Aide-mémoir pour la géométrie plane du CRPE

Aide m´ emoire pour la g´ eom´ etrie plane
1. Notations
Soit Aet Bdeux points distincts. On note :
– (AB) la droite qui passe par ces deux points ;
– [AB] le segment d’extr´emit´es Aet B;
–AB la distance entre Aet B(longueur du segment [AB]) ;
– [AB) la demi-droite d’extr´emit´e Aet contenant B.
Les symboles ∈(appartient), ket ⊥ne sont pas des abr´e-
viations mais des symboles de relations entre deux symboles
math´ematiques (point et droite, droite et droite) tout comme
= ou <.
2. Secteur angulaire – Angle
Def. 1. Secteur angulaire Soit trois points distincts A,
O, et Bnon align´es. Les deux demi-droites [OA) et [OB) d´e-
limitent deux r´egions qu’on appelle secteur angulaire rentrant
et secteur angulaire saillant (voir figure).
Si les trois points A,O, et Bsont align´es dans cet ordre les
deux r´egions deviennent deux demi-plans qu’on peut aussi ap-
peler secteurs plats. Si les deux demi-droites sont confondues
on parle de secteur plein (qui correspond `a 360◦) et de secteur
vide (0◦).
Def. 2. Angle On dit que deux secteurs angulaires ont le
mˆeme angle s’ils sont superposables apr`es d´eplacement (trans-
lation suivie de rotation). On d´efinit ainsi une nouvelle gran-
deur : l’angle.
Deux secteurs et un seul angle
Def. 3. Somme - produit par un nombre - mesure en
degr´e
α
α+β
β
En repr´esentant deux angles αet βpar des secteurs angu-
laires de mˆeme origine, on peut d´efinir la somme de deux
angles α+β(voir figure) ou la diff´erence du plus grand par
le plus petit .
On peut ainsi par it´eration d´efinir l’angle nα, avec nentier
(`a condition de ne pas d´epasser l’angle plein). En d´ecoupant
le secteur d’angle αen msecteurs superposables (m∈N) on
peut d´efinir l’angle α
m. L’angle n mαse d´efinit alors comme n
fois le pr´ec´edent angle et enfin, par extension (passage `a la
limite), on peut se repr´esenter ce que signifie l’angle xα avec
x∈R.
Le degr´e est une unit´e d’angle qui correspond `a l’angle plat
divis´e par 180 (o`u l’angle plein divis´e par 360).
Rem. Il est pratique de se servir d’un cercle de centre O,
d’un point fixe Isur ce cercle et d’un point mobile Msur le
cercle pour repr´esenter les angles. On peut obtenir tous les
angles possibles lorsque le point Mse d´eplace sur le cercle.
De plus, chacun des deux secteurs d´efinis par les demi-droites
[OI) et [OM), contient un arc de cercle (arc intercept´e) et
lorsque Mse d´eplace, il y a proportionnalit´e entre les angles
de ces secteurs et les longueurs des arcs intercept´es. C’est sur
ce principe que l’on construit les graduations des rapporteurs.
Normalement on ne devrait pas parler d’angle sup´erieur `a
360◦mais pourtant on dit bien par exemple que la somme
des angles d’un pentagone non crois´e est de 540◦. Le cercle
permet de comprendre ce que cela signifie : un tour et demi.
Def. 4. Notation - angle aigu - angle obtus - angles
suppl´ementaires - angles compl´ementaires Pour deux
demi-droites [OA) et [OB) on notera \ AOB l’angle repr´esent´e,
suivant le cas de figure, par le secteur vide, saillant ou les
secteurs plats (0 ≤\ AOB ≤180◦) : on peut se passer de
l’angle rentrant pour d´ecrire la figure form´ee par deux demi-
droites.
Si 0 ≤\ AOB < 90◦on dit que l’angle est aigu. Si \ AOB =
90◦(demi angle plat), on dit que l’angle est droit. Si 90◦<
\
AOB < 180◦on dit que l’angle est obtus.
Deux angles sont suppl´ementaires si leur somme est l’angle
plat. Deux angles sont dit compl´ementaires si leur somme est
l’angle droit.
3. Droites parall`eles
Def. Deux droites det d0sont dites parall`eles si :
1) ou bien elles n’ont pas de point d’intersection (elles ne se
rencontrent jamais) ;
1

2) ou bien elles sont confondues.
On note dkd0. Ne jamais ´ecrire : est k`a .
Rem. Autrement dit, deux droites sont parall`eles si elles
ont la mˆeme direction (cf. les vecteurs).
Prop. Si (on sait que) deux droites sont parall`eles `a une
mˆeme troisi`eme, alors (on peut conclure qu’)elles sont paral-
l`eles entre elles.
4. Angles oppos´es par le sommet - Angles corres-
pondants - Angles alternes-internes
Prop. 1. Dans une figure du type de celle ci-dessus form´ee
deux droites s´ecantes, on peut affirmer que les deux angles
(des secteurs) dits oppos´es par le sommet sont ´egaux.
Prop. 2. Dans une figure du type de celle ci-dessus form´ee
d’une droite coupant deux droites parall`eles on peut affirmer
que les deux angles (des secteurs) dits correspondants sont
´egaux. Cette propri´et´e combin´ee avec la propri´et´e pr´ec´edente
donne que les deux angles (des secteurs) dits alternes-internes
sont ´egaux.
5. Droites perpendiculaires
Prop. 1 Si (on sait que) deux droites sont perpendiculaires
`a une mˆeme troisi`eme alors (on peut conclure qu’)elles sont
parall`eles entre elles.
Prop. 2 Si (on sait que) deux droites sont parall`eles, alors
(on peut conclure que) toute perpendiculaire `a l’une est per-
pendiculaire `a l’autre.
6. M´ediatrice d’un segment
Prop. 1 L’ensemble des points situ´es `a ´egale distance des
extr´emit´es d’un segment est la droite perpendiculaire au seg-
ment et passant par son milieu.
Def. Cette droite est appel´ee m´ediatrice du segment.
Prop. 2 La m´ediatrice du segment [AB] s´epare le plan en
deux demi-plans :
– le demi-plan contenant Aest l’ensemble des points situ´es
plus pr`es de Aque de B;
– le demi-plan contenant Best l’ensemble des points situ´es
plus pr`es de Bque de A.
Prop. 3. Dans un triangle Les m´ediatrices de chacun des
cˆot´es se rencontrent en un point qui est situ´e `a ´egale distance
des sommets. C’est le centre du seul cercle passant par les trois
sommets et qu’on appelle le cercle circonscrit au triangle.
7. Cercle
Def. 1 Le cercle de centre Oet de rayon rest l’ensemble
des points situ´es `a la distance rdu point O.
Prop. Une droite et un cercle peuvent ou bien ne pas se
rencontrer, ou bien se rencontrer en deux points, ou bien en
un seul point. Dans ce dernier cas de figure, la droite est per-
pendiculaire `a un rayon du cercle et on dit qu’elle est tangente
au cercle.
Def. 2 Si un cercle passe par les sommets d’un polygone, on
dit que le cercle est circonscrit au polygone, et que le polygone
est inscrit dans le cercle.
8. Angle inscrit - Angle au centre
Def. 3 (Angle inscrit) L’angle d’un secteur angulaire dont
le sommet est sur le cercle est dont les cˆot´es coupent le cercle
est appel´e (par abus de langage) angle inscrit dans ce cercle.
Def. 4 (Angle au centre) L’angle d’un secteur angulaire
dont le sommet est le centre d’un cercle est appel´e (par abus
de langage) angle au centre de ce cercle.
Def. 5 (Arc intercept´e) Soit Cun cercle de centre O.
Deux points Aet Bdistincts sur Cet non diam´etralement
oppos´es d´efinissent un petit arc et un grand arc : portions
de cercle d´elimit´es par ces deux points. Suivant que l’on
consid`ere le secteur angulaire saillant ou rentrant d´efini par
les demi-droites [OA) et [OB), on intercepte le petit ou
le grand arc. On dira par abus de langage que les angles
2

interceptent les arcs (dans le cas d’un angle plat on intercepte
les demi-cercles). De mˆeme si Mest un point de Cdistinct de
Aet de B, l’angle inscrit (toujours saillant) \ MAB intercepte
le petit ou le grand arc d´elimit´e par Aet B(suivant la
position de M). On a alors la proposition suivante :
Prop. 1. (Th´eor`eme de l’angle inscrit) Dans un cercle,
un angle inscrit est ´egal `a la moiti´e de l’angle au centre qui
intercepte le mˆeme arc.
Rem. 1 Dans le cas d’un demi-cercle, l’angle inscrit est alors
un angle droit et on retrouve la proposition 4 de la section
16..
Prop. 2. (Corollaire de la pr´ec´edente) Deux angles qui
interceptent le mˆeme arc sont ´egaux.
Prop. 3. (R´eciproque) Si Aet Bsont deux points
donn´es et αun angle donn´e, alors l’ensemble des points
Mtel que \ AMB =αest la r´eunion de deux arcs
de cercles d’extr´emit´es Aet Bpriv´es des points Aet
B. L’ensemble des points Mtel que \ AMB = 90◦est
le cercle de diam`etre [AB] priv´e des points Aet B.
9. Distance d’un point `a une droite
Prop. Soit dune droite et Aun point non situ´e sur d.
Soit Hle point de dtel que (AH)⊥d. Le segment [AH] est
alors le chemin le plus court pour aller du point `a la droite.
Autrement dit, parmi les points de d, le point Hest celui qui
est le plus proche de A.
Def. La longueur AH est appel´ee distance du point A`a la
droite d.
On dit que Het la projection orthogonale de Asur la droite
d. ( La distance d’un point `a une droite est donc la longueur
du plus court chemin pour aller du point `a la droite.)
Rem. 1 La phrase placer un point P`a 2 cm de la droite
dsignifie qu’il faut placer Ptel que la distance (du plus
court chemin) de P`a dsoit 2 cm : il faut tracer un perpendi-
culaire `a dplacer Psur cette perpendiculaire `a 2 cm du point
d’intersection
Rem. 2 L’ensemble des point situ´es `a 2 cm d’un droite d
est constitu´ee de deux droites parall`eles `a d. L’ensemble des
points situ´es `a moins de 2 cm de dest constitu´e par la bande
comprise entre ces deux droites.
10. Hauteur dans un triangle
Def. La hauteur issue de Adans le triangle ABC est la
droite dpassant par Aet perpendiculaire `a (BC).
Rem. Soit Hla projection orthogonale de Asur [BC]. On
utilise aussi le mot hauteur pour d´esigner le segment [AH]
ou la longueur (AH).
Prop. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes
en un point appel´e orthocentre.
11. M´edianes dans un triangle
Def. La m´ediane issue de Adans le triangle ABC est la
droite qui passe par Aet par le milieu Ide [BC]. (La m´ediane
d´esigne aussi parfois le segment [AI].)
Rem. La m´ediane partage le triangle en deux triangles
d’aires ´egales. (De plus, on peut poser en ´equilibre un triangle en car-
ton sur une r`egle plac´ee le long de la m´ediane. Pour le voir, imaginer que
le triangle est form´ee d’un grand nombre de fines bandelettes parall`eles
`a un des cˆot´e : chacune tenant en ´equilibre sur la m´ediane qui passe par
le milieu de chacune de ces bandelettes.)
Prop. 1 Les trois m´edianes d’un triangle sont concourantes
en un point appel´e le centre de gravit´e du triangle. (On peut
poser en ´equilibre un triangle en carton `a plat sur son doigt si et
seulement si le doigt est plac´e sur le centre de gravit´e.)
Prop. 2 Le centre de gravit´e est situ´e au deux-tiers de la
m´ediane en partant du sommet.
12. Bissectrice d’un angle
Def. Soit ABC trois points non-align´es. La droite qui passe
par Aet qui partage le secteur angulaire saillant (mais aussi
le rentrant) en deux secteurs de mˆeme angle est appel´ee (par
abus de langage) la bissectrice de l’angle \ BAC
3

Prop. 1 Les points de la bissectrice de \ BAC sont `a ´egale
distance de (AB) et de (AC).
Prop. 2 Dans un triangle ABC, les trois bissectrices sont
concourantes en un point qui est `a ´egale distance des trois
droites (AB), (BC) et (AC). Ce point est le centre d’un cercle
qui admet ces trois droites pour tangentes. C’est le centre du
cercle inscrit dans le triangle ABC.
13. Cˆot´es et angles d’un triangle
Prop. 1 Dans un triangle ABC on a AC < AB +BC.
Prop. 2 La somme des
angles d’un triangle est ´egale
`a l’angle plat : 180◦.
14. Triangle isoc`ele
Def. Un triangle isoc`ele est un triangle qui poss`ede deux
cˆot´es ´egaux. Si AB =AC on dit que ABC est isoc`ele en A
ou isoc`ele de sommet principal A.
Prop. 1 Un triangle est isoc`ele si et seulement si il poss`ede
deux angles ´egaux
Prop. 2 Un triangle isoc`ele poss`ede un axe de sym´etrie :
la m´ediatrice de la base principale qui est aussi la hauteur, la
m´ediane et la bissectrice issue du sommet principal.
15. Triangle ´equilat´eral
Def. C’est un triangle qui poss`ede trois cˆot´es ´egaux (tri-
plement isoc`ele).
Rem. Pour construire un angle 60◦et de 30◦, construire
un triangle ´equilat´eral ainsi qu’une de ses m´edianes.
16. Triangle rectangle
Def. C’est un triangle qui poss`ede un angle droit. Si ABC
est rectangle en Aalors les cˆot´es [AB] et [AC] sont appel´es
cˆot´es de l’angle droit et le cˆot´e [BC] est appel´e hypot´enuse.
L’hypot´enuse est le cˆot´e le plus long (voir distance d’un point
`a une droite).
Prop. 1 (Th´eor`eme de Pythagore) Si (on sait que) ABC est
rectangle en A, alors (on peut conclure que) BC2=AB2+
AC2.
Rem. Ce th´eor`eme permet de calculer un cˆot´e du triangle
rectangle connaissant les deux autres ou de s’assurer qu’un
triangle n’est pas rectangle.
Prop. 2 (Th´eor`eme r´eciproque) Si (on sait que) ABC est
tel que BC2=AB2+AC2alors (on peut conclure que) ABC
est un triangle rectangle en A.
Ainsi, la relation de Pythagore caract´erise les triangles rec-
tangles
Prop. 3 Si (on sait qu’) un triangle rectangle est inscrit
dans un cercle alors (on peut conclure que) le diam`etre du
cercle est ´egal `a l’hypot´enuse du triangle.
Prop. 3 bis (´equivalente) Si (on sait qu’) un triangle est
rectangle, alors (on peut conclure que) la m´ediane issue du
sommet de l’angle droit est ´egale `a la moiti´e de l’hypot´enuse.
Prop. 4 (r´eciproque des pr´ec´edentes) Si (on sait que)
trois points sur un cercle sont tels que deux d’entre eux sont
diam´etralement oppos´es, alors (on peut conclure que) ces trois
points forment un triangle rectangle.
Prop. 4 bis (´equivalente `a prop4) Si (on sait que) dans
un triangle ABC, la m´ediane issue de Aest ´egale `a la moiti´e
de BC, alors (on peut conclure que) ABC est rectangle en A.
17. Droite des milieux
Prop. 1 Si (on sait qu’) une droite passe par les milieux
des cˆot´es d’un triangle alors (on peut conclure qu’)elle est
parall`ele au troisi`eme cˆot´e.
Prop. 2 Si (on sait qu’)une droite passe par le milieu d’un
cˆot´e d’un triangle et est parall`ele `a un autre cˆot´e, alors (on
peut conclure qu’)elle coupe le troisi`eme cˆot´e en son milieu.
Prop. 3 Le segment qui joint les milieux des deux cˆot´es
d’un triangle a pour longueur la moiti´e du troisi`eme cˆot´e.
18. Polygones
Le polygone ABCDE... est un figure g´eom´etrique obtenue
en joignant par des segments des points A,B,C,Detc..
dans cet ordre, chacun au suivant le dernier point ´etant reli´e
au premier.
– Un polygone `a trois cˆot´es est appel´e triangle. Pour quatre
cˆot´es on dit quadrilat`ere, cinq cˆot´es : pentagone, six cˆot´es :
hexagone, sept cˆot´es : heptagone, huit cˆot´es : octogone.
– Les deux cˆot´es d’un polygone sont dits adjacents s’ils ont
4

une extr´emit´e en commun.
– Lorsque dans un polygone, seuls les cˆot´es adjacents ont un
point en commun, alors on dit que le polygone est non-crois´e
(crois´e dans le cas contraire).
– Lorsque pour chacun des cˆot´es d’un polygone, le polygone se
trouve tout entier dans un des demi-plan limit´e par la droite
support du cˆot´e, alors on dit que le polygone est convexe. Un
polygone convexe peut ˆetre obtenu comme une intersection
de demi-plans. Cons´equence pratique : un ´elastique tendu autour
d’un polygone convexe en carton est partout plaqu´e sur les cˆot´es ;
pour d´ecouper un polygone convexe on n’a pas `a avoir peur de
donner de trop grands coups de ciseaux.
– Lorsque le polygone est inscrit dans un cercle et que chacun
des cˆot´es a la mˆeme longueur, on dit que le polygone est
r´egulier.
Un polygone est r´egulier si et seulement si tous ses angles
au sommet sont ´egaux et les longueurs de tous ses cˆot´es sont
´egales.
Exemples : triangle ´equilat´eral, carr´e, ´etoile mais pas losange
en g´en´eral (pas les losanges non carr´es).
19. Quadrilat`eres
Def. Dans un quadrilat`ere ABCD, deux cˆot´es qui ne se
suivent pas comme [AB] et [CD] sont appel´es cˆot´es oppos´es ;
les segments [AC] et [BD] sont appel´es diagonales.
Un quadrilat`ere qui a deux cˆot´es (oppos´es) parall`eles est ap-
pel´e un trap`eze.
20. Parall´elogrammes
Prop. 1 Les cinq propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
c’est `a dire que chaque fois que l’on sait que le quadri-
lat`ere ABCD poss`ede l’une de ces cinq propri´et´es (grˆace
`a une d´emonstration ou directement d’apr`es les hypoth`eses
d’un ´enonc´e) alors on pourra conclure que les quatre autres
propri´et´es sont automatiquement v´erifi´ees. On dit alors que
ABCD est un parall´elogramme.
1) Les cˆot´es oppos´es du quadrilat`eres ABCD sont parall`eles
deux `a deux.
2) Le quadrilat`ere n’est pas crois´e et il poss`ede deux cˆot´es
parall`eles et de longueurs ´egales (vecteurs ´egaux).
3) Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilat`eres se coupent
en leur milieu.
4) ABCD n’est pas crois´e et ses cˆot´es sont deux `a deux
´egaux.
5) ABCD a ses angles oppos´es ´egaux. (rem. : ceci entraˆıne
que les angles adjacents de ABCD sont suppl´ementaires)
Prop. 2 Les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes et
caract´erisent les quadrilat`eres qu’on appelle les rectangles.
1) Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu (pa-
rall´elogramme) et sont de longueurs ´egales.
2) ABCD est un parall´elogramme qui a un angle droit.
3) ABCD est un quadrilat`ere qui a quatre angles droits.
Prop. 3 Les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes et
caract´erisent les losanges.
1) ABCD a quatre cˆot´es de mˆeme longueur.
2) ABCD est un parall´elogramme qui a deux cˆot´es cons´e-
cutifs de mˆeme longueur.
3) ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
(parall´elogramme) et qui sont perpendiculaires.
Prop. 4 Les quatre propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
et caract´erisent les carr´es.
1) ABCD est un rectangle qui a deux cˆot´es cons´ecutifs de
mˆeme longueur.
2) Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, sont
perpendiculaires et sont ´egales.
3) ABCD est un losange qui a un angle droit.
4) ABCD est un losange et un rectangle.
21. Triangles en configuration de Thales
Prop. 1 (Th´eor`eme de Thal`es) Soit OAB et OMN deux
triangles tels que :
1) O,A,Md’une part et O,B,N, d’autre part soient
align´es ;
2) les droites (AB) et (M N) soient parall`eles.
Alors, (on peut conclure que) les longueurs des cˆot´es des deux
triangles se correspondent de mani`ere proportionnelle : plus
pr´ecis´ement, on obtient que le tableau suivant est un tableau
de proportionnalit´e :
OA OB AB
OM ON M N
Autrement dit, on a les ´egalit´es suivantes :
OA
OM =OB ON =AB MN .
Rem. Dans la configuration pr´ec´edente, du fait du paral-
l´elisme, O,A,Md’une part et O,B,Nd’autre part sont
align´es dans le mˆeme ordre. Il faudra par contre pr´eciser cette
condition pour pouvoir appliquer la proposition suivante :
Prop. 2 (R´eciproque du th´eor`eme de Thal`es) Soit
OAB et OM N deux triangles tels que
1) O,A,Md’une part et O,B,N, d’autre part soient
align´es dans le mˆeme ordre ;
2)
OA
OM =OB ON
Alors, (on peut conclure que) les droites (AB) et (M N) sont
parall`eles.
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