(phare 5eme).

Les triangles.
Activité avec des spaghettis cassées en 3 parties. Peut-on toujours construire un
triangle ?
Activité : les triangles sont-ils constructibles.
I- Construction d’un triangle.
a. Inégalité triangulaire.
Propriété 1 (admise): Si a, b et c sont les mesures des trois côtés d’un triangle (dans la
même unité), alors : a<b+c
b<c+a
c<a+b.
Pour tout triangle, la mesure d’un côté est inférieure à la somme des mesures des deux
autres côtés.
Cette propriété est appelée Inégalité triangulaire.
Remarque : L’inégalité triangulaire est une autre façon de dire que dans un triangle, la
mesure du plus grand côté est plus petite que la somme des deux autres.
Conséquence : Pour savoir si on peut construire un triangle, il suffit donc de vérifier que
la mesure du plus grand côté est plus petite que la somme des deux autres.
Dans le cas contraire, on ne peut pas construire le triangle.
CAS PARTICULIERS :
Propriété 2 (admise) : Si les points A, B et C sont alignés dans cet ordre, alors AC=AB+BC.
Propriété 3 (admise) : Si trois points A, B et M sont tels que AB=AM+MB, alors M est sur
le segment [AB].
b- comment construire un triangle.
1°) Construction connaissant les longueurs des trois côtés (et respectant l’inégalité
triangulaire).
Exemple : Construire un triangle ayant pour mesure des côtés 7cm, 5 cm et 6 cm.
(On peut le tracer car 7<5+6)
Construction Programme de tracé

1°) Tracer un des côtés (en général on
trace le plus long)
2°) On trace un arc de cercle de centre
l’une des extrémités et de rayon 5cm.
3°) On trace un arc de cercle de centre
l’autre extrémité et de rayon 6cm.
4°) Les deux arcs se coupent au troisième
sommet du triangle.
Le côté [AB] étant tracé, on peut construire 4 triangles répondant à la question : ABC1,
ABC2, ABC3 et ABC4.
ABC1 et ABC2 sont symétriques par rapport à la droite (AB).
ABC1 et ABC3 sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB].
ABC2 et ABC3 sont symétriques par rapport au milieu de [AB].
2°) Construction connaissant un angle compris entre les deux côtés dont on connaît la
mesure.
Exemple : Construire un triangle tel que les deux côtés mesurent 3cm et 2,5cm et un
angle compris entre ces deux côtés de 25°.
Construction Programme de tracé
1°) on commence par faire un schéma à
main levée
2°) Tracer un des côtés du triangle
3°) Tracer l’angle connu à l’aide du
rapporteur
4°) Reporter la mesure du deuxième côté
sur le deuxième côté de l’angle.
Le côté [AB] étant tracé, on peut construire 4 triangles répondant à la question : ABC1,
ABC2, ABC3 et ABC4.
ABC1 et ABC2 sont symétriques par rapport à la droite (AB).
ABC1 et ABC3 sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB].

ABC2 et ABC3 sont symétriques par rapport au milieu de [AB].
3°) Construction connaissant la mesure d’un côté et des deux angles adjacents à ce côté.
Exemple : Construire un triangle tel que la mesure du côté adjacent aux deux angles est
4cm et deux angles mesurant 70° et 40°.
Construction Programme de tracé
1°) Faire un schéma à main levée
2°) Tracer le côté connu
3°) Tracer un premier angle adjacent au
côté à l’aide du rapporteur
4°) Tracer le deuxième angle adjacent au
côté à l’aide du rapporteur.
5°) les
Le côté [AB] étant tracé, on peut construire 4 triangles répondant à la question : ABC1,
ABC2, ABC3 et ABC4.
ABC1 et ABC2 sont symétriques par rapport à la droite (AB).
ABC1 et ABC3 sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB].
ABC2 et ABC3 sont symétriques par rapport au milieu de [AB].
II- Droites remarquables du triangle – cercle circonscrit à un triangle.
Activité 6p171 (phare 5eme)
1°) Médiatrices d’un segment (rappels)
a) Définition
Définition : On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment
passant par son milieu.
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est situé à
égale distance des extrémités de ce segment.
Propriété 2 : Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment, alors il
est situé sur la médiatrice de ce segment.
Conséquence : On peut construire la médiatrice d’un segment au compas.
b) Cercle circonscrit au triangle.

Définition : On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle passant par les trois
sommets du triangle.
Propriété : Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes (se coupent)
en un point équidistant (à égale distance) des extrémités des sommets du triangle.
Conséquence : Le cercle qui a pour centre le point de concourt des médiatrices des trois
côtés d’un triangle et qui passe par un sommet passe aussi par les autres sommets du
triangle. C’est le cercle circonscrit au triangle.
c) Construction du cercle circonscrit
Remarque : Le centre du cercle circonscrit à un triangle a pour centre le point de
concourt des médiatrices des côtés du triangle. Il suffit de tracer deux médiatrices pour
l’obtenir.
2°) Médianes d’un triangle
Définition : Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce
sommet et par le milieu du côté opposé.
Exemple :

Propriété : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre
de gravité du triangle.
3°) Hauteurs d’un triangle
Définition : Dans un triangle, une droite perpendiculaire à un côté et passant par le
sommet opposé est appelée hauteur relative à ce côté.
Par abus de langage, le mot hauteur signifie à la fois la droite et la longueur du segment
joignant le sommet et le pied de la hauteur.
Exemple :
Propriété : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourante en un point appelé
orthocentre du triangle.
III- Somme des angles d’un triangle.
Activité 3p170 (phare 5eme) : retour sur les propriétés de la symétrie
Propriété : La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
Cette propriété permet de déterminer la mesure d’un angle d’un triangle connaissant les
deux autres.