TD 2 : Oscillateur de Lorentz IN

Université*de*Rennes*1*** IMAGERIE-MICROSCOPIE******M1*Phys.*&*M1**Phys*Med.**(2016-2017)*
TD 2 : Oscillateur de Lorentz
INTRODUCTION)
-*Dans*l'ultraviolet,*ou*UV,*la*chute*de*transmission*dans*un*verre*ou*dans*un*milieu)
diélectrique*(milieu transparent, faiblement absorbant, non magnétique, non conducteur)*a*lieu*du*
fait*des*transitions*électroniques*des*éléments*composant*le*verre*:*les*électrons*de)valence*
absorbent*les*longueurs*d'onde*dont*l'énergie*correspond*à*leur*énergie*de*gap.*Un*verre*de*
silice*absorbe*alors*les*longueurs*d'onde*de*l'ordre*de*150*nm.*Concernant*le*verre*(et*la*plus*
part*des*milieux*diélectriques*transparents),*la*région**de*transparence*du*visible*correspond*à*
des*fréquences*EM*plus*faibles*que*la*fréquence*d'absorption*UV.*Cette*région*de*transparence*
est*appelée*la*région*de*dispersion)normale*et*peut*être*décrite*par*le*modèle*de*Lorentz*
(électron*élastiquement*lié)*dans*lequel*les)électrons)oscillent)à*la*fréquence*de*l'onde*EM.*Ce*
modèle*permet*de*rendre*compte*des*lois*empiriques*de*Cauchy*
n=A+B
λ
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
*et*de*Sellmeier*
n2=1+B1
λ
2
λ
2−C1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.*
*
-*Dans*l'infrarouge,*ou*IR,*les*phénomènes*physiques*entraînant*une*chute*de*transmission*sont*
différents.*Lorsqu'une*molécule*reçoit*une*quantité*d'énergie*donnée,*elle*se*met*à*vibrer*selon*
différents*modes**correspondants*à*des*mouvements)périodiques)des)atomes*de*la*molécule*;*
chaque*fréquence*associée*à*l'énergie*du*mode)de)vibration*de*la*molécule*est*absorbée.*
Dans*un*verre*de*silice,*la*liaison*Si-O*possède*deux*modes*de*vibration*principaux,*la*rotation*et*
l'élongation.*Comme*la*fréquence*de*l'élongation*est*de*0,34×1014*Hz,*l'absorption*aura*lieu*à*
8,8*µm*.*
-*A*chaque*bande*d'absorption*du*spectre*EM,**la*susceptibilité*électrique*subit*une*variation*
brutale*de*sa*partie*réelle*(indice)*et*de*sa*partie*imaginaire*(absorption).***
*

Université*de*Rennes*1*** IMAGERIE-MICROSCOPIE******M1*Phys.*&*M1**Phys*Med.**(2016-2017)*
OSCILLATEUR DE LORENTZ
Le modèle de Lorentz!!"#$%&'("%)*"%("+',-'(.*/$0"-'12*)34(#(0*"')-+"! permet de rendre compte de
l'interaction de la lumière visible avec un milieu diélectrique.*Dans*le*cadre*de*ce*modèle*on*
considère*que*les*constantes*optiques*(indice*n*et*coefficient*d'absorption*α)*peuvent*être*
calculées*à*partir*de*la*réponse*des*électrons*liés*aux*atomes.*En*effet*ces*électrons*se*mettent*à*
vibrer*sous*l'action*du*champ**électrique*E*et*rayonnent*à*leur*tour.*La*réponse*du*milieu*sous*
l'action*du*champ*E*est*la*polarisabilité*induite*P.*A*partir*de*cette*réponse*P*,*on*peut*en*
déduire**l'indice*de*réfraction*n.*
Le* modèle* physique* permettant* de* calculer* la* polarisabilité*
électrique* P* du* milieu* est* celui* de* l'oscillateur* harmonique*
pour*lequel*on*suppose*que*l'électron*est*susceptible*d'osciller*
à*la*fréquence*ω**autour*du*noyau*fixe*sous* l'action* du* champ*
électrique
E=Eo ei
ω t
.* On* suppose* que* la* réponse* de* l'électron*
est*du*type*oscillateur*harmonique*amorti**entretenu.*
*
*
1/* Expliquer* pourquoi* (justifier)* l'équation* du* mouvement* de* l'électron* (pour* un* champ*
orientée*suivant*x)*s'écrit*:**
qE −m γ
dx
dt −m
ω
o
2x=md2x
dt2
*
où*m*est*la*masse*de*l'électron,*q*sa*charge,*ωo*est*la*pulsation*propre*d'oscillation*de*l'électron**
(fréquence*propre*
fo
)*et*
γ (s−1)
*le*taux*d'amortissement.*
2/* En* supposant* que* le* déplacement* de* l'électron* est* harmonique* et* peut* s'écrire*
x=xo ei
ω t
,*
donner*l'expression*de*xo*à*partir*de*l'équation*du*mouvement.*
3/*En*déduire*le*moment*dipolaire*induit*
p = q xo
,*puis*la*polarisation*électrique*macroscopique*
induite*
P (C/m2)
*en*supposant*qu'il*y*N*atomes*par*unité*de*volume*et*un*électron*par*atome.*
*
Dans* le* cadre* de* l'optique* classique,* la* polarisation*électrique*P* est* reliée* au* champ*
électromagnétique* E*par* la* relation* suivante*
P=εοχE
*où*
εο=8.854 ×10−12 Fm−1
*est* la*
permittivité*du*vide*et*
χ
*la*susceptibilité*électrique*du*milieu*(scalaire*dans*un*milieu*isotrope).*
D'autre* part,* la* constante* diélectrique* relative* complexe*
!
ε
r(
ω )≡ ε
r1(
ω )−i ε
r2(
ω )
*est* reliée* à*
l'indice*complexe*
!
n( ω )≡n( ω )−i κ ( ω )
*par*la*relation*suivante*
˜
ε
r(
ω )=1+ χ ( ω )≡˜ n
2(
ω )
.**
4/Donner*les*relations*entre*
ε
r1(
ω )
,
ε
r2(
ω )
*et*
n( ω )
,
κ ( ω )
.*
5/*Exprimer*
ε
r1(
ω )
*et*
ε
r2(
ω )
*en*fonction*de*N,*q,*m,*εo,*γ,*ω,*ωo.*
6/* Donner* les* valeurs* particulières* à* fréquence* nulle*
ε
r1(0),
ε
r2(0)
*et* à* fréquence* infinie*
ε
r1(∞),
ε
r2(∞)
*ainsi*que*les*valeurs*correspondantes
n(0), n(∞), κ (0), κ (∞)
.*
7/* Exprimer*
ε
r1(
ω )
*et*
ε
r2(
ω )
*en* fonction* de*
ε
r1(0),
ε
r1(∞)
,* γ,* ω,* ωo.* En* déduire* les* valeurs*
particulières
ε
r1(
ω
o)
*et*
ε
r2(
ω
o)
.**
8/* Déduire* des* résultats* précédents* l'expression* du* rapport* ωo/γ en*fonction*de*
n(0), n(∞), κ ( ω
o)
.*
9/*A*partir*de*la*courbe*suivante*représentant*les*variations*(centrées*sur*l'UV)*de*
n( ω )
*et*
κ ( ω )
*
pour*la*silice*fondue*(verre)*en*fonction*de*ω ,*déterminer*la*longueur*d'onde*d'absorption*
λ
o
*et*

Université*de*Rennes*1*** IMAGERIE-MICROSCOPIE******M1*Phys.*&*M1**Phys*Med.**(2016-2017)*
κ ( ω
o)
.* Déterminer*
n(0)
*et*
n(∞)
*loin* de* la* fréquence* de* résonance
fo
.* En* déduire* la* valeur* du*
rapport*ωo/γ *puis*de γ.
10/* Calculer* la* valeur* du* coefficient* d'absorption*
α =4 πκ / λ
*à* la* fréquence* de* résonance*
fo
.*
Donner*l'épaisseur*de*verre*qui*correspond*à*une*diminution*de*1/e*de*l'intensité*lumineuse.*
11/*Dans* la*partie* visible*du* spectre*(λ=0.5µm),*calculer*
κ
*à*partir*de* la* valeur*du* coefficient*
d'absorption* α =10-5*cm-1.* En* utilisant* les* résultats* précédents,* donner* l'expression*de* l'indice*
de* réfraction* n* dans* cette* partie* du* spectre* en* fonction* de* N,* q,* m,* εo,* γ,* ω,* ωo.* Justifier* que*
l'amortissement*γ peut*être*négligé.*
12/*En* faisant* un*développement* limité*au* premier*ordre* en
λ
0/
λ <1
,*montrer* que* l'indice*de*
réfraction* peut* s'écrire*
n2=A+B
λ
2
*(loi) de) Cauchy).* Calculer* A* et* B.* Faire* l'application*
numérique.*
*
*