analytique et résolution numérique L’équation différentielle étudiée posséde une solution analytique simple. Il est donc intéressant de comparer la solution numérique avec la solution analytique. 16) Définir un vecteur (noté Solution_Analytique) contenant la solution analytique dans le cas où le vecteur champ électrique est orienté dans le même sens que le champ de pesanteur. 17) Sur la figure représentant l’évolution temporelle de Solution_Bas, ajouter le tracé di vecteur Solution_Analytique. Que peut-­‐on en conclure ? • Lévitation des gouttelettes d’huile 18) Déterminer numériquement la valeur du champ électrique permettant de stopper la chute de la gouttelette. Commenter la valeur trouvée.