LES LOIS DE LA DYNAMIQUE

LES LOIS DE LA DYNAMIQUE
I ] PENDULE CONIQUE
On dispose d’un ressort à spires non jointives, de longueur au repos : l
ll
l0 = 15 cm et de
raideur : k = 20 N.m-1.
On néglige la masse du ressort dans tout l’exercice, et on considère que : g = 9,81 m.s-2.
On enfile ce ressort sur une tige Ot, soudée en O à un axe vertical (∆
∆∆
∆) et inclinée
obliquement, par rapport à la verticale descendante, d’un angle : θ
θθ
θ = 33°.
Une des extrémités du ressort est fixée en O, tandis qu’à l’autre, on accroche un corps C
de masse : m = 150 g, coulissant sans frottements sur Ot.
1°) Le système est au repos.
a) Déterminer les expressions littérales, en fonction des données du problème, de la
réaction R
1 , exercée par la tige sur C, et de la tension T 1 du ressort.
b) En déduire l’expression littérale de la longueur l
ll
l1 du ressort.
2°) L’ensemble tourne à présent, autour de l’axe (∆
∆∆
∆), à la vitesse angulaire constante : ω
ωω
ω.
Le ressort n’oscille pas et possède une longueur constante : l
ll
l2 = 23 cm.
a) Préciser la trajectoire décrite par C. Quelle est la nature du mouvement de C ? Justifier la réponse.
b) Représenter, sur un schéma, les forces appliquées à C et le vecteur accélération de C.
c) En appliquant le théorème du centre d’inertie à C, déterminer l’expression littérale de ω
ωω
ω, en fonction de l
ll
l2 et
des autres données du problème.
d) Établir l’expression littérale de la réaction R2 exercée par la tige sur C, en fonction de ω
ωω
ω, l
ll
l2 et des autres
données du problème.
II ] VIRAGE D’UN AVION
Un avion monomoteur en vol subit un ensemble de forces que l’on peut modéliser simplement par :
Le poids P
 de l’avion.
La force motrice F
, dirigée suivant l’axe longitudinal de l’avion.
La portance R
, supposée perpendiculaire à l’axe longitudinal de l’avion et au plan des ailes.
La traînée T
, colinéaire à l’axe longitudinal de l’avion et de sens opposé à celui du mouvement.
Toutes ces forces seront rapportées au centre d’inertie G de l’avion.
L’avion étudié, de masse : m = 500 kg, négocie un virage contenu dans un plan horizontal, alors que sa vitesse de
déplacement est constante et vaut : V = 350 km.h-1. Le rayon du virage est : R = 500 m. On donne : g = 9,81 m.s-2.
1°) Représenter sur un schéma l’ensemble des forces appliquées au centre d’inertie G de l’avion étudié.
2°) Quelles sont les caractéristiques (direction, sens et norme) de l’accélération de G pendant le virage ?
3°) Quel doit être l’angle d’inclinaison α
αα
α des ailes de l’avion par rapport à l’horizontale pour que le virage soit
correctement négocié, c’est-à-dire qu’aucune force ne se rajoute à celles déjà mentionnées ?
4°) Déterminer la valeur de la portance R
 au cours de ce virage.
5°) Quelle relation existe-t-il entre les normes des forces F
et T ? Justifier la réponse.
III ] SAUT À SKI
Dans cet exercice, les résultats numériques seront donnés avec 2,0 chiffres significatifs.
Un tremplin de saut à ski est constitué de deux parties rectilignes, AB et CD, et d'une partie circulaire BC, de centre
O’ et de rayon : O’B = O'C = r.
La droite CD est inclinée d'un angle α
αα
α sur l'horizontale et on supposera que l'arc de cercle BC est tangent en B à
AB et en C à CD.
On étudie le mouvement d'un skieur S qui s'élance sur ce tremplin.
On appelle m la masse du skieur, z l'altitude, par rapport au plan horizontal passant par D, d’un point S quelconque
de la trajectoire AD, h celle de A et R
 la force exercée par le tremplin sur le skieur.
On néglige les frottements et le skieur est considéré comme ponctuel. On prendra : g = 9,8 m.s-2.

1°) Étude de la vitesse du skieur.
Le skieur part de A sans vitesse initiale. Le principe de conservation de l'énergie mécanique du système : {Terre +
skieur} permet de connaître l’expression de la vitesse du skieur en S : VS2 = 2 g (h - z).
Exprimer, puis calculer, les valeurs VC et VD de la vitesse du skieur en C et en D.
On donne : h = 20 m, CD = 5,0 m et : α
αα
α = 11°.
2°) Étude de la force R
.
a) Préciser sur un schéma la direction et le sens des forces exercées sur le skieur au cours du trajet AD.
b) Lorsque le skieur est situé entre C et D , exprimer la valeur R de la force R
en fonction de : m, g et α
αα
α.
c) Lorsque le skieur est situé entre B et C, exprimer R en fonction de : m, g, r, VS et θ
θθ
θ (angle de O’S avec la
verticale).
d) En comparant les expressions de R juste avant et juste après le point C, déterminer si R varie de façon
continue ou discontinue en C. Exprimer et calculer la valeur algébrique de la discontinuité éventuelle ; la
valeur de VC étant celle obtenue à la question précédente.
On donne : m = 80 kg, r = 50 m et : α
αα
α = 11°.
IV ] DÉCOLLAGE D’UN AVION À RÉACTION
Dans cet exercice, les résultats numériques seront donnés avec 3,00 chiffres significatifs.
Les avions à décollage et atterrissage courts (A.D.A.C.) possèdent un dispositif de « poussée vectorielle » : grâce à
un jeu de tuyères orientables, la force de
poussée *
F du réacteur, constante en
intensité (F = 95,7 kN) et passant par le
centre d’inertie G de l’avion, peut
prendre une direction variable qui sera
repérée par l’angle α
αα
α qu’elle fait par
rapport à l’axe longitudinal de l’appareil.
Ces avions décollent souvent à
l’aide d’un plan incliné, en deux phases.
On considère un avion de masse : M = 10,8 tonnes. On prendra : g = 9,81 m.s-2.
1°) Première phase : Roulement sur un plan horizontal.
La poussée *
F fait un angle : α
αα
α = 0,110 rad avec l’horizontale.
L’ensemble des forces résistantes (frottements sur le sol, résistance de l’air) et la composante normale de la
réaction du sol peuvent se réduire à une force unique,
*
R, inclinée d’un angle γ
γγ
γ sur la verticale passant par le centre
d’inertie G. La composante horizontale de *
R a une intensité : f = 6,50 kN.
La longueur du roulement dans cette première phase est : L1 = 100 m.
a) Schématiser sur un dessin l’ensemble des forces qui s’exercent sur le centre d’inertie G de l’avion en mouvement.
b) Énoncer le théorème du centre d’inertie et l’appliquer à G pour déterminer la norme aG
1 de son vecteur
accélération.
c) En précisant rigoureusement les différents repères utiles, déterminer la loi horaire : vG
1(t) de la vitesse du centre
d’inertie G de l’avion au cours de cette première phase du décollage.

d) Déduire, de la question précédente, la valeur V1 de la vitesse de G à la fin de la première phase du décollage.
e) Déterminer la valeur en radians de l’angle γ
γγ
γ.
2°) Deuxième phase : Passage sur un plan incliné.
La poussée, par rotation des tuyères, devient verticale mais garde la même intensité : F = 95,7 kN.
Le tremplin fait un angle : β
ββ
β = 0,100 rad avec le sol horizontal et a une longueur : L2 = 20,0 m.
Pendant toute cette phase, la réaction du plan incliné est pratiquement nulle : celui-ci sert uniquement de guide,
l’appareil ayant pratiquement décollé et restant en contact discret avec le tremplin.
L’ensemble des forces résistantes se réduit à la résistance de l’air que l’on assimilera à une force
R', unique,
appliquée en G et faisant l’angle : δ
δδ
δ = 0,350 rad avec la normale au tremplin.
a) Schématiser sur un dessin l’ensemble des forces qui s’exercent sur le centre d’inertie G de l’avion en mouvement.
b) Montrer que la projection de l’ensemble de ces forces sur la normale au tremplin est nulle.
En déduire l’intensité de
R'.
c) Déterminer la norme aG
2 du vecteur accélération du centre d’inertie G de l’avion au cours de cette deuxième
phase du décollage. Commenter le résultat obtenu.