Thermodynamique TD3 TSI 2

Thermodynamique
TD3
TSI 2
∆
Exercice 1 : Détente de Joule Thomson
La détente de Joule Thomson consiste à étudier un
+∆
=0
Et donc cette relation est valable pour 1kg de fluide :
écoulement dans une conduite présentant une paroi
poreuse et (ou) un étranglement contrariant le fluide
ℎ +
dans son écoulement.
B)
2
=ℎ +
2
Détente d’une phase condensée visqueuse
Nous nous placerons dans les conditions d’études
Une phase condensée est peu compressible et peu
suivantes :
dilatable. On pourra donc souvent négliger les variations
En chaque point d’un volume de section
-
d’épaisseur
( )
de volume.
de la conduite, on peut affecter une
valeur à toute grandeur physique.
1)
Que dire des volumes
et
-
L’écoulement est stationnaire.
2)
Si
=
par rapport à
-
La conduite est horizontale et calorifugée.
3)
En
déduire
On notera
les pressions,
l’écoulement,
les températures,
internes,
et
, que dire de
?
?
les vitesses de
les énergies
les volumes et masses associés aux
tranches de fluides situées en amont et en aval. A
l’instant
une masse donnée de fluide occupe le volume
et à l’instant
+
+ ∆ la même masse occupe
.
+
alors
que
la
détente
est
isenthalpique.
4)
A
partir
de
l’identité
thermodynamique,
montrer que si cet écoulement se produit
alors
. Interpréter cette chute de
>
pression.
Si le fluide est incompressible alors
,
, ,
, ,
,
, ,
, ,
vitesse
=
∆
à l’entrée et
=
et l’égalité
.
=
∆
Donc d’après le premier principe :∆
A)
=
des sections implique que le fluide est animé d’une
=0
Questions de cours :
Si on utilise l’identité thermodynamique de cette
1)
Montrer que le régime stationnaire implique la
transformation adiabatique alors :
conservation du débit massique.
2)
=
Montrer, à partir du premier principe des
systèmes
fermés
que
ℎ +
=ℎ +
où
Et :
amont et en aval du bouchon.
=−
Comme dans le cours, l’hypothèse stationnaire permet
d’affirmer que la masse de fluide dans le bouchon se
conserve :
( )=
+
=
soit
∆
=
( +∆ )
+
∆
=
conduit à (avec l’absence de paroi mobile et donc de
travail autre que celui du travail des forces de
=−
<0
On a donc bien une détente qui est à accorder aux
effets de forces interne de viscosité.
Pour le comprendre plus précisément, il faut revenir au
1e principe et au TEC :
=
L’application du premier principe pour la masse étudie
pression):
=0
ℎ représentent l’enthalpie massique en
ℎ
Et donc
+
=
,
+
,
+
+
,
,
Si on considère un fluide incompressible visqueux alors
,
= 0 (car la distance entre particule ne pas
évoluée dans son ensemble) et
travail des forces de viscosité.
,
représente le
Thermodynamique
TD3
Donc dans le 1e principe (si
TSI 2
On comprend alors la possibilité d’échange entre
= 0):
l’énergie cinétique et l’énergie thermique (car ℎ( ) pour
+
+
=
,
les GP et phase condensée idéale). Augmenter la vitesse
revient à diminuer la température du fluide si la
Et :
canalisation se réduit (c’est le cas lorsque l’on expire en
=−
pinçant les lèvres)
,
D)
Donc dans l’identité thermodynamique :
=
+
Détente d’un gaz si
Si on a
=0
=
(et donc
=
≈
si on suppose le gaz
faiblement comprimé ce qui impose un écoulement
Implique bien :
« lent) alors : ∆ℎ ≈ 0
=
La
thermodynamique
,
<0
prend
bien
1)
en
compte
pénètre dans le détendeur de Joule. Quelle
le
est sa variation de température ?
phénomène de perte de charge que l’on décrira en
mécanique des fluides. Elle rajoute cependant une
description plus complète impliquant une variation de
température.
et ∆ ≈
+
∆
ℎ=
Un
Détente d’un gaz parfait si
gaz
est
+
=
+
compressible
= 0.
Expérimentalement, avec plusieurs bouchons poreux, en
,
de sortie. On obtient le graphe ci-dessous lors de
l’étude de transformations isenthalpiques :
≈ 10 ∆
Dans le cas d’un karcher pour lequel ∆ ≈ 150
∆ ≈ 15°
C)
Dans le cas d’un gaz réel on a alors
fixant les conditions en entrée, on mesure l’état
Cette variation est cependant faible car
=
Un gaz à faible pression supposé parfait
alors
≠
mais
un
écoulement
stationnaire et « lent » (inférieur à 300m/s) n’impose
pas
des
contraintes
suffisantes
pour
modifier
notablement la masse volumique. Dans la suite, nous
allons donc considérer un gaz parfait de masse
volumique quasi-uniforme dans la canalisation.
1)
Que dire des volumes
2)
Soient
et
et
les
2)
dessus que la détente isenthalpique de Joule-
?
sections
a
priori
différentes en amont et en aval du bouchon.
Si
3)
, que dire de
<
par rapport à
?
Comment est-il possible de refroidir un gaz
supposé parfait avec ce type de dispositif ?
Proposer
alors
une
géométrie
pour
la
canalisation assurant un refroidissement.
La conservation de la masse et de la masse volumique
implique la conservation du volume et donc
=
.
Si les sections sont différentes alors un même volume
doit se répartir sur deux longueurs différentes et donc
être associé à une vitesse d’écoulement différente. Si
<
alors
>
Comment expliquer à l’aide du graphe ciThomson de certains gaz puisse conduire à un
refroidissement ?
Au cours d’une détente de joule pour un écoulement
quasi-incompressible, la conservation de la section
assure le maintien de la vitesse et dons de l’énergie
cinétique : une détente de Joule est donc isenthalpique.
Pour un gaz parfait :
∆ℎ = 0 implique également que ∆ = 0.
On peut reprendre la validité de nos hypothèses :
ℎ=
. Nous pourrons justifier ce résultat
∆
+
+
=0=
+
plus quantitativement avec des éléments de mécanique
Soit : ∆ ≈
des
rapide alors ∆ est faible et ∆ également.
fluides.
En
effet,
pour
un
écoulement
≈ 10 ∆ : si l’écoulement n’est pas trop
incompressible, on observe une conservation du débit
volumique
définit, pour un écoulement uniforme sur
la section droite , par
=
=
Pour un gaz réel :
Thermodynamique
TD3
TSI 2
On voit apparaître une zone, pour certain gaz, pour
On va étudier un compresseur qui prélève de l’air avec
laquelle
un débit permanent
∆ <0
entraîne
aussi
∆ <0
d’où
un
la pression
refroidissement possible.
.ℎ
dans l’atmosphère à
et à la température
= 300 , et l’envoie
= 100
comprimé dans un grand réservoir de stockage à
Dans les machines thermodynamique, les détendeurs
pression
utilisés permettent ce refroidissement.
installation industrielle (la vitesse de l’air est nulle dans
E)
alimentant
= 10
une
l’atmosphère et dans le réservoir). L’air est supposé
Etude d’un détendeur de plongée
Pour pratiquer la plongée sous-marine, l'air est stockée
dans des bouteilles à la pression
constante
= 200
et
nécessite deux détendeurs de type capillaire pour
équivalent à un gaz parfait
de masse molaire
30 .
.
; ≈ 1,5
≈ 10 .
≈
. On suppose la
compression adiabatique et mécaniquement réversible
et on néglige la variation d’énergie potentielle.
« oxygéné » le plongeur.
,
On conserve les hypothèses précédentes (écoulement
stationnaire,
conduite
horizontale
calorifugée
variation d’énergie cinétique négligée :
et
ℎ ≈ 0). Le gaz
est ici supposé « réel ».
,
Le détendeur primaire, placé sur la bouteille, assure la
détente de la haute pression (200 bar à 20°C) vers une
moyenne pression (10 bar). Un détendeur secondaire,
placé au niveau de la bouche du plongeur, assure la
détente vers la basse pression (1 bar). La première
détente est accompagnée d'une baisse importante de
température. L'air se réchauffe ensuite de manière
isobare en circulant dans le tuyau arrivant jusqu'au
deuxième
détendeur.
La
deuxième
détente
est
pratiquement isotherme, et le plongeur ne ressent pas
1)
On différencie deux types de diagramme pour
le traitement thermodynamique d’un fluide en
une sensation d'air froid lors de l'inspiration.
écoulement.
Tracer ces transformations sur le graphe donné à la fin
(
du TD.
é
)
Le
diagramme
(point
de
vue
du
de
Watt
réacteur :
admission, refoulement et compression) et le
diagramme de Clapeyron ( ) (point de vue du
gaz : seule la compression d’une quantité
Exercice 2 : Compresseur à air
donnée de gaz est représentée). Dessiner ces
Un compresseur à air fonctionne sur le principe
deux diagrammes si le fluide à comprimer est
suivant :
un kilogramme de gaz.
-
Une phase d’injection du fluide à comprimer : le
fluide pousse la soupape A et pousse le piston.
-
On ferme ensuite la soupape d’injection A et on
comprime le gaz (on diminue
le volume de la
chambre en modifiant la position du piston et le
-
gaz reçoit du travail par le compresseur)
Dans le diagramme de Watt, on représente tout le
Une phase d’éjection du gaz comprimé vers une
travail utile (celui mis en jeu lors de la phase
autre chambre lorsque la pression du gaz est
d’admission, de refoulement et celui de la compression).
suffisante pour ouvrir la soupape R.
Dans le diagramme de Clapeyron, on ne représente que
le travail de compression. Ce dernier diagramme ne rend
pas compte du travail des forces de pression lors de
l’admission et du refoulement.
2)
Justifier
que
le
fonctionnement
du
compresseur soit réversible et montrer que
∆ℎ peut être obtenu graphiquement à l’aide du
diagramme de Watt.
Thermodynamique
TD3
Pendant la phase d’admission, de compression et de
TSI 2
Exercice 3 : Compresseur multi étagé
refoulement le gaz n’est pas en déséquilibre avec
l’extérieur et l’hypothèse GP+mec rev assure que le
Le compresseur précédent présente un défaut : sa
cycle est réversible.
compression
adiabatique
mécaniquement
réversible
échauffe le gaz ce que ne facilite pas sa compression.
D’après l’identité thermodynamique : ∆ℎ = ∫
ce qui
On
propose
dans
cet
exercice
d’étudier
une
correspond à l’air sous la courbe de la fonction ( ) qui
alternative : une compression étagée avec une première
s’identifie au cycle du diagramme de Watt :
compression adiabatique mécaniquement réversible de
l’état 1 (
=1
= 300 ), jusqu’à un état 2 ( ,
,
).
Un refroidissement isobare est alors amorcé entre
∆ℎ =
=
=
l’état
1
− +1
2
et
l’état
3
(
=
compression jusqu’à l’état 4 (
,
=
= 10
,
puis
)
une
). Un nouveau
refroidissement isobare est ensuite opéré pour revenir
=
−
−1
à 300K. Le gaz sera considéré parfait et le facteur
isentropique
= 1,5.
Les
refroidissements
sont
effectués au contact d’échangeurs thermiques (aucun
∆ℎ =
−1 =
−1
−1
( − 1)
travail échangé pour ces transformations avec le gaz en
écoulement).
On a donc :∆ℎ =
(
−1 =
)=
−
(
∗
=
−1 =
1)
2)
3)
Estimer la température
de l’air après
massique
Déterminer
et
,
calculer
=
total
de
et
,
la
pression
conduisant au travail
,
minimal.
reçue par l’air entre l’atmosphère et le
réservoir. On prendra 10
travail
intermédiaire
compression et la puissance mécanique
/
le
compression en fonction de ,
−1
)
Exprimer
3)
Tracer les transformations sur le diagramme
4)
Comparer ce compresseur à celui de l’exercice
(ℎ) fourni à la fin du TD
≈2
Cette transformation est donc en équilibre mécanique
précédent en utilisant un diagramme de
mais aussi en équilibre thermique interne. L’absence de
Clapeyron.
frottement la rend donc réversible. La transformation
est donc adiabatique et réversible, nous pouvons utiliser
Pour la première compression :
les formules de Laplace :
1−
=
=
=
( − 1)
(
)=
−
−1
( − 1)
Pour la deuxième compression :
=
=
Donc :
( − 1)
(
)=
−
−
( − 1)
=
1−
AN :
=
≈ 600
Si on considère l’écoulement d’une masse
alors, pour
cette transformation adiabatique, on a rapidement :
∆(
(
)=
−
=
(
=
−
3
( − 1)
−1
4
Et le travail est :
)=
Ainsi pour une masse élémentaire
1
+
( − 1)
2
)
Il faut ensuite chercher la valeur de
D’où :
=
=
(
−
)=
(
)
(
−
)
−2
1
minimisant le
,
travail et donc associé à une dérivée qui s’annule en
changeant de signe pour cette valeur :
AN :
≈ −10
=
−1
( − 1)
−
+
−1
1
2
1
1
Thermodynamique
=
TD3
TSI 2
−1
1
2
1
1
1−
2
1
−
−1 −
−1
=
−1
=
Donc
2
1
1
1−
Soit 20% d’économie !
et correspond bien à une inversion
=
,
−1
1
Exercice 4 : Turbopropulseur à hélice
de signe de la dérivée associée à un minimum.
Une turbine est un dispositif en rotation lorsqu’il est
Donc :
traversé
par
un
écoulement
et
susceptible
de
transmettre cette énergie de rotation à, par exemple,
=
+
( − 1)
−2
1
une hélice. C’est sur ce principe que fonctionne certains
turboréacteurs. On peut utiliser les turbines avec un
fluide renouvelé en permanence ou dans un circuit
2
=
( − 1)
fermé. Dans les deux cas, de l’énergie est récupérée via
−1
un agent thermique subissant les transformations
suivantes toutes supposées mécaniquement réversible.
≈3
et avec le graphe :
On suppose également l’écoulement stationnaire, on
néglige les variations d’énergie cinétique macroscopique
Etat 1
=1
,
= 300
Etat 2
≈3
,
≈ 450
Etat 3
≈3
,
= 300
Etat 4
= 10
,
≈ 450
et les variations d’énergie potentielle de pesanteur.
On considère l’air comme un gaz parfait, en écoulement
et subissant les transformations cycliques suivantes :
On voit sur le diagramme de Clapeyron que les

compression adiabatique dans un compresseur
de l’état
refroidissements successifs permettent de diminuer le
le
travail de compression par rapport à une seule
(
massique
,
). On note
fourni
par
le
compresseur.
adiabatique. On comprend alors qu’en se rapprochant
d’une compression isotherme avec une multitude de
) à l’état
( ,
travail

chauffage isobare (échangeur ou chambre à
paliers, on améliore l’efficacité du système (mais en
combustion) de
perd en rapidité car il faut un échange thermique avec
transfert thermique reçu par l’unité de
un échangeur pour assurer le refroidissement et le
masse.

système est plus complexe !).
( − 1)
le
=
,
) : c’est la phase
le travail massique fourni
par la turbine à l’air.

=
(
motrice. On note
remplaçant les facteurs 2 par N)
. On note
détente adiabatique dans la turbine de l’état
à l’état
Pour N étapes identiques à celle étudiée, on a (en
à
refroidissement isobare (dans un échangeur
ou dans l’atmosphère) jusqu’à l’état initial.
−1
= 1,0
Le comportement asymptotique de cette fonction est le
,
= 300 ,
= 1,5,
= 10
,
= 1000 ,
= 30 .
travail isotherme
a)
On peut comparer le travail mis en jeu pour les
compresseurs entre les mêmes pressions initiale et
finale :
Représenter le diagramme de Clapeyron
( )
du cycle décrit par une masse quelconque d’air
Thermodynamique
TD3
TSI 2
Le travail fourni à l’hélice est |
Le rendement est donc :
e)
Comparer
réversible
le
=
|
|−|
| |
|
= 0,5
rendement
ditherme
fonctionnerait
entre
| = 200 .
à
un
moteur
de
Carnot
les
températures
qui
extrêmes atteintes au cours du cycle.
Le
rendement
est
inévitablement
supérieur,
l’irréversibilité s’accompagnant inévitablement d’une
V
dégradation de l’énergie supplémentaire par rapport au
cycle de Carnot :
b)
Exprimer dans l’ordre
,
et
, ,
Cette transformation est donc en équilibre mécanique
mais aussi en équilibre thermique interne. L’absence de
frottement la rend donc réversible. La transformation
est donc adiabatique et réversible, nous pouvons utiliser
les formules de Laplace :
=
=
=
Donc :
-
=
Ensuite, il suffit d’appliquer le 1e principe à cet
écoulement :∆ℎ =
-
=
(
− 1)
e
On applique toujours le 1 principe en se rappelant
que le travail des forces de pression est déjà pris
en compte dans l’enthalpie : ∆ℎ =
=
(
−
)=
−
-
=
-
∆ℎ =
c)
=
−1
Faire les applications numériques et estimer
les énergies massiques.
≈ 600
≈ 300 .
= 400 .
≈ 500
= −500 .
d)
Quel est le travail fourni à l’hélice. Définir et
calculer le rendement du turbopropulseur
sachant que la turbine fournie de l’énergie au
compresseur pour son fonctionnement.
=1−
= 0,7
Thermodynamique
TD3
TSI 2
Thermodynamique
TD3
TSI 2
Thermodynamique
TD3
TSI 2
Thermodynamique
TD3
TSI 2