Optimisation linéaire : Algorithme du simplexe

Optimisation lin´eaire : Algorithme du simplexe
PARTIE I
Optimisation lin´eaire :
Algorithme du simplexe
(Cours 3)

Optimisation lin´eaire : Algorithme du simplexe
Objectif
Objectif
IRe-´ecrire l’algorithme du simplexe, version “forme dictionnaire” sous
forme matricielle.
IEn d´eduire l’algorithme du simplexe “forme matricielle”.
On rappelle que l’algorithme du simplexe permet de r´esoudre le probl`eme
max
x∈RncTx
sous les contraintes
a11x1+· · · +a1nxn≤b1
· · ·
am1x1+· · · +amnxn≤bm
x1≥0,· · · ,xn≥0.
⇐⇒ Ax ≤b
x≥0

Optimisation lin´eaire : Algorithme du simplexe
Ecriture matricielle de l’algorithme du simplexe
Objectif
Ecriture matricielle de l’algorithme du simplexe
Notations
Ecriture matricielle d’un dictionnaire
Une it´eration de l’algorithme du simplexe
Conclusion
Forme matricielle de l’algorithme du simplexe
Algorithme
Exemple

Optimisation lin´eaire : Algorithme du simplexe
Ecriture matricielle de l’algorithme du simplexe
Notations
1.1. Notations
On a commenc´e par introduire les variables d’´ecart xn+1,· · · ,xn+mde
telle sorte que l’on ait
[AIm]
| {z }
m×(n+m)
x1
· · ·
xn
xn+1
· · ·
xn+m
=b
La fonction objectif peut se r´e-´ecrire
cTx=cT0· · · 0
x1
· · ·
xn
xn+1
· · ·
xn+m
Le probl`eme se re-´ecrit comme un probl`eme d’optimisation dans Rn+m

Optimisation lin´eaire : Algorithme du simplexe
Ecriture matricielle de l’algorithme du simplexe
Notations
1.1. Notations
On a commenc´e par introduire les variables d’´ecart xn+1,· · · ,xn+mde
telle sorte que l’on ait
[AIm]
| {z }
m×(n+m)
x1
· · ·
xn
xn+1
· · ·
xn+m
=b
La fonction objectif peut se r´e-´ecrire
cTx=cT0· · · 0
x1
· · ·
xn
xn+1
· · ·
xn+m
Le probl`eme se re-´ecrit comme un probl`eme d’optimisation dans Rn+m