DM Proba No 4 corrigé

B2
DM
Une grenouille monte les 2n marches d'un escalier en sautant :ou bien une seule marche, avec la probabilité
p, ou bien deux marches, avec la probabilité 1 - p.
On note
Xn
le nombre de marches franchies après n sauts. On note
Yn
le nombre de fois où la
grenouille a sauté une seule marche après n sauts.
1) Déterminer la loi de
Yn
. Exprimer
Xn
en fonction de
Yn
. En déduire la loi de
Xn
, son espérance et
sa variance.
Yn
Suit une loi binomiale B(n,p)
Et
Xn
=
Yn
+ 2(n-
Yn
) = 2n -
Yn
Donc
Xn
(
Ω
) = [[n,2n]]
Et
∀k∈[[0; n]], P(Xn=k)=P(2n−Yn=k)=P(Yn=2n−k)
=
(
n
2n−k
)
p2n−k(1−p)k−n
E(
Xn
) = 2n - E(
Yn
) = 2n – np
V(
Xn
) = V(
Yn
) = np(1-p)
2) On note
Zn
le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la n-ième marche. Exprimer, pour
n ≤ 1 et k ≤ 1, la probabilité P[
Zn
= k] en fonction des probabilités des événements
[
Zn−1
= k - 1] et [
Zn−2
= k - 1]. En déduire que :
E(
Zn
) = pE(
Zn−1
) + (1 - p)E(
Zn−2
) + 1
Soit A l'événement «La grenouille franchit une marche à son premier saut ».
(A,
A
) est un système complet d'événements.
Et , d'après la formule des probabilités totales : P[
Zn
= k] = P[(
Zn
= k)
∩A
]) + P[(
Zn
= k)
∩A
])
Soit P[
Zn
= k] =
PA(Zn=k)×P(A)+PA(Zn=k)×P(A)
Mais sachant que la grenouille a déjà monté une marche, [
Zn
= k] revient à dire qu'elle dépasse n-1 marche
en k-1 sauts. Autrement dit :
PA(Zn=k)=P(Zn−1=k−1)
Et de même
PA(Zn=k)=P(Zn−2=k−1)
Finalement : P(
Zn
= k) = p P(
Zn−1
= k – 1) + (1-p)
P(Zn−2=k−1)
On a
Zn
(
Ω
)
⊂[[0;n]]
Donc, on peut écrire E(
Zn
) =
∑
k=0
n
k P(Zn=k)
En sommant l'égalité précédemment obtenue, il vient :
E(
Zn
) =
p∑
k=0
n
k P(Zn−1=k−1)+(1−p)∑
k=0
n
k P(Zn−2=k−1)
=
p∑
k=1
n
k P(Zn−1=k−1)+(1−p)∑
k=1
n
k P(Zn−2=k−1)
=
p∑
k=0
n−1
(k+1)P(Zn−1=k)+(1−p)∑
k=0
n−1
(k+1)P(Zn−2=k)
=
p∑
k=0
n−1
k P(Zn−1=k)p∑
k=0
n−1
P(Zn−1=k)+(1−p)∑
k=0
n−1
k P(Zn−2=k)+(1−p)∑
k=0
n−1
k P(Zn−2=k)
=
p E(Zn−1)+p+(1−p)∑
k=0
n−1
k P (Zn−2=k)+(1−p)∑
k=0
n−1
k P(Zn−2=k)
Mais
P(Zn−2=n−1)=0
, puisque
Zn−2≤ n−2
Donc E(
Zn
) =
p E(Zn−1)+p+(1−p)∑
k=0
n−2
k P (Zn−2=k)+(1−p)∑
k=0
n−2
k P(Zn−2=k)

=
p E(Zn−1)+p+(1−p)E(Zn−2)+(1−p)=p E(Zn−1)+(1−p)E(Zn−2)+1
3) Comment déterminer a pour que la suite de terme général un = E(
Zn
) - na soit récurrente
linéaire d'ordre 2 ?
On a
un+na=p(un−1+(n−1)a)+(1−p)(un−2+(n−2)a)+1
Soit
un=p un−1+(1−p)un−2+(n−1)pa+(1−p)(n−2)a+1−na
=
p un−1+(1−p)un−2−pa−2(1−p)a+1
=
p un−1+(1−p)un−2+a(p−2)+1
Donc, pour a =
1
2−p
, la suite un est récurrente linéaire d'ordre 2.
4) Calculer alors l'espérance de
Zn
. Donner un équivalent de E(
Zn
) quand n tend vers l'inni, et
interpréter.
Dans ce cas :
un=p un−1+(1−p)un−2
Et
un=A+B(p−1)n
, A et B étant deux constantes réelles.
Soit E(
Zn
) =
A+B(p−1)n+n
2−p
Avec E(
Z1
) = 1
Et
Z2(Ω)=[[1,2]] , P(Z2=1)=(1−p) et P(Z2=2)=p
Donc E(
Z2
) = 1 + p
Donc A et B sont solutions de : A +B(p-1) +
1
2−p
= 1 et A +
B(p−1)2+2
2−p=1+p
On obtient
A=1−p
(2−p)2 et B=p−1 (2−p)2
Et finalement, pour tout n ≥ 1, E(
Zn
) =
1−p
(2−p)2+(p−1)n+1 (2−p)2+n
2−p
Et E(
Zn
)
~
+∞
n
2−p
Quand n est grand, la grenouille aura besoin en moyenne de
n
2−p
sauts pour atteindre ou dépasser la n-ième
marche.