lyse complexe - International Mathematical Union

Proceedings of the International Congress of Mathematicians
August 16-24, 1983, Warszawa
YVES MEYEE
Intégrales singulières, opérateurs multilinéaires, ana-
lyse complexe et équations aux dérivées partielles
1. La continuité J? des opérateurs définis par des intégrales singulières
Soit, avec los notations usuelles, T: @(Rn)->@'(Rn) un opérateur linéaire
continu. Appelons E(x,y) e@'(Rn xRn) le noyau-distribution de T, T*
le transposé de T dont le noyau-distribution est E (y, x), <•, •> la forme
bilinéaire de dualité entre S(Rn) et @'(Rn) et Q c Rn x Rn l'ouvert défini
par y =£ x, x e R11, y eB'1. Nous dirons que le noyau E(x,y) vérifie les
estimations de Galderón-Zygmund s'il existe un exposant e > 0, e < 1, et
une constante 0^0 tels que la restriction de E(x,y) à l'ouvert Ü soit
une fonction continue ayant les trois propriétés suivantes:
\E(x, y)\ < 0\x-y\~n pour tout (x, y) G Q, (1)
\E(x', y)-E(x, y\ < G\x-x'\Ë\x-y\-n~* si (x, y) G ßet
|*-a>'|<l|0-y| (2)
et finalement
\E(x, y)-E(x9 y')\ < 0|2/— 2/'ri^ —2/r9l"~e si (0, y) e ûet
|y-y'l<ll*-0|. (3)
Nous désignerons par ê Vensemble des opérateurs T: <3(Rn)->!3'(Rn)
dont le noyau vérifie (1), (2) et (3).
Un opérateur linéaire continu T: <2i(Rn)-><2>f(Rn) est appelé dans cet
exposé (ceci n'est pas la terminologie usuelle) un opérateur de Galderón-Zyg-
mund s'il existe une constante G > 0 telle que pour toute fonction
fe2(Rn), T(f) appartienne à L2(Rn;dx) et vérifie ||T/||a< ü||/||2, et si,
en outre, le noyau-distribution E (x, y) de X vérifie les estimations de Oal-
derón-Zygmund. Les célèbres méthodes de variable réelle de Oalderon et
[1001]

1002 Section 9: Y. Meyer
Zygmund s'appliquent alors et l'on obtient \\Tf\\p < Gp\\f\\p si 1 < p < + oo
tandis que T envoie continûment i°°(Bn) dans l'espace BMO(JRM) de John
et îTirenberg ([20]). Enfin pour 1 < p < + oo et tout poids co e Ap de la
classe de Muckenhoupt, tout opérateur de Galderón-Zygmund se prolonge,
par continuité, en un opérateur linéaire continu de ^(JB^; cadx) dans
lui-même ([4]).
Nous désignerons par E cz ê l'espace vectoriel des opérateurs de Gal-
derón-Zygmund. Le problème fondamental de cette théorie est de trouver un
critère commode permettant de déterminer si un opérateur T e S appartient,
en fait, à JE. Le critère que nous allons donner porte sur l'objet T(l) que
nous allons maintenant définir si T G ê-, 1 désigne la fonction identique-
ment égale à 1.
Soit @0(Rn) cz 9(Rn) le sous-espace des fonctions <p telles que f <p(x)dx
= 0. Si <p e0o et T G ê, la distribution T*(<p) est, en fait, continue hors
du support de <p et est 0(\x\~~n~~8) à l'infini. Alors (T*(<p), 1> a un sens et
T(l) = 8 est une forme linéaire continue sur 2}Q définie par <#, ç?>
= <T*(cp), 1>. De même T*(l) est une forme linéaire continue sur @0(Rn).
Nous désignerons par E1(Rn) l'espace de Stein et Weiss dont le dual
est BMO(IT). Alors SfQ est dense dans H1 et nous écrirons T(l) eBMO
pour exprimer que la forme linéaire continue T(l)9 définie sur 2iïQ, se prolon-
ge à El(Rn). De même T*(l) eBMO a un sens.
Une dernière définition nous sera utile. Soient y e @(Rn), u e Rn, ô>0.
Alors on pose <p{u^(x) = <p((x-u)ld) et l'on dit que T:@(Rn)->2i'(Rn)
est un opérateur d'ordre 0 si, pour toute partie bornée ^ c @(Rn), il existe
une constante G = G (SS) telle que |<T^M^,^>| < Gôn pour tout
q>± G âS9 tout 0>2 G âS, tout u G Rn et tout ô > 0.
THéORèME 1. 8oit T: 3i(Rn)->@'(Rn) un opérateur linéaire et continu
dont le noyau-distribution E(x9y) vérifie les estimations de Galderón-Zyg-
mnnd. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes:
T se prolonge en un opérateur continu sur L2(Rn)9 (4)
^(1) eBMO, T*(l) eBMO et T est d'ordre 0. (5)
Soit Pt, t^0, le semi-groupe de Poisson. Pour toute fonction.
ß GBMO(BW), désignons par Zß l'opérateur défini (formellement) par
? dt d
4 f Qt{(Qtß)(Ptf)}-r = -W) où Qt = ~*l£pt-
Mo™ Lß est
™- °Péra"
o
f dt
teur de Calderón-Zygmund tel que Lß(l) = ß et £j(l) = 0. Si ß et y
appartiennent à BMO(JRn), L = Lß+L* est aussi un opérateur de Cal-

Intégrales singulières, opérateurs et analyse complexe 1003
derón-Zygmund tel que L(l) = ß, L*(l) = y. Gela montre que les deux
fonctions de BMO intervenant dans (5) sont arbitraires.
L'ensemble A cz & (L2 (Rn), L2 (Rn)) des opérateurs TeS tels que
T(l) = T*(l) = 0 est, en fait, une algèbre ([25]) et le théorème 1 peut
être précisé en
B ~ A 0BMO (Rn) ©BMO(Rn). (6)
L'isomorphisme est T->(B, T(l), 2*(1)) où B - T-Lß-L* si ß = T(l)9
y = T*(l).
Pour démontrer le théorème 1, on se ramène, grâce à l'isomorphisme
précédent, au cas où le noyau-distribution B(x,y) de B vérifie les estima-
tions de Oalderón-Zygmund et où JS(1) = J2*(l) = 0. Alors la continuité
de B sur L2 se démontre grâce au lemme de Ootlar ([15], [19], [26]).
Si E: Q->C vérifie les estimations de Oalderón-Zygmund et si E (y, x)
= -E(x,y), on pose EB(x9y) = E(x,y) si \x-y\ > E, Ee(x9 y) = 0
sinon. Alors limEB(x, y) existe dans 2'(Rn xRn) et définit une distribution
40
notée v.p.If(œ, y) et un operateur T: <2)(Rn)-+3}'(Rn) d'ordre 0. La con-
tinuité de T sui1 L2 est alors équivalente à ^(1) G BMO.
Oes remarques fournissent une démonstration particulièrement simple
des résultats de [3].
On appelle Th,heN, les opérateurs dont les noyaux-distribution
sont (A(x)—A(y))h(x — y)~]i~l lorsque A:R->C est lipschitzienne. Pour
obtenir la continuité de Tk sur L2(R) il suffit de vérifier que Tk(l)
GBMO(B). Or TJc(l) ^Tj^A'). Puisque A'eL°°(R), un raisonnement
par récurrence et le théorème 1 donnent immédiatement ||37A|| < ÖÄ+1||-4.'||*.
On sait aujourd'hui que \\Tk\\ < 6400(1 + ft)4||J./||* ([11]).
2. Applications à l'analyse complexe
Soit 9?:JR->JRune fonction lipschitzienne: \cp(x) — (p(y)\^M\x — y\ pour
une certaine constante M > 0, tout x ER et tout y G R. Considérons le
noyau-distribution v.p. (x — y+i[q>[œ) — ^(y)))'1 et l'opérateur Tv:Si(R)
->3)'(R) associé.
THéORèME 2. L'opérateur Tv est borné sur L2(R) et sa norme oie dépasse
pas G(l+M)\
Il existe, à l'heure actuelle, deux démonstrations du théorème 2. La
première (A. P. Oalderon, G. David) consiste à démontrer d'abord la con-

1004 Section 9: Y. Meyer
tinuitó de T^ sur L2(R) en appliquant soit le théorème 1, soit le théorème
de Oalderon présenté au congrès d'Helsinki ([3], [14]).
Une utilisation ingénieuse des inégalités aux bons X de Burkholder et
Gundy permet alors de passer au cas général. La seconde ([11]) consiste
à étudier les opérateurs Tk définis ci-dessus par de nouveaux algorithmes
dus à A. Mcintosh. La signification géométrique du théorème 2 est la
suivante. Soit r c jR2v le graphe de la fonction <p, Qx l'ouvert situé au-
dessus de r, Q2 celui au-dessous de r. On appelle S2(Û±) c L2(r)
= L2(r-,ds) l'espace de Hardy défini comme la fermeture dans L2(T)
des fractions rationnelles P(z)IQ(%) nulles à l'infini et dont les pôles ap-
partiennent à û2. On définit de même H.2(Q2) et le théorème 2 signifie
que L2(r) est la somme directe des çous-espaces B2(û1) et H2(Q2). Ob-
servons que T9 est un opérateur de Oalderón-Zygmund.
Nous pouvons généraliser l'étude précédente.
Soit r une courbe de Jordan fermée et rectifiable du plan complexe,
limitant le domaine Qx. îTous désignerons par Û2 l'extérieur de J1
et par s e [0, Z] la longueur d'arc sur r (l étant la longueur totale
de r).
Suivant Keldysh, Lavrentiev et Smirnov, on définit, pour 1 < p < + oo,
deux sous-espaces fermés HP(Û1) et &tp(Qx) de LP(T\ ds). L'espace de
Hardy HP(ÛX) est la fermeture dans JL^I7; ds) de l'ensemble des poly-
nômes P(z). D'après le théorème de Eunge, on peut également définir
HP(QX) comme la fermeture des fractions rationnelles P(z)IQ(z) dont les
pôles appartiennent à û2. De même on définira ensuite HP(Q2) comme
la fermeture dans i^JT; ds) des fractions rationnelles P(z)jQ(8) nulles
à l'infini et dont les pôles appartiennent à Qt.
Le second espace 3^P(QX) est défini, de façon indirecte, comme l'en-
semble des / e Lp(r-, ds) tels que f zkf(z)dz = 0 pour tout Je eN. Lavren-
r
tiev a démontre que ces deux espaces sont, en général, distincts. Leur
égalité ne dépend pas de p et, si elle a lieu, on dit que Qx est un domaine
de Smirnov.
Pour définir M}p(Q2), on remplace zk par (z — a)~k, a e Ql9 7s > 1.
On dit que jTest une courbe de Lavrentiev si en désignant par z(s), s e RßZ,
le paramétrage de r par la longueur d'arc, on a |*# — «f < G\z(s')— $(s)\
pour tout s et tout s'. On dit que r est lipschitzienne si r est localement
le graphe d'une fonction lipschitzienne.
Enfin r est une courbe régulière d'AMfors si, en désignant par \E\ la
mesure de Lebesgue d'un borélien 23 c RßZ, il existe une constante
(7^2 telle que, pour tout nombre complexe #0 G C et tout r > 0, on a
\{seRßZ; |*(*)-a0l <*}l <
Cr-

Intégrales singulières, opérateurs et analyse complexe 1005
Avec ces notations on a ([14])
THéORèME 3. L'espace Z2(JH; ds) est la somme directe de E2(Q1) et de
M2(Q2) si et seulement si r est une courbe régulière d'Ahlfors. Alors Qx et Q2
sont des domaines de Smimov et pour 1 < p < + oo, Lp(Fm, ds) est la somme
directe de HP(QX) et de MP(Q2).
Donnons quelques indications sur la preuve du théorème 3. On appelle
T l'opérateur défini (formellement) par le noyau de Oauchy (z(s)—z(t))"19
s G RßZ, t G RßZ, et tout se ramène à l'étude de la continuité de T sur
L2(RßZ). On utilise, dans cette étude, trois ingrédients:
— le fait que T soit borné sur L2 lorsque F est lipschitzienne
(théorème 2);
- — une décomposition de tout intervalle d'une courbe régulière d'Ahl-
fors en deux parties: la première, après rotation des axes, est contenue
dans le graphe d'une fonction lipschitzienne et la seconde a une petite
mesure relative;
— l'utilisation des inégalités aux bons l de Burkholder et Gundy
pour passer du cas local au cas global.
Le succès de cette application à l'analyse complexe vient de la déci-
sion de traiter le problème à l'aide des méthodes de l'analyse réelle. On
peut d'ailleurs remplacer le noyau de GauChy 1/(8 — w) par n'importe
quel noyau E(z — w) où E: R2\{0}->C est impaire, homogène de degré
— 1 et indéfiniment derivable.
3STous allons poursuivre l'étude de l'opérateur défini par le noyau de
Oauchy dans le cas des courbes de Lavrentiev ouvertes; elles sont para-
métrées par la longueur d'arc s e R et l'on a |s —1\ < G\z(s) — z(t)\ pour
tout s G B et tout t G B.
Ces courbes de Lavrentiev sont donc caractérisées par le fait que
l'opérateur Tr défini par le noyau de Oauchy soit un opérateur de Oalderón-
Zygmund.
Nous allons définir la variété "K des courbes de Lavrentiev, la para-
métrer à l'aide d'un ouvert V de BMO(B) et enfin démontrer que l'ap-
plication qui à r associe Tr (ou la représentation conforme) est réelle-
analytique sur V.
La variété iT des courbes de Lavrentiev orientées sera d'abord décrite
comme une ensemble. On part des couples (T, z0) d'une courbe de Lavren-
tiev orientée r et d'un point #0 G r. Ensuite on considère que deux tels
couples sont équivalents si l'on peut trouver un déplacement plan g (g(#)
= e*z + y) tel que g(T) = J" et g(z0) = g(z'0).
Désignons par BMO(JB) l'espace de Ba.nach des fonctions réelles
b: R-^R appartenant à l'espace de John et Nirenberg. Il existe alors une