Cours n°7 : L`oeil et les instruments d`optique

Cours n°7 : L’oeil et les instruments d’optique
I) L’œil
A) Constitution
muscles qui
contractent le
humeurcristallin
aqueuse
cornée
iris 2 à 8 mm de
diamètre
cristallin
humeur
vitreuse
Sur 2 mm s’étend la fovéa ou
tâche jaune que tapissent les
photorécepteurs de l’œil : les
cônes (pour la couleur) et les
bâtonnets (pour le noir et
blanc, vision nocturne)
globe oculaire
diamètre 25mm
Le champ de vision nette de l’œil correspond seulement à un cône d’angle total au sommet 1°
B) Accommodation
Dans un premier temps, nous nous intéressons à un individu jeune dont la vision est parfaite :
L’œil a la faculté d’accroître la convergence de son cristallin, on dit qu’il accommode.
La vision sans accommoder est la moins fatigante ; elle correspond à l’observation d’un objet à l’infini; le point observé
appelé punctum remotum R est l’infini. L’objet est situé en R à une distance D de l’œil situé en O
OR = D =
.
Lorsque l’on observe des objets à distance finie, il faut accommoder; l’accommodation maximum correspond à
l’observation d’un objet situé au punctum proximum OP = d= 25 cm. P est le point le plus rapproché de O que l’on puisse
observer avec netteté.
En modélisant l’œil par une unique lentille et un écran situé 1 cm en arrière, calculer les vergences des lentilles
équivalentes à l’œil pour une observation d’un objet situé au punctum remotum puis pour une observation d’un objet
situé au ponctum proximum.
1
plus CV
-p= D=
- p = d=0.25m
p’=1cm
f’= p’=1cm
moins CV
1/p’ -1/p = 1/f’ donne alors f’ =0.96 cm
La quantité A = d-1 -D-1 est appelée l’amplitude dioptrique . Calculer sa valeur : On trouve 4 dioptries
Remarque : Puisque l’œil est modélisé par une unique lentille, un dessin suffit à se convaincre que l’image d’un objet est
inversée. Comment se fait-il que notre représentation du monde extérieur ne soit pas inversée? Le cerveau effectue bien
sur un traitement de l’information.
B
A’
A
F
B’
2
C) Défauts de l’œil (et correction par lentilles accolées)
1) Myopie :
L’œil est trop convergeant . L’image d’un objet à l’infini se forme avant la rétine. Le punctum remotum R est à distance
finie. On corrige ce défaut avec une lentille DV.
Remarque : comme l’amplitude dioptrique est constante pour les individus jeunes le punctum proximum est situé à une
distance inférieure à 25 cm.
Considérons un œil myope dont le punctum proximum soit situé à 15 cm, calculer alors la distance de son punctum
remotum.
On trouve par 1/0.15 - 1/D =4 D=0.37m
Calculons maintenant la distance focale image de son cristallin lorsqu’il observe sans accomoder.
p=-0.37m et p’=0.01 donne f’=0.973cm
Quelle doit être la vergence de la lentille correctrice accolée pour que cet œil corrigé puisse observer l’infini sans
accommoder.
la lentille de correction doit être Dv et on utilise pour calculer sa vergence la formule des lentilles accolées
1/f’oeil myope+ 1/f’ verre correcteur = 1/f’Oeil normal = 1/ 0.01
On trouve ainsi f’ verre correcteur = -0.36m soit v’verre correcteur = -2.7D
2) Oeil hypermétrope.
Le punctum proximun est situé à plus de 25 cm . Pour voir un point situé à l’infini, il faut accommoder un peu. Correction
grâce à une lentille CV.
3) Presbytie.
Lorsque l’on vieillit l’amplitude dioptrique diminue. L’ œil perd sa faculté d’accommodation et ne voit nettement que des
objets situés au voisinage du remotum.
Il faut une lentille de 4 dioptries de vergence qui donne d’un objet situé à l’ancien proximum une image au remotum.
4) Œil astigmate.
Il s ’agit d’un œil ne possédant pas la symétrie de révolution. La correction de ces défauts réclame des verres
Correction de
asymétriques.
myopie lentille DV
Œil
rétine
myope
Œil myope
rétine
3
Les myopes ont des yeux qui paraissent plus petits avec des lunettes quelque soit leur corrections et les hypermétropes
c'est l'inverse, ils ont l'air d'avoir de gros yeux. Cela vient tout simplement du fait que les myopes portent des verres
concaves et les hypermétropes des verres convexes. Si vous regardez vos lunettes vous allez comprendre. myopes vos
verres sont épais aux bords et fins au centre (sauf si astigmatisme en plus ils peuvent être épais en divers endroits) et
hypermétropes vos verres sont fins sur les bords mais épais au centre.
Reprendre le schéma avec lentille DV et objet entre la lentille et le foyer image, l’image est derrière l’objet elle est vue
sous un angle plus petit.
4
D) Pouvoir séparateur de l’œil
Il s’agit de l’aptitude à séparer les détails d’un objet
Les détails d’un objet séparés angulairement de 4 10-4 radians peuvent être distingués par l’œil; si l’objet est placé au
punctum proximum cela correspond à des détails distants de 0.1 mm.
Remarque pour les instruments de spectroscopie qui permettent d’analyser les spectres, on parle de pouvoir de résolution
que l’on ne confondra pas avec le pouvoir séparateur des instruments d’optique.
Calculer l’extension des photorécepteurs de la rétine
0.1 mm
4 10-4
4 10-6 m
radians
d=0.25 m
1cm
la rétine et deux
photorécepteurs
5
E) Vision stéréoscopique triangulation estimation de la profondeur
6
II) Viseur
-description
Il s’agit d’un système de trois tubes coaxiaux emboîtés
T2
T1
et coulissant les uns dans les autres.
T3
T1 est l’objectif T2 est le réticule T3 est l’oculaire
- Réglage de l’oculaire par rapport au réticule
Il faut se rappeler que l’œil ne peut examiner des objets que si ils se situent entre le remotum et le proximum
B
A’
R
On part de la position tube oculaire tiré au maximum
A
F
B’
en symbolisant l’oculaire par une seule lentille :
L’œil collé derrière l’oculaire ne peut examiner A’B’
image du réticule R= AB car cette dernière se forme derrière lui.
R
B
A =F
On diminue la distance oculaire réticule,
lorsque R est au foyer de l’oculaire l’image se forme à l’infini.
L’œil peut examiner cette image sans accommoder.
Remarque : L’image est aussi bien en + l’infini qu’en moins l’infini car elle est à l’intersection de deux droites parallèles
Si on diminue encore la distance l’œil peut encore observer l’imageB’du réticule
B
en accommodant si celle-ci se forme avant le punctum proximum A’
R
F
A
Ainsi c’est la première image nette observée qui correspond
à l’observation de l’image du réticule sans accommodation.
C’est cette situation que l’on choisira car elle fixe l’accommodation
donc la vergence du cristallin et qu’elle ne fatigue pas œil.
Pour vérifier qu’il en est bien ainsi on regarde un objet à l’infini puis immédiatement après à travers l’oculaire on doit voir
le réticule immédiatement net
7
- Règlage de l’objectif
Une fois la distance T2T3 fixée on règle T1 par rapport à T2 pour que l’image de l’objet observé à travers l’objectif se forme
en R, c’est à dire que l’on voie net en même temps à travers l’oculaire l’image du réticule par l’oculaire et l’image de l’objet
par le viseur
Plus le tirage de l’objectif est grand plus on peut observer un objet proche. Lorsque le viseur est complètement compacté il
est réglé pour l’infini. Plus on observe un objet lointain plus la profondeur de champ est grande. Pour des mesures précises
on a donc intérêt à travailler à viser à courte distance. On peut soit régler le viseur soit poser sur le viseur compacté ( donc
réglé à l’infini) une bonnette c’est à dire un tube portant une lentille de focale 20cm qui observera un objet à 20cm et en
formera une image à l’infini pour le viseur
- Utilisation du viseur :
Imaginons maintenant qu’un objet observé soit déplacé depuis sa position initiale A jusqu’en B. L’image de l’objet obtenue
par le viseur initialement en V a perdu sa netteté. Pour la retrouver (en W) sans changer les réglages du viseur, il faut
déplacer le viseur d’une distance égale à celle dont l’objet a été déplacée;
Ceci fournit une méthode pour mesurer le déplacement d’un objet à distance.
A
B
V
W
8
III) Instruments d’optique
1) Informations concernant les instruments d’optique :
- Le grandissement linéaire d’une lentille est défini par le rapport des tailles de l’image et de l’objet
= A’B’/AB=OA’/OA=p’/p
Or 1/p’-1/p=1/f’ soit 1/p’ =1/f’+1/p=(p+f’)/(pf’)
donc = f’/(p+f’) qui dépend de la focale et de la position de l’objet
Pour un miroir le grandissement linéaire est en -SA’/SA
- Le grandissement angulaire G d’une lentille ou d’un miroir serait défini par le rapport des angles sous lesquels
sont vus l’image et l’objet depuis l’élément G = ’/ =1, il vaut donc 1 en valeur absolue dans les deux cas
Le grossissement d’un instrument d’optique est défini comme le rapport de l’angle ’ sous lequel l’image est vu
de la face de sortie sur l’angle 0 sous lequel l’observateur voit l’objet à l’œil nu
G0 = ’/
0
- Dans le cas d’une lunette l’objet est une étoile et est située à l’infini 0= où est l’angle sous lequel l’objet est
vu de la face d’entrée de la lunette et G 0=G en généralisant la notion de grandissement angulaire comme G = ’/
avec ’et angles sous lesquels sont vus l’image et l’objet depuis la face de sortie et la face d’entrée
respectivement
- Dans le cas d’un microscope ou d’une loupe, on place le petit objet AB à observer au punctum proximum
distance minimale de vision directe d = 0.25m et 0= AB/d donc G0 = ’d / AB
Si le microscope est équivalent à une loupe de focale équivalente f’ eq alors ’= AB/f’eq et G0 = d /f’eq
Pour un microscope on définit encore la puissance comme P= ’/AB ce qui donne G0 = P.d
(La puissance n’a pas de sens pour une lunette, elle serait nulle)
Une loupe ce n’est rien d’autre qu’une lentille CV,
la loupe est l’oculaire le plus simple qui soit ; on place l’objet au foyer objet, ainsi l’œil observe sans
accommoder.
On peut alors se demander pourquoi on ne se sert pas d’une loupe de très courte focale le grossissement
G0=d/f’ serait en effet d’autant plus grand que la focale serait courte. En fait on ne construit pas de loupes ou de
lentilles dont la vergence soit supérieure à 100 car au delà les rayons ne seraient plus paraaxiaux les aberrations
limiteraient trop fortement la qualité des images ; on est donc contraint à réaliser des associations de lentilles.
9
- microscope :
- objectif quelques mm de focale,
- grossissement des oculaires 5 ; 10 ; 12.5 ; 15 ; 20 ; 25
soit d/f’= 1/(4f’) = 5 à 25
soit 1/(f’)= 20 à 100
soit f’=1/20 à 1/100 = 1 à 5 cm
- lunette astronomique : - objectif focale 1m diamètre 10 cm
- Oculaires f’= 5 mm à 36 mm
10
2) Profondeur de champ d’un appareil photo
L’objectif d’un appareil photo est modélisé par une lentille mince convergente de distance focale image f ’, accolée à un
diaphragme circulaire de diamètre D. Les axes de la lentille et du diaphragme sont confondus et f ’est égale à 50 mm. La
lentille est utilisée dans les conditions de Gauss. On définit le nombre d’ouverture N par le rapport
N =f ’/D
1) Enoncer les conditions de Gauss. Attention il y a deux choses à dire sur les rayons par rapport à l’axe optique !
2) La mise au point étant faite à l’infini, quelle est la distance de l’objectif au plan du film ?
3) La distance minimale de mise au point étant de 60cm, calculer dans ces conditions la distance de l’objectif au plan du
film. Quelle est la course de l’objectif ?
4) L’objectif est mis au point sur l’infini. A tout point de l’axe correspond dans ces conditions une tache. Compte tenu du
grain de la pellicule de diamètre et de l’acuité visuelle, il y a netteté apparente si le diamètre de cette tache est inférieur
ou égal à .
On note A le point de l’axe le plus proche de l’objectif pour lequel ce critère de netteté apparente est satisfait.
Représenter sur une figure le point A et son image A’, ainsi que les grandeurs D et .
Calculer la distance -p du point A à l’objectif en fonction de N, f ’ et et commenter ce résultat.
Pour N=1 la distance –p s’appelle distance hyperfocale.
AN : =20 m. Calculer p pour N=2.8 puis pour N=16
5) La tache centrale de diffraction pour une ouverture circulaire de diamètre D peut limiter la résolution de l’appareil. On
rappelle que l’ouverture angulaire de la tâche centrale de diffraction est donnée par : sin = 1. 22 /D
Quelle condition doit respecter le nombre d’ouverture de l’objectif pour que la résolution ne soit pas limitée par la diffraction? on
prendra le cas de l’observation d’un objet à l’infini AN: On prendra = 0.6 m. On ne tiendra plus compte de la diffraction dans la suite.
6)Remarque si l’appareil n’est pas réglé sur l’infini mais sur un objet situé à une distance x 0 correspondant à une distance d0
entre l’objectif et la pellicule. Quand l’objet se rapproche ou s’éloigne de l’objectif son image devient floue pour des
distances x1 et x2. On appelle P = x2-x1 la profondeur de champ. Montrer que
1
x1
1
D f'
(
1
)
x0
1
x0
1
x2
D
(
1
f'
1
)
x0
1
x0
2 1
(
D f'
P
1
x0
2
2
D
1
)
x0
1
f'
1
x0
2
P
2 d0 D
d0 D
x0
2
²
???
7) Si on veut une grande profondeur de champ doit on choisir l’objectif de 50mm ou un petit téléobjectif de 100mm on
pourra négliger la taille du grain au dénominateur pour répondre P
2 d0 D
d0 D
x0
2
11
1) Une pellicule a une sensibilité déterminée, elle donne une bonne photo si elle reçoit la bonne quantité d’énergie
lumineuse.
La densité D de l’opacité correspondant à une exposition H donnée est D =A + log H où A et sont des cstes (D est
exprimée selon la norme américaine ASA aujourd’hui norme internationale ISO dans une échelle linéaire ou selon la norme
DIN allemande dans une échelle logarithmique ; le lien entre les deux échelles est : DIN =10.5 log(ISO ).
Pour régler l’ouverture et le temps de pose soit l’exposition, on dispose d’un double réglage, réglage du diaphragme et
réglage du temps de pose. Sur deux bagues de l’objectif on peut régler séparément le nombre d’ouverture et le temps de
pose ;
Si N=8 et T = 1/125 convient à une pellicule donnée, quel réglage de T faut-il choisir pour N=2.8 ?
Indication : L’énergie reçue dépend du temps de pose et de l’aire du diaphragme , pour avoir la même énergie si le temps
de pose est divisé par deux l’aire doit être multipliée par deux donc le rayon du diaphragme par √ 2 donc N divisé par √ 2
N
22
Temps de 1/15
pose
16
11
8
5.6
4
2.8
1/30
1/60
1/125
1/250
1/500
1/1000
9) Votre ami(e) joue dans les vagues à 10 m de vous, vous voulez faire une photo, vous avez dans votre sacoche un objectif
de 50mm et un petit téléobjectif de 100 mm. Quel objectif prenez vous et quels réglages ( temps de pose et ouverture)
faites vous si vous voulez que les gouttes d’eau soient nettes dans un flou artistique, c’est à dire avec une profondeur de
champ de 1m ? On utilisera la formule P
2 d0 D
d0 D
x0
2
on prendra pour taille du grain 30 m
10) La tache centrale de diffraction pour une ouverture circulaire de diamètre D peut limiter la résolution de l’appareil. On
rappelle que l’ouverture angulaire de la tâche centrale de diffraction est donnée par : sin = 1. 22 /D
Quelle condition doit respecter le nombre d’ouverture de l’objectif pour que la résolution ne soit pas limitée par la
diffraction? on prendra le cas de l’observation d’un objet à l’infini AN: On prendra = 0.6 m
12
3) Téléobjectif montage dont l’encombrement est inférieur à sa focale,
Exemple une lentille objectif CV de focale 100mm et une lentille DV de focale –37.5mm à 75mm derrière la pellicule étant encore
75mm derrière la divergente soit une taille totale du téléobjectif de 150mm.
Calculer grâce à la formule du doublet que vous trouverez ci dessous la focale équivalente.
13
4)Lunette astronomique
1) On modélise une lunette astronomique comme un doublet. Le doublet doit constituer un système afocal. Pourquoi ?
L’étoile objet de l’objectif se trouve à l’infini et l’observation de l’image donnée par la lunette qui est un objet pour l’œil se
fait sans accommoder.
Comparer les distances focales de la lentille objectif et de la lentille oculaire. On s’aidera du premier schéma ci dessous.
Afin que le dispositif constitue un concentrateur de lumière il faut que la distance focale de l’objectif soit plus grande que
celle de l’oculaire
F’ = F
ob
oc
Ce dispositif afocal concentre la lumière
2) Exprimer le grossissement G = ’/ où ’ et sont les angles sous lesquels l’objet à l’infini est observé à travers la
lunette ou à l’ œil nu en fonction des paramètres du problème. On s’aidera du second schéma ci-dessous.
oculaire
objectif
F’ob = Foc
O1
O2
’
I
Une étoile à l’infini est vue sous un angle , c’est à dire qu’un point à la périphérie
de l’étoile génère un faisceau parallèle qui fait un angle avec l’axe optique
tan
'
IF 'obj
IF 'obj
O1 F 'obj
f 'obj
' tan '
IFoc
FocO2
IF 'obj
f 'oc
f 'obj
f 'oc
14
3) Le cercle oculaire est l’image de la monture de l’objectif par l’oculaire.
Montrer que la mesure du diamètre du cercle oculaire et du diamètre de l’objectif permet de calculer le grossissement de
la lunette.
F’ob = Foc
Dobj /2
O2
O1
cercle oculaire
d/2
I
Dobj / 2
f 'obj
IO2
f 'oc
doc / 2
f 'oc
Dobj
f 'obj
doc
f 'oc
4) Le deuxième schéma montre la marche d’un rayon qui rentre dans la lunette incliné par rapport à l’axe optique et qui
frappe la face d’entrée de la lentille objectif ailleurs qu’en son centre optique. Expliquer la construction.
On utilise deux axes optiques secondaires (ils passent par le centre des lentilles)
Remarques :
- Les lunettes terrestres ou les jumelles doivent fournir une image droite, la lunette astronomique ne convient donc
pas comme lunette terrestre puisqu’elle inverse les images ; on utilise dans une lunette terrestre un oculaire
redresseur formé de deux groupes de lentilles convergentes le premier retourne l’image intermédiaire renversée et
l’agrandit d’un facteur 2 à 3, le second groupe est l’oculaire proprement dit. Dans les jumelles on utilise des prismes
rectangles isocèles à réflexion totale, les prismes sont écartés de façon à replier le trajet des faisceaux lumineux
entre les objectifs et les oculaires de façon à obtenir un système plus compact. Le plus simple des instruments qui
permette d’observer des objets sans les renverser est la lunette de Galilée : objectif une lentille CV de focale par ex 60
cm, oculaire une DV de de focale –5cm, pour que le système soit afocal les objets observés étant suffisamment wxloin
pour que l’on puisse considérer qu’ils sont à l’infini on prendra encore comme pour toute lunette terrestre F’obj = Foc
- On ne construit pas de loupes ou de lentilles dont la vergence soit supérieure à 100 car au delà les aberrations limitent
trop fortement la luminosité ; on est contraint pour les instruments d’optique à réaliser des associations de lentilles
15
Lunette astronomique énoncé
1) On modélise une lunette astronomique comme un doublet.
le doublet doit constituer un système afocal. Pourquoi ?
Comparer les distances focales de la lentille objectif et de la lentille oculaire. On s’aidera du premier schéma ci dessous.
2) Exprimer le grossissement G = ’/ où ’ et sont les angles sous lesquels l’objet à l’infini est observé à travers la
lunette ou à l’ œil nu en fonction des paramètres du problème. On s’aidera du second schéma ci-dessous.
3) Le cercle oculaire est l’image de la monture de l’objectif par l’oculaire.
Montrer que la mesure du diamètre du cercle oculaire et du diamètre de l’objectif permet de calculer le grossissement de
la lunette.
4) Le deuxième schéma ci-dessous montre la marche d’un rayon qui rentre dans la lunette incliné par rapport à l’axe
optique et qui frappe la face d’entrée de la lentille objectif ailleurs qu’en son centre optique. Expliquer la construction.
F’ob = Foc
Ce dispositif afocal concentre la lumière
oculaire
objectif
F’ob = Foc
’
Une étoile à l’infini est vue sous un angle , c’est à dire qu’un point à la périphérie
de l’étoile génère un faisceau parallèle qui fait un angle avec l’axe optique
16
5) Lunette de Galilée
un objectif convergent et un oculaire divergent double intérêt plus compacte et ne renverse pas les images
afin que le faisceau lumineux soit concentré il faut que
F’obj = Foc
-f’oc
f’obj
Comparaison entre Galilée et Kepler
Dispositif de Galilée :
F’oc
F’obj = Foc
0
-f’oc
Comme l'oculaire est divergent, pour que son plan focal coïncide avec celui de l'objectif, il faut le
placer en avant (toute lentille divergente a une distance focale négative). Dans ce dispositif, la zon
de pleine lumière est entourée par une zone sombre dégradée et la totalité du champ de vision ne
peut être explorée sans déplacer l'œil.
17
Dispositif de Kepler :
Comme l'oculaire est convergent, pour que son plan focal coïncide avec celui de l'objectif, il faut le
placer en arrière. La lunette de Kepler est donc plus longue que celle de Galilée pour le même
objectif. Ce dispositif a un inconvénient majeur : les objets sont vus inversés.
Avantage de la lunette de Kepler :
Le dispositif de Kepler a de nombreux avantages : comme on dispose d'une image intermédiaire
réelle, on peut interposer dans son plan un diaphragme qui élimine la lumière arrivant sous un ang
trop oblique. Surtout, il est possible d'améliorer les conditions d'observations en installant un
oculaire composé de plusieurs lentilles, ce qui n'est pas possible pour la lunette de Galilée. Mais d
toute manière, au début du XVIIe siècle, la mauvaise qualité des objectifs (aberrations
chromatiques) faisait que les deux dispositifs donnaient à peu près les mêmes images.
Comparaison entre la lunette de Kepler et la lunette de Galilée
On envisage ici des lunettes astronomiques constituées de deux lentilles uniquement, la lentille objectif et la
lentille oculaire.
Ces systèmes sont afocaux ainsi le foyer image de l’objectif est-il confondu avec le foyer objet de l’oculaire. F’obj =
Foc
L’objectif est toujours convergent, l’oculaire est convergent dans le lunette de Kepler, l’oculaire est divergent dans
la lunette de Galilée.
1) Montrer que les deux lunettes concentrent la lumière de la même façon bien que l’une soit plus compacte que
l’autre. Montrer que pour l’une des deux lunettes l’image intermédiaire est réelle tandis que pour l’autre elle est
virtuelle.
2) Montrer que le grossissement est dans le rapport des focales images. Montrer que l’une des deux lunettes
inverse les images
Questions hors programme :
3) Montrer que l’une des deux lunettes possède un champ de contour plus important que l’autre
18
4) Montrer que la pupille de sortie de la lunette de Galilée est confondue avec l’oculaire
19
Lunette de Kepler
image intermédiaire réelle encombrement f’obj +
f’oc
G= /
0=
- f’obj /f’oc inverseuse
concentration de la lumière en (f’obj /f’oc)²
F’obj = Foc
Lunette de Galilée
image intermédiaire virtuelle
encombrement f’obj + f’oc= f’obj - f’oc
G= /
0
= - f’obj /f’oc = f’obj / f’oc non-inverseuse
concentration de la lumière en (f’obj /f’oc)²
F’obj = Foc
objectif
oculaire
objectif
oculaire
f’oc
f’obj
f’obj
f’oc
foyer objet secondaire de l’oculaire
foyer objet secondaire de l’oculaire
0
F
F
0
20
Construction des images des montures ou diaphragmes dans l’espace d’entrée i.e du coté de l’objet de l’étoile.
Attention on envisage pour cela un sens de propagation de la lumière inversé
1) image de
l’oculaire par
l’objectif
2) comme il n’y a pas de lentille à
gauche l’objectif est sa propre image
5) le diaphragme correspondant est le diaphragme de champ. si
on fait varier son diamètre la luminosité du champ de contour
varie
4) image vue
depuis le centre
de la PE sous le
plus petit angle,
c’est la lucarne
d’entrée LE
3)image vue sous le plus petit angle depuis l’étoile
c’est la pupille d’entrée PE
le diaphragme correspondant ici l’objectif lui même
limite l’éclairement c’est le diaphragme d’ouverture
PE et
Si on fait varier le diamètre du diaphragme d’ouverture
la luminosité du centre de la figure varie
champ
LE
ouvert
ure
le champ de
contour est plus
grand que pour la
Kepler
champ de contour
champ champ de
moyen
pleine lumière
PE et
champ
LE
ouvert
ure
champ
LE
ouverture
et PE
Construction des images des montures ou diaphragmes dans l’espace image i.e du coté de l’observateur
4)
ouverture
correspond à PS
3) PS vue de l’étoile sous le plus petit angle
champ
c’est ici que l’on place l’œil ou cercle oculaire
1)
2)
5) LS
6) champ
P
S LS
ouve
comme larture
pupille de sortie est à l’intérieur de
l’instrument on ne peut pas y placer le cercle
oculaire
21
6) Loupe et Microscope
1) Oeil nu L’angle sous lequel sont vu deux objets A et B que l’œil peut résoudre est 10 -4 radians. En plaçant les
deux objets au punctum proximum en déduire leur écartement.
Loupe informations
Cas n°1
F’
F
Objet lointain ( à l’infini) , l’image se forme au voisinage du foyer image, elle est inversée
Il faut mettre entre F’ et l’œil , plus que la distance minimale de vision directe
Cas n°2
F’
A’
F
Si l’objet se rapproche de F en allant vers la droite l’image s’éloigne de F’ en allant vers la droite ( c’est la
configuration utilisée pour une projection ; si on rapproche l’objet il faut éloigner l’écran) Il faut garder entre A’ et
l’œil, plus que la distance de minimale de vision directe sinon l’objet devient flou et on ne forme plus l’image ; il faut
donc éloigner l’œil vers la droite
Cas n°3
Si l’objet est en F l’image se forme à l’infini, ce sont les conditions usuelles d’utilisation d’une loupe, l’œil
n’accommode pas. La position de l’oeil n’a à priori pas d’importance toutefois l’œil ne devra pas être trop loin de la
loupe car ainsi on ne sélectionnera que les rayons paraaxiaux et les aberrations seront atténuées.
remarque : 2 droites parallèles se coupent aussi bien en + l’infini qu’en – l’infini En fait il faut que l’objet soit proche
du foyer mais entre la lentille et le foyer.
Cas n°4
Objet entre le foyer objet et la lentille, l’image est virtuelle examinable par l’œil le plus souvent, il suffit de mettre
plus de 25 cm entre l’image et l’œil
22
Cas n°5
Objet sur la lentille ,l’image est confondue avec l’objet et la lentille , grandissement 1 pas d’intérêt
Remarque importante : Si on place l’œil au foyer image alors le diamètre angulaire
la position de l’objet ce qui peut apporter un certain confort
de l’image est indépendant de
2) Pour une observation à la loupe on place les objets A et B à discerner dans le plan focal objet.
Quel est l’angle ‘ sous lequel l’image de l’objet AB est vue à travers une loupe de vergence 100
Quel est le grossissement de la loupe ?
Quelle est sa puissance définie comme P = ‘/AB ?
Quelle est la résolution du système œil + loupe ?
23
3) On rappelle la formule du doublet
f ’éq = f’1 f’2 / (f’1 + f’2 - d ) où d est la distance entre les deux lentilles du doublet.
Montrer que cette formule est cohérente avec la formule du doublet accolé
4) microscope on utilise un doublet tel que f’ objectif = 5 mm , d = 10 cm
et f’oculaire = 2 cm.
faire un dessin ou l’on placera l’image intermédiaire A’B’ d’un objet AB par l’objectif. la construction utilisera un
rayon qui passe par le centre de l’objectif et un rayon qui passe par le foyer objet. Tracer la marche de ces deux
derniers rayons après passage à travers la lentille oculaire. Placer la lentille équivalente au doublet et commenter.
Quelle est sa puissance définie comme P = ‘/AB
d - f’1 - f’2 = F’objFoc =
est ce que l’on nomme l’intervalle optique
d
oculaire
objectif
B
A
F’ob
Foc
A’
’
F’oc
Fob
B’
L’image de A’B’ à travers l’oculaire est formée à l’infini ainsi l’œil peut l’observer sans accommoder.
24
La résolution d'un microscope désigne sa capacité à séparer des détails très voisins.
Indépendamment du capteur utilisé et des aberrations ou imperfections des lentilles, la résolution
du microscope optique est fondamentalement limitée par la diffraction de la lumière. En effet, du
fait de la diffraction, l'image d'un point n'est pas un point, mais une tache (la tache d'Airy). Ainsi,
deux points distincts mais voisins auront pour images deux taches dont le recouvrement peut
empêcher de distinguer les deux points images : les détails ne sont alors plus résolus.
Selon la théorie d'Abbe, la limite de résolution (transverse)
d d'un microscope, c'est-à-dire la plus
petite distance en-dessous de laquelle deux points voisins ne seront plus distingués, peut être
exprimée simplement à l'aide de la longueur d'onde d'illumination λ, de l'indice de réfraction n en
sortie d'objectif, et du demi angle du cône de lumière maximum accessible
α. (On appelle
ouverture numérique de l'objectif le produit NA = nsinα.)
25
IV) Doublets ; formule de Gullstrand hors programme (et depuis longtemps !)
I) Formules de Newton, rappels
1) Tracer l'image d'un objet AB placé avant le foyer objet d'une lentille convergente en utilisant le rayon qui
passe par le foyer objet et le rayon qui passe par le foyer image
B
A’
F’
Construction de l’image
d’un objet étendu : OR IR
F
A
B’
2) En exploitant les angles de la figure précédente démontrer la formule algébrique de conjugaison avec
origines aux foyers ( formule dite formule de Newton)
FA.F ' A '
f '²
3) Grâce à la même figure toujours exprimer le grandissement en fonction de AF dans une première
formule puis en fonction de A'F' dans une seconde formule
B ' A'
F ' A'
AB
f'
AB
AF
B ' A'
f'
A' B '
AB
f'
AF
A' F '
f'
4) Les plans principaux conjugués avec grandissement de 1 ( H et H’sont confondus avec la lentille) Les
plans antiprincipaux X et X’ conjugués avec grandissement de –1 sont positionnés de part et d’autre des
f’
foyers à f’ au loin de la lentille
f’
f’
f’
B
F’
A=X
Construction de l’image
d’un objet étendu : OR IR
F
A’=X’
H=H’=O
B’
26
II) Doublet non accolé
1) Les centres optiques de deux lentilles minces (centre des deux lentilles) O 1 et O2 sont distincts. Les
lentilles minces ne peuvent être considérées comme accolées.
On note F1 et F’1 les foyers objet et image de la lentille 1. On note F 2 et F’2 les foyers objet et image de la
lentille 2.
On note d = O1O2 quantité que l’on pourra supposer positive sans limiter la portée du problème.
a) montrer que la position de l’image F d’ par le doublet non accolé d’un objet situé à l’infini dans l’espace
objet ou foyer image du doublet est donnée par la formule suivante :
F’2F’d = f’2 2 / (d - f’1 -f’2)
Il suffit de remarquer que F’d est l’image de F’1 par la lentille 2 et d’appliquer la formule de Newton pour la
lentille 2
b) en déduire que
F1F d = -f’1² / ( d - f’1 -f’2)
où Fd est le foyer objet du doublet ou la position d’une source ponctuelle dont l’image par le doublet non
accolé est située à l’infini . indication : de même Fd a pour image F2 par la lentille 1
que représente la quantité
= d - f’1 -f’2 appelée intervalle optique ?
correction de 1 :
a)
d
F’2
F2
F’1
O1
Fd’
O2
27
F’2s
2
F2 F '1 F '2 Fd '
f '2
2
(d
f '1 f '2 ) F '2 Fd '
b)
f '2
2
F '2 Fd '
(d
f '2
f '1 f '2 )
d
Fd
F1
F’2
F2
F’1
O1
O2
2
F1 Fd F '1 F2
f '1
2
F1 Fd
(d
f '1
f '1 f '2 )
28
2) Si on suppose que la formule de Newton est encore valable pour le doublet avec F d et F'd
en considérant F1 et son image F'2 par le doublet en déduire la distance focale image f’ eq de la lentille
équivalente au doublet non accolé .
on réfléchira sur le signe de la détermination par passage à la limite du doublet accolé.
Correction 2
F’2F’d = f’2 2 / (d - f’1 -f’2)
F1F d = -f’1² / ( d - f’1 -f’2)
F’2F’d F1F d == -f’1² f’2 2 / (d - f’1 -f’2)²
=-f’eq²
f’eq = - f’1 f’2 / (d - f’1 -f’2) pour que quand d= 0 on retrouve la formule du doublet accolé
La validité de la formule de Newton sera démontrée à la fin de cet exercice en s’appuyant sur la notions de
plans principaux
29
3) Un faisceau parallèle attaque la face d’entrée du doublet le schéma ci-dessous positionne la lentille
''équivalente'' au doublet et F’ sur le dessin suivant. En exploitant les angles de la figure calculer la distance
de la lentille équivalente au foyer image O' dF'd
I
F’2
F2
O1
F’1
F1
F’d
O2
O’d
J
O1 I
O1 F '1
JO2
F '1 O2
F 'd O 'd
O2 F 'd
O1 F '1
F '1 O2
JO2
O2 F 'd
O1I
F 'd O 'd
f '1 ( f '2
O 'd F 'd
f '2 ²
)
d f '1 f '2
d f '1
f '1 f '2
d f '1 f '2
I
F1
F’2
F2
Od
Fd
O1
F’1
O2
J
J
30
O2 I
Od Fd
Od Fd
Fd O1
JO1
Fd O1
F2O2
O1 F2
JO1
O1F2
Od Fd
Fd O1
O2 I
F2O2
F2O2
O1 F2
f '2 ( f '1
f '1 ²
)
d f '1 f '2
d f '2
f '1 f '2
d f '1 f '2
31
4) Soit X et X' les plans anti-principaux objet et image c'est à dire tels que si on met en X un objet son image
en X' corresponde à un grandissement de -1
Exprimer la distance algébrique XFd en fonction de d, f'1 et f'2
Positionner X et X' sur le schéma précédent les focales sont définies par :f d= Fd X
2
F1 X F '1 X i
=-1= -
f '1
F'1 X i
f '1
-
F2 X i F '2 X '
F'2 X '
f '2
f '2
2
f '1 f '2
F1 X F2 X I
f’d= Fd ' X '
X 'i image intermédiaire
1
2
F1 X ( F2 F '1 F '1 X I )
f '1 f '2
F1 X ( f '2
f '1
)
F1 X
f '1 d
f '1 f '2
2
F1 X ( f '2
=-1=
F '2 X '
f '1 d )
f '1
F1 X
2
f '1
f '2
F2 X i
FX
f '2 1
f '1
f '1 f '2
f '1
F1 X
f '1 f '2 f '1
d f '1 f '2
XF1
F '2 X '
f '2
2
2
f '1 f '2 f '1 f '2
d f '1 f '2 f '1
f '2 f '1 f '2
d f '1 f '2
F '2 X '
2
dans la question 1 on a trouvé F1 Fd
on en déduit
XFd
(d
(d
f '1
et
f '1 f '2 )
f '1 f '2
f '1 f '2 )
2
dans la question 1 on a aussi trouvé F '2 Fd '
on en déduit X ' F 'd
(d
(d
f '2
f '1 f '2 )
f '1 f '2
f '1 f '2 )
On a donc
XFd = X’F’d
5) Soit H et H' les plans principaux ( grandissement +1) exprimer la distance algébrique HFd
les positionner sur le schéma précédent
les focales peuvent aussi être définies par : f d = HFd
f’d = H ' Fd '
32
vérifier les formules
O1O2 f '1
f '1 f '2 O1O2
O1H
O1O2 f '2
O1O2 f '1 f '2
O2 H '
f 'd
f '1 f '2
f '1 f '2 O1O2
O1 est la position de la première lentille , H est le plan principal objet et H’ le plan principal image
f’d est la distance focale image du doublet .
2
F1H F '1 H i
=+1= -
f '1
F'1 H i
f '1
-
F2 H i F '2 H '
F'2 H '
f '2
f '2
2
f '1 f '2
F1 H F2 H I
H 'i image intermédiaire
1
2
F1 H ( F2 F '1 F '1 H I )
f '1 f '2
F1H ( f '2
f '1
)
F1 H
f '1 d
f '1 f '2
2
F1 H ( f '2
f '1 d )
2
1
f'
f '1 f '2
F1H
f '1 f '2 f '1
f '1 f '2 d
33
6) Démonstration géométrique de la validité de la formule de Newton pour un système
complexe très généralement avec le schéma suivant en exploitant les angles :
B
M
N
F’
A’
F
Q
P
A
H
H’
f’
B’
f’
K’
K
H’
H
F
F’
Face
d’entrée
f’
Face de
sortie
f’
2
K’
1
K
2
1
H’
H
F
F’
Face
d’entrée
Face de
sortie
34
4bis
f’
f’
2
B
K’
1
K
2
1
H’
H
A
F
3 on positionne AB
3bis
3ter
3quart
4
3sex
t
F’
3quint
L
L’
Face
d’entrée
AB B ' A '
AB
et
AF
FH
H 'F '
c ' est bien FA.F ' A '
A’
B’
Face de
sortie
B ' A'
FH B ' A '
B ' A' F ' A'
FA HF '
donnent
et
soit
F ' A'
AF
AB
AB
H 'F '
FH F ' A '
FH . H ' F '
f ' ² compte tenu des definitions des focales par rapport aux plans principaux
35
7) Intérêt du doublet , obtenir une grande vergence avec des rayons peu inclinés.
1
p'
p'
1
p'
1
p
1
f'
2
B ' A'
OA '
B
2p
1
p
p'
p
1
f'
p
3
f ' p' 3f '
2
F’1
AB
AO
p'
p
B
A’
B’’
A’ F2
A F1
A
F ‘2
B’
A’’
B’
3/2
f’
3 f’
3/2 f’
3f’
9f’
B
p'
1
p'
4p
1 1
p f'
p' 5 f ' ,
p
5
f'
4
A
F’1
A’
F1
B’
6f’+f’/4
L’angle est plus grand dans le second cas
36
8) comment justifier que la formule de Newton soit toujours valable dans le cas du doublet
peut être alors les lignes maple suivantes vous seront-elles utilises :
démonstration algébrique :
> restart;
> A:=f1*f1/(d-f1-f2); B:=(-f1*f1/(x-A))-(d-f1-f2);
f1 2
A :=
d f1 f2
> C:=f2*f2/(d-f1-f2)+y; C :=
d
x
f2 2
f1 f2
> simplify(solve(B*C=-f2*f2,y));
f1 2
B :=
d
d
f1 2
f1 f2
f1
f2
y
f1 2 f2 2
x ( d2
2 d f1
2 d f2
f1 2
2 f1 f2
f2 2 )
37
V) Exercices
1) Oculaire de Ramsden
L’oculaire de Ramsden est formé de deux lentilles convergentes identiques de même distance focale image f’
séparées par une distance e = 2f’/3
1) Définir, construire et calculer les positions des foyers principaux image F’ et objet F de l’oculaire. (Déterminer leurs
positions par rapport à celles de F’2 ou F1 et en fonction de l’intervalle optique
défini par
F1' F1
On utilisera
les formules de Newton
2) L’oculaire est utilisé pour observer un objet A’’B’’ situé dans son plan focal objet, symétriquement par rapport à l’axe
principal. Où se trouve l’image de cet objet donnée par l’oculaire ? Sous quel angle ’’ l’observateur dont l’œil est placé sur l’axe
principal voit-il l’image ?
38
2) Lentille achromatique
Une lentille est formée de deux lentilles minces accolées de rayon R 0 et R1 pour la première , R1 er R2 pour la
seconde. Les indices de chaque lentille valent : n1
a1
b1
et
²
n2
a2
b2
²
1) Calculer la distance focale image de cette lentille
2) Peut-on choisir judicieusement R0, R1, R2 de façon à obtenir une lentille achromatique ?
S1
S0
n1
S2
n2
39
3) Lentille de Fresnel
Les très grosses lentilles de fort diamètre sont soumises à des phénomènes d’aberration qui rendent difficile
la génération d’un faisceau parallèle lorsque la source est au foyer objet. Pour contourner ce problème
Fresnel imaginé le dispositif suivant : pouvez-vous donner la valeur des angles des prismes de coupe en
fonction de la distance au centre.
On effectue une révolution d’axe Ox des triangles M pNpMp+1 pour 0 < p < m. coordonnées de M p= (0,2pa) et l’angle
en Mp+1 est p. l’indice des triangles est n
Calculer la déviation D d’un rayon incident d’angle petit pour un prisme d’angle A petit
Pour un triangle MpNpMp+1 les rayons incidents venant des x<0 parallèlement à Ox trouver la valeur limite de
qu’il n’y ait pas de réflexion totale
p
pour
Pour ces conditions, déterminer la longueur de l’intersection des rayons du prisme M pNpMp+1 avec l’axe Ox
40
4) Invariant de Lagrange Helmholtz très hors programme
On appelle invariant de Lagrange Helmholtz la quantité AB. Montrer que l’on a
AB.
A ' B '. '
B
A
I
α
C
A’
B’
α‘
S
x
41
5) Problème à deux lentilles
L1 est une lentille convergente de distance focale image f’ 1 =4 cm . L2 est une lentille divergente de distance focale
image f’2 =-5cm
est l’écran d’observation .
1) On fait D=7.5cm. Quelle valeur faut-il donner à d pour avoir une image nette sur l’cran d’un objet situé à l’infini X
=-∞
Faire une construction géométrique
2) d ayant la valeur précédemment calculée déterminer de combien il faut translater l’écran pour observer
nettement l’image d’un objet se trouvant en avant de L1 à une
L2 distance =2m
L1
O1
E
O2
d
x
D
42
43
44
45