FLORENT CALVAYRAC-CASTAING Florent.Calvayrac@univ

UNIVERSITÉ DU MAINE
(FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES)
FLORENT CALVAYRAC-CASTAING
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ÉLECTROMAGNÉTISME II PHY206
Équations de Maxwell, induction

Table des matières
1 Introduction 7
2 Opérateurs sur des champs scalaires et vectoriels 9
2.1 Intégrales linéiques, surfaciques, et volumiques : circulation, flux, éléments de
volume ...................................... 10
2.1.1 Intégrales linéiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Intégrales surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Intégrales volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Courbes et surfaces fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Systèmesdecoordonnées............................. 12
2.2.1 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Rappels sur les coordonnées polaires, sphériques et cylindriques . . . . 15
2.2.3 Éléments de surface et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Analysevectorielle ................................ 19
2.3.1 Différentielle............................... 19
2.3.2 Gradient.................................. 20
2.3.3 Symbolenabla .............................. 20
2.3.4 Divergence ................................ 21
2.3.5 Rotationnel................................ 21
2.3.6 Laplacien................................. 22
2.3.7 Laplacienvecteur............................. 22
2.3.8 Systèmes de coordonnées non cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.9 Algèbre des opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Formule de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 FormuledeStokes ................................ 24
3 Formes locales de l’électrostatique et de la magnéto-statique 25
3.1 Rappels d’électrostatique et magnéto-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Causes et effets, force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Aspect relativiste du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 Distributions de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.4 Définition de l’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.5 ForcedeLaplace............................. 29
3.1.6 loi de Coulomb et de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.7 Courantsampériens............................ 31
3.1.8 Théorèmes de Gauss et d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.9 Symétries et antisymétries des champs, lignes de champ . . . . . . . . 33
3.2 Forme locale des théorèmes de Gauss et Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 ÉquationdePoisson................................ 36
3.4 Flux du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3

4TABLE DES MATIÈRES
3.5 Potentielvecteur ................................. 37
3.6 Forme locale de la loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Conditions de passage et conducteurs parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Induction 43
4.1 Forceélectromotrice ............................... 43
4.2 LoideLenz-Faraday ............................... 43
4.2.1 Variation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Variation de l’angle entre la surface et le champ . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Variation de la surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Force de Lorentz et induction : champ électromoteur . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Forme locale : équation de Maxwell-Faraday et champ de Neumann . . . . . . 47
4.5 Auto- et mutuelle induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Équations de Maxwell 51
5.1 Historique..................................... 51
5.2 Équation de conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Courantdedéplacement ............................. 52
5.4 ÉquationsdeMaxwell .............................. 54
6 Ondes électromagnétiques 55
6.1 Équation d’onde dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Solutionsgénérales ................................ 56
6.3 Fréquence et longueur d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Structure des ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5 Ondes planes ; expression de nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6 Ondessphériques ................................. 61
7 Aspects énergétiques des phénomènes électromagnétiques 63
7.1 Énergie électrostatique et magnéto-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.1 Travail d’établissement d’une distribution de charges . . . . . . . . . . 63
7.1.2 Travail d’établissement d’une distribution de courants statique . . . . . 64
7.1.3 Puissance du champ électromagnétique ; vecteur de Poynting . . . . . . 66
7.1.4 Énergie transportée par une onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.5 Énergie transportée par une onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . 68
8 Formulaire 69
8.1 Opérateurs mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Electrostatique et magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4 EquationsdeMaxwell .............................. 70
8.5 Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.6 Aspectsénergétiques .............................. 70
9 Conseils méthodologiques 71
9.1 Généralités .................................... 71
9.2 Pré-requis..................................... 71
9.3 Conseilsderédaction............................... 71
9.4 Optimisation d’une note à un examen écrit ou oral . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.5 Approche d’un problème d’électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Table des figures
1.1 Quelques applications de l’électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Carte météorologique donnant les lignes d’égale pression (isobares) . . . . . . 9
2.2 Le travail nécessaire pour amener un mobile d’un point Aà un point Best égal
à la circulation de la force sur le parcours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Le débit de l’eau à travers la surface est égal au flux de la vitesse multiplié par
ladensité ..................................... 11
2.4 Lacetgauche ................................... 13
2.5 Vecteur vitesse tangent au cercle de rayon rparcouru à vitesse constante . . . . 14
2.6 Coordonnéessphériques ............................. 16
2.7 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Intégration sur la surface d’un carré en choisissant un sens de parcours . . . . . 17
2.9 Intégration sur la surface d’un cercle en choisissant un sens de parcours . . . . 17
2.10 Exemple de cuvette de potentiel et du gradient correspondant . . . . . . . . . . 20
2.11 Cartographie bidimensionnelle du champ créé par une charge localisée ; la di-
vergence est non nulle dans la région occupée par la charge . . . . . . . . . . . 21
2.12 Cartographie du champ magnétique créé par une source de courant localisée ;
le rotationnel est non nul à l’intérieur de la source . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Cube élémentaire employé pour la "démonstration" de la formule de Green-
Ostrogradski ou théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Nuage de charges ponctuelles subissant une force de Lorentz . . . . . . . . . . 25
3.2 Distribution de charges ponctuelles en mouvement créant une densité continue
dechargesetdecourants ............................. 26
3.3 Tube de courant élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Force de Coulomb entre deux charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Boucle de courant créant un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Principe des courants ampériens dans un barreau aimanté . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Symétrie de la force créée par une distribution surfacique de charge électrique . 34
3.8 Symétrie de la force créée par une distribution surfacique de courant électrique 34
3.9 Lignes de champ magnétique créé par un fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.10 Tube de lignes de champ magnétique de section variable . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Lignes de champ magnétique d’un barreau aimanté, matérialisées par de la
poudre d’oxyde de fer (ferrite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.12 Surface et parcours autour de la surface chargée séparant deux milieux em-
ployés pour la démonstration du théorème de Coulomb . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Force électromotrice einduite par un champ magnétique dans un circuit fermé . 43
5.1 Nœud électrique et loi des nœuds en régime permanent . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Schéma d’un condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5