La mécanique quantique

AVANT-PROPOS
Ce recueil propose plus de 800 problèmes de divers niveaux se rapportant pour
l'essentiel à la mécanique quantique non relativiste. Il est destiné aux physiciens,
étudiants et thésards, expérimentateurs et théoriciens.
Les problèmes illustrent suivant les cas, les principes de la mécanique quantique, les
instruments mathématiques ou les exemples d'application concrètes, essentiellement
en physique atomique, en physique nucléaire et en physique des particules. Outres
les problèmes traditionnels de la mécanique quantique, le recueil comprend un grand
nombre de problèmes nouveaux inspirés par les derniers développements de la
mécanique quantique et par ses multiples applications physiques. Une tel ouvrage est.
en fait un complément naturel des manuels de mécanique quantique tels que ceux de
L.D. Laundau et E.M. Lifchitz, de Cl. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Lalöe ou de
A. Messiah.
Tous les problèmes proposés sont corrigés souvent de façon détaillée. Les solutions
permettent une acquisition pratique des connaissances théoriques.
Ce livre est une traduction améliorée du " Recueil de problèmes de mécanique quantique " de V.M. Galitsky, B.M. Karnakov et V.I. Kogan (publié par Nauka en russe),
problèmes qui furent proposés aux étudiants de l'Institut des ingénieurs et des physiciens de Moscou.
Le lecteur dispose pour optimiser son travail la liste des notations les plus courantes
et des valeurs numériques des constantes nécessaires à la résolution de problèmes de
physique de l'atome et du noyau. Notons que, dans ce livre, on utilise le système
d'unités CGS qui est mieux adapté à ce type de problèmes. Une annexe fournit les
résultats des problèmes de mécanique quantique de l'oscillateur linéaire, de l'atome
d'hydrogène et un complément sur certaines fonctions spéciales (les harmoniques
sphériques, les fonctions de Bessel, etc).
L'ouvrage sera particulièrement utile aux étudiants de physique de second et troisème
cycle (les exercices correspondant au niveau du troisème cycle sont marqués par une
étoile) mais également à tous ceux qui sont concernés par la mécanique quantique.
SYMBOLES ET CONSTANTES
SYMBOLES
La signification des symboles utilisés est expliquée soit dans les énoncés soit dans la
solution de chaque problème. Il existe, toutefois, un certain nombre de grandeurs
pour lesquelles on a utilisé des notations standards. Les notations de ces grandeurs
dans tous les cas où cela ne conduit pas à des ambiguïtés n'ont pas été expliquées
dans le texte.
symbole d'opérateur ou de matrice
/
/*
/t
(2ï(|/|'n) = /„;„ = /„"
l'opérateur transposé de l'opérateur /
l'opérateur complexe conjugué de l'opérateur /
l'opérateur conjugué hermitien de l'opérateur /
élément matriciel de l'opérateur /
=f^f^ndr
oc
~
'^/(ç)
'i!^'''
e
c
II
E
E, B
A
U
V
1
symbole de proportionnalité
symbole d'ordre de grandeur
dans la notation de la fonction d'onde, q désigne en général
l'ensemble des variables de la représentation utilisée, tandis
que f représente les valeurs propres des grandeurs physiques
ou bien les nombres quantiques de l'état considéré
fonction propre de l'oscillateur harmonique
charge de la particule 1
vitesse de la lumière
hamiltonien
énergie
intensité des champs électrique et magnétique.
potentiel vecteur
énergie potentielle (potentiel)
opérateur perturbation
Mais s'il s'agit d'une particule réelle (électron, proton, noyau atomique, etc.), e désigne la charge
élémentaire e W 4,80 x lU" 10 CGS (de sorte que la charge de l'électron vaut —e, celle du proton
+e, celle du noyau atomique Ze, etc.).
8
PROBLÈMES DE M É C A N I Q U E Q U A N T I Q U E
d
do
Si
cr
w, W
Z , Ze
R
m, M
11
A
p, P
k
LJ
/, L, j , J
s, S
Ji,(z)
Hn(x)
Ylm(8, y)
moment dipolaire
rayon de Bohr
déphasage
matrices de Pauli
probabilité de transition, probabilité de transition par unité
de temps
charge du noyau
rayon du potentiel
masse, nombre quantique magnétique
masse, moment magnétique
nombre atomique du noyau
impulsion
vecteur d'onde
fréquence (pulsation)
moment (orbital, total)
spin
fonction de Bessel
polynôme d'Hermite
harmonique sphérique
CONSTANTES
La résolution des nombreux problèmes de physique atomique, de physique moléculaire et de physique nucléaire nécessite des calcul numériques destinés à comparer les
solutions aux données expérimentales (figurant dans les énoncés). Pour faciliter les
calculs, on donne ici les valeurs numériques des principales constantes physiques 2 .
Constante de Planck h = 1, 054 x 10~ 27 erg x s
Charge élémentaire e = 4, 80 X "lO" 10 unités CGS
Masse de l'électron m^ =. 9, 11 x 10~28 g
Vitesse de la lumière c = 3, 00 x lO" 10 cm/s
Rayon de Bohr (unité de longueur atomique) «n = 0, 53 x lO" 8 cm
Unité atomique d'énergie m^e4/^2 = 4, 36 x lO" 1 1 erg
27,2 eV
Unité atomique de fréquence m^c4 /h3 = 4, 13 x lO 10 s~ 1
Unité atomique d'intensité du champ électrique e/n^ = 5, 14 x 109 V/cm
Constante de structure fine a = e2 /hc = 1/137
Masse du proton m? = 1836me = 1,67 x lO"^ 4 g
Différence de masses entre neutron et proton m,, — »Hp w 2, 5m^
Energie au repos de l'électron m^c2 = 0,51 MeV
Rayon du noyau R w 1,2 x lO"13/!1/3 cm
1 eV = 1,60 x 10-12 erg
2
Ces valeurs sont approchées ; pour plus de précision voir les ouvrages spécialisés.