Géométrie : angles et mesures

Géométrie : angles et mesures
I – Angles
•Somme des angles d'un triangle
La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°
exemple : dans le triangle ABC, si
̂
ABC =70 et ̂ BCA=80 alors ̂ CAB=180−70−80=30
•Parallélisme des angles : angles alternes / internes
–Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles sont alternes
internes et égaux.
Ex : ici les angles de mêmes couleurs sont alternes internes, se sont donc des angles
égaux
–si deux droites parallèles sont coupés par une sécante, alors les angles correspondants
sont égaux
ex : ici les angles correspondants sont par exemple les angles A et B, ils sont donc
égaux
–si deux droites sont coupés par une sécante en formant des angles alternes internes, alors
les deux droites sont parallèles
ex : ici, on a des angles alternes internes donc les droites (y) et (z) sont parallèles.
•Médiatrice
Une médiatrice est une droite qui coupe un segment en son milieu de façon perpendiculaire.

•Bissectrice
La bissectrice est la droite qui coupe un angle en deux angles égaux.
Elle est l'axe de symétrie d'un angle.
Tout point de la bissectrice est équidistant des côtés de l'angle.
•Médiane
Une médiane est une droite qui passe par le somment d'un triangle en partant par le centre du côté
opposé.
•Hauteur
La hauteur d'un triangle est une droite qui part du sommet d'un angle et coupe le côté opposé
perpendiculairement.

II – Triangles
•Cercle circonscrit
Les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un point O.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit du triangle englobe tout le triangle, le cercle passant par les sommets du
triangle.
•Médianes d'un triangle
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un point G.
Ce point G est appelé centre de gravité du triangle.
Il y a proportionnalité des médianes par rapport à ce point, c'est à dire :
AG
AE =BG BF =CG CI
•Bissectrice d'un triangle

Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point I.
I est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Le cercle est inscrit dans le triangle c'est à dire qu'il est contenu dans le triangle.
•Hauteur d'un triangle
Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un point H.
Le point H est appelé l'orthocentre

III – Théorème de Thalès
Soient deux droites (AC) et (AE) sécantes en A, soient B et D deux points distincts de A,
si les deux droites (BD) et (CE) sont parallèles alors :
AB
AC =AD AE =BD CE
Réciproquement :
Si
AB
AC =AD AE
et si les points sont distincts les uns des autres et que A, B , C et A, D, E sont dans
le même ordre, alors (BD) et (CE) sont parallèles.
Exercice d'application :
Soit un triangle ABC tel que AB = 7,2 cm ; AC = 5, 4 cm et BC = 6 cm.
R un point de [AC] tel que RC = 3 cm
S un point de [AB] tel que AS = 3,2 cm
Tracer la figure et montrer que RS et BC sont parallèles.