Université de ROUEN Département de Mathématiques L1 M.I.E.E.A.

Universit´e de ROUEN D´epartement de Math´ematiques
L1 M.I.E.E.A.
Alg`ebre 1
Fiche de Travaux Dirig´es NoIII 2011-2012
Relations
Exercice 1. * On d´efinit sur Zla relation suivante : ∀(x, y)∈Z2,
xRysi et seulement si x−yest multiple de 5.
(a) Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
(b) Montrer que cette relation est compatible avec l’addition. C’est `a dire : ∀((x, y),(x0, y0)) ∈Z2×Z2,
xRx0et yRy0⇒(x+y)R(x0+y0).
Exercice 2. * On d´efinit sur l’ensemble des nombres r´eels la relation Rde la fa¸con suivante : ∀(a, b)∈R2,
aRbsi et seulement si a3−b3=a−b.
(a) Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
(b) Trouver, selon la valeur de a, le nombre d’´el´ements dans la classe de a.
Exercice 3. * On d´efinit sur R2la relation suivante : ∀((x, y),(x0, y0)) ∈R2×R2,
(x, y)R(x0, y0) si et seulement si x2+y2=x02+y02.
Montrer que Rest une relation d’´equivalence. D´ecrire la partition de R2par les classes d’´equivalence pour R.
Exercice 4. * On d´efinit sur R2la relation suivante : ∀((x0, y0),(x1, y1)) ∈R2×R2,
(x0, y0)R(x1, y1) si et seulement si y0−x2
0=y1−x2 1.
Montrer que Rest une relation d’´equivalence. D´ecrire les classes d’´equivalence.
Exercice 5. * On d´efinit sur Z×Z∗la relation binaire Rpar: ∀((a, b),(x, y)) ∈(Z×Z∗)2,
(a, b)R(x, y)⇔ay =bx.
(a) Montrer que Rest une relation d’´equivalence.
(b) On note (a, b) la classe d’´equivalence de (a, b). D´eterminer les classes (0,1),(0,−1),(n, 1),(6,2).
Exercice 6. * On note Dla relation d´efinie sur N∗par : ∀(m, n)∈N∗2,
mDnsi et seulement si mdivise n.
(a) Montrer que Dest une relation d’ordre.
1

(b) Dest-elle une relation d’ordre total ?
(c) Repr´esenter par un diagramme l’ensemble {2,3,6,21,42}ordonn´e par D.
(d) N∗muni de la relation Dposs´ede-t-il un plus petit ´el´ement ? un plus grand ´el´ement ?
(e) D´eterminer les ´el´ements minimaux de N∗\ {1}.
Exercice 7. La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur Z? Si oui, l’ordre est-il total ?
Exercice 8. * Ordre Lexicographique
(1) On note E= [−1,1]2et on d´efinit sur Ela relation
(x, y)(x0, y0)⇐⇒ (x<x0) ou (x=x0et y≤y0).
(a) est-elle une relation d’ordre ?
(b) Si oui, est-ce une relation d’ordre total ?
(c) Repr´esenter par un diagramme l’ensemble
n(−1,1),(0.5,−1),(0,1),(−1,0),(1,1),(0.5,1),(−0.5,1)o
muni de l’ordre lexicographique.
(2) Repr´esenter graphiquement l’ordre lexicographique sur N2.
Exercice 9. On d´efinit sur R2la relation : ∀((x, y),(x0, y0)) ∈R2×R2,
(x, y)(x0, y0)⇐⇒ |x0−x| ≤ y0−y.
V´erifier que la relation ainsi d´efinie est une relation d’ordre sur R2.
Exercice 10. *
On d´efinie sur N2la relation Cpar : ∀((x1, y1),(x2, y2)) ∈N2×N2,
(x1, y1)C(x2, y2)⇔(x1≤x2
y1≤y2
(a) Montrer que cette relation est une relation d’ordre. Est-ce une relation d’ordre total ?
(b) Soit A={(2,2),(1,5),(3,0),(4,2)}. Donner un majorant et un minorant de A.
Exercice 11. Soit 4la relation sur Nd´efinie par :
x4y⇔(x=y)∨(y≤x≤100)
(a) Montrer que 4est une relation d’ordre sur N. Est-ce une relation d’ordre total ?
(b) Soit E={3,4,55,6,10,92}. Donner le plus grand et le plus petit ´el´ement de l’ensemble Epour la relation
4.
2