DM Proba No 4 corrigé

B2
DM
Une grenouille monte les 2n marches d'un escalier en sautant :ou bien une seule marche, avec la probabilité
p, ou bien deux marches, avec la probabilité 1 - p.
On note X n le nombre de marches franchies après n sauts. On note Y n le nombre de fois où la
grenouille a sauté une seule marche après n sauts.
1) Déterminer la loi de Y n . Exprimer X n en fonction de Y n . En déduire la loi de X n , son espérance et
sa variance.
Y n Suit une loi binomiale B(n,p)
Et X n = Y n + 2(n- Y n ) = 2n - Y n
Donc X n ( Ω ) = [[n,2n]]
Et ∀ k∈[[ 0; n]], P( Xn =k)=P(2n −Y n =k)=P(Y n =2n−k) =
E( X n ) = 2n - E( Y n ) = 2n – np
V( X n ) = V( Y n ) = np(1-p)
( 2nn−k ) p
2n−k
k −n
(1−p)
2) On note Z n le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la n-ième marche. Exprimer, pour
n ≤ 1 et k ≤ 1, la probabilité P[ Z n = k] en fonction des probabilités des événements
[ Z n−1 = k - 1] et [ Z n−2 = k - 1]. En déduire que :
E( Z n ) = pE( Z n−1 ) + (1 - p)E( Z n−2 ) + 1
Soit A l'événement «La grenouille franchit une marche à son premier saut ».
(A, A ) est un système complet d'événements.
Et , d'après la formule des probabilités totales : P[ Z n = k] = P[( Z n = k) ∩A ]) + P[( Z n = k) ∩A ])
Soit P[ Z n = k] = PA (Zn =k )×P(A)+PA (Z n =k)×P(A)
Mais sachant que la grenouille a déjà monté une marche, [ Z n = k] revient à dire qu'elle dépasse n-1 marche
en k-1 sauts. Autrement dit : PA (Zn =k )=P(Z n−1 =k−1)
Et de même PA (Zn =k )=P(Z n−2 =k−1)
Finalement : P( Z n = k) = p P( Z n−1 = k – 1) + (1-p) P(Z n−2=k−1)
On a Z n ( Ω ) ⊂[[0 ; n ]]
Donc, on peut écrire E( Z n ) =
n
∑ k P(Z =k )
n
k=0
En sommant l'égalité précédemment obtenue, il vient :
n
n
k=0
n
k=0
n
k=1
n−1
k=1
n−1
E( Z n ) = p ∑ k P(Zn−1=k−1)+(1−p) ∑ k P(Z n−2 =k−1)
= p ∑ k P( Zn−1 =k−1)+(1−p) ∑ k P( Zn−2=k−1)
= p ∑ ( k+1) P(Z n−1 =k )+(1−p) ∑ (k+1)P( Zn−2=k )
k=0
n−1
k=0
n−1
n−1
n−1
= p ∑ k P(Zn−1=k ) p ∑ P(Zn−1=k )+(1−p) ∑ k P(Z n−2 =k)+(1−p) ∑ k P( Zn−2=k )
k=0
k=0
n−1
k=0
k=0
n−1
= p E(Z n−1 )+ p+(1−p) ∑ k P (Zn−2 =k )+(1−p) ∑ k P(Z n−2 =k)
k=0
Mais P(Z n−2=n−1)=0 , puisque Z n−2 ≤ n−2
k=0
n−2
n−2
k=0
k=0
Donc E( Z n ) = p E(Z n−1 )+ p+(1−p) ∑ k P (Zn−2 =k )+(1−p) ∑ k P(Z n−2 =k)
= p E(Z n−1 )+ p+(1−p)E (Zn−2 )+(1−p)=p E(Z n−1 )+(1−p) E(Z n−2 )+1
3) Comment déterminer a pour que la suite de terme général un = E( Z n ) - na soit récurrente
linéaire d'ordre 2 ?
On a u n +na=p( u n−1+(n−1)a)+(1−p)( u n−2+(n−2)a )+1
Soit u n =p u n−1 +(1−p) u n−2 +(n−1) pa +(1−p)( n−2)a+1−na
= p u n−1 +(1−p) u n−2 −pa −2(1−p)a+1
= p u n−1 +(1−p) u n−2 +a ( p−2)+1
1
Donc, pour a =
, la suite un est récurrente linéaire d'ordre 2.
2−p
4) Calculer alors l'espérance de Z n . Donner un équivalent de E( Z n ) quand n tend vers l'inni, et
interpréter.
Dans ce cas : u n =p u n−1 +(1−p) u n−2
n
Et u n =A+B( p−1) , A et B étant deux constantes réelles.
n
Soit E( Z n ) = A+B( p−1)n +
2−p
Avec E( Z1 ) = 1
Et Z2 (Ω)=[[1,2]] , P(Z 2=1)=(1−p) et P(Z2 =2)=p
Donc E( Z2 ) = 1 + p
2
1
Donc A et B sont solutions de : A +B(p-1) +
= 1 et A + B(p−1)2+
=1+ p
2−p
2−p
On obtient A=
1−p
p−1
2 et B=
2
(2−p)
(2−p)
n+1
(p−1)
1−p
n
+
+
Et finalement, pour tout n ≥ 1, E( Z n ) =
2
2
2−p
(2−p)
(2−p)
n
Et E( Z n ) ~
+∞ 2−p
n
Quand n est grand, la grenouille aura besoin en moyenne de
sauts pour atteindre ou dépasser la n-ième
2−p
marche.