La galère des étoiles

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Stéphane Flamand
CECM La galère des étoiles
Vous souvenez-vous de l'étoile que l'on ten-
tait de dessiner dans notre enfance? Il s'agissait
de commencer au sommet de l'une des cinq bran-
ches de celle-ci et, sans lever le crayon, de tracer
complètement la figure en terminant au point de
départ, en l'occurrence le point A tel que montré
ci-contre.
Le but de l'exercice était de parvenir à es-
quisser l'étoile se rapprochant de la perfection.
Géométriquement, ce corps céleste parfait était
constitué d'un pentagone régulier en son coeur
et de cinq branches qui étaient des triangles iso-
cèles congrus créés par les prolongements des
côtés du pentagone.
Le problème proposé ici n'est pas celui de
tracer l'entité stellaire parfaite, mais bien de s'in-
terroger sur différentes caractéristiques que pos-
sède celle-ci. Par exemple, quels sont l'aire et le
périmètre d'une étoile dont le côté mesure c? Le
périmètre va de soi, mais l'aire est plus complexe.
Qu'en est-il d'une étoile à six branches, à n bran-
ches? Existe-t-il des étoiles à quatre branches ou
moins?
A) Afin d'établir des comparaisons intéressan-
tes entre ces soleils géométriques, une réfé-
rence fixe serait la bienvenue. Il est clair que
ces astres de symétrie parfaite peuvent tous
être inscrits dans un cei-cle approprié. En
fixant le rayon de celui-ci, on peut se ques-
tionner sur ce qui suit :
1. Quelle est la relation entre le rayon du
cercle et le côté d'une étoile à n branches?
Comment s'expriment l'aire et le périmè-
tre de l'étoile en fonction du rayon et du
nombre de branches? Comment varient
ces deux caractéristiques lorsque le nom-
bre de branches est modifié?
2. L'aire du coeur de l'étoile est-elle supé-
rieure ou inférieure à la sormne des aires
des branches, quel qu'en soit le nombre?
Qu'en est-il du périmètre du coeur par rap-
port à celui de l'étoile?
3. La surface libre du cercle circonscrit, c'est-
à-dire la surface non occupée par l'étoile,
est clairement divisée en n parties con-
grues. Quelle surface ces parties occupent-
elles par rapport aux branches de l'étoile?
À l'étoile entière?
4. En reliant les sommets des branches de
l'étoile, on inscrit celle-ci dans un poly-
gone régulier semblable à celui du coeur.
Quel lien existe-t-il entre les côtés de ces
deux polygones? Entre leurs aires? Quelle
surface l'étoile occupe-t-elle au sein du po-
lygone circonscrit? Quelle aire possède ce
polygone dans le cercle?
B) Inversement, si l'on fixe le côté de l'étoile,
comment varie le rayon du cercle circonscrit
selon le nombre de pointes? Est-ce que les
caractéristiques étudiées en A) prévalent tou-
jours?
Une analyse détaillée sera publiée
dans le prochain numéro.
11 ENVOL. - NOVEMBRE 96