10 Les arbres

Licence Maths-Info-SPI, informatique pour les scientifiques : cours 6
responsable de l’UE : Jean Lieber, année scolaire 2010-2011
10 Les arbres
10.1 Notions théoriques et terminologie des arbres
Arbres binaires, arbres quelconques (et forêts), recherche dans un espace d’états.
Notions de racine, arbre-fils, nœud (ou sommet), feuille, branche, profondeur, rang.
Définition récursive d’un arbre : donnée d’une racine et d’une liste d’arbres.
10.2 Arbres binaires
Un arbre binaire est un arbre tel que tous ses nœuds ont au plus 2fils.
Type abstrait :
Nom :
Types abstraits importés : , .
Constructeurs :
:−→
:× × −→
:−→
Accès :
:−→
:−→
:−→
:−→
Jeu d’axiomes :
[Ax-1] ( ) =
[Ax-2] ( (r, G, D)) =
[Ax-3] ( ) =
[Ax-4] ( (r, G, D)) = r
[Ax-5] ( ) =
[Ax-6] ( (r, G, D)) = G
[Ax-7] ( ) =
[Ax-8] ( (r, G, D)) = D
Parcours :
– En profondeur :
– préfixé, i.e., selon l’ordre : racine, fils gauche, fils droit.
– infixé, i.e., selon l’ordre : fils gauche, racine, fils droit.
– postfixé, i.e., selon l’ordre : fils gauche, fils droit, racine.
Exemple du parcours préfixé :
– En largeur :
1

Application à la gestion d’un ensemble de mots. « Arbres binaires de recherche ». On dispose d’une liste de mots L, par exemple,
L= ( )
On va construire un arbre binaire qui respecte les règles suivantes :
– L’ensemble des nœuds de cet arbre est l’ensemble des mots de L;
– Pour tout sous-arbre Ade cet arbre, si G= (A)et D= (A), alors l’ensemble des mots de G(resp., de
D) précèdent (A)(resp., suivent (A)).
Par exemple, on obtiendra avec la liste Lci-dessus :
abricot
asticot chameau
#
#@ @
banane
!
!
!
!@ @
arbre
chèvre
dindon ours
@ @
lapin
"
"
"@ @
chien
P
P
P
P
P
P
chat
Permet une structure de dictionnaire plus souple que celle de tableau trié (comparer le temps de calcul pour l’insertion d’un élément
dans l’arbre).
Exercice 1 Pour chacune des opérations suivantes, on demande de suivre la démarche algorithmique : (1) définir le profil, (2) traiter
un ou plusieurs exemples, (3) définir des axiomes, (4) traduire ces axiomes en un algorithme récursif :
Q1 (A)est le nombre de nœuds de l’arbre binaire A.
Q2 (A)est le nombre de feuilles de A(c’est-à-dire, le nombre de nœuds sans fils).
Q3 (A)est la profondeur de l’arbre binaire A, c’est-à-dire le nombre maximum de liens de filiations pour relier la racine
à un nœud-feuille (c’est aussi le nombre de générations −1).
Q4 (A1, A2)vaut si et seulement si A1et A2sont deux arbres égaux.
Q5 (A)est un arbre créé de façon à être égal à A.
Q6 (A)est l’arbre obtenu en inversant les fils dans tout l’arbre A.
Q7 (A1, A2)vaut si et seulement si les arbres A1et A2sont égaux modulo des permutations entre fils gauches et fils
droits.
Q8 (A, G)est l’arbre obtenu en substituant au fils gauche de Al’arbre G.
Q9 (A, D)est l’arbre obtenu en substituant au fils droit de Al’arbre D.
Exercice 2 On veut définir des opérations pour la gestion d’un ensemble de mots utilisant des arbres binaires sous la forme d’un type
de nom qui est le type des arbres binaires dont les éléments sont des chaînes de caractères. Les opérations ont les profils
suivants :
:−→ () retourne ∅
:× −→ (x, E)retourne E∪ {x}
:−→ (E)retourne ssi Eest l’ensemble vide
:−→ (E)retourne un élément (quelconque) de E
:× −→ (x, E)retourne E\{x}
Donner une implantation de ces opérations sous la forme d’algorithmes sur les arbres. Si et sont deux chaînes, on notera
6si précède lexicographiquement et =si elles sont égales. Ainsi, 6et =.
Étudier la complexité de ces opérations en fonction de n(le nombre d’éléments de l’arbre) et de p(sa profondeur).
Exercice 3 Les arbres peuvent se représenter de façon similaire aux listes chaînées, mais avec un double chaînage (à gauche et à
droite). Autrement dit, un arbre non vide correspond à un enregistrement à trois champs : un pour la racine, un pour le fils gauche et un
pour le fils droit.
Donner une implantation C du type des arbres de chaînes de caractères.
10.3 Arbres quelconques et forêts
Arbres ternaires : similaires aux arbres binaires (fils numéros 1,2et 3).
Arbres quelconques : on n’a pas de majorant a priori du nombre de fils par nœud.
Structure doublement chaînée : racine, « fils aîné », « frère suivant ».
En fait, structure de forêt. Type abstrait équivalent à celui d’arbre binaire (avec renommages : à la place de ,
à la place de ).
Mais pour les opérations non primitives, pas nécessairement les mêmes axiomes : pour , c’est pareil ; pour et
, c’est différent.
2

Exercice 4 Reprendre l’exercice 1 avec des forêts à la place des arbres binaires.
10.4 Recherche dans un espace d’états
Certains « problèmes de recherche » peuvent être modélisés par :
– Une notion d’état.
– Une fonction qui à un état eassocie un ensemble d’états (les successeurs de e).
– Un problème particulier de ce domaine est un couple (e , b)où eest un état (l’état initial) et où best un but (best une fonction
qui a un état eassocie si eréalise le but b).
– Une solution d’un problème (e , b)est une liste (e0e1. . . eq−1eq), où :
–e0=e;
–b(eq) = (eqréalise le but b) ;
– Pour tout i∈ {0,1,...q−1}, on peut aller de eiàei+1 :ei+1 ∈(ei).
Étant donné un problème de recherche, l’arbre de recherche associé est un arbre qui peut être infini, dont les éléments sont des états,
dont la racine est l’état initial et tel que, pour chaque état ede l’arbre, les fils de esont les états qu’on peut atteindre à partir de e. La
recherche dans un tel arbre s’arrête quand on trouve un état qui vérifie le but du problème à résoudre.
Si cet arbre est fini, on peut effectuer une recherche en profondeur ou en largeur (avec une préférence pour la recherche en profondeur
qui a l’avantage d’être plus facile à programmer). La recherche en profondeur s’appelle parfois recherche avec « retours arrière » ou
backtracking, en anglais. En revanche, si l’arbre est infini, il est préférable d’utiliser une recherche en largeur.
La complexité de la recherche dans un espace d’états dépend d’une part du facteur de branchement b(à savoir le nombre moyen de
successeurs par état) et de la longueur nde la solution la plus courte. Par exemple, pour une recherche en largeur, on générera environ
bnétats.
Enfin, notons qu’il n’est pas nécessaire de représenter informatiquement l’arbre pour effectuer une telle recherche.
Exercice 5 Pour chacune des questions ci-dessous, on demande :
– De modéliser ce problème comme un problème de recherche dans un espace d’états (définir ce qu’est un état, un état initial, un but,
les successeurs d’un état, une solution) ;
– De caractériser l’arbre de recherche pour un tel problème (l’arbre est-il fini ? que peut-on dire sur le facteur de branchement ? quel
est le rang dans cet arbre d’un état réalisant le but ?) ;
– Quel type de recherche est plus appropriée (en largeur, en profondeur, etc.) et pourquoi ;
– comment représenter de façon efficace un état et les successeurs d’un état.
Q1 Comment placer sur un échiquier 8reines pour qu’aucune ne puisse être prise avec une autre (problème des 8-reines, qui se
généralise en problème des n-reines, on peut aussi chercher toutes les façons de placer ainsi les nreines) ?
Q2 Comment faire parcourir un échiquier par un cavalier, de façon à ce qu’il passe par toutes les cases une fois et une seule ?
Q3 Trouver une solution à l’équation 5x−3y+ 2z= 4 dans IN (variante : trouver deux solutions à cette équation).
Q4 Résoudre un jeu du taquin.
Q5 Résoudre un jeu du cube de Rubik.
Q6 Résoudre le jeu du solitaire.
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