TD 2 : Oscillateur de Lorentz IN

UniversitédeRennes1
IMAGERIE-MICROSCOPIEM1Phys.&M1PhysMed.(2016-2017)
TD 2 : Oscillateur de Lorentz
INTRODUCTION
-Dansl'ultraviolet,ouUV,lachutedetransmissiondansunverreoudansunmilieu
diélectrique(milieu transparent, faiblement absorbant, non magnétique, non conducteur)alieudu
faitdestransitionsélectroniquesdesélémentscomposantleverre:lesélectronsdevalence
absorbentleslongueursd'ondedontl'énergiecorrespondàleurénergiedegap.Unverrede
siliceabsorbealorsleslongueursd'ondedel'ordrede150nm.Concernantleverre(etlaplus
partdesmilieuxdiélectriquestransparents),larégiondetransparenceduvisiblecorrespondà
desfréquencesEMplusfaiblesquelafréquenced'absorptionUV.Cetterégiondetransparence
estappeléelarégiondedispersionnormaleetpeutêtredécriteparlemodèledeLorentz
(électronélastiquementlié)danslequellesélectronsoscillentàlafréquencedel'ondeEM.Ce
B⎞
⎛
modèlepermetderendrecomptedesloisempiriquesdeCauchy ⎜ n = A + 2 ⎟ etdeSellmeier
⎝
λ ⎠
⎛ 2
B1λ 2 ⎞
.
n
=
1+
⎜⎝
λ 2 − C1 ⎟⎠
-Dansl'infrarouge,ouIR,lesphénomènesphysiquesentraînantunechutedetransmissionsont
différents.Lorsqu'unemoléculereçoitunequantitéd'énergiedonnée,ellesemetàvibrerselon
différentsmodescorrespondantsàdesmouvementspériodiquesdesatomesdelamolécule;
chaquefréquenceassociéeàl'énergiedumodedevibrationdelamoléculeestabsorbée.
Dansunverredesilice,laliaisonSi-Opossèdedeuxmodesdevibrationprincipaux,larotationet
l'élongation.Commelafréquencedel'élongationestde0,34×1014Hz,l'absorptionauralieuà
8,8µm.
-Achaquebanded'absorptionduspectreEM,lasusceptibilitéélectriquesubitunevariation
brutaledesapartieréelle(indice)etdesapartieimaginaire(absorption).
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OSCILLATEUR DE LORENTZ
Le modèle de Lorentz,modèleditde"l'électronélastiquementlié", permet de rendre compte de
l'interaction de la lumière visible avec un milieu diélectrique.Danslecadredecemodèleon
considèrequelesconstantesoptiques(indicenetcoefficientd'absorptionα)peuventêtre
calculéesàpartirdelaréponsedesélectronsliésauxatomes.Eneffetcesélectronssemettentà
vibrersousl'actionduchampélectriqueEetrayonnentàleurtour.Laréponsedumilieusous
l'actionduchampEestlapolarisabilitéinduiteP.ApartirdecetteréponseP,onpeuten
déduirel'indicederéfractionn.
Le modèle physique permettant de calculer la polarisabilité
électrique P du milieu est celui de l'oscillateur harmonique
pourlequelonsupposequel'électronestsusceptibled'osciller
àlafréquenceωautourdunoyaufixesousl'actionduchamp
électrique E = Eo eiω t . On suppose que la réponse de l'électron
estdutypeoscillateurharmoniqueamortientretenu.
1/ Expliquer pourquoi (justifier) l'équation du mouvement de l'électron (pour un champ
orientéesuivantx)s'écrit:
dx
d2 x
qE − mγ
− mω o2 x = m
dt
dt 2
oùmestlamassedel'électron,qsacharge,ωoestlapulsationpropred'oscillationdel'électron
(fréquencepropre f o )et γ (s−1 ) letauxd'amortissement.
2/ En supposant que le déplacement de l'électron est harmonique et peut s'écrire x = x o e iωt ,
donnerl'expressiondexoàpartirdel'équationdumouvement.
3/Endéduirelemomentdipolaireinduit p = q x o ,puislapolarisationélectriquemacroscopique
induite P (C/m 2 ) ensupposantqu'ilyNatomesparunitédevolumeetunélectronparatome.
Dans le cadre de l'optique classique, la polarisation électrique P est reliée au champ
électromagnétique E par la relation suivante P = ε ο χ E où εο = 8.854 ×10−12 Fm−1 est la
permittivitéduvideet χ lasusceptibilitéélectriquedumilieu(scalairedansunmilieuisotrope).
D'autre part, la constante diélectrique relative complexe ε!r (ω ) ≡ ε r1 (ω ) − iε r 2 (ω ) est reliée à
! ω ) ≡ n(ω ) − iκ (ω ) parlarelationsuivante ε˜r (ω ) = 1+ χ (ω ) ≡ n˜ 2 (ω ) .
l'indicecomplexe n(
4/Donnerlesrelationsentre ε r1 (ω ) , ε r 2 (ω ) et n(ω ) , κ (ω ) .
5/Exprimer ε r1 (ω ) et ε r 2 (ω ) enfonctiondeN,q,m,εo,γ,ω,ωo.
6/ Donner les valeurs particulières à fréquence nulle ε r1 (0), ε r 2 (0) et à fréquence infinie
ε r1 (∞), ε r 2 (∞) ainsiquelesvaleurscorrespondantes n(0), n(∞), κ (0), κ (∞) .
7/ Exprimer ε r1 (ω ) et ε r 2 (ω ) en fonction de ε r1 (0), ε r1 (∞) , γ, ω, ωo. En déduire les valeurs
particulières ε r1 (ω o ) et ε r 2 (ω o ) .
8/ Déduire des résultats précédents l'expression du rapport ωo/γ enfonctionde
n(0), n(∞), κ (ω o ) .
9/Apartirdelacourbesuivantereprésentantlesvariations(centréessurl'UV)de n(ω ) et κ (ω ) pourlasilicefondue(verre)enfonctiondeω ,déterminerlalongueurd'onded'absorption λo et
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κ (ω o ) . Déterminer n(0) et n(∞) loin de la fréquence de résonance f o . En déduire la valeur du
rapportωo/γ puisde γ.
10/ Calculer la valeur du coefficient d'absorption α = 4 πκ / λ à la fréquence de résonance f o .
Donnerl'épaisseurdeverrequicorrespondàunediminutionde1/edel'intensitélumineuse.
11/ Dans la partie visible du spectre (λ=0.5µm), calculer κ à partir de la valeur du coefficient
d'absorption α =10-5 cm-1. En utilisant les résultats précédents, donner l'expression de l'indice
de réfraction n dans cette partie du spectre en fonction de N, q, m, εo, γ, ω, ωo. Justifier que
l'amortissementγ peutêtrenégligé.
12/ En faisant un développement limité au premier ordre en λ0 / λ < 1, montrer que l'indice de
réfraction peut s'écrire n 2 = A +
B
(loi de Cauchy). Calculer A et B. Faire l'application
λ2
numérique.