bac blanc TS obligatoire TS

BACCALAUREAT BLANC
Février 2014 - Lycée de la côtière- La Boisse.
MATHEMATIQUES
SERIE S - obligatoire
Durée : 4 heures
Coefficient 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la législation en vigueur. Une
seule calculatrice par table.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter chaque exercice sur une feuille différente et indiquer sur chaque feuille son nom
et sa classe ainsi que le nom de son professeur de mathématiques.
Les réponses au QCM de l’exercice 4 seront données sur la feuille annexe en page 6 qui sera jointe à la
copie
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Le candidat vérifiera que le sujet comporte bien 3 feuilles recto-verso
Exercice 1 : 5 points
Lors d’un examen, Julien doit répondre à un QCM.
A chaque question trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.
Pour chaque question, soit il connaît la réponse et répond de façon exacte, soit il ne la connaît pas et répond au
hasard ; il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte.
On suppose, de plus, que la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est égale à .
On note C l’événement « Julien connaît la réponse » et E l’événement « la réponse est exacte ».
1.
Julien répond à une question du QCM.
a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
b. Montrer que p(E) = .
c. Julien a donné la réponse exacte à la question. Quelle est la probabilité qu’il ait répondu au hasard ?
2.
Le QCM est composé de 5 questions. Julien répond aux 5 questions et ses réponses sont indépendantes.
a. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de réponses exactes données par Julien
aux 5 questions du QCM.
Justifier que X suit la loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
b. Donner, à 10 – 4 près, la probabilité que Julien ait exactement deux réponses exactes à ce QCM.
c. Donner l’espérance mathématique de X.
3.
Le QCM est noté sur 5 points.
Une réponse exacte rapporte 1 point.
Une mauvaise réponse enlève 0.5 point.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Soit Y la variable aléatoire égale à la note obtenue par Julien à ce QCM.
a. Quelles sont les valeurs que peut prendre Y ?
b. Recopier sur votre feuille et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de Y :
(les probabilités seront arrondies à 10 – 4 près).
Y= yi
P(Y = yi)
0
2
0.1646
c. Quelle est la probabilité que Julien n’ait pas 0 point à ce QCM ?
d. En supposant que tous les élèves se comportent comme Julien, quelle moyenne, arrondie au centième,
peut-on attendre à ce QCM ?
Exercice 2 : 5 points
Partie A
On considère la suite (wn) définie par w0 = 2 et, pour tout entier naturel n : wn + 1 =
.
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : wn > 1.
2.
a. Etablir que, pour tout entier naturel n, on a : wn + 1 – wn =
.
b. Déterminer le sens de variation de la suite (wn). En déduire que la suite (wn) converge.
Partie B
.
On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n : un + 1 =
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1.
On considère l’algorithme suivant :
Entrée
Initialisation
Traitement et sortie
.
.
Soit un entier naturel non nul n
Affecter à u la valeur 2
POUR i allant de 1 à n
Affecter à u la valeur
Afficher u
FIN POUR
.
.
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3.
Les valeurs de u seront arrondies au millième.
1
i
u
2.
2
3
Pour n = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
i
u
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.008 3
0.997 3
1.000 9
0.999 7
1.000 1
0.999 97
1.000 01
0.999 996
1.000 001
Conjecturer le comportement de la suite (un) à l’infini.
3.
On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par : vn =
a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison
.
b. Calculer v0, puis écrire vn en fonction de n.
4.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : vn ≠ 1.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un =
c. Déterminer la limite de la suite (un).
.
.
Exercice 3 : 5 points
Partie A
Soit f la fonction défiie sur ℝ par : f(x) = (x² + x + 1) e –x – 1 .
.
. Justi ier que pour tout réel x,
#² %
&
#
' (2 * 2& + . En déduire que lim # %
&0 1
%
&
' 0.
b. Déterminer la limite de f en +∞ et en donner une interprétation graphique.
c. Déterminer la limite de f en – ∞.
2.
3.
Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur ℝ.
a. Justifier que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions sur ℝ.
b. On note α la solution qui appartient à l’intervalle [1 ; +∞[. Justifier que α appartient à l’intervalle [1 ; 2]
puis donner un encadrement de α d’amplitude 10 – 2 .
c. En déduire le tableau de signes de f.
Partie B
On note Ch et Cg les courbes représentatives des fonctions h et g définies sur ℝ par :
1
3 # '% &
%4 5 # '
#² 7 # 7 1
1.
8.
Démontrer que les deux courbes Ch et Cg passent par le point A (0 ; 1) et admettent en ce point la même
tangente.
. Démontrer que pour tout réel x, on a : 3 #
5 # '
b. Etudier les positions relatives des courbes Ch et Cg.
< #
.
#² 7 # 7 1
Exercice 4 : 5 points
Cet exercice est un QCM. Aucune justification n’est demandée.
Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse erronée ou une absence de réponse n’enlève pas de point.
Vous noterez dans le tableau de l’annexe jointe au verso, la lettre correspondant à la réponse que vous avez
choisie. (n’oubliez pas de rendre l’annexe avec votre copie).
Première partie
A>).
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O, >ı, >?, k
On note (d) la droite passant par les points A(0 ; 2 ; 1 ) et B(–2 ; 6 ; –1).
x ' 3t tD
On note le plan (P) d’équations paramétriques : B y ' 3 7 t 7 2t F I ,
z ' 3 t 7 5tD
1.
2.
3.
Une représentation paramétrique de la droite (d) est :
x'k73
a. By ' 2k 7 1I
z'k 2
la droite (d) est :
x' k71
b. B y ' 2k I
z' k72
a. incluse dans (P)
b. strictement parallèle à (P)
kKℝ
kKℝ
où t et t F sont deux réels.
x ' 2k
c. B y ' k 7 2 I
z' k71
c. sécante à (P)
x'm 1
On note (d’) la droite ayant pour représentation paramétrique : B y ' m
z ' 2m 7 1
(d) et (d’) sont :
a. parallèles
b. sécantes
kKℝ
m K ℝ.I
c. non coplanaires
Deuxième partie
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,L
A>, M>).
4.
Dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, l’équation :
a. a deux solutions réelles
5.
a.
O
O
=z
b. a une seule solution
c. a deux solutions complexes
b. le cercle de centre B
d’affixe (4 – i) et de rayon 1
c. le cercle de centre C
d’affixe (–4 + i) et de rayon 1
L’ensemble des points M dont les affixes z sont les solutions de l’équation : |QR 7 4
le cercle de centre A
d’affixe (1 + 4i) et de rayon 1
Q| ' 1 est :
ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE
NOM et PRENOM :
CLASSE :
Nom de votre professeur de mathématiques :
Réponses au QCM de l’exercice 4
Première partie
Question 1
Réponse :
Question 2
Réponse :
Question 3
Réponse :
Deuxième partie
Question 4
Réponse :
Question 5
Réponse :
CORRECTION
Exercice1
1.
a. arbre de probabilités
E
1
C
0
1
2
E
1
2
E
1
3
C
2
3
b. C et C forment une partition de l’univers donc d’après la formule des probabilités totales, on a :
1
1 1 1 1 3 1 4 2
p(E) = p(C∩E) + p(C ∩E) = p C * pV E 7 pWCX * pV E ' × 1 + × = + = + = =
2
2 3 2 6 6 6 6 3
1
p C∩E
1 3 1
Y. pZ WCX '
'6' * '
2 6 2 4
p E
3
a. Julien répète 5 fois de manières identiques et indépendantes l’épreuve de Bernoulli qui est « répondre à une question du
2
2
QCM » dont la probabilité de succès est p = p(E) = . On obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres n = 5 et p =
3
3
2
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus suit donc la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = et la
3
E
2.
b.
probabilité d’obtenir k succès (avec 0 ≤ k ≤ 5) est : p(X = k) = \
P(X = 2) = \
5
^ * \ ^ * \ ^ ≈ 0.1646
2
_
5
^*\ ^ *\ ^
]
_
.
2
=
3
a. la note obtenue est :
⟶ 0 si Julien donne 0 réponse exacte ou une seule réponse exacte ;
⟶ 0.5 si Julien donne 2 réponses exactes ;
⟶ 2 si Julien donne 3 réponses exactes ;
⟶ 3.5 si Julien donne 4 réponses exactes ;
⟶ 5 si Julien donne 5 réponses exactes ;
b. loi de probabilité de Y :
c. E(X) = np = 5 ×
3.
b
5
5
^*\ ^ *\ ^
+ \ ^ * \ ^ * \ ^ ≈ 0.0041 + 0.0412 = 0.0453
0
1
5
P(Y = 2) = P(X = 3) =\ ^ * \ ^ * \ ^ ≈ 0.3292
3
b
5
P(Y = 3.5) = P(X = 4) = \ ^ * \ ^ * \ ^ ≈ 0.3292
4
5
P(Y = 5) = P(X = 5) = \ ^ * \ ^ * \ ^ ≈ 0.1317
5
P(Y = 0) = P(X = 0) + p(X = 1) = \
Y
0
0.5
2
pi
0.0453
0.1646
0.3292
c. p(Y ≠ 0) = 1 – 0.0453 = 0.9547.
d. E(Y) = 0.5 × 0.1646 + 2× 0.3292 + 3.5 × 0.3292 + 5 × 0.1317 = 2.5514.
3.5
0.3292
5
0.1317
On peut s’attendre à une moyenne d’environ 2.55 points à ce QCM.
Exercice 4
Première partie
Question 1
Réponse : b
Question 2
Réponse : c
Question 3
Réponse : c
Deuxième partie
Question 4
Réponse : c
Question 5
Réponse : a
c' d7
Réponse b. Une représentation paramétrique de la droite (d) est : B e ' 8d I d K ℝ
f ' d78
k'1
0' k71
I
Le point A est associé au paramètre k = 1 car : B 2 ' 2k I g h k ' ' 1
1' k72
k ' 172 ' 1
k'172'3
2' k71
i
I
Le point B est associé au paramètre k = 3 car : B 6 ' 2k
g h k' '3 I
1' k72
k'172'3
2. Réponse c. La droite (d) est sécante à (P)
2 0
2
3
1
AAAAA> a pour coordonnées l 6 2 m ' l 4 m.Les vecteurs L
A> l 1 m et M> l 2 m dirigent le plan (P).
Le vecteur jk
1 1
2
1
5
AAAAA> , L
Si les vecteurs jk
A> et M> ne sont pas coplanaires alors (d) est sécante à (P).
AAAAA> = t L
AAAAA> , L
Les vecteurs jk
A> et M> sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels t et t’ tels que jk
A> + t’ M>.
F
F
2
'
3t
t
F
F
2 ' 3t t
2 ' 3t t
2 ' 3t t
F
AAAAA> = a L
jk
A> + b M> g B 4 ' t 7 2t F I g B 4 ' t 7 2t F I g h 4 ' t 7 2t I g qt ' 4 2 * pI
tF ' p
L 7 L : 2 ' 7t F
2 ' t 7 5t F
tF ' p
Première partie
1.
b
p
p
' 10 v
2
I donc le système n’a pas de solution donc (d) est sécante à (P).
t
s
tF ' p
r
Réponse c. (d) et (d’) sont non coplanaires.
2
1
AAAAA> l 4 m et (d’) a pour vecteur directeur AAA>
(d) a pour vecteur directeur jk
L F l1 m
2
2
b
AAA>F ne sont pas colinéaires donc (d) et (d’) ne sont pas parallèles.
AAAAA> et L
v donc les vecteurs jk
Cherchons si (d) et (d’) sont sécantes c’est-à-dire si le système la droite ayant pour représentation paramétrique :
x'm 1
x'm 1
k71'm 1
k 7 1 ' 2k 1
u y'm
u y'm
u
u
2k ' m
2k ' m
s
s
s
s
k 7 2 ' 2m 7 1 I g
k 7 2 ' 2m 7 1 I g
z ' 2m 7 1 Ia une solution unique ? z ' 2m 7 1 I g
t x ' k71
t x' k71
tx ' k 7 1
tx ' k 7 1
y
'
2k
y ' 2k
y
'
2k
y
'
2k
s
s
s
s
r z' k72
r z' k72
rz ' k 7 2
rz ' k 7 2
g
3.
u3 *
s
t'
b
p
2
2
u k'
3
3
s
3k ' 2
4
4
s
u
2k ' m
m
'
m
'
s
s
3
3
k 7 2 ' 2m 7 1 I
I
g
g
2
8
4 11
72' 71
'
t x ' k71
t
t
3
3
3
3
y ' 2k
s
s x' k71
sx ' k 7 1
r z' k72
s
s
s
s y ' 2k
y ' 2k
r z ' k72
rz ' k 7 2
cette égalité nF est pas possible donc le système n’a pas de solution donc les droites (d) et (d’) ne sont pas sécantes.
(d) et (d’) ne sont ni parallèles ni sécantes donc elles sont non coplanaires.
u
s
s
s
Deuxième partie
4.
O
Réponse c. L’équation :
O
5.
{ 8
{
k'
= z a deux solutions complexes.
= z g z – 2 = z(z – 1) et z ≠ 1 g z – 2 = z² – z et z ≠ 1 g z² – 2z + 2 = 0
|
et z ≠ 1
∆ = –4 < 0 donc l’équation a deux solutions complexes conjuguées : z1 =
= 1 – i et z2 = 1 + i.
Réponse a. L’ensemble des points M dont les affixes z sont les solutions de l’équation : |}{ 7 ~ }| '
cercle de centre A d’affixe (1 + 4i) et de rayon 1.
|QR 7 4 Q| ' 1 g |Q R 4Q 1 | ' 1 g |Q| * |R 4Q 1| ' 1 g 1 * |R 4Q 1| ' 1 g
|R 4Q 1| ' 1 g |R
1 7 4Q | ' 1 g •R€•
AAAAAA> • ' 1 g j‚ ' 1 .
est le