Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 2

Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
1
Daniel ALIBERT
Relations d'ordre. Entiers. Anneaux et corps. Nombres
réels.
Objectifs :
-Majorer, minorer, chercher le plus grand élément d'un ensemble
ordonné, la borne supérieure, faire une récurrence.
- Calculer dans un anneau, un corps.
- Utiliser l'ordre dans un groupe, un anneau, un corps.
- Calculer dans le corps ordonné des réels : chercher une borne
supérieure (ou inférieure), majorer, minorer, utiliser les intervalles.
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Organisation, mode d'emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format
comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple.
Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours.
Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet,
il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs,
et des exercices pour aider à l'assimilation du cours.
Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des
Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent
une place importante.
Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces
étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans
l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités :
- difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont
ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée,
- difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils
mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des
mathématiques de le faire,
- difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même
simples,
- manque de méthodes de base de résolution des problèmes.
L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces
difficultés aux côtés des enseignants.
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Ce livre comporte quatre parties.
La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats
qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni
démonstration, ni exemple.
La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des
exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie
précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant
abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent
des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ
de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la
définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formé d'énoncés
intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur
de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des
précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées.
La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des
énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces
énoncés comportent des renvois de trois sortes :
(☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question,
( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite,
( ) renvoie à une entrée du lexique.
Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie
3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui
souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions
complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.
La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les
méthodes, et le lexique.
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Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez
voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant
en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à
traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent
des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour
l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.
Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce
qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires).
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Table des matières
1 A Savoir........................................................................ 9
1-1 Ensembles ordonnés ..................................... 9
1-2 Segments, intervalles.................................. 11
1-3 Entiers ........................................................ 13
1-4 Anneaux et corps ........................................ 15
1-5 Les nombres réels ....................................... 17
2 Pour Voir .................................................................... 19
2-1 Ensembles ordonnés ................................... 19
2-2 Segments, intervalles.................................. 28
2-3 Entiers ........................................................ 32
2-4 Anneaux et corps ........................................ 40
2-5 Les nombres réels ....................................... 44
3 Pour Comprendre et Utiliser ...................................... 55
3-1 Énoncés des exercices ................................ 55
3-2 Corrigés des exercices ................................ 73
3-3 Corrigés des questions complémentaires . 129
4 Pour Chercher ........................................................... 139
4-1 Indications pour les exercices .................. 139
4-2 Méthodes .................................................. 147
4-3 Lexique..................................................... 151
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A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les
principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour
les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour
Voir.
1-1 Ensembles ordonnés
Définition
Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est une relation
d'ordre. On la note généralement ≤ , (ou ≥). Un ensemble muni d'une
relation d'ordre est dit ordonné.
Soient x et y des éléments d'un ensemble ordonné, la relation :
x ≤ y et x ≠ y,
est notée :
x < y.
Une relation d'ordre est dite totale si pour tout x et tout y on a x ≤ y ou
y ≤ x. L'ensemble est alors dit totalement ordonné. Dans le cas contraire,
on dit que l'ordre est partiel.
Définitions
Soit E un ensemble ordonné et F une partie de E. On dit que y est un
majorant de F dans E, si y est un élément de E et si pour tout x de F,
y ≥ x.
On définit de même les minorants de F dans E par :
y ∈ E, et pour tout x de F, y ≤ x.
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L'ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F), et l'ensemble
des minorants MinorE(F). Si F admet un majorant, on dit que c'est une
partie majorée de E. On définit de même une partie minorée. Si F est à la
fois majorée et minorée, on dit que c'est une partie bornée.
Propriété
Un plus grand élément de F est un majorant de F qui appartient à F : si F
a un plus grand élément, il est unique, on le note max(F). De même un
plus petit élément de F, s'il existe, est unique, et noté min(F).
Définition
Un élément a de E est la borne supérieure de F dans E si a est le plus
petit des majorants de F dans E.
Si F n'est pas majoré dans E, il n'a donc pas de borne supérieure.
Si a existe, il est unique, on le note supE(F).
Un élément de E est la borne inférieure de F dans E si c'est le plus
grand des minorants de F dans E.
Si cet élément de E existe, il est unique, on le note infE(F).
Propriété
Si max(F) existe, alors supE(F) existe aussi et on a max(F) = supE(F).
Définition
Soient E et F des ensembles ordonnés, et f : E → F une application.
On dit que f est croissante si on a l'implication, pour tout x et tout y
de E:
x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).
On définit de même les applications décroissantes.
On dit que f est monotone si elle est croissante ou décroissante.
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Enfin, on dit que f est strictement croissante si l'implication suivante est
vraie :
x < y ⇒ f(x) < f(y).
1-2 Segments, intervalles
Définition
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné ; on appelle segment fermé d'extrémités
a et b, avec a ≤ b pour fixer les idées, la partie de E définie par :
[a , b] = {x ∈ E | a ≤ x ≤ b}.
On définit de même les segments ouverts, semi-ouverts.
On appelle section finissante, fermée, d'origine a, la partie de E définie
par :
[a , →[ = {x ∈ E | a ≤ x}.
On définit de même une section commençante, noté ]← , a], et les
sections ouvertes.
Propriété
Un segment est une partie bornée, qui admet une borne supérieure et une
borne inférieure.
Définition
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et I une partie de E. On dit que I est un
intervalle de E si pour tout x et tout y de I tels que x ≤ y on a :
Tout élément z de E tel que x ≤ z ≤ y , est un élément de I.
Propriété
Tout segment est un intervalle.
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Propriété
Dans un ensemble totalement ordonné, si I est un intervalle, et si
a = inf(I) et b = sup(I) existent, alors I est un segment contenu dans [a , b]
et contenant ]a , b[.
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1-3 Entiers
Définition
Soit E un ensemble totalement ordonné, et x, x' des éléments de E. On dit
que x' est le successeur de x, et on note x' = succ(x), si :
x < x' et, ]x , x'[ = ∅.
On définit de même le prédécesseur de x, noté pred(x).
Propriété
Un élément x de E a au plus un prédécesseur, et au plus un successeur.
S'ils existent, on a pred(succ(x)) = succ(pred(x)) = x.
Définition
a- Soit E un ensemble ordonné. On dit que E est bien ordonné (BO) si
toute partie non vide A de E admet un plus petit élément.
b- Soit E un ensemble bien ordonné. On dit que E est naturellement
bien ordonné (NBO) si tout élément de E, sauf min(E), a un
prédécesseur.
Propriété
Un ensemble bien ordonné est totalement ordonné.
Définition
On définit N comme un ensemble totalement ordonné, n'ayant pas de
plus grand élément, dans lequel toute partie non vide a un plus petit
élément, et tout élément sauf min(N) a un prédécesseur.
L'ensemble N est donc un ensemble naturellement bien ordonné, sans
élément maximum.
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Propriété
Si E est un ensemble NBO sans élément maximum, alors il existe une
bijection croissante de N sur E. En ce sens, N est "unique".
Propriété
Dans N, tout élément a un successeur.
Définition
Soit P : N →{vrai, faux} une propriété. Soit a un élément de N. On dit
que P est récursive à partir de a si pour tout x de N supérieur ou égal à a
on a l'implication :
si P(x) = vrai, alors P(succ(x)) = vrai.
Théorème
Soit P une propriété sur N, récursive à partir de a. S'il existe un élément b
de N, plus grand que a, tel que P(b) = vrai, alors P(x) est vrai pour tout x
supérieur à b.
Propriété
Dans N,
1) toute partie majorée a un plus grand élément.
2) les intervalles sont les segments fermés et les sections finissantes
fermées.
1-4 Anneaux et corps
Définition
Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne.
On dit que (E, T, ×) est un anneau si :
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1- (E, T) est un groupe commutatif,
2- × est associative et admet un élément neutre différent du neutre de T,
3- × est distributive par rapport à T.
Si de plus × est commutative, on dit que l'anneau est commutatif.
Dans la pratique, on note le plus souvent + et × les lois d'un anneau, et 0,
et 1 les éléments neutres respectifs de ces lois.
NB : on n'inclut pas toujours l'existence d'un élément neutre pour × dans
la définition d'un anneau. Dans ce cas, la définition donnée ci-dessus
correspond à un "anneau unitaire".
Définition
Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne.
On dit que (E, T, ×) est un corps si :
1- (E, T, ×) est un anneau commutatif,
2- Tout élément de E sauf le neutre de T a un symétrique pour × .
Définition
Dans un anneau (A, +, ×), un élément a est un diviseur de 0 s'il existe un
élément b de A, non égal à 0, tel que :
a × b = 0.
Un élément a est nilpotent s'il existe un entier naturel n tel que :
an = 0.
Un élément a est inversible s'il existe un élément b de A tel que :
a × b = 1.
Un anneau est dit intègre s'il ne possède pas de diviseur de zéro différent
de 0.
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1-5 Les nombres réels
Définition
On appelle groupe ordonné un groupe (G, T) muni d'une relation d'ordre
≤ compatible avec T, c'est-à-dire telle que pour tout x, tout y, tout x', tout
y' de G on ait l'implication :
x ≤ y et x' ≤ y' ⇒ x T x' ≤ y T y'.
(On peut composer des inégalités.)
Définitions
On dit qu'un groupe (G, T, ≤) totalement ordonné, d'élément neutre e est
archimédien, si pour tout x tel que e < x, et tout y de G, il existe un
entier n tel que :
y < x n.
Un anneau A est ordonné si le groupe (A, +) est ordonné, et si, de plus,
on a l'implication :
x ≥ 0 et y ≥ 0 ⇒ x.y ≥ 0.
Si A est un corps, on dit que c'est un corps ordonné s'il est totalement
ordonné.
Propriété
Dans un anneau totalement ordonné, pour tout élément a, le carré a2 est
supérieur ou égal à 0.
Théorème et
définition
Il existe un unique corps ordonné (R, +, ×) ayant la propriété suivante :
Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure dans R.
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Partie entière d'un réel. Pour tout réel a, il existe un unique entier n tel
que :
n ≤ a < n+1,
cet entier est appelé la partie entière de a, et notée E(a), ou [a].
Développement décimal d'un réel, à l'ordre n. Pour tout réel a, et tout
entier n, il existe un unique rationnel Dn tel que :
10nDn est entier, et Dn ≤ a < Dn + 10–n ,
ce nombre rationnel est appelé le développement décimal à l'ordre n de a.
Propriété
Dans R, les intervalles sont les segments, les sections finissantes ou
commençantes, et R.
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2
Pour Voir
Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou
résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions
très élémentaires pour vérifier votre compréhension.
2-1 Ensembles ordonnés
"Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est une relation d'ordre."
exemple 1
Sur N*= N – {0}, outre la relation d'ordre usuelle, on utilise souvent la
relation de divisibilité : a | b s'il existe un entier naturel n tel que :
b = n a.
D'abord, a | a, évidemment, quel que soit a.
Si a | b et b | a, il existe p et q entiers naturels tels que a = pb, b = qa,
donc a = pqa, 1 = pq donc p = q = 1 et a = b.
Enfin, si a | b et b | c, il existe p et q tels que b = ap, c = bq d'où c = (pq)a,
et a | c.
Noter toutefois que ces deux relations sont très différentes : la première
est une relation d'ordre total, la seconde est une relation d'ordre partiel.
Ainsi, si → symbolise la relation entre un plus petit et un plus grand, on a
les schémas :
1 → 2 →3 →4→5 →6 pour le premier ordre,
et pour le second ordre :
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exemple 2
(à traiter)
D'autres relations d'ordre sont importantes, comme l'inclusion entre
parties d'un ensemble. Dans P({1, 2, 3}), muni de la relation d'inclusion,
faire un schéma de relation analogue à celui dessiné ci-dessus. Cet ordre
est-il total ?
# réponse
Il y a six éléments : Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}.
Le schéma ci-dessous montre, à l'évidence, que l'ordre n'est pas total.
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exemple 3
(à traiter)
On définit également un ordre sur les ensembles de fonctions à valeurs
dans un ensemble ordonné (R par exemple).
Dans l'ensemble F(]0 , 1], R) des applications de ]0 , 1] dans R, on pose :
f ≤ g si, pour tout x de ]0 , 1], f(x) ≤ g(x).
Vérifier que c'est bien une relation d'ordre. Ordonner l'ensemble des
fonctions "puissance" : x → xn (n entier naturel).
Cet ordre est-il total ?
# réponse
La vérification ne pose aucune difficulté. Soit f, g : ]0 , 1] --. R, on a :
∀x, f(x) ≤ f(x), donc f ≤ f.
∀x, f(x) ≤ g(x) et g(x) ≤ f(x) entraîne f(x) = g(x), donc f = g.
∀x, f(x) ≤ g(x), et g(x) ≤ h(x) entraîne f(x) ≤ h(x).
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xm
x n,
Si m ≤ n, pour x dans ]0 , 1],
≥
la fonction "puissance m" est donc
supérieure à la fonction "puissance n". Le sous-ensemble des fonctions
puissances est totalement ordonné.
Par contre, l'ensemble F(]0 , 1], R) ne l'est pas ; ainsi la fonction définie
par :
f(x) = cos(π x)
est positive ou nulle pour x dans ]0 , 1/2], et négative ou nulle dans
[1/2 , 1].
Elle n'est donc ni supérieure, ni inférieure, à la fonction constante égale
à 0.
"Si F admet un majorant, on dit que c'est une partie majorée de E. On définit de même
une partie minorée."
exemple 4
Ci dessus, dans F(]0 , 1], R) :
E = {x → xn | n entier naturel}.
Cette partie est majorée (par la fonction constante égale à 1) et minorée
(par la fonction constante égale à 0).
exemple 5
(à traiter)
La propriété d'être majoré, ou minoré, pour un ensemble donné,
dépend de l'ensemble de référence. Une partie F peut être majorée dans
un ensemble E qui la contient et non majorée dans une autre partie E' qui
la contient également.
Soit F = {{1}, (2}, {3}}. On utilise l'ordre de l'inclusion.
la partie F est-elle majorée, minorée, dans :
E1 = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}} ;
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E2 = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}} ;
E3 = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}}.
# réponse
Pour E1, la réponse est oui aux deux questions :
Ø est un minorant, et {1, 2, 3} est un majorant.
Pour E2, F n'est pas minorée, mais est majorée.
Pour E3, F est minorée et non majorée.
Bien noter qu'un ensemble peut être fini et non borné.
"Un plus grand élément de F est un majorant de F qui appartient à F : si F a un plus
grand élément, il est unique, on le note max(F)."
exemple 6
Ci-dessus, F n'a pas de plus grand, ni de plus petit, élément.
Dans F(]0 , 1], R), la partie :
{x→xn | n entier naturel},
a un plus grand élément, obtenu pour n = 0. En effet c'est un majorant qui
est un élément de cette partie.
exemple 7
(à traiter)
Dans N*, muni de l'ordre de la division, soit A = {p | p ≤ 12}.
Cette partie a-t-elle un plus grand élément, un plus petit élément ?
# réponse
Explicitons A :
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
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22
Un minorant de A est un diviseur commun à tous ses éléments : ce ne
peut être que 1. Or 1 est un élément de A, donc 1 = min(A).
Un majorant de A est un multiple commun à tous ses éléments, en
particulier à 2, 3, 5, donc il vaut au moins 30. Il n'y a pas de plus grand
élément dans A.
"Un élément a ∈ E est la borne supérieure de F dans E si a est le plus petit des
majorants de F dans E."
exemple 8
On reprend l'exemple précédent :
E = P({1, 2, 3}), F = {{1}, (2}, {3}}.
Il y a un seul majorant, {1, 2, 3}, c'est donc la borne supérieure. Il y a un
seul minorant, Ø, c'est donc la borne inférieure.
exemple 9
(à traiter)
Dans N*, muni de l'ordre de la division, on appelle F la partie :
F = {2, 3, 5, 12, 30}.
Cette partie a-t-elle une borne supérieure, une borne inférieure :
dans N*,
dans {2, 3, …, 60},
dans {2, 3, 5, 12, 30, 120} ?
# réponse
Une borne supérieure est un multiple commun, le plus petit possible, une
borne inférieure est un diviseur commun, le plus grand possible.
Dans N*, inf(F) = 1, sup(F) = 60.
Dans {2, 3, …, 60}, inf(F) n'existe pas, sup(F) = 60.
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Dans {2, 3, 5, 12, 30, 120}, inf(F) n'existe pas, et sup(F) = 120.
Bien noter que l'existence, la valeur des bornes supérieure et inférieure
dépendent de l'ensemble de référence, et pas seulement de la partie
étudiée.
"Si max(F) existe, alors supE(F) existe aussi et on a :
max(F) = supE(F)."
exemple 10
Ce résultat est intéressant par les énoncés qu'on peut en déduire :
- si supE(F) existe et max(F) n'existe pas, on conclura que supE(F) n'est
pas un élément de F.
- si supE(F) existe et n'appartient pas à F, max(F) n'existe pas.
exemple 11
(à traiter)
Dans l'exemple 9, discuter l'existence de min(F), max(F).
Cette existence dépend-elle de l'ensemble de référence ?
Essayer de généraliser.
# réponse
Dans N*, muni de l'ordre de la division, on appelle F la partie :
F = {2, 3, 5, 12, 30}.
Il n'y a ni plus grand élément (un multiple commun est au moins 60) ni
plus petit élément (1 est le seul diviseur commun). Ces résultats ne
dépendent pas de l'ensemble dans lequel F est plongé.
C'est un résultat général : max(F) est un élément de F supérieur aux
autres pour la relation d'ordre restreinte à F.
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"Soient E et F des ensembles ordonnés, et f : E --. F une application. On dit que f est
croissante si on a l'implication, pour tout x et tout y de E, x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)."
exemple 12
On connaît de nombreuses applications monotones, au moins sur une
partie de leur domaine de définition :
sin : [0 , π/2] → R,
Ln :]0 , +∞[→ R.
exemple 13
(à traiter)
Soit E : R+ → N, l'application qui à x associe sa partie entière E(x).
Dessiner le graphe de E sur l'intervalle [0 , 5]. Cette application est-elle
croissante ?
# réponse
Le graphe est représenté ci-dessous.
Il a été tracé à l'aide du logiciel MAPLE, on a donné l'instruction
correspondante.
Il est clair que cette application est croissante, non strictement.
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2-2 Segments, intervalles
"Soit (E, ≤) un ensemble ordonné, on appelle segment fermé d'extrémités a et b, avec a
< b pour fixer les idées, la partie de E définie par [a, b] = {x ∈ E / a ≤ x ≤ b}."
exemple 14
Ainsi, dans N*, muni de l'ordre de la division :
[2 , 12] = {2, 4, 6, 12}.
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Dans Z, avec l'ordre usuel :
[2 , 12] = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Noter que certains segments fermés sont aussi des segments ouverts :
Dans Z, [2 , 12] =]1 , 13[.
exemple 15
(à traiter)
Dans P({1, 2, 3, 4}), avec l'ordre de l'inclusion, écrire le segment
fermé [{1} , {1, 3, 4}], et le segment ouvert ]{2, 3} , {2, 3, 4}[.
# réponse
Le segment [{1}, {1, 3, 4}] est en gras.
Quant au segment ouvert ]{2, 3} , {2, 3, 4}[, on voit qu'il est vide.
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"Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et I une partie de E. On dit que I est un intervalle de E
si pour tout x et tout y de I tels que x ≤ y on a : Tout élément z de E tel que x ≤ z ≤ y,
est un élément de I."
exemple 16
Dans R, la partie définie par I = {x | |x| ≥ 1} n'est pas un intervalle :
Dans Z*, la partie définie par I = {x | |x| ≥ 1}, est un intervalle. En
effet, il n'y a pas d'élément strictement compris entre –1 et 1 dans Z*,
donc l'énoncé caractérisant un intervalle n'a pas de contre-exemple.
exemple 17
(à traiter)
Dans R, l'ensemble I suivant est-il un intervalle :
I = {x | |x| > 0}.
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# réponse
Non, puisque, par exemple, –12 et 36 sont dans I alors que 0 n'y est
pas.
"Dans un ensemble totalement ordonné, si I est un intervalle, et si a = inf(I) et b = sup(I)
existent, alors I est un segment contenu dans [a , b] et contenant ]a , b[."
exemple 18
On utilise cet énoncé pour identifier tous les intervalles de R ou de N.
La condition "totalement ordonné" est importante : par exemple, pour N*
muni de l'ordre de la division, on peut utiliser les notions (sur lesquelles
on reviendra) de plus grand diviseur commun (PGCD) et plus petit
multiple commun (PPCM) d'une famille finie d'entiers.
Ainsi, un intervalle fini de cet ensemble ordonné a une borne supérieure
(PPCM) et une borne inférieure (PGCD), pourtant :
{2, 3, 5, 7} est un intervalle car ses éléments ne sont pas liés par la
relation d'ordre (aucun n'est divisible par un autre), on voit que :
1 = PGCD(2, 3, 5, 7), et 210 = PPCM(2, 3, 5, 7),
mais {2, 3, 5, 7} ≠ ]1 , 210[.
exemple 19
(à traiter)
Dans (P({1, 2, 3}), ⊂), vérifier que I = {{1}, {2}, {2, 3}} est un
intervalle. Est-ce un segment ?
# réponse
Les seuls éléments comparables sont {2} et {2, 3}. Aucun élément n'est
strictement compris entre les deux. L'ensemble I est bien un intervalle.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
30
Le seul majorant de I est {1, 2, 3}, c'est sup(I). Le seul minorant est Ø,
c'est inf(I). Ces éléments n'appartiennent pas à I, donc, si I est un
segment, on a :
I = ]Ø , {1, 2, 3}[, ce qui est faux, bien sûr.
2-3 Entiers
"Soit E un ensemble totalement ordonné, et x, x' des éléments de E. On dit que x' est le
successeur de x, et on note x'= succ(x), si x < x' et si le segment ]x , x'[ est vide ; on
définit de même le prédécesseur de x, noté pred(x)."
exemple 20
Dans P({1, 2, 3}), Ø ⊂ {1}, ]Ø , {1}[ est vide, Ø ⊂ {2}, ]Ø , {2}[ est
vide, de même pour {3}. On voit ici l'utilité de la condition "totalement
ordonné" pour que le successeur soit bien défini s'il existe.
Dans Z, ou N, avec l'ordre usuel, on voit que le successeur d'un
élément n existe, c'est n+1 (selon le point de vue, ce peut être la
définition de n + 1).
exemple 21
(à traiter)
Dans Q, le nombre 0 a-t-il un successeur, un prédécesseur ?
Généraliser.
# réponse
Si un successeur existe, soit
p
.
q
p
p p
p
< , ce qui contredit le fait que
> 0, alors 0 <
q
2q q
q
soit un successeur.
On voit que si
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
31
a
c a
Plus généralement, soit
un rationnel, et
> . On vérifie que
b
d b
ad + bc
est entre ces deux nombres. Il n'existe donc aucun successeur
2bd
dans Q.
"Soit E un ensemble totalement ordonné. On dit que E est bien ordonné (BO) si toute
partie non vide A de E admet un plus petit élément min(A)."
exemple 22
Dans E = {2n | n naturel}, ordonné par division, toute partie non vide a
un plus petit élément : il suffit de prendre l'élément 2k, k étant le plus
petit exposant utilisé dans cette partie.
Cet ensemble est bien ordonné.
NB : ceci repose en fait sur la définition axiomatique de N, puisqu'on
admet implicitement dans ce raisonnement que l'ensemble des exposants
a un plus petit élément.
exemple 23
(à traiter)
1
| n est l'opposé d'un naturel non nul}. Vérifier que A,
n
ordonné par l'ordre usuel de Q, est bien ordonné.
Soit A = {
# réponse
Soit B une partie non vide de A. Soit B' l'ensemble des opposés des
dénominateurs des éléments de B. C'est une partie non vide de N. Soit m
son plus petit élément.
1
1
1
∈ B, –n > m, donc
>
,
Si
n
n
−m
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
32
1
de plus m ∈ B', donc
∈ B,
−m
1
= min(B).
donc
−m
A est bien ordonné.
"Soit E un ensemble bien ordonné. On dit que E est naturellement bien ordonné (NBO)
si tout élément de E, sauf min(E), a un prédécesseur."
exemple 24
Les parties finies de (Z, ≤) sont naturellement bien ordonnées.
exemple 25
(à traiter)
Dans Z, tout élément a un prédécesseur (pred(n) = n – 1). Est-ce un
ensemble naturellement bien ordonné ?
# réponse
Non, car Z n'est pas bien ordonné : certaines parties n'ont pas de plus
petit élément (Z par exemple).
"Soit P : N → {vrai, faux} une propriété. Soit a un élément de N. On dit que P est
récursive à partir de a si pour tout x de N supérieur ou égal à a on a l'implication : si
P(x) = vrai, alors P(succ(x)) = vrai."
exemple 26
Soit P la propriété :
"le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 5.2n."
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
33
Cette propriété est récursive à partir de 0 : on voit facilement que le
nombre de parties d'un ensemble à n+1 éléments est le double de celui
d'un ensemble à n éléments (voir exemple 28).
Remarquer que cette propriété est récursive à partir de 0, mais fausse :
(P(0) = faux).
exemple 27
(à traiter)
Vérifier que la propriété "La somme des n premiers entiers naturels est
n2 n 1
égale à
+ + " est récursive à partir de 1.
2
2 2
# réponse
Supposons la propriété vraie pour n. La somme des n + 1 naturels est
alors :
n2 n 1
+ + + n + 1.
2
2 2
2
(n + 1) n + 1 1
Or
+
+ s'écrit :
2
2
2
n 2 + 2n + 1 n 1 1
+ + + ,
2
2 2 2
2
n
n 1
+ n + + + 1.
2
2 2
C'est bien la même formule, donc la propriété est récursive.
Daniel ALIBERT
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volume 2
34
"Soit P une propriété sur N, récursive à partir de a. S'il existe un élément b de
grand que a, tel que P(b) = vrai, alors P(x) est vrai pour tout x supérieur à b."
N, plus
exemple 28
Le nombre d'éléments de l'ensemble des parties d'un ensemble à n
éléments est 2n ; si n = 0, c'est vrai (une seule partie, la partie vide).
Supposons le résultat vrai pour n. Si E est un ensemble à n + 1 éléments,
on note a l'un d'entre eux. Les parties de E sont de deux types, celles qui
contiennent a, et les autres. Elles se correspondent biunivoquement
puisque toute partie H ne contenant pas a est associée à une partie qui
contient a, soit H ∪ {a}. Les parties qui ne contiennent pas a sont les
parties de l'ensemble E-{a} qui a n éléments. Il y en a 2n en tout. Le
nombre de parties de E est donc 2n + 2n = 2n+1.
D'où, par récurrence, le résultat annoncé.
exemple 29
(à traiter)
La propriété :
"La somme des n premiers entiers naturels est égale à
n2 n 1
+ + " est2
2 2
elle vraie (cf. 27) ?
# réponse
On a vu que cette propriété est récursive.
Pour n = 1 elle n'est pas vraie, 1 ≠ 3/2. Elle n'est même jamais vraie,
n2 n 1
puisque le nombre
+ + n'est jamais entier (n(n + 1) est pair donc
2
2 2
n2 n
+ entier).
2
2
Daniel ALIBERT
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volume 2
35
Revenant au raisonnement du (27) on voit que toute formule de la forme
n2 n
+ + c est récursive quel que soit c. Il suffit de choisir c pour que la
2
2
propriété soit vraie pour n = 0, soit c = 0. On retrouve une formule bien
connue :
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + …+ n =
.
2
"Dans N, toute partie majorée a un plus grand élément, les intervalles sont les segments
fermés et les sections finissantes fermées."
exemple 30
Soit I = {n ∈ N | n2 + 2n + 13 ≤ 37}.
C'est un intervalle ; en effet la fonction x → x2 + 2x + 13 est croissante
sur R+, donc :
si n1, n2 ∈ I et n1 ≤ m ≤ n2, m2 + 2m + 13 ≤ n22 + 2n2 +13 ≤ 37.
De plus I est borné puisque si n2 + 2n + 13 ≤ 37 , alors n2 ≤ 37, donc
n ≤ 6. C'est donc un segment fermé.
Le graphe est tracé ci-contre (avec MAPLE).
Daniel ALIBERT
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36
Le segment est donc [0 , 4]. La fonction étant monotone, on pouvait aussi
établir une table de valeurs :
n
0
13
1
16
2
21
3
28
4
37
5
exemple 31
(à traiter)
Soit A = {n ∈ N | | – n2 + 6n + 3 | ≤ 7}. Est-ce un intervalle ? Vérifier
que c'est une partie majorée, et trouver son plus grand élément.
On pourra s'aider d'un graphique, et de calcul numérique.
Daniel ALIBERT
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volume 2
37
# réponse
Graphiquement :
La partie au-dessous de 7 correspond aux abscisses 0, 6, 7. Ce n'est pas
un intervalle, c'est une partie majorée de plus grand élément 7.
Par le calcul, on établit le tableau de variations de la fonction u définie
par :
u(x) = | – x2 + 6x + 3 |.
x
0
– 2x + 6
– x2 + 6x + 3
| – x2 + 6x + 3 |
La partie A est donc bornée.
+
3
0
12
12
+∞
–
0
0
–∞
+∞
Daniel ALIBERT
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volume 2
38
2-4 Anneaux et corps
"Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne. On dit que (E, T,
×) est un anneau si 1- (E, T) est un groupe commutatif, 2- × est associative et admet un
élément neutre différent du neutre de T, 3- × est distributive par rapport à T."
exemple 32
Les anneaux usuels sont (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×).
On en rencontrera d'autres (matrices, polynômes, suites…).
L'ensemble Z[x] des fonctions sur R, polynomiales à coefficients entiers
relatifs, est un anneau, par exemple, pour les opérations usuelles
d'addition des fonctions, et de multiplication des fonctions. L'élément
neutre de l'addition est la fonction 0, l'élément neutre de la multiplication
est la fonction constante égale à 1.
exemple 33
(à traiter)
Appelons A l'ensemble des endomorphismes de (R2, +), c'est-à-dire
des applications u de R2 dans lui-même qui ont la propriété suivante :
pour tout couple de vecteurs (V, W) du plan, u(V + W) = u(V) + u(W).
On définit l'addition de deux endomorphismes comme d'habitude :
(u + v) (X) = u(X) + v(X) pour tout vecteur X.
On considère une seconde loi interne (le vérifier) dans A, la composition
des applications :
uov (X) = u(v(X)).
Vérifier que (A, +, o) est un anneau.
Questions identiques si on considère B, ensemble de toutes les
applications du plan dans lui-même, avec les mêmes opérations.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
39
# réponse
(A, +) est un groupe commutatif : l'opération + est définie à partir de
l'addition des vecteurs, qui est une loi de groupe commutatif. Il n'y a
aucun problème de vérification. De même, il est facile de voir que
l'opération o est interne.
L'opération o est associative ; pour tout vecteur X :
uo(vow)(X) = u(v(w(X))) = uov(w(X)) = (uov) ow(X).
Pour la distributivité ; pour tout vecteur X :
uo (v + w)(X) = u(v(X) + w(X)),
= u(v(X)) + u(w(X)),
= uov(X) + uow(X).
L'élément neutre pour o est l'application identique id(X) = X pour tout X
du plan.
(A, +, o) est un anneau.
Pour B, on voit facilement que toutes les vérifications subsistent, sauf la
distributivité, qui utilise le fait que u est un endomorphisme. (B, +, o)
n'est donc pas un anneau.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
40
"Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne. On dit que (E, T,
×) est un corps si 1- (E, T, ×) est un anneau commutatif, 2- Tout élément de E sauf le
neutre de T a un symétrique pour × ."
exemple 34
Les corps que l'on utilise souvent au niveau de la Licence sont les
corps de nombres : Q, R, C. On rencontrera, par exemple dans certaines
résolutions d'équations par MAPLE, des "extensions" du corps des
rationnels : ce sont des corps contenant Q, et contenus dans C, ou dans R.
Notons Q[i] l'ensemble des nombres (complexes) de la forme p + iq, où p
et q sont des rationnels, et i désigne le complexe de module 1 et
argument π/2, comme d'habitude.
Ce sous-ensemble de C est stable par les deux opérations de
multiplication et d'addition. On peut donc examiner la question :
(Q[i], +, ×) est-il un corps ?
On va voir que oui :
Il est clair que les propriétés des opérations telles que associativité,
commutativité, distributivité, subsistent puisqu'elles ne sont pas relatives
au contexte.
(Q[i], +) est un sous-groupe de (C, +) ; il est non vide et :
(a + i b) – (p + iq) = (a – p) + i (b – q),
si a, b, p, q sont des rationnels, alors a – p et b – q également.
Tout élément de Q[i] autre que 0 a un inverse dans Q[i] ; l'inverse de
p + iq dans C est :
p − iq
,
p2 + q 2
soit :
p
q
,
2
2 −i 2
p +q
p + q2
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
41
c'est bien un élément de Q[i].
exemple 35
(à traiter)
Un autre exemple de corps se rencontre en arithmétique, et joue un
rôle important dans les applications comme la cryptographie : il s'agit des
corps finis.
Appelons K l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4} muni de deux opérations, + et × ,
supposées commutatives, et définies par les tables ci-dessous.
On admettra que ces opérations sont associatives, et × distributive par
rapport à +.
Vérifier que cet ensemble K de 5 éléments est bien un corps.
+
0
1
2
3
4
×
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
0
1
0
1
2
3
4
2
2
3
4
0
1
2
0
2
4
1
3
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
42
# réponse
On constate en effet que K est un anneau commutatif.
Dans la seconde table, on vérifie que dans chaque ligne autre que celle de
0, l'élément neutre 1 apparaît, ce qui signifie que les éléments différents
de 0 sont inversibles pour × . L'ensemble K est bien un corps.
2-5 Les nombres réels
"On appelle groupe ordonné un groupe (G, T) muni d'une relation d'ordre ≤ compatible
avec T, c'est-à-dire telle que pour tout x, tout y, tout x', tout y' de G on ait l'implication x
≤ y et x' ≤ y' entraîne x T x' ≤ y T y' (on peut composer des inégalités)."
exemple 36
Vous connaissez déjà des groupes ordonnés :
(Z, +, ≤), (Q, +, ≤), (R, +, ≤) par exemple,
où on ajoute membre à membre des inégalités.
Les groupes de la forme F(A, G), ensemble des applications d'un
ensemble A quelconque dans un groupe ordonné G, sont également de
façon naturelle des groupes ordonnés.
exemple 37
(à traiter)
Le groupe multiplicatif (Q*, ×) des rationnels non nuls est également
un ensemble ordonné. Est-ce un groupe ordonné ?
Examiner la même question pour le groupe multiplicatif (R+*, ×) des réels
strictement positifs.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
43
# réponse
Peut-on multiplier membre à membre des inégalités ? On sait bien qu'en
général, cela conduit à un résultat faux (c'est une erreur classique) :
– 2 ≤ – 1,
– 3 ≤ 1, "donc" 6 ≤ –1.
Par contre, lorsqu'il s'agit de nombres strictement positifs, il n'y a plus de
difficulté.
"On dit qu'un groupe (G, T, ≤) totalement ordonné, d'élément neutre e est archimédien,
si pour tout x tel que e < x, et tout y de G, il existe un entier n tel que y < xn."
exemple 38
Reprenons les groupes ordonnés de l'exemple 32 :
(Z, +, ≤) est totalement ordonné.
Si x > 0, et y sont des relatifs, existe-t-il un entier n tel que y < n.x ?
Intuitivement, la réponse est affirmative. On peut effectivement le
démontrer à partir des axiomes de définition de N.
Ce groupe est bien archimédien.
exemple 39
(à traiter)
Le groupe additif des rationnels est-il archimédien ?
Et le groupe multiplicatif des rationnels strictement positifs ?
# réponse
p
r
un rationnel strictement positif, et un rationnel. On suppose p,
q
s
q, s strictement positifs, ce qui est toujours possible.
Soit
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
44
Peut-on trouver un multiple entier du premier, qui soit supérieur au
r
second. C'est évident si est négatif ou nul.
s
r
Si est positif, on doit résoudre l'inéquation :
s
nps > qr.
On voit donc que cela est possible, puisque (Z, +) est archimédien.
Le groupe additif des rationnels est archimédien.
Pour le groupe multiplicatif des rationnels strictement positifs, il faut
résoudre le problème suivant :
p
r
strictement plus grand que 1, et ,
étant donné
q
s
p
r
existe-t-il une puissance de
qui dépasse ?
q
s
Ici encore, on peut, à première vue, dire que c'est bien le cas puisque, si
x > 1, xn tend vers l'infini, donc dépasse n'importe quel rationnel fixé à
l'avance.
On peut cependant se demander comment on prouve que :
si x > 1, xn tend vers l'infini (laissé au lecteur).
"Un anneau (A, +, ×) muni d'une relation d'ordre ≥ est ordonné si le groupe (A, +) est
ordonné, et si de plus on a l'implication : si x ≥ 0 et y ≥ 0 alors x.y ≥ 0. Si A est un
corps, on dit que c'est un corps ordonné s'il est totalement ordonné."
exemple 40
L'anneau des entiers relatifs est un anneau ordonné, de même l'anneau
des rationnels. Bien noter que, dans le cas d'un corps, cela ne suppose pas
que le groupe multiplicatif des éléments non nuls (différents de l'élément
neutre de l'addition) soit un groupe ordonné. La condition est plus faible.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
45
exemple 41
(à traiter)
On a vu qu'il existe des corps finis, par exemple :
Z/3Z = {0, 1, 2}.
En envisageant tous les cas possibles, vérifier que cet ensemble ne peut
pas être un corps ordonné.
# réponse
Un corps ordonné est totalement ordonné, donc il faut voir toutes les
façons d'ordonner totalement un ensemble à trois éléments :
a) 0 < 1 < 2,
b) 0 < 2 < 1,
c) 1 < 0 < 2,
d) 1 < 2 < 0,
e) 2 < 1 < 0,
f) 2 < 0 < 1.
Compatibilité avec + : (rappel 3 = 0)
a) 0 < 1 et 1 < 2 entraîne 1 < 3 donc 1 < 0, mais 1 ≠ 0. Cas impossible.
b) 0 < 2 et 2 < 1 entraîne 2 < 3 donc 2 < 0, mais 2 ≠ 0. Cas impossible.
c) 1 < 2 et 1 < 2 entraîne 2 < 4 donc 2 < 1, mais 2 ≠ 1. Cas impossible.
d) 1 < 2 et 2 < 0 entraîne 3 < 2 donc 0 < 2, mais 2 ≠ 0. Cas impossible.
e) 2 < 1 et 2 < 1 entraîne 4 < 2 donc 1 < 2, mais 2 ≠ 1. Cas impossible.
f) 0 < 1 et 0 < 1 entraîne 0 < 2 donc 0 < 2, mais 2 ≠ 0. Cas impossible.
Ce corps n'est pas ordonné.
NB : en fait on n'a utilisé que la structure de groupe ordonné. On voit que
ce groupe ne peut pas être totalement ordonné.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
46
"Dans un anneau totalement ordonné, pour tout élément a, le carré a2 est supérieur ou
égal à 0."
exemple 42
C'est évidemment une propriété bien connue et souvent utilisée dans les
corps ordonnés usuels (rationnels, réels).
Remarquer que cela exclut que le corps des complexes soit un corps
ordonné, quelle que soit la structure d'ordre qu'on pourrait y définir : on
devrait avoir les inégalités :
12 > 0,
i2 > 0,
soit :
1 > 0,
– 1 > 0, d'où :
0 > 0.
exemple 43
(à traiter)
Utiliser ce résultat pour prouver que Z/3Z ne peut pas être un corps
ordonné.
Généraliser à un corps Z/pZ.
# réponse
On devrait avoir :
1 > 0, donc – 1 < 0.
(cf. le cas des complexes). Mais –1 = 2 = 1 + 1 donc -1 > 0.
Dans le cas général, – 1 = p – 1 = 1 + 1 + … + 1 > 0, on conclut de
même.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
47
"Il existe un unique corps totalement ordonné (R, +, ×) ayant la propriété suivante :
Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure dans R."
exemple 44
L'ensemble :
E = {x ∈ R | x2 < 3},
est majoré, par 2 par exemple : si x > 2, x2 > 4, donc x n'appartient pas à
E. Il en résulte (comme R est totalement ordonné) que si x est dans E,
alors x ≤ 2.
Soit b la borne supérieure de E.
C'est un nombre positif puisque 0 est dans E. Si b2 ≠ 3, on étudie les deux
autres cas :
b2 < 3,
b2 > 3.
Dans le premier cas, b est le plus grand élément de E. Or, on peut trouver
1
1
n assez grand pour que (b + )2 < 3 , donc (b + ) est un élément de E,
n
n
ce qui est une contradiction.
Dans le second cas, b n'est pas un élément de E. On peut trouver n assez
1
1
grand pour que (b − )2 > 3, donc (b − ) est un majorant de E inférieur
n
n
à b, ce qui est également une contradiction.
Il en résulte que b2 = 3.
L'existence d'une borne supérieure entraîne l'existence d'une racine carrée
pour 3. On montrerait de la même façon l'existence d'une racine n-ème.
(Les arguments développés ci-dessus reposent sur le fait que R est
archimédien, ce que nous vérifierons en exercice, cf. exercice 18.)
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
48
exemple 45
(à traiter)
L'existence de bornes supérieures entraîne l'existence de nombres
irrationnels, c'est-à-dire n'appartenant pas à Q. Vérifier, par un
raisonnement par l'absurde, que la borne supérieure b ci-dessus ne peut
p
être égale à une fraction irréductible .
q
On montrera que p est divisible par 3 (raisonner dans le corps Z/3Z),
puis, après simplification, que q est également divisible par 3, d'où une
contradiction.
# réponse
On devrait avoir :
p2 = 3 q2, donc,
p2 = 0 dans le corps Z/3Z,
donc p = 0 dans le corps Z/3Z.
Il existe un entier p' tel que :
p = 3 p', d'où,
3 p'2 = q2,
et par le même raisonnement q est divisible par 3, ce qui contredit le fait
p
que la fraction
est irréductible.
q
On trouve par cet argument très classique que 3 n'est pas un nombre
rationnel.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
49
"Partie entière d'un réel : pour tout réel a, il existe un unique entier n tel que n ≤ a <
n+1, cet entier est appelé la partie entière de a, et notée E(a), ou [a]."
exemple 46
La partie entière n'est pas la partie "avant la virgule" dans l'écriture
d'un réel, du moins dans le cas des réels négatifs :
E(– 12, 345) = – 13,
E(11, 0034) = 11.
exemple 47
(à traiter)
Partie entière et opérations ; en prenant d'abord des exemples, voir si
les relations suivantes sont vraies ou non :
E(– a) = – E(a),
E(a + b) = E(a) + E(b),
E(a.b) = E(a).E(b).
# réponse
Pour la première :
E(– 12, 345) = – 13,
E(12, 345) = 12.
La relation est donc fausse.
Pour la seconde :
E(0, 6) = 0,
E(0, 7) = 0,
E(1, 3) = 1.
La relation est donc fausse en raison des retenues.
Pour la dernière :
E(2, 5) = 2,
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
50
E(2, 6) = 2,
E(6, 5) = 6.
La relation est également fausse.
Développement décimal d'un réel, à l'ordre n : pour tout réel a, et tout entier n, il existe
un unique rationnel Dn tel que 10nDn est entier, et Dn ≤ a < Dn + 10–n, ce nombre
rationnel est appelé le développement décimal à l'ordre n de a.
exemple 48
On fera la même remarque que pour la partie entière, en ce qui concerne
les réels négatifs :
a = – 1, 23456 ;
D2(a) = – 1, 24 ;
b = 0, 6543 ;
D2(a) = 0, 65.
exemple 49
(à traiter)
La partie entière est un cas particulier de développement décimal. On
peut donc prévoir que l'écriture du développement décimal d'une somme,
d'un produit, d'un opposé n'est pas immédiate. Illustrer ce phénomène,
pour les développements à l'ordre 2, par des exemples.
# réponse
Exemple 1 :
D2(– 1, 2367) = – 1, 24,
D2(1, 2367) = 1, 23 ≠ D2(– 1, 2367) .
Exemple 2 :
D2(1, 278) = 1, 27,
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51
D2(0, 356) = 0, 35,
D2(1, 634) = 1, 63 ≠ 1, 62.
Exemple 3 :
D2(1, 278) = 1, 27
D2(0, 356) = 0, 35.
Ici, le produit des développements décimaux n'est pas un développement
décimal à l'ordre 2 :
1, 27 ∞ 0, 35 = 0, 4445.
D'ailleurs :
D2(0, 4445) = 0, 44 ≠ D2(1, 278 × 0, 356) = D2(0, 454968) = 0, 45.
"Dans R, les intervalles sont les segments, les sections finissantes ou commençantes, et
R."
exemple 50
L'ensemble :
E = {x ∈ R | x2 < 3},
utilisé plus haut est un intervalle.
Si y et x sont des éléments de E, avec x < y, et si z est un réel vérifiant :
x < z < y,
alors on doit distinguer différents cas.
( ) x ≥ 0. On peut élever ces inégalités au carré membre à membre (R
est un corps ordonné), d'où :
x2 < z2 < y2 < 3,
donc z est dans E.
( ) y ≤ 0. On obtient des inégalités équivalentes en multipliant par –1 :
– x > – z > – y ≥ 0,
on conclut comme dans le premier cas en élevant au carré.
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52
(
) x < 0 < y. On procédera de même selon la position de z par
rapport à 0.
Cet intervalle borné est un segment :
E = ] − 3 , 3 [.
exemple 51
(à traiter)
Soit F l'ensemble :
F = {x ∈ R | x ≥ 0, et x2 + x ≥ 2}.
Vérifier que c'est une section finissante. Déterminer min(F).
# réponse
C'est un intervalle ; si x est dans F et x' > x, alors :
x'2 + x' ≥ x2 + x ≥ 2,
donc x' est également un élément de F.
Cette partie est bornée inférieurement (par 0) et non bornée
supérieurement (tout réel supérieur à 2 est dans F), c'est donc une section
finissante.
On voit que 1 est un élément de F, et qu'un réel strictement inférieur à 1
n'est pas dans F, puisque :
0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ x2 < 1 ⇒ x + x2 < 1.
Donc 1 = min(F) et :
F = [1 ,→.[ (noté le plus souvent [1 , +∞[).
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53
3
Pour Comprendre
et Utiliser
3-1 Énoncés des exercices
Majorer, minorer, chercher le plus grand (ou plus petit)
élément d'un ensemble ordonné, la borne supérieure
(inférieure). Savoir raisonner dans un ensemble
totalement ordonné, non totalement ordonné. Utiliser la
monotonie des applications. Reconnaître un intervalle, un
segment. Ensembles bien ordonnés. Faire une récurrence.
exercice 1
Soit E un ensemble ordonné. Dans E soient A et B des parties majorées.
1) On suppose d'abord que A et B ont un plus grand élément ( ) ainsi
que A ∩ B et A ∪ B. Quelle relation y-a-t-il entre max(A ∩ B),
max(A ∪ B), max(A) et max(B) ? (☺)( )
2) Si on suppose que A et B ont une borne supérieure dans E, ainsi que
A ∩ B et A ∪ B, établir des relations entre supE(A ∩ B), supE(A ∪ B),
supE(A), supE(B).(☺)( )
exercice 2
Soient E et F des ensembles ordonnés. On note ≤ les relations d'ordre
dans ces deux ensembles.
1) On appelle ordre produit sur E × F la relation définie par :
☺ indications pour résoudre - méthode -
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54
(x, y) ≤P (s, t) si (x ≤ s et y ≤ t).
Démontrer que cette relation est bien une relation d'ordre.
On suppose ici E et F totalement ordonnés ( ), (E × F, ≤P) est-il
totalement ordonné ? (☺) Cette définition s'étend sans difficulté à un
produit quelconque d'ensembles ordonnés.
2) On appelle ordre lexicographique sur E × F la relation définie par :
(x, y) ≤L (s, t) si (x ≤ s et x ≠ s) ou (x = s et y ≤ t).
Démontrer que cette relation est bien une relation d'ordre.(☺)
Si on suppose E et F totalement ordonnés, montrer que (E × F, ≤L) est
totalement ordonné.(☺)
3) Un exemple : N × N. On munit N de la relation d'ordre usuelle.
On considère d'une part l'ordre lexicographique, et d'autre part l'ordre
produit.
Pour ces deux ordres respectivement, quelle est la section finissante
fermée ( ) [(3, 4) , →[, la section commençante ( ) ]←, (3, 4)] ,
le segment fermé ( ) [(1, 2) , (7, 6)].
On précisera dans chaque cas si ces ensembles sont finis ou infinis.
Le segment [(3, 4) , (5, 2)] est-il défini ?
On note p et q les projections de N × N sur N :
p(x, y) = x, q(x, y) = y.
Ces applications sont-elles monotones ( ) (on distinguera le cas de ≤P
de celui de ≤L.)
4) Un autre exemple : Z × Z. On munit Z de la relation d'ordre usuelle, et
Z × Z de l'ordre lexicographique.
Soit A = {(n, m) | n ≥ 4, m ≥ –2}.
Quel est l'ensemble des minorants de A ?
L'ensemble A a-t-il un plus petit élément ? ( ) L'ensemble complémentaire de A a-t-il un plus grand élément ? L'ensemble A est-il un
intervalle ( ) ?
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55
Un élément de (Z × Z, ≤L) a-t-il toujours un prédécesseur ? un
successeur ? (☺) L'ensemble (Z × Z, ≤L) est-il bien ordonné ? ( ) ( ).
Vérifier que les parties de la forme [a , →[ × Z sont des intervalles.
exercice 3
Soit (E, ≤) un ensemble totalement ordonné.
Examiner les conjectures ( )suivantes ( )(☺) :
1) Toute partie finie non vide de E est bornée.
2) Toute partie bornée non vide de E est finie.
3) Toute partie non vide majorée de E admet un plus grand élément.
exercice 4
Sur la notion de "treillis".
Un ensemble ordonné est un treillis si la propriété suivante est vraie :
"toute partie à 2 éléments a une borne supérieure et une borne inférieure".
Parmi les exemples d'ensembles ordonnés étudiés jusqu'ici, certains sont
des treillis. Citez-les. (☺)
1) Démontrer que le produit de deux ensembles totalement ordonnés,
muni de l'ordre produit, est un treillis.(☺)
2) Dans un treillis, démontrer que toute partie finie non vide a une borne
supérieure et une borne inférieure.( )
3) Définir une bijection croissante entre le treillis des parties de {1, 2, 3},
ordonné par l'inclusion, et le treillis formé du cube {0, 1}3, ordonné par
l'ordre produit (l'ensemble {0, 1} étant ordonné par 0 ≤ 1). (☺)
La bijection réciproque est-elle croissante ?
4) Généraliser : pour chaque entier naturel n, définir une bijection
croissante φn entre P({1, 2, …, n}) et {0, 1}n. (☺)
Si pri désigne la projection de {0, 1}n sur son facteur numéro i :
pri : (a1, a2, …, an) → ai,
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56
caractériser l'application composée pri o φ de P({1, 2, …, n}) dans {0, 1}.
exercice 5
Dans cet exercice, on note En le n-cube {0, 1}n. L'ensemble {0, 1} étant
ordonné par 0 ≤ 1, on ordonne En par l'ordre lexicographique.
1) On étudie d'abord le cas n = 3. On associe à chaque élément (a0, a1, a2)
de E3 l'entier :
b3(a0, a1, a2) = a2 + 2a1 + 4a0.
Quelles sont les valeurs prises par b3 ?
Vérifier que b3 est une bijection croissante de E3 sur le segment [0 , 7] de
l'ensemble N. A quoi correspond la bijection réciproque ? (☺)
Est-elle croissante ?
2) Généraliser : définir une application injective bn de En dans N.
Déterminer quelle est son image.
exercice 6
Sur la notion d'arbre.
Un arbre est un ensemble ordonné fini où toute partie à 2 éléments a une
borne inférieure, et aucune partie à 2 éléments non comparables n'a de
majorant. On appelle "feuille" un élément de l'arbre qui n'a pas d'élément
plus grand que lui. On appelle "nœud" les autres éléments.
Vérifier que lorsqu'on supprime une feuille dans un arbre, l'ensemble
complémentaire est encore un arbre.
1) Dessiner tous les arbres à 3, 4, 5 éléments.(☺)
2) Démontrer que, dans un arbre, toute partie non vide a une borne
inférieure (☺). En particulier, l'ensemble a un plus petit élément
(expliquer pourquoi ?). On l'appelle la "racine" de l'arbre.
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57
3) Démontrer que, dans un arbre, toute partie non vide majorée est
totalement ordonnée (☺). Déduire que toute partie non vide majorée a un
plus grand élément. ( )
Démontrer que, dans un arbre, tout élément, sauf le plus petit, a un
prédécesseur ( ).
4) Soit a un élément de l'arbre (A, ≤). Expliquer pourquoi l'ensemble :
B(a) = {x ∈ A | x ≤ a},
est un ensemble non vide totalement ordonné.
Le nombre d'éléments de B(a) est appelé la "hauteur" de a, notée h(a).
Démontrer que deux éléments a et b, tels que a ≠ b et h(a) = h(b) ne sont
pas comparables ( ) (☺).
Calculer h(pred(x)) en fonction de h(x).
5) On suppose (par commodité) que dans l'arbre A, il n'y a pas plus de 10
nœuds ou feuilles de hauteur donnée. On numérote les éléments de A de
la manière suivante, par récurrence : la racine est numérotée 1. Les
éléments de hauteur 1 sont numérotés 10 à 19 (au maximum). Pour les
éléments de hauteur 2, on numérote de 100 à 109 ceux qui sont précédés
par 10, etc.
Plus précisément, 10 × u(pred(x)) + 9 ≥ u(x) ≥ 10 ×u(pred(x)).
Établir la relation (☺) : 2 × 10h(x) – 1 ≥ u(x) ≥ 10h(x).
Vérifier qu'on définit ainsi une bijection croissante u de A sur un
ensemble totalement ordonné. On remarquera que A n'est, en général, pas
totalement ordonné. Appliquer cette méthode, par exemple, aux arbres
dessinés au début.
exercice 7
Étudier la conjecture ( ) suivante :
Soit f : (E, ≤) → (F, ≤) une bijection croissante.
La bijection réciproque g de f est une application croissante (☺).
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58
exercice 8
Quelques propriétés élémentaires des applications monotones
(croissantes pour fixer les idées). On pourra utiliser, pour tester les
réponses, les trois applications suivantes : il n'est pas interdit d'imaginer
d'autres applications si nécessaire.
f1 : N → N, x → 2x,
f2 : R+ → N, x → E(x) (partie entière),
f3 : R+ → R+, x → x – 1+E(x).
Soit f : (E, ≤) → (F, ≤) une application croissante entre des ensembles
ordonnés. Étudier les conjectures ( ) suivantes :
1) Si A est une partie de E qui a un plus grand élément, alors f(A) a un
plus grand élément et max(f(A)) = f(max(A)).( )
2) Si A est une partie de E qui a une borne supérieure ( ) dans E, alors
f(A) a une borne supérieure dans F, et supF(f(A)) = f(supE(A)) (☺)( ).
3) On suppose E totalement ordonné. Soit a ∈ E. On suppose que le
successeur de a existe, ainsi que le prédécesseur. Dans ce cas, f(a) a un
successeur et succ(f(a)) = f(succ(a)) (☺).
De même, f(pred(a)) = pred(f(a)).
4) Supposons de plus f surjective : si E est Bien Ordonné ( ), alors F
aussi. Si E est NBO ( ) alors F aussi.
Calculer dans un anneau, un corps.
exercice 9
Quelques propriétés élémentaires des anneaux et corps ( ) ( ) :
1) Soit (K, +, ×) un ensemble muni de deux lois internes.
On suppose que (K, +) est un groupe, on note 0 son élément neutre.
On suppose que (K–{0}, ×) est un groupe.
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59
On suppose enfin que la loi × est distributive par rapport à + à gauche et à
droite.
Démontrer que (K, +, ×) est un corps.( )(☺)
2) Dans un anneau ( ) (A, +, ×), on note 1 l'élément neutre de × , et –1
son opposé.
Établir les égalités :
(–1) × a = a × (–1),
a × a = (–a) × (–a).
3) Dans un anneau commutatif, établir la "formule du binôme" :
∀a, b (a + b)n = an + Cn1 b.an–1 + … + Cnp bp.an–p + … + bn.
4) Si l'anneau n'est pas commutatif, développer (a + b)2, (a + b)3.
exercice 10
Quelques propriétés des anneaux Z/nZ ( ) :
1) Soit n un naturel strictement plus grand que 1.
Vérifier que la relation (dite de congruence modulo n) :
x R y si x – y est divisible par n,
est une relation d'équivalence sur Z.
On dit que x est congru à y modulo n.
On note Z/nZ l'ensemble quotient.
2) Vérifier que l'addition et la multiplication de Z sont compatibles ( )
avec la congruence modulo n. On en déduira que le quotient est un
anneau commutatif.
3) Premier exemple : n = 5.
Écrire la table de multiplication de Z/5Z – {0}.
Rechercher les diviseurs de 0 ( ), les éléments nilpotents ( ), les
éléments inversibles ( ). Cet anneau est-il un corps ?
4) Deuxième exemple : n = 6.
Répondre aux mêmes questions.
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60
5) Troisième exemple : n = 8.
Répondre aux mêmes questions.
Ces résultats seront repris en arithmétique et on verra un énoncé général.
6) Dans chacun de ces anneaux, résoudre les équations ( )(☺) :
X2 = –1,
X2 = 1,
X2 – 4 X+ 1 = 0, Xn–1 = 1.
exercice 11
Quelques exemples d'anneau obtenus par extension de Z, et de corps
obtenus par extension de Q.( )
Soit t un complexe, non rationnel. On pose :
Z[t] = {a + bt | a, b ∈ Z},
Q[t] = {a + b t | a, b ∈ Q}.
1) Soit x un élément de Q[t]. Démontrer qu'il s'écrit de manière unique
sous la forme x = a + b t, avec a, b des rationnels.(☺)
On suppose que t est solution d'une équation du second degré à
coefficients entiers du type :
t2 + pt + q = 0,
Calculer en fonction de t, p, q les expressions de t2, t3, t4.
Démontrer que Z[t] et Q[t] sont des anneaux. (☺)
2) Exemple de l'anneau Z[i], et de Q[i].
Chercher les éléments de Z[i] inversibles dans cet anneau (☺).
On a vu que Q[i] est un corps (exemple 34).
3) Exemple de l'anneau Z[ 3 ], et de Q[ 3 ].
On suppose a et b rationnels.
Montrer que le produit (a + b 3 )(a – b 3 ) est un rationnel et qu'il ne
peut être nul que si a et b sont nuls. En déduire que Q[ 3 ] est un
corps.(☺)
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61
a2
b2 ,
4) Trouver des couples d'entiers (a, b), avec b ≠ 0, tels que – 3
soit
égal à 1 ou –1 ( ).
Déduire, dans Z[ 3 ], des exemples d'éléments inversibles ( ), non
entiers.
5) On revient au cas général. Démontrer que t est inversible dans Q[t],
donner l'expression de son inverse. (☺)
Soit t' l'autre racine de X2 + p X + q = 0.
Pourquoi est-elle différente de t ? Montrer que cette racine appartient à
Z[t].
On suppose a et b rationnels. Montrer que le produit (a + bt)(a + bt') est
un rationnel et qu'il ne peut être nul que si a et b sont nuls. En déduire
que Q[t] est un corps.(☺)
exercice 12
Endomorphismes ( ) de Q.
1) Soit f une application de Z dans lui-même.
On suppose qu'elle vérifie les propriétés :
f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b).
Calculer f(0), f(–a), f(k.a) pour k et a entiers relatifs.
Supposer f(1) = 0. Démontrer que f(x) = 0 pour tout x.
Supposer f(1) ≠ 0. Démontrer que f(1) = 1, puis que f est l'identité de Z.
2) On suppose maintenant que f est un homomorphisme d'anneaux ( )
de Q dans lui-même, ayant les mêmes propriétés.
Démontrer que f est l'identité de Q.(☺)
exercice 13
Sur la notion de noyau ( ) d'un homomorphisme.
(Le début a déjà été proposé dans le volume 1, il est repris ici comme
préliminaire.)
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1) Soit h : A --. B un homomorphisme de groupes ( ). On note
indifféremment e l'élément neutre de A et de B, et par un point (".")
l'opération de A et de B. On appelle H l'ensemble :
H = {a ∈ A | h(a) = e}.
Démontrer que H est un sous-groupe de A.
On l'appelle le "noyau" de h.
Vérifier que si u ∈ H, pour tout g ∈ A, g.u.g–1 ∈ H.
Démontrer que h est injectif ( ) si et seulement si son noyau ne
contient que l'élément neutre.(☺)
2) Soit maintenant h : A → B un homomorphisme d'anneaux ( )( ).
C'est en particulier un homomorphisme de groupes, et il a un noyau H,
qui est un sous-groupe de (A, +). On note + et × les opérations d'anneaux.
Démontrer que H a la propriété suivante (☺) :
si a ∈ A et u ∈ H, alors a × u H.
(On y reviendra en arithmétique.)
3) Déduire de ce qui précède qu'un homomorphisme de corps est nul ou
injectif.(☺)
Utiliser l'ordre dans un groupe, un anneau, un corps.
exercice 14
Quelques propriétés des groupes commutatifs ordonnés.( )
Soit (G, +, ≤) un groupe commutatif ordonné. On note 0 son élément
neutre, et pour tout élément x de G, – x son symétrique.
Préliminaire :
a- Démontrer que pour tout triplet d'éléments de G, (g, h, k), on a
l'implication :
si g < h alors g + k < h + k.
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b- Démontrer que pour tout quadruplet d'éléments de G, (g, h, k, j), on a
l'implication :
si g < h et k < j alors g + k < h + j.
(c'est-à-dire que la relation x R y si x ≤ y et x ≠ y, est compatible avec +)
1) On suppose que dans G tout élément est comparable ( ) à 0.
On pose :
G+ = {g ∈ G | g > 0},
G– = {g ∈ G | g < 0}.
Démontrer que si g est un élément de G+, alors – g est un élément de G–
(☺), et réciproquement, et que G+ et G– sont des parties stables ( )
pour + (☺).
En déduire que si G est un groupe fini, son ordre ( ) est impair.
Démontrer que G est totalement ordonné ( ).
2) On suppose que G est un groupe fini, d'ordre strictement supérieur à 1.
Démontrer que G n'est pas totalement ordonné (☺).
3) On suppose maintenant G totalement ordonné. Démontrer que dans G,
aucun élément non nul n'est d'ordre fini, en particulier aucun sous-groupe
non trivial ( ) n'est fini (☺).
On suppose de plus G ≠ {0}. Démontrer que G n'a pas de plus grand
élément, ni de plus petit élément.
4) On suppose G totalement ordonné.
Donner un exemple où G+ a un plus petit élément ( ), et un exemple où
G+ n'a pas de plus petit élément, mais a une borne inférieure (☺).
On suppose que G+ a un plus petit élément, soit a. Démontrer que
–a = max(G–). On pose :
H = {g ∈ G| a > g}.
Démontrer que H a un plus petit élément, qui est a + a = 2a.
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G+
On suppose que
n'a pas de plus petit élément, mais a une borne
inférieure. Démontrer que infG(G+) = 0.
exercice 15
Quelques propriétés des anneaux commutatifs totalement ordonnés
( )( ).
Soit (A, +, × , ≤) un anneau commutatif totalement ordonné. On note 0
l'élément neutre de +, 1 celui de × , –a le symétrique pour + de a, a–1 le
symétrique pour × de a.
(A, +, ≤) est un groupe commutatif totalement ordonné. On utilisera les
résultats de l'exercice précédent qui s'y appliquent, ainsi que les
notations.
1) Démontrer que 1 > 0. Plus généralement, vérifier qu'un élément
idempotent ( ) est dans A+(☺).
Soit (a, b, c) un triplet de A. On suppose que a > b et que c est un
élément inversible supérieur à 0. Démontrer que a × c > b × c.
2) Soit a un élément inversible ( ) de A, on suppose que a est dans A+.
Démontrer que a–1 est également dans A+ (☺).
Soit (a, b) un couple d'éléments inversibles de A+. On suppose a > b.
Démontrer b–1 > a–1.
Si a > 1, démontrer que a–1 < 1, et 0 < a–1.
3) On suppose que A est un corps ordonné.
Expliquer pourquoi, si min(A+) existe alors min(A+) ≤ 1.
Démontrer qu'il existe un élément supérieur à 1, en déduire que 1 n'est
pas le plus petit élément de A+.
On veut démontrer que A+ n'a pas de plus petit élément.
On fait un raisonnement par l'absurde : supposons que min(A+) existe,
soit a cet élément. Déduire que A a un plus grand élément. Conclure.
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Calculer dans le corps ordonné des réels : chercher une
borne supérieure (ou inférieure), majorer, minorer,
utiliser les intervalles.
exercice 16
Quelques relations élémentaires ( ) sur les bornes supérieures ( ) dans
R.
(On pourra écrire des relations analogues pour les bornes inférieures.)
Par convention, les bornes supérieures sont calculées dans R.
Dans cet énoncé, A et B sont des parties non vides majorées de R.
1) Discuter l'existence de sup(A ∪ B), sup(A ∩ B) et établir leurs
relations avec sup(A), sup(B).
2) On désigne par A + B l'ensemble :
{a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Démontrer l'existence de sup(A + B). Cette borne supérieure est-elle
égale à sup(A) + sup(B) ? (☺).
3) On suppose de plus que A et B sont des parties de R+. On désigne par
A.B l'ensemble :
{a.b | a ∈ A, b ∈ B}.
Démontrer l'existence de sup(A.B), et comparer sa valeur avec
sup(A).sup(B).
exercice 17
Propriétés importantes de R.
Il s'agit ici d'établir quelques propriétés "connues" de R, à partir de sa
seule caractérisation c'est -à-dire d'être un corps ordonné dans lequel :
Toute partie non vide majorée ( ) a une borne supérieure.
1) Préliminaire : Soit A un sous-ensemble non vide de R formé d'entiers.
On suppose que A admet une borne supérieure S dans R.
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Expliquer ( ) pourquoi il existe exactement un élément de A appartenant
à:
]S – 12 , S].
Soit N cet élément. Démontrer que N = max(A), puis que S = N (☺).
2) R est archimédien ( ).
Soit a un réel positif, non nul, et b un réel quelconque.
Soit A le sous-ensemble de R :
A = {n | n.a ≤ b}.
A peut-il être vide ?
Si A n'est pas vide, démontrer qu'il a une borne supérieure, puis que cette
borne supérieure est un plus grand élément. Soit N = max(A). Démontrer
que (N + 1).a > b. Conclure que R est archimédien (☺).
3) Déduire de la question précédente que pour tout réel x il existe (☺) un
unique entier relatif n vérifiant :
n ≤ x < n + 1.
(Il s'agit de la partie entière, dont on prouve ainsi l'existence à partir des
propriétés de base de R.)
4) Soit G un sous-groupe de (R, +). On utilise les notations et résultats de
l'exercice 14. On suppose que G+ a un plus petit élément, soit a.
Démontrer que G = Z.a.
exercice 18
On vérifie que les propriétés de définition de R impliquent que Q est "de
manière naturelle" un sous-corps de R, distinct de R.
1) On définit une application φ de Z dans R en posant :
φ(n) = n.1 (défini par récurrence).
Démontrer que cette application est un homomorphisme injectif de
groupes additifs (☺).
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67
2) On définit une application ω de Q dans R en associant à une fraction
p
le réel φ(p).φ(q)–1.
q
Pourquoi φ(q) est-il inversible dans R ? Vérifier que les images de deux
fractions équivalentes ( ) par ω sont bien égales.
Démontrer que ω est un homomorphisme de corps injectif (☺).
3) On démontre dans cette question que la borne supérieure dans R de :
{x | x2 ≤ 3, x > 0},
n'est pas un rationnel.
Soit S cette borne supérieure. On veut démontrer d'abord que S2 = 3.
1
Si S2 < 3, démontrer qu'il existe (☺) un entier n tel que (S + )2 < 3.
n
Pourquoi est-ce contradictoire avec la définition de S ?
1
Si S2 > 3, démontrer qu'il existe un entier n tel que (S – )2 > 3.
n
Pourquoi est-ce contradictoire avec la définition de S ?
On s'efforcera de rédiger les arguments à partir des propriétés de base de
R (existence de borne supérieure) et des propriétés qui en ont été tirées
dans les exercices précédents (R archimédien ( )).
On sait maintenant que S2 = 3. Rappeler pourquoi ce n'est pas un
rationnel.
exercice 19
Quelques exemples de recherche de borne supérieure ou de borne
inférieure( ). On rédigera le plus précisément possible les
démonstrations. Il est conseillé de s'aider de dessins pour formuler des
conjectures ( ) sur les bornes. Si une borne est un élément de
l'ensemble, on le signalera.
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1) L'ensemble étudié est :
n2 + n − 1

A= 2
n ∈N .

 n +2
Montrer que pour n assez grand (qu'on précisera), les éléments de A sont
compris entre deux entiers naturels consécutifs (☺). En déduire que A est
borné, et donner un minorant et un majorant de A ( ).
Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A (☺).
2) L'ensemble étudié est :
 n + sin(n2 )

B=
n ∈N .

 n +1
Montrer que B est borné, et donner sa borne supérieure et sa borne
inférieure (☺).
3) L'ensemble étudié est l'ensemble C des modules des nombres
complexes situés dans la partie du plan définie par :
{
M = z ∈C 1 > Re(z) ≥ Im(z) }.
Représenter M. Dire quelles sont les bornes de C (au vu du dessin), puis
démontrer que ces conjectures sont vraies (☺).
exercice 20
Soient I et J des parties non vides de R.
On suppose dans tout l'exercice que J domine I, c'est-à-dire que pour tout
x de I et tout y de J, x ≤ y.
On pourra prendre des exemples pour explorer cette situation et celles
constituées par les hypothèses complémentaires ci-dessous.
1) Démontrer que supR(I) et infR(J) existent ( ). Quelle relation y-a-t-il
entre ces deux réels ? Démontrer que I ∩ J a au plus un élément (☺).
2) Donner un exemple (☺) où supR(I) = infR(J), et un exemple (☺) où :
supR(I) < infR(J).
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3) Examiner les conjectures suivantes : (☺)
si I ∩ J = Ø , alors supR(I) < infR(J),
si I ∩ J ≠ Ø , alors supR(I) = infR(J) = max(I) = min(J).
4) On suppose I ∩ J ≠ Ø , et que I et J sont des intervalles. La réunion
I ∪ J est-elle un intervalle ? Examiner la réciproque : si I, J, et I ∪ J sont
des intervalles, alors I ∩ J ≠ Ø. (☺)
5) On suppose que I ∩ J = Ø , et I ∪ J = R. Démontrer que (☺) :
supR(I) = infR(J).
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3-2 Corrigés des exercices
exercice 1-C
1) Soit a = max(A) et b = max(B), c = max(A ∩ B), d = max(A ∪ B).
Les éléments a et b sont des éléments de A ∪ B donc sont inférieurs au
plus grand élément de cet ensemble :
a ≤ d et b ≤ d.
Si max(a, b) existe, on écrira :
max(a, b) ≤ d.
De la même façon, c est un élément de A et un élément de B, il est donc
inférieur aux plus grands éléments de ces ensembles :
c ≤ a et c ≤ b.
Si min(a, b) existe, on écrira :
c ≤ min(a, b).
(QC-1) L'hypothèse faite sur A ∪ B est-elle superflue ? Autrement dit, si
max(A) et max(B) existent, max(A ∪ B) existe-t-il toujours ?
On cherchera des exemples (ou contre-exemples) dans un ensemble
totalement ordonné (R par exemple) et dans un ensemble non totalement
ordonné (N*, |) par exemple.
2) Le raisonnement est un peu différent, il faut bien savoir le faire :
Soit a' = supE(A), b' = supE(B), c' = supE(A ∩ B), d' = supE(A ∪ B).
L'élément a' est le plus petit des majorants ( ) de A. Comme A est une
partie de A ∪ B, tout majorant de A ∪ B est un majorant de A. La borne
supérieure d' est donc un majorant de A, donc d' ≥ a'. De même d' ≥ b'.
Bien noter qu'on n'utilise pas a' ∈ A, qui n'est pas toujours vrai. ( )
Ici encore, si max(a', b') existe :
max(a', b') ≤ d'.
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Par un raisonnement analogue, on obtient c' ≤ a' et c' ≤ b'.
(QC-2) Examiner la question analogue à QC-1.
exercice 2-C
1) La vérification ne pose aucun problème puisqu'il s'agit de vérifier
séparément pour chaque composante.
Un graphique illustre bien cette relation d'ordre (→ entre un plus petit et
un plus grand).
Cette relation est à l'évidence non totale, puisqu'il faut que la
comparaison soit dans le même sens pour les deux coordonnées :
par exemple (1, 2) ≤ (3, 4),
mais (1, 2) n'est pas comparable ( ) à (2, 1).
2) La relation ≤L est une relation d'ordre.
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Soient x, y, z, t des éléments de l'ensemble.
Réflexivité :
(x, y) ≤L (x, y) car x = x et y ≤ y.
Antisymétrie :
si (x, y) ≤L (z, t), et (z, t) ≤L (x, y), deux cas sont à examiner :
x ≠ z, alors x < z et z < x ce qui est contradictoire,
x = z et y ≤ t d'une part, x = z et t ≤ y d'autre part d'où t = y,
donc (x, y) = (z, t).
Transitivité :
(x, y) ≤L (z, t) et (z, t) ≤L (u, v).
Différents cas sont à examiner :
x < z, et z < u, d'où x < u et (x, y) ≤L (u, v),
x < z, et z = u, t ≤ v, d'où x < u et (x, y) ≤L (u, v),
x = z, y ≤ t, et z < u, d'où x < u et (x, y) ≤L (u, v),
x = z, y ≤ t, et z = u, t ≤ v, d'où x = u, y ≤ v, et (x, y) ≤L (u, v).
Dans ce cas par exemple (1, 2) ≤L (3, 4) et (2, 1) ≥L (1, 2) car 2 > 1.
De façon générale, soit (x, y) et (u, v) des couples, comme ≤ est totale, on
a l'un des cas :
x≤u:
si x < u alors (x, y) ≤L (u, v),
si x = u alors si y ≤ v , (x, y) ≤L (u, v) et sinon (x, y) ≥L (u, v).
x≥u:
si x > u alors (x, y) ≥L (u, v),
le cas x = u a déjà été vu.
La relation d'ordre ≤L est totale.
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3) Pour l'ordre produit, la section finissante est le produit :
[2 , →[× [3 , →[.
C'est un ensemble infini.
Dans le cas de l'ordre lexicographique, la section finissante est également
un ensemble infini. Ce n'est pas un produit :
{2} × [3 , →[ ∪ [3 , →.[∪ N.
Pour l'ordre produit, la section commençante est le produit :
[0 , 3] × [0 , 4].
C'est un ensemble fini.
Pour l'ordre lexicographique, la section commençante ( ) n'est pas un
ensemble fini : {3} × [0 , 4] ∪ [0 , 2] × N.
Le segment [(1, 2) , (7, 6)], pour l'ordre produit est l'ensemble fini :
[1 , 7] × [2 , 6].
Le segment fermé, pour l'ordre lexicographique, est un ensemble infini :
{1} × [2 , →[ ∪ [2 , 6] × N ∪ {7} × [0 , 6].
Bien entendu, le segment [(3, 4) , (5, 2)] n'est pas défini dans l'ordre
produit, puisque les extrémités ne sont pas comparables ( ).
Dans le cas de l'ordre produit :
si (x, y) ≤P (x', y') alors p(x, y) ≤ p(x', y') et q(x, y) ≤ q(x', y').
Ces deux applications sont monotones croissantes ( ).
Dans le cas de l'ordre lexicographique :
si (x, y) ≤L (x', y') alors p(x, y) ≤ p(x', y'),
mais q(x, y) et q(x', y') peuvent être dans un ordre quelconque.
L'application p est croissante, q n'est pas monotone.
4) A = {(m, n) | n ≥ 4, m ≥ –2} :
Les minorants ( ) de A sont inférieurs à (–2, 4), donc de la forme (x, y)
avec :
x < –2 ou x = –2, y ≤ 4.
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L'élément (– 2, 4) est le plus petit élément de A : dans A les éléments
(u, v) vérifient u ≥ –2, et v ≥ 4. Les minorants de (–2, 4) sont donc les
minorants de A.
Le complémentaire de A n'est pas majoré, puisqu'il contient des éléments
d'abscisse aussi grande qu'on veut, en particulier il n'a pas de plus grand
élément.
Non, A n'est pas un intervalle ( ) : entre (–2, 4) et (–1, 4) il y a une
infinité d'éléments qui n'appartiennent pas à A : {–1} × ]← , 4].
Un prédécesseur (
) de (a, b) est un élément (a', b') tel que :
(a', b') <L (a, b),
donc a' = a et b' < b, ou a' < a.
De plus aucun élément n'est compris, au sens strict, entre (a, b) et (a', b').
Mais si a' < a, (a', b') <L (a', b' + 1) <L (a, b), donc on ne peut pas avoir un
prédécesseur de ce type.
Dans le premier cas, si b' < b – 1, (a, b') <L (a, b – 1) <L (a, b) donc (a, b')
n'est pas un prédécesseur.
Enfin entre (a, b – 1) et (a, b) il n'y a aucun élément : (a, b – 1) est bien le
prédécesseur de (a, b).
Dans l'autre sens, le successeur de (a, b) est (a, b + 1).
Il est facile de voir que Z × Z n'est pas bien ordonné ( ) : l'ensemble
lui-même n'a pas de plus petit élément.
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exercice 3-C
1) Dans un ensemble totalement ordonné, une partie finie F non vide a un
plus grand et un plus petit élément. On peut le voir par récurrence sur le
nombre d'éléments : soit n le nombre d'éléments de F.
Si n = 1 c'est évident.
Supposons la propriété vraie pour un ensemble à n – 1 éléments, soit a un
élément de F. La partie F \ {a} a n – 1 éléments, soit b son plus petit
élément et c son plus grand élément.
E est totalement ordonné, donc soit a < b soit a ≥ b. Dans le premier cas,
a = min(F), sinon, b = min(F).
De même a et c sont comparables, donc si a > c, max(F) = a, sinon
max(F) = c.
2) Soit a un minorant de la partie F, et b un majorant. La partie F est
contenue dans le segment [a , b]. Il est donc équivalent de voir si, dans E,
tout segment fermé est fini.
C'est vrai dans N, par exemple.
Par contre, on a vu que ce n'est pas vrai dans Z × Z, ordonné par l'ordre
lexicographique.
3) Là encore, on voit que ce n'est pas vrai dans Z × Z, ordonné par l'ordre
lexicographique, ainsi {1} × Z est majoré, par (2, 0) par exemple, et n'a
pas de plus grand élément.
exercice 4-C
Exemples :
a) tout ensemble totalement ordonné est un treillis.
b) si E est un ensemble, P(E), ordonné par inclusion, est un treillis. La
borne supérieure de {A, B} est l'union A ∪ B, la borne inférieure est
l'intersection A ∩ B.
1) Si E et F sont des ensembles totalement ordonnés, soit (x, y) et (z, t)
des élément de E × F, et A ={(x, y), (z, t)}.
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On peut faire des dessins.
Distinguons les cas :
( ) x ≤ z et y ≤ t, alors (x, y) = min(A), (z, t) = max(A) ;
( ) x ≤ z et t ≤ y, un majorant (u, v) de A vérifie :
x ≤ u, z ≤ u, y ≤ v, t ≤ v.
En particulier (z, y) est un majorant, et c'est le plus petit.
De même, (x, t) est le plus grand minorant.
Les autres cas reviennent à échanger les rôles des deux éléments.
2) On démontre cette propriété par récurrence. Elle est vraie par
définition pour les parties à deux éléments (ainsi que pour celles à un
élément).
Supposons la propriété vraie pour toute partie à n – 1 éléments.
Soit F une partie ayant n éléments. Soit a un élément de F, on note G la
partie à n – 1 éléments définie par :
G = F \ {a},
et b = inf(G), c = sup(G) (par convention, les bornes sont définies dans
E). La partie {a, b} a une borne inférieure, soit b'.
Cet élément b' est inférieur à a et à b donc à tout élément de F, c'est un
minorant de F.
Soit x un minorant de F. Cet élément vérifie :
x ≤ a, et :
∀ y G, x ≤ y, donc, par définition de b :
x ≤ b.
Cet élément x est donc un minorant ( ) de {a, b}, donc x ≤ b'.
On voit que b' est le plus grand minorant de F, c'est-à-dire sa borne
inférieure.
On prouve de la même façon que F a une borne supérieure, qui est :
c' = sup({a, c}).
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77
3) Comparons les structures ordonnées de ces deux ensembles (qui ont
bien le même nombre d'éléments).
On voit qu'elles sont semblables ("isomorphes"). Les représentations
suggèrent la définition suivante pour une application φ3 de P({1, 2, 3})
dans {0, 1}3, qui respecte l'ordre, c'est-à-dire qui est croissante.
Ø → (0, 0, 0),
{1} → (1, 0, 0),
{2} → (0, 1, 0),
{3} → (0, 0, 1),
{1, 2} → (1, 1, 0),
{1, 3} → (1, 0, 1),
{2, 3} → (0, 1, 1),
(1, 2, 3) → (1, 1, 1).
En vue de la généralisation demandée dans la question suivante, on
remarque que, si pri désigne la projection sur le i-ème facteur :
pri((a1, a2, a3)) = ai,
la bijection u ci-dessus se caractérise par :
pri(φ3(F)) = 1 si i ∈ F, et 0 sinon.(i = 1, 2, 3).
La bijection réciproque, soit v, est également croissante :
v((a1, a2, a3)) = {i | ai ≠ 0}.
4) On généralise en caractérisant l'application φn entre P({1, 2, …, n}) et
{0, 1}n par la même relation que ci-dessus :
pri(φn(F)) = 1 si i ∈ F, et 0 sinon.(i = 1, 2, …, n).
La bijection réciproque est, comme à la question 3) :
v((a1, …, ai, …, an)) = {i | ai ≠ 0}.
exercice 5-C
1) tableau des valeurs :
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(0, 0, 0)
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(0, 1, 1)
0
1
2
3
(1, 0, 0)
(1, 0, 1)
(1, 1, 0)
(1, 1, 1)
4
5
6
7
Il est clair qu'il s'agit d'une bijection croissante. La bijection réciproque,
qui est également croissante, correspond à l'écriture d'un entier en base
2 : par exemple 101 est l'écriture de 5, 11 l'écriture de 3.
Comme de coutume, le chiffre de poids le plus fort est à gauche.
2) On généralise l'application en posant :
b n (a 0 ,a1 ,…,a n −1 ) =
i = n−1
∑a 2
i=0
n−1−i
i
.
C'est une application strictement croissante : si x et y sont des n-uples,
avec x <L y, alors :
b n (y) − b n (x) =
i =n −1
∑ (y
i
− xi )2n −i −1 .
i= 0
Dans cette somme, les termes (yi – xi) sont des entiers compris entre –1 et
1, et le premier terme non nul vaut 1.
Or pour tout k :
2k >
p =k −1
∑2 ,
p
p =0
la somme ci-dessus est donc bien strictement positive, et l'application est
injective.
L'image de {0, 1}n par cette application est le segment d'entiers :
[0 , 2 n − 1 ].
La bijection réciproque correspond à l'écriture d'un entier au plus égal à
n
2 − 1 sous forme binaire.
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exercice 6-C
Soit A un arbre, et f une feuille. Soit B le complémentaire de f dans A.
Si {a, b} est une partie de B, c'est une partie de A. Elle a une borne
inférieure dans A, soit c. Cet élément c est dans B puisque f n'a pas
d'élément plus grand que lui, donc c'est la borne inférieure de {a, b} dans
B. Si les éléments a et b ne sont pas comparables, la partie {a, b} n'a pas
de majorant dans A, donc a fortiori pas de majorant dans B.
1) On dessine les arbres de proche en proche à partir de cette remarque.
2) Soit A un arbre et A' une partie non vide de A. On raisonne par
récurrence sur le nombre d'éléments de A'. Par définition, si A' a deux
éléments, la propriété est vraie. Supposons que A' a n éléments, et
supposons la propriété vraie pour n – 1. Soit f un élément de A', et B' le
complémentaire de {f} dans A'. Soit r la borne inférieure de B'.
L'ensemble {f, r} a une borne inférieure, qui est la borne inférieure de A'.
Appliquons cette propriété à l'arbre A. Il a une borne inférieure, qui est
en même temps un élément de A, donc un minimum ( ).
3) Soit B une partie majorée de l'arbre A. On fait un raisonnement par
l'absurde : supposons qu'il existe dans B deux éléments, soient a et b, non
comparables ( ). Alors la partie {a, b} n'a pas de majorant, ce qui
contredit l'hypothèse sur B. Ces éléments n'existent donc pas : B est
totalement ordonné ( ).
Comme il s'agit d'une partie finie, elle a donc un plus grand élément.
Soit f un élément de l'arbre A. Si f n'est pas le plus petit élément de A,
l'ensemble B(f) des minorants de {f} n'est pas égal à {f}.
L'ensemble B(f) \ {f} est non vide et majoré, donc il a un plus grand
élément, soit g. Cet élément g vérifie :
g < f,
et il n'y a pas d'élément entre g et f, puisque g est le plus grand des
minorants stricts de f. Il en résulte que g est le prédécesseur ( ) de f.
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4) L'ensemble B(f) est non vide et majoré donc totalement ordonné.
On raisonne par l'absurde : supposons que a et b vérifient a ≠ b,
h(a) = h(b), et de plus a ≤ b.
Dans ce cas, b est un élément de B(b) mais pas de B(a).
Il en résulte que B(a) ≠ B(b) et B(a) ℘ B(b), donc h(b) > h(a) d'où une
contradiction.
5) Il faut montrer que l'application définie est strictement croissante.
Soient f et f' deux éléments distincts comparables de l'arbre, par exemple
f ≤ f'.
La hauteur de f' est donc strictement plus grande que celle de f. Or :
10 × u(pred(x)) + 9 ≥ u(x) ≥ 10 × u(pred(x)), donc, par récurrence :
2 × 10h(x) – 1 ≥ u(x) ≥ 10h(x),
donc :
u(f') > u(f).
On a ainsi établi une bijection croissante entre un ensemble non
totalement ordonné (en général) et un ensemble totalement ordonné
(partie de N).
exercice 7-C
A la lumière de l'exercice précédent, on voit que cette conjecture est
fausse. On a un contre-exemple avec E non totalement ordonné, et F
totalement ordonné.
Examiner de ce point de vue d'autres exemples vus précédemment.
(QC-1) Supposer de plus E totalement ordonné. Que devient cette
conjecture ?
exercice 8-C
1) Soit y = f(x), un élément de f(A), x étant un élément de A. On a :
x ≤ max(A), donc f(x) ≤ f(max(A)).
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De plus max(A) est un élément de A donc f(max(A)) est un élément de
f(A).
2) Soit y = f(x), un élément de f(A), x étant un élément de A. On a :
x ≤ supE(A), donc f(x) ≤ f(supE(A)), donc :
supE(A) est un majorant de f(A).
Est-ce le plus petit majorant ? Soit b un majorant de f(A) … on ne voit
pas bien comment enchaîner pour comparer b et f(supE(A)). Il y a deux
difficultés : F n'étant pas supposé totalement ordonné, b et f(supE(A)) ne
sont pas nécessairement comparables ( ) ; f n'étant pas supposée
surjective ( ), on ne peut pas comparer dans E.
Cherchons un contre-exemple avec les applications ci-dessus :
f1 ne convient pas, c'est une situation correspondant à la question 1)
f3 n'est pas surjective, soit A = [0 , 1[. On a :
sup(A) = 1, f3 (1) = 1, f3(A) = [–1 , 0[, sup(f3(A)) = 0.
Dans ce cas, f3(A) a bien une borne supérieure, mais ce n'est pas l'image
de la borne supérieure de A. Remarquer que les ensembles sont
totalement ordonnés.
(QC-1) Que peut-on dire de f2 ?
(QC-2) Reprendre la question en supposant f surjective et E, et F
totalement ordonnés. Identifier la difficulté qui subsiste.
3) On sait que succ(a) > a, donc f(succ(a)) ≥ f(a).
En l'absence d'hypothèse d'injectivité ( ) sur f, on ne sait pas si
f(succ(a)) ≠ f(a). On ne peut donc conclure.
On voit la même difficulté pour l'image du prédécesseur.
Cherchons un contre-exemple ; pour une application croissante non
injective de N dans N, on peut prendre :
g : n → E(n/3).
On voit que :
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g(0) = g(1) = 0, donc g(succ(0)) ≠ succ(g(0)),
g(4) = g(3) = 1, donc g(pred(4)) ≠ pred(g(4)).
(QC-3) reprendre la question en supposant de plus f injective.
4) Soit B une partie non vide de F. Comme f est surjective,
B = f*(f*(B)).
La partie non vide f*(B) de E a un plus petit élément, donc son image
aussi. L'ensemble F est Bien Ordonné ( ).
Soit b un élément de F. On suppose que b n'est pas min(F). Il a un
antécédent, soit a. Si a est min(E), tout élément de E est supérieur à a,
donc tout élément de F est supérieur à b, ce qui est faux.
Donc a admet un prédécesseur, soit a' :
a' < a, il n'y a pas d'élément entre a' et a.
Sans hypothèse d'injectivité sur f, on ne sait pas si b' = f(a') < f(a) = b.
Supposons que f est injective. S'il existe b" strictement compris entre b'
et b, soit a" un antécédent de b".
Comme E est totalement ordonné, a" est comparable à a :
a ≤ a" est impossible car cela entraîne b ≤ b" alors que b" < b, donc :
a" < a.
De même, on établira que a' < a". Or a' est le prédécesseur de a, donc a"
n'existe pas, et donc b" n'existe pas.
Donc si f(a') ≠ f(a), f(a') est bien le prédécesseur de f(a).
Si f(a') est égal à f(a), f(a) n'a pas toujours de prédécesseur : reprendre
l'application :
g : n → E(n/3),
on voit que g(2) n'a pas de prédécesseur, puisque c'est 0, alors que 2 a un
prédécesseur.
Remarquer toutefois que sur cet exemple g(2) est le plus petit élément.
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Si f(a') = f(a) et si ce n'est pas le plus petit élément, que peut-on en dire ?
Soit A = {x ∈ E | f(x) = f(a), et x ≤ a}. Cet ensemble ne contient pas
min(E), puisque par hypothèse f(a) n'est pas min(F). Soit y = min(A), et
y' = pred(y) (qui existe puisque y ≠ min(E)).
On a les propriétés suivantes :
f(y') ≠ f(a), f(y') ≤ f(a).
Comme ci-dessus, si z est un élément vérifiant :
f(y') < z < f(a),
alors il a un antécédent z' vérifiant :
y' < z' < a,
ce qui est impossible.
Il en résulte finalement que f(y') est le prédécesseur de f(a) : F est NBO.
exercice 9-C
1) La propriété à établir est la commutativité de la loi +. Soit 1 l'élément
neutre de (K–{0}, ∞) :
(1 + 1) × (a + b) = (a + b) + (a + b),
= a + b + a + b,
(distributivité à droite)
(1 + 1) × (a + b) = (1 + 1) × a + (1 + 1) × b,
= a + a + b + b,
(distributivité à gauche)
a + b + a + b = a + a + b + b,
b + a = a + b,
(simplification dans (K, +)).
2) On calcule :
a + (–1) × a = 1 x a + (–1) × a,
= (1 + (–1)) × a,
= 0 × a,
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84
= 0.
De la même façon :
a × (–1) + a = 0.
Enfin :
(–a) × (–a) = a × (–1) × (–1) × a,
= a × (–(–1)) × a,
= a × a.
3) Cette égalité s'établit par récurrence :
Elle est évidemment vraie si n = 1.
Si elle est vraie pour n, on calcule (a + b)n+1.
(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n,
= (a + b)(an + …+ Cnp bpan–p + …+bn),
= an+1 + ban +… +Cnpabpan–p + Cnpbp+1an–p +…+bn+1.
Comme A est un anneau commutatif,
abpan–p = bpan–p+1.
Le coefficient de bpan–p+1 dans (a + b)n+1 est donc :
Cnp + Cnp–1,
soit :
Cn+1p,
d'après les formules usuelles, d'où la formule du binôme dans un anneau
commutatif.
4) Si l'anneau n'est pas commutatif, les formules ne se simplifient pas :
(a + b)2 = (a + b)(a + b),
= a2 + ba + ab + b2.
(a + b)3 = (a + b)2(a + b),
= (a2 + ba + ab + b2)(a + b),
= a3 +a2b + ba2 + bab + aba + ab2 + b2a + b3.
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85
exercice 10-C
1) La vérification ne pose pas de problème.
Réflexivité : x – x est divisible par n.
Symétrie ; s'il existe un relatif k vérifiant :
(x – y) = kn, alors (y – x) = (–k)n.
Transitivité ; s'il existe des relatifs k et t vérifiant :
(x – y) = kn et (y – z) = tn, alors (x – z) = (k + t)n.
2) Compatibilité de l'addition :
s'il existe des relatifs k et k' vérifiant :
(x – y) = kn, et (x' – y') = k'n, alors :
(x+x') – (y+y') = (k+k')n.
Compatibilité de la multiplication :
s'il existe des relatifs k et k' vérifiant :
(x – y) = kn, et (x' – y') = k'n, alors :
(xx') – (yy') = (x – y)x' + (x' – y')y,
= knx' + k'ny,
= (kx' + k'y)n.
Le quotient Z/nZ est donc muni de deux lois. Pour la première (+), c'est
un groupe commutatif. La seconde (.) est associative et distributive par
rapport à la première. De plus il existe un élément neutre pour (.), qui est
la classe de 1, et qui est différent de la classe de 0 (car n > 1).
(QC-1) Que se passe-t-il si n = 1 ? n = 0 ?
3) Table de multiplication de Z/5Z – {0}.
1 2 3 4
.
1
1 2 3 4
2
2 4 1 3
3
3 1 4 2
4
4 3 2 1
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86
Il n'y a aucun diviseur de 0 (pas de 0 dans la table). Il n'y a donc pas
d'élément nilpotent (ils sont diviseurs de 0).
Enfin, 1 figure dans chaque ligne, donc tous les éléments non nuls sont
inversibles. Il s'agit donc bien d'un corps.
4) Table de multiplication de Z/6Z – {0} :
1 2 3 4 5
.
1
1 2 3 4 5
2
2 4 0 2 4
3
3 0 3 0 3
4
4 2 0 4 2
5
5 4 3 2 1
Les classes de 2, 3, 4 sont diviseurs de 0.
Les puissances de 2 sont 2, 4, 2, 4, … donc 2 n'est pas nilpotent, et 4 non
plus. Les puissances de 3 sont 3, 3, … donc 3 n'est pas nilpotent. On voit
enfin que la classe de 1 et celle de 5 sont inversibles (présence de 1 dans
la ligne). Il n'y a donc pas d'élément nilpotent.
Cet anneau n'est pas un corps. Il a des diviseurs de 0, il n'est donc pas
intègre ( ).
5) Table de multiplication de Z/8Z – {0} :
1 2 3 4 5 6 7
.
1
1 2 3 4 5 6 7
2
2 4 6 0 2 4 6
3
3 6 1 4 7 2 5
4
4 0 4 1 4 0 4
5
5 2 7 4 1 6 3
6
6 4 2 0 6 4 2
7
7 6 5 4 3 2 1
Dans cet anneau, 2, 4, 6 sont diviseurs de 0.
Les puissances de 2 sont 2, 4, 0, donc 2 est nilpotent ( ), ainsi que 4.
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87
Les puissances de 6 sont 6, 4, 0, donc 6 est nilpotent (
Les éléments 1, 3, 5, 7 sont inversibles.
Dans ce cas, l'anneau n'est pas intègre ( ).
).
6) On résout les deux premières équations par énumération des cas, en
consultant les tables de multiplication.
X2 = –1.
n = 5, –1 = 4 dans cet anneau, x = 2 et x = 3 sont les solutions.
n = 6, –1 = 5, il n'y a pas de solution.
n = 8, –1 = 7, il n'y a pas de solution.
2
X = 1.
n = 5, x = 1 et x = 4 sont les solutions.
n = 6, x = 1 et x = 5 sont les solutions.
n = 8, x = 1, 3, 4, 5 et x = 7 sont les solutions.
X2 – 4X + 1 = 0, soit (X – 2)2 = 3.
On cherche si 3 a des racines carrées.
n = 5, pas de solution.
n = 6, 3 est l'unique racine carrée et x = 5 est la solution.
n = 8, pas de solution.
Xn–1 = 1.
n = 5, X4 = 1, donc X2 = 1 ou 4, donc 1, 2, 3, 4 sont solutions.
n = 6, X5 = 1, donc X est inversible, c'est–à-dire 1 ou 5.
x = 1 est solution, évidemment, 5 ne l'est pas.
n = 8, X7 = 1, donc X est inversible, c'est-à-dire 1, 3, 5, 7.
x = 1 est solution. Pour 3, 5, 7, x2 = 1, donc x6 = 1, donc x7 ≠ 1.
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88
(QC-2) Dans la question précédente, on observe :
Dans Z/5Z, x4 = 1 est vérifiée pour x = 1 et x = 4,
Dans Z/6Z, x5 = 1 est vérifiée pour x = 1 mais pas pour x = 5,
Dans Z/8Z, x7 = 1 est vérifiée pour x = 1 mais pas pour x = 7.
Pouvez-vous généraliser, énoncer une conjecture, la démontrer ou la
réfuter.(☺)
exercice 11-C
1) On écrit :
x = a + bt,
x = a' + b't,
(b – b')t = a' – a.
Si b ≠ b', alors :
a' −a
.
b − b'
Or, par hypothèse, t n'est pas rationnel, ce résultat est donc faux.
Il en résulte que b = b' et donc a = a'.
Pour t2 :
t2 = – pt – q.
Pour t3 :
t3 = t (– pt –q),
= – pt2 – qt,
= –p (– pt – q) – qt,
3
t = (p2 –q)t + pq.
Pour t4 :
t4 = (p2 – q)t2 + pqt,
t=
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89
(p2
=
– q)(– pt –q) + pqt,
t4 = (– p3 + 2pq)t – q(p2 –q).
On imagine bien que toute puissance de t, et par suite toute expression
polynomiale en t, s'exprime comme un élément de Q[t] (ou de Z[t])
(preuve par récurrence).
Z[t] et Q[t] sont des sous-ensembles de C. Les propriétés des
opérations
(associativité,
distributivité,
commutativité)
sont
automatiquement vérifiées. L'élément neutre de la multiplication est bien
un élément de Z[t] :
1 = 1 + 0t.
Seules les stabilités doivent être prouvées :
si x et y sont des éléments de Z[t], x + y, x y, – x sont également des
éléments de Z[t] (respectivement, de Q[t]).
Toutes ces vérifications sont faciles. Pour le produit, on utilise le calcul
précédent de t2, bien entendu.
2) Un élément de Z[i] est un complexe dont la partie réelle et la partie
imaginaire sont des entiers relatifs.
On sait calculer l'inverse d'un complexe :
x = a + bi.
Pour que cet inverse soit un élément de Z[i], il faut et il suffit que les
quotients :
a
b
,
2
2 , 2
a + b a + b2
soient des relatifs.
Or ces rationnels sont, en valeur absolue, au plus égaux à 1 : ce ne sont
des entiers que s'ils valent –1, 0, ou 1.
Les seuls éléments de Z[i] inversibles dans Z[i] sont donc –1, 1, –i, i.
Dans Q[i], il n'y a aucun problème, on voit que tous les éléments non
nuls sont inversibles : c'est bien un corps.
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90
3) On calcule le produit :
(a + b 3 )(a – b 3 ) = a2 + (ba – ab) 3 – b2 ( 3 )2= a2 – 3b2.
C'est bien un rationnel.
S'il est nul, l'un des facteurs est nul, donc par exemple :
a + b 3 = 0,
donc si b ≠ 0 :
a
3 =− ,
b
ce qui est faux, puisque 3 n'est pas rationnel (☺).
Il en résulte que b = 0, donc a = 0.
Soit x un élément non nul de Q[ 3 ], x = a + b 3 .
On peut écrire :
1
1
a−b 3
a
b
=
= 2
= 2
− 2
3.
2
2
x a + b 3 a − 3b
a − 3b a − 3b 2
Cet inverse est bien un élément de Q[ 3 ].
4) On procède par essais : (ici avec l'aide d'un tableur)
a
axa
axa–1
axa+1
rac((axa–1)/3)
rac((axa+1)/3)
1
1
0
2
0
0, 816496581
2
4
3
5
1
1, 290994449
3
9
8
10
1, 632993162
1, 825741858
4
16
15
17
2, 236067977
2, 380476143
5
25
24
26
2, 828427125
2, 943920289
6
36
35
37
3, 415650255
3, 511884584
7
49
48
50
4
4, 082482905
8
64
63
65
4, 582575695
4, 654746681
9
81
80
82
5, 163977795
5, 228129047
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volume 2
91
10
100
99
101
5, 744562647
5, 802298395
11
121
120
122
6, 32455532
6, 377042157
12
144
143
145
6, 904105059
6, 952217872
13
169
168
170
7, 483314774
7, 527726527
14
196
195
197
8, 062257748
8, 103497187
15
225
224
226
8, 640987598
8, 679477711
16
256
255
257
9, 219544457
9, 255628918
17
289
288
290
9, 797958971
9, 831920803
18
324
323
325
10, 37625494
10, 40833
19
361
360
362
10, 95445115
10, 98483804
20
400
399
401
11, 53256259
11, 56143013
Pour les 20 premières valeurs de a, on trouve 2 solutions à l'équation :
a2 – 3b2 = 1,
soit :
(2, 1), (7, 4).
On ne trouve aucune solution à :
a2 – 3b2 = – 1.
(QC-1) En vous plaçant dans Z/3Z, démontrez qu'il n'y a aucune solution
à cette équation.
Compte tenu des formules écrites dans Q[ 3 ], on voit que les nombres
suivants sont inversibles dans Z[ 3 ] :
2+ 3,7+4 3.
Bien entendu, pour chacun de ces nombres a + b 3 , les nombres :
–a + b 3 , a – b 3 , –a –b 3 ,
sont également inversibles.
5) Le réel t est solution de l'équation :
X2 + pX + q = 0.
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92
On écrit :
t (t + p) = –q.
Il n'est pas possible que q soit nul, sinon t = 0 ou t = –p, or t n'est pas
rationnel.
D'où l'égalité :
t +p 1
= .
−q
t
L'inverse de t est bien un élément de Q[t].
La somme des racines de l'équation ci-dessus est – p, donc :
t' = – p – t.
La seconde racine de l'équation est un élément de Z[t], non rationnel.
Elle est différente de t, sinon t = – p/2.
On calcule le produit :
(a + bt)(a + bt') = a2 + ab(t + t') + b2tt',
= a2 – pab + qb2.
Ce produit est bien un rationnel.
S'il est nul, l'un des facteur est nul, par exemple :
a + bt' = 0,
donc si b ≠ 0 :
t' = – a/b,
ce qui est faux, puisque t' n'est pas rationnel.
On en déduit b = 0, et a = 0.
On procède alors comme dans la question 3) :
si a + bt ≠ 0,
1
a + bt'
a
b
= 2
= 2
+ 2
t' .
2
2
a + bt a − pab + b q a − pab + b q a − pab + b 2 q
Cet inverse est bien dans Q[t]. Tout élément non nul étant inversible dans
Q[t], cet anneau est un corps.
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93
exercice 12-C
1) On trouve :
f(0 + 0) = f(0) + f(0),
f(0) = f(0) + f(0)
d'où par simplification dans le groupe (Z, +) :
0 = f(0).
On rappelle que c'est une propriété générale des homomorphismes de
groupes.
De même, pour tout homomorphisme de groupes, f(–a) = – f(a).
Enfin, on a également f(k.a) = k.f(a) par récurrence.
Si f(1) = 0, f(a) = f(a.1) = f(a) f(1) = 0.
Si f(1) ≠ 0, soit c = f(1). Par hypothèse, f(1.1) = f(1) f(1), donc ce
rationnel vérifie :
c = c2 ,
donc, puisque c ≠ 0, nécessairement c = 1.
Il en résulte que pour tout entier relatif k :
f(k) = f(k.1) = k f(1) = k.
2) Si n est un entier non nul :
1
1
f(n.( )) = n f( ) = 1 ,
n
n
1
1
donc f( ) = .
n
n
p
Pour un rationnel non nul quelconque, soit
:
q
p
1
p
f( ) = p f( ) = .
q
q
q
(QC-1) Dans les raisonnements développés ci-dessus, distinguer
soigneusement le rôle de chacune des hypothèses.
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94
Déduire un énoncé ne comportant pas d'hypothèse sur l'image par f d'un
produit, permettant de conclure que f est l'application identique.
(QC-2) Plus généralement, trouver tous les endomorphismes du groupe
(Q, +), puis tous les homomorphismes de groupes de (Q, +) dans (R, +),
enfin tous les homomorphismes de groupes de (Q, +) dans (R+*, ∞)
exercice 13-C
1) H est un sous-groupe.
Il suffit de vérifier les propriétés ( ) :
a ∈ H, b ∈ H ⇒ a.b–1 ∈ H,
e ∈ H.
Pour la première vérification :
h(a.b–1) = h(a).h(b)–1 = e.e–1 = e.
Pour la seconde :
h(e) = e.
Soit u ∈ H, et g ∈ A :
h(g.u.g–1) = h(g).h(u).h(g)–1= h(g).e.h(g)–1 = e.
Donc g.u.g–1 ∈ H.
On dit que H est un sous-groupe "distingué" s'il a cette propriété.
Si h est injectif, alors soit a ∈ H :
h(a) = e = h(e), donc :
a = e, donc :
H = {e}.
Réciproquement si H = {e}, soit a, b des éléments de A vérifiant :
h(a) = h(b), d'où :
h(a).h(b)–1 = e,
h(a.b–1) = e,
a.b–1 ∈ H, donc :
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95
a.b–1
= e, et a = b.
2) Soit a ∈ A, u ∈ H :
h(a × u) = h(a) × h(u),
= h(a) × 0,
= 0, donc :
a × u × H.
On dit qu'un sous-groupe de (A, +) est un "idéal" de l'anneau (A, +, ×)
lorsqu'il possède cette propriété.
(QC-1) Dans Z, vérifier que l'ensemble des nombres pairs est un idéal.
L'ensemble des nombres impairs est-il un idéal ? Et l'ensemble des
multiples de 3 ?
3) Pour montrer qu'un homomorphisme est injectif, il suffit (question 1)
de voir que son noyau est égal à {0}.
Soit f : (K, +, ×) → (L, +, ×) un homomorphisme de corps.
Soit H son noyau.
Si H≠{0}, soit a un élément non nul de H. Il est inversible.
1 = a–1 × a, donc d'après 2),
1 ∈ H, or pour tout b de K,
b = b × 1, donc :
b ∈ H.
Il en résulte que H = K donc f est l'application nulle. Si H = (0}, f est
injective.
exercice 14-C
Préliminaire.
a- Si g < h alors g ≤ h donc, comme k ≤ k, g + k ≤ h + k. Peut-on avoir
une égalité g + k = h + k ? Non puisque dans un groupe on peut
simplifier, et cette égalité entraînerait g = h.
Cas particulier : g < h équivaut à g – h < 0. (prendre k = – h)
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96
b- Conséquence, si g < h et k < j, alors g + k < h + k < h + j. On ne peut
avoir d'égalité g + k = h + j puisque cela entraînerait g + k = h + k, d'où
g = h, qui est faux.
1) Supposons que g est un élément de G+. Comme tout élément est
comparable à 0, deux cas sont à envisager :
–g > 0,
–g < 0,
en effet –g ne peut être 0 si g ≠ 0.
Le premier cas donne (cf. préliminaire) :
g + (–g) > 0, qui est faux,
donc c'est le second cas qui est vrai : – g ∈ G–.
La réciproque se fait de même.
G+ et G– sont des parties stables ( ) pour + d'après le préliminaire.
Dans cette situation, l'application de G dans G qui associe à g son
symétrique –g est une bijection de G+ sur G– : c'est évidemment une
bijection de G dans lui-même, qui est sa propre réciproque, et l'image de
G+ est G– d'après ce qui précède. Si G est fini, G+ aussi ; soit p son
cardinal ; donc G est de cardinal 2p + 1.
Tout élément étant comparable à 0, soit a et b des éléments de G.
L'élément a – b est comparable à 0, donc a – b ≥ 0 ou a – b ≤ 0, soit a ≥ b
ou a ≤ b. Le groupe est totalement ordonné.
2) Supposons G fini, et G ≠ {0}. Soit g un élément de G, g ≠ 0. On sait
que g est d'ordre fini, donc il existe n entier naturel non nul tel que
n.g = 0.
(rappel : n.g est défini par récurrence par :
1.g = g, 2.g = g + g, n.g = (n – 1).g + g).
On a donc :
(n – 1).g = – g.
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97
Or si G est totalement ordonné, on a soit g > 0, donc (n – 1)g > 0 et –
g < 0, soit g < 0, donc (n – 1).g < 0 et –g > 0, donc dans tous les cas on
obtient une contradiction. Le groupe G n'est pas totalement ordonné et il
existe des éléments non comparables à 0.
(QC-1)Certains éléments sont-ils comparables à 0, comparables entre
eux ?
3) Supposons G totalement ordonné. D'après la question précédente,
aucun élément de G ne peut être d'ordre fini, sauf 0 bien entendu. On sait
que dans un sous-groupe fini, tous les éléments sont d'ordre fini ( ),
donc il n'existe pas d'autre sous-groupe fini que {0}.
Supposons que G a un plus grand élément, soit h. Il en résulte que :
h > 0, donc :
h + h > h,
ce qui est une contradiction.
Un plus petit élément serait l'opposé d'un plus grand élément, donc il
n'existe pas non plus.
4) Dans le cas de Z, min(Z+) = 1. Dans le cas de Q, min(Q+) n'existe pas,
mais infQ(Q+) existe et est égal à 0.
Si G+ a un plus petit élément, soit a cet élément.
On sait que – a est un élément de G–. S'il existe dans G– un élément b
supérieur à – a, alors – b est un élément de G+ inférieur à a. Donc – b = a,
et b = – a. D'où – a = max(G–).
L'élément a + a est dans H = {g ∈ G| g > a}. Supposons qu'il existe un
élément a' de H inférieur à 2.a :
a' > a,
2.a > a',
a > a' – a > 0,
on voit que cela implique l'existence dans G+ d'un élément strictement
inférieur à a, ce qui est faux.
Donc 2.a = min(H).
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98
(QC-2) On suppose de plus G archimédien. Démontrer qu'il est
isomorphe à Z.
Si G+ n'a pas de plus petit élément, mais admet une borne inférieure, soit
s cette borne inférieure. Comme 0 est un minorant de G+, par définition,
on voit que :
0 ≤ s.
Il n'est pas possible que s soit strictement plus grand que 0 puisque, dans
ce cas, ce serait un minorant de G+ appartenant à G+, c'est-à-dire un plus
petit élément. On en déduit que infG(G+) = 0.
exercice 15-C
1) On sait que dans un anneau ordonné, tout carré est supérieur à 0, or :
1 = 12 ,
ce raisonnement s'applique à tout élément idempotent ( ).
Si a > b, alors (a – b) ≥ 0. Comme c ≥ 0, on déduit :
(a – b) × c ≥ 0,
a × c – b × c ≥ 0,
a × c ≥ b × c.
Est-il possible que :
a × c = b × c.
Non, car en multipliant à droite par c–1, on en déduirait a = b, qui est
faux.
2) On suppose a ≥ 0. Comme A est totalement ordonné, soit a–1 > 0, soit
a–1 < 0. Dans ce dernier cas, a × a–1 ≤ 0, ce qui est faux puisque 1 > 0.
Donc a–1 > 0.
On utilise le résultat précédent :
a > b,
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99
a > 0, donc
a–1
× a–1
× a–1,
> 0, donc a
>b
soit :
1 > b × a–1 ;
b > 0, donc b–1 > 0, donc b–1 > b–1 × b × a–1, soit :
b–1 > a–1.
On suppose maintenant a > 1. Encore une fois, comme a ≠ 1, il y a deux
cas pour a–1 :
D'abord, a–1 > 1, et dans ce cas, en multipliant par a inversible positif :
a × a–1 > 1,
1 > 1, qui est faux ;
ensuite a–1 < 1.
C'est donc ce second cas qui est vrai.
3) Il est clair que, s'il existe, min(A+) ≤ 1 puisque 1 est un élément de A+.
On rappelle que dans un groupe totalement ordonné il n'y a pas de plus
grand élément.
L'élément 1 n'est pas le plus grand donc il existe b > 1. Cet élément est
non nul, donc inversible, donc :
0 < b–1 < 1,
donc 1 n'est pas le plus petit élément de A+.
Si a = min(A+), alors a–1 = max(A+) = max(A), or ce plus grand élément
n'existe pas.
On en déduit que min(A+) n'existe pas.
exercice 16-C
1) Si A et B sont non vides, A ∪ B est non vide, et si M (resp.N) est un
majorant de A (resp. de B), alors max(M, N) est un majorant de A ∪ B.
Il en résulte que A ∪ B a bien une borne supérieure. D'après la remarque
précédente, max(sup(A), sup(B)) est un majorant de A ∪ B, donc :
sup(A ∪ B) ≤ max(sup(A), sup(B)).
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100
Pour A ∩ B, il peut arriver que cette intersection soit vide même si A et
B ne le sont pas. Si A ∩ B ≠ Ø, alors, comme A ∩ B ⊂ A, A ∩ B est
majoré par sup(A), donc sup(A ∩ B) existe et :
sup(A ∩ B) ≤ sup(A).
De même :
sup(A ∩ B) ≤ sup(B).
En résumé :
sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)).
(QC-1) A partir d'exemples, voir si cette inégalité peut être stricte dans
certains cas, ou si elle est toujours une égalité.
2) Pour tout a de A :
a ≤ sup(A),
pour tout b de B :
b ≤ sup(B),
donc pour tout a de A et tout b de B :
a + b ≤ sup(A) + b ≤ sup(A) + sup(B).
On voit que sup(A) + sup(B) est un majorant de A + B. Comme la borne
supérieure est le plus petit majorant :
sup(A + B) ≤ sup(A) + sup(B).
Y-a-t-il égalité ?
On applique la définition : un élément inférieur à sup(A) + sup(B) est-il
un majorant ? Soit α un réel positif. On a l'inégalité :
α
< sup(A),
sup(A) –
2
α
donc sup(A) –
n'est pas un majorant de A, donc il existe a dans A tel
2
que :
α
sup(A) –
< a ≤ sup(A).
2
De même, il existe b dans B tel que :
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101
α
sup(B) –
< b ≤ sup(B).
2
En ajoutant membre à membre, on obtient la propriété :
il existe a dans A et b dans B tels que :
sup(A) + sup(B) – α < a + b ≤ sup(A) + sup(B).
On voit qu'un nombre inférieur à sup(A) + sup(B) n'est pas un majorant.
On conclut :
sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
3) On procède de même :
Pour tout a de A :
a ≤ sup(A),
pour tout b de B :
b ≤ sup(B), donc :
pour tout a de A et tout b de B, b étant positif, ainsi que sup(A) :
a.b ≤ sup(A).b ≤ sup(A).sup(B).
On voit que sup(A).sup(B) est un majorant de A.B. Comme la borne
supérieure est le plus petit majorant :
sup(A.B) ≤ sup(A).sup(B).
(QC-2) Peut-on avoir sup(A) = 0 ou sup(B) = 0 ? Dans ce cas quelle est
la valeur de sup(A.B) ? On suppose maintenant sup(A) > 0 et sup(B) > 0.
Expliquez pourquoi sup(A.B) > 0.
exercice 17-C
1
n'est pas un
2
majorant de A. Il existe donc au moins un élément de A, dans l'intervalle
1
considéré. Comme la longueur de cet intervalle est
, et que la
2
1) La borne supérieure est le plus petit majorant, donc S –
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102
différence entre deux éléments de A est de 1 au moins, il n'y a qu'un
élément de A dans l'intervalle.
En particulier, tout autre élément de A est extérieur à l'intervalle, et de
plus inférieur à S, donc inférieur à N, qui est donc max(A). Lorsque le
plus grand élément existe, c'est la borne supérieure, donc S = N.
2) A peut être vide : si b est négatif, comme n et a sont positifs, aucun
entier ne vérifie la condition.
Si A n'est pas vide, on peut lui appliquer le préliminaire : c'est un
b
ensemble d'entiers non-vide, majoré (par ), donc qui admet une borne
a
supérieure dans R. Cette borne supérieure est le plus grand élément. On
le note N.
Il est clair que, comme N + 1 > N, N + 1 n'est pas dans A, donc :
(N + 1).a > b.
On en conclut que R est archimédien, puisque dans le cas où b < 0, on a :
1.a > b
et dans le cas où b ≥ 0, on utilise l'entier N + 1 ci-dessus.
3) Si on applique le résultat précédent à a = 1 (on a vu que 1 > 0) et b =
x, supposé positif, on obtient la partie entière comme max({m | m.1 ≤
x}).
Si x < 0, on peut raisonner d'abord avec –x ; il existe un unique entier
naturel N tel que :
N ≤ –x < N + 1, d'où :
–N – 1 < x ≤ –N.
Si x n'est pas entier, cette inégalité est équivalente à :
–N – 1 < x < –N.
La partie entière est –N – 1.
Si x est entier, il est égal à –N, et on écrira plutôt :
–N ≤ x < –N + 1.
La partie entière est –N.
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103
G+.
4) L'élément a est strictement positif. Soit b dans
D'après 2), il existe
n entier naturel tel que :
b < n.a.
Soit N le plus petit de ces entiers. On a l'encadrement :
(N – 1).a ≤ b < N.a, donc :
0 ≤ b – (N – 1).a < a.
Or, G étant un sous-groupe, (N – 1).a est un élément de G, ainsi que :
b – (N – 1).a.
Comme a est le plus petit élément positif de G, on voit que :
b – (N – 1).a = 0,
b = (N – 1).a.
–
Pour les éléments de G , on raisonne sur leur opposé, qui est dans G+.
Conclusion G = Z.a.
exercice 18-C
1) Cette application est un homomorphisme de groupes :
φ(n + m) = (n + m).1 = n.1 + m.1 = φ(n) + φ(m).
Pour montrer que φ est injective, il suffit de montrer que son noyau ( )
ne contient que 0 (cf. exercice 13).
Si φ(n) = 0, alors n.1 = 0, or dans un groupe totalement ordonné il n'y a
pas d'élément d'ordre fini, donc cela implique n = 0 (cf. exercice 14).
2) Dans une fraction, le dénominateur, ici q, n'est pas nul, donc, comme φ
r
est injective, φ(q) n'est pas nul donc inversible dans R. Si
est une
s
p
fraction égale à , c'est que p.s = r.q dans Z. Donc :
q
φ(p).φ(s) = φ(r).φ(q), soit :
φ(p).φ(q)–1 = φ(r).φ(s)–1.
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104
Pour l'injectivité, on peut utiliser un résultat selon lequel un
homomorphisme de corps est nul ou injectif. Comme ω(1) ≠ 0, il suffit
de montrer que ω est un homomorphisme de corps, ce qui se fait sans
difficulté :
a c
 ad + bc 
ω + =ω
= φ(ad + bc)φ(bd)−1 ,
b d
 bd 
−1
−1
= [φ(a)φ(d) + φ(b)φ(c)]φ(b) φ(d) ,
= [φ(a)φ(b)−1 + φ(c)φ(d)−1 ],
 a c
a
c
+
= ω  + ω .
b d
 b
d
a c
 ac 
ω x  =ω
= φ(ac)φ(bd)−1 ,
 b d
 bd 
= φ(a)φ(c)φ(b) −1 φ(d)−1 ,
 a c
= ω ω  .
 b  d
2
1

2
3) Supposons S < 3. Calculons  S +  :
n
2
1
S 1

2
S
+
=
S
+
2
+ .

n
n n2
Soit a = 3 – S2. C'est un nombre positif strictement.
Le corps des réels est archimédien, donc il existe un entier N tel que :
4S < Na.
De même, il existe un entier N' tel que :
2 < N'a < N'2 a.
Si n = max (N, N'), on a les deux inégalités simultanément :
ω
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105
S a
2 < ,
n 2
1 a
< ,
n2 2
donc :
2
1
S 1
S 1

2
 S + n  − 3 = S + 2 n + n 2 − 3 = 2 n + n2 − a < 0.
1
Cela signifie que S + est un élément de A, plus grand que la borne
n
supérieure S, ce qui n'est pas possible.
2
1

Supposons S2 > 3. Calculons S −  .

n
2
1
S 1

2
 S − n = S − 2 n + n2 .
En procédant comme ci-dessus, on trouve qu'il existe un entier n tel que :
2
1
S 1

2
S
−
−
3
=
S
−
2
+
− 3 > 0.

n
n n2
Si b = S2 – 3, il suffit de prendre n tel que :
4S < b.n.
On obtiendrait ainsi un majorant de A inférieur à S, ce qui n'est pas
possible.
On conclut donc que S2 = 3.
Ce nombre n'est pas un nombre rationnel : voir l'exemple 45.
On montre ainsi l'existence d'un réel non rationnel.
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106
exercice 19-C
n2 + n − 1

1) A =  2
n ∈N .

 n +2
On peut étudier la fonction d'une variable réelle :
x2 + x − 1
xa
.
x2 + 2
La dérivée est :
− x2 + 6x + 2
.
2
(x 2 + 2 )
Elle s'annule pour une seule valeur positive :
3 + 11.
L'étude habituelle de signe montre que la fonction est croissante avant
cette valeur (pour x ≥ 0), et décroissante ensuite.
Il en résulte que la valeur maximale prise par un élément de A est la plus
grande de celles prises pour n = 6 et n = 7, et on voit bien que les valeurs
de cette fonction sont comprises entre –1 et 2, et entre 1 et 2 à partir de n
= 1.
Démontrons-le. L'inégalité :
n2 + n − 1
≥ 1,
n2 + 2
équivaut à :
2
2
n + n − 1≥ n + 2 ,
soit :
n ≥ 3.
En résumé, pour n ≥ 3, les éléments de A sont supérieurs à 1.
L'inégalité :
n2 + n − 1
≤ 2,
n2 + 2
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107
équivaut à :
n + n − 1≤ 2n + 4 ,
2
2
soit :
n − n + 3 ≥ 0.
Le trinôme du premier membre est toujours positif, puisqu'il n'a pas de
racine réelle et que le coefficient du terme de plus haut degré est positif.
On trouve bien que, pour n ≥ 3, les éléments de A sont compris entre 1 et
2.
Les valeurs pour n < 3 sont :
2
n
0
1
2
On voit donc que A est borné :
n2 + n − 1
n2 + 2
−1
2
1
3
5
6
−1
est le plus petit élément de A, et 2 est
2
un majorant de A.
Maximum : le calcul donne (arrondi à 4 décimales) :
n
6
7
n2 + n − 1
n2 + 2
1,0789
1,0784
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108
La borne supérieure est le plus grand élément, soit
41
.
38
 n + sin(n2 )

n ∈N .
2) B = 

 n +1
Ici, la méthode de base consiste à remplacer l'expression "sin(n2)" par –1,
pour minorer, ou 1, pour majorer. On remplace ainsi l'expression :
n + sin(n 2 )
,
n +1
par des expressions plus simples qui l'encadrent :
n − 1 n + sin(n 2 ) n + 1
≤
≤
.
n +1
n+1
n +1
Il en résulte clairement que B est borné, inclus dans le segment :
[–1 , 1].
Soit a un réel strictement inférieur à 1, et h = 1 – a.
On a la majoration suivante (elle repose encore sur l'encadrement du
sinus par –1 et 1) :
n + sin(n 2 ) 1 − sin(n 2 )
2
1−
=
≤
.
n +1
n +1
n +1
2
Il existe un naturel n tel que
soit inférieur à h puisque cela équivaut
n +1
à (n + 1)h > 2. On sait que cette inéquation a une solution puisque h est
positif et R archimédien.
Pour une telle valeur de n, on a les inégalités :
n + sin(n 2 )
a<
≤ 1.
n +1
On voit ainsi que 1 est le plus petit majorant de B, 1 = supR(B).
Est-ce un plus grand élément ? Il faudrait que sin(n2) prenne la valeur 1.
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109
Or, la fonction sin prend la valeur 1 seulement pour des valeurs de la
π
variable de la forme + 2kπ, k entier relatif. Comme π est irrationnel,
2
ces valeurs ne sont pas des entiers. La borne supérieure 1 n'est pas un
plus grand élément.
Pour la borne inférieure, calculons quelques valeurs, arrondies à 3 décimales :
0
n + sin(n 2 )
n +1
0
1
0,921
2
0,414
3
0,853
4
0,742
5
0,811
n
On voit que 0 ne semble atteinte que pour n = 0. Vérifions-le.
L'équation :
n + sin(n 2 ) = 0
n'a de solution que si n = 0, ou n = 1, puisque la fonction sin prend ses
valeurs entre –1 et 1. Si n = 1, on obtient :
1 + sin(1) = 0,
ce qui est faux, puisque sin(1) est positif.
n + sin(n 2 )
Pour les valeurs de n supérieures à 1, l'expression
est
n +1
strictement positive.
Conclusion, 0 est le plus petit élément de B.
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110
{
3) M = z ∈C 1 > Re(z) ≥ Im( z) } :
On peut proposer la conjecture ( ) :
min(C) = 0,
supR(C) = 2.
Le premier résultat est évident puisque 0 est un minorant (un module est
positif ou nul) et que 0 est un élément de M.
Pour le second, on doit vérifier que 2 est un majorant, et que c'est le
plus petit.
Soit z = x + iy un élément de M :
z = x2 + y2 ≤ 2x2 ,
car |y| ≤ x, et donc z ≤ 2, puisque 0 ≤ x < 1.
Soit a un réel strictement inférieur à 2.
Il faut mettre en évidence dans M au moins un complexe dont le module
a+ 2
est strictement plus grand que a. Posons b =
.
2
π
Soit t le complexe de module b et d'argument . C'est bien un élément
4
de M, puisque :
b < 2,
2
(1+ i),
2
Re(t) < 1,
t=b
0 ≤ Im(t) = Re(t).
Par définition, b est strictement plus grand que a, donc t convient.
Le réel 2 est la borne supérieure de C.
Ce n'est pas un plus grand élément, car dans le calcul ci-dessus,
l'inégalité z ≤ 2, est stricte, puisque x < 1.
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111
exercice 20-C
Des exemples :
I1 =]– ∞ , 0], J1 = [2 , +∞[,
I2 = [–1 , 2], J2 = [2 , 8],
I3 =]–4 , 2], J3 =]2 , +∞[.
1) Comme J n'est pas vide, I est majoré ( ). Comme I n'est pas vide, il
admet une borne supérieure. C'est le plus petit majorant, donc supR(I) est
inférieur à tout élément de J : c'est un minorant ( ) de J. Il en résulte
que J est minoré, donc admet une borne inférieure qui est le plus grand
minorant. On a donc :
supR(I) ≤ infR(J).
Si I ∩ J n'est pas vide, soient x, y des éléments de I ∩ J.
Comme x ∈ I et y ∈ J :
x ≤ y.
Comme y ∈ I et x ∈ J :
y ≤ x.
On conclut que ces éléments sont égaux.
Donc si I ∩ J n'est pas vide, il a un seul élément.
2) L'exemple (I2, J2) correspond à supR(I) = infR(J), et l'exemple (I1, J1)
à supR(I) < infR(J).
3) La première conjecture est fausse : le cas (I3, J3) en est un contreexemple. Si on n'a pas pensé à un tel contre-exemple, comment résoudre
cette conjecture ?
Par la contraposée par exemple ( ) :
Si supR(I) = infR(J), alors I ∩ J ≠ Ø. On a vu que l'intersection n'a qu'un
élément si elle n'est pas vide, soit a cet élément. Que représente-t-il ?
C'est un élément de J, donc un majorant de I, et c'est aussi un élément de
I. C'est donc max(I). Par un raisonnement analogue, a = min(J). La
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112
contraposée, si elle est vraie, entraîne que les ensembles I et J ont
respectivement un plus grand élément et un plus petit élément.
Les éventuels contre-exemples sont donc à chercher dans des cas où, par
exemple, la borne supérieure de I n'est pas dans I. On peut penser alors
pour I à un intervalle ouvert ]b , a[, et, de là, pour J à un intervalle ayant a
comme borne inférieure, de la forme ]a , c[ par exemple.
Pour la seconde conjecture :
On reprend le raisonnement exposé dans la démarche ci-dessus. Il montre
effectivement que si l'intersection n'est pas vide, elle est constituée d'un
seul élément qui est à la fois max(I) et min(J), donc aussi supR(I) et
infR(J). Cette conjecture est vraie.
4) Conservons les notations de la question 3) :
I ∩ J = {a}.
Soient x et y dans I ∪ J, tels que x < y, et soit z vérifiant x < z < y.
Si x et y sont tous deux dans I, ou tous deux dans J, alors z est dans I, ou
dans J, donc dans I ∪ J. Sinon, x est un élément de I et y un élément de J.
On distingue deux cas.
D'abord z < a, alors :
x<z<a,
et comme x et a sont des éléments de l'intervalle I, z est aussi un élément
de I, donc de I ∪ J.
Dans l'autre cas, a ≤ z, donc :
a ≤ z < y,
donc z est encadré par deux éléments de l'intervalle J. C'est un élément
de J donc de I ∪ J. La réunion I ∪ J est bien un intervalle.
La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple (I3, J3).
Pour penser à ce type de contre-exemple, reprendre la question 3). Si la
réciproque est vraie, elle implique que si I, J, I ∪ J sont des intervalles,
alors max(I), min(J) existent et sont égaux. On cherchera donc des
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113
(contre)-exemples éventuels dans des cas où max(I) ou min(J) n'existent
pas.
(QC-1) Si les ensembles I, J, I ∪ J sont des intervalles, est-il vrai que
supR(I) = infR(J) ?
5) On démontre la contraposée. Si supR(I) < infR(J), alors :
I ∩ J ≠ Ø, ou I ∪ J ≠ R.
Sous l'hypothèse supR(I) < infR(J), il existe un élément strictement
compris entre supR(I) et infR(J) (par exemple leur moyenne). Soit r un de
ces éléments.
Comme r est supérieur à supR(I), il ne peut appartenir à I. Comme il est
inférieur à infR(J), il ne peut pas non plus appartenir à J. Il en résulte que
r n'appartient pas à I ∪J, donc I ∪ J ≠ R.
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114
3-3 Corrigés des questions complémentaires
exercice 1-QC
(QC-1) Si l'ensemble n'est pas totalement ordonné, il n'est pas certain que
le plus grand élément de A et celui de B aient un majorant commun dans
A ∪ B. Par exemple si la relation est la relation de divisibilité dans les
entiers naturels, et :
A = {2, 4}, max(A) = 4,
B = {3, 9}, max(B) = 9,
il n'y a pas dans A ≈ B de multiple commun à 4 et 9. Dans ce cas, A ∪ B
n'a pas de plus grand élément.
Dans un ensemble totalement ordonné, si max(A) et max(B) existent, l'un
des deux est plus grand que l'autre, c'est max(A ∪ B).
(QC-2) La situation est différente : on voit par exemple ci-dessus que
A ∪ B est majoré, et qu'il a une borne supérieure (36).
Mais on peut trouver des exemples où A ∪ B n'est pas majoré, il suffit de
restreindre l'ensemble ordonné de référence : dans {2, 3, 4, 9, 12}, cidessus, A ∪ B n'est pas majoré (voir aussi l'exercice sur les arbres).
Dans ce cas, évidemment, il n'y a pas de borne supérieure.
Si l'ensemble est totalement ordonné, sup(A) et sup(B) sont comparables,
l'un des deux est plus grand, c'est un majorant de A ∪ B. Ce majorant est
le plus petit : supposons par exemple que c'est sup(A). Soit t un élément
inférieur à sup(A) : t n'est pas un majorant de A donc n'est pas un
majorant de A ≈ B. Dans ce cas, sup(A ∪ B) = max(sup(A), sup(B)).
exercice 7-QC
(QC-1) Soit y, et z dans F, vérifiant y ≤ z, y ≠ z. Comme f est bijective,
ces éléments ont des antécédents uniques :
x = f–1(y), t = f–1(z), et x ≠ t puisque y ≠ z.
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115
L'ordre de E est total donc ces éléments sont comparables. Deux cas sont
à envisager :
x < t, ou t < x.
Si t < x, f étant croissante :
f(t) ≤ f(x), soit :
z ≤ y, ce qui est faux (y < z).
Il en résulte que x < t.
La bijection réciproque f–1 est donc croissante.
exercice 8-QC
(QC-1) L'application f2 est surjective. On observe cependant par
exemple :
A = [0 , 1[, supE(A) = 1, f2(A) = {0}, supF(f2(A)) = 0, f2(supE(A)) = 1.
La surjectivité ne suffit pas, même dans le cas totalement ordonné.
(QC-2) On vient de voir que ces hypothèses ne suffisent pas pour que la
conclusion de la conjecture 2) soit vraie.
Reprenons le raisonnement précédent :
Il est toujours vrai que supE(A) est un majorant de f(A). Est-il le plus
petit ?
Soit b un majorant de f(A). Comme f est surjective, l'élément b a au
moins un antécédent, soit a, dans E.
La question est de savoir si a est un majorant de A. Soit x dans A, l'ordre
de E étant total, soit x ≤ a, soit x > a. Envisageons ce cas.
Il en résulte f(a) ≤ f(x), soit b ≤ f(x). Cette relation n'est possible que si b
est un élément de f(A) : en effet b est par hypothèse supérieur à tout
élément de f(A), donc b ≥ f(x), d'où b = f(x).
Dans ce cas, b est un élément de f(A) qui est aussi un majorant de f(A),
d'où b = max(f(A)).
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116
En résumé, si f(A) admet un plus grand élément, ce raisonnement ne
permet pas de conclure que supF(f(A)) = f(supE(A)). C'est d'ailleurs dans
ce cas que se place le contre-exemple de la (QC-1).
Si f est surjective, E totalement ordonné, et si f(A) n'a pas de plus grand
élément, alors le raisonnement commencé ci-dessus se poursuit :
f(a) ≤ f(x) est impossible donc x > a est impossible, donc x ≤ a.
L'antécédent a de b est donc un majorant de A. Il est donc inférieur à la
borne supérieure :
a ≤ supE(A), d'où f(a) ≤ f(supE(A)), donc :
f(supE(A)) est le plus petit majorant de f(A) :
f(supE(A)) = supF(f(A)).
(QC-3) Supposons donc f injective. Comme succ(a) ≠ a, f(succ(a)) ≠ f(a),
et f(succ(a)) ≥ f(a). Ceci ne suffit pas pour que f(succ(a)) soit le
successeur de f(a) : il faut encore établir qu'il n'y a aucun élément de F
strictement compris entre f(a) et f(succ(a)).
Soit z un élément de F vérifiant :
f(a) ≤ z ≤ f(succ(a)), …
ici encore, sans hypothèse de surjectivité on ne pourra pas "remonter"
dans E pour utiliser la propriété caractéristique de succ(a) par rapport à a.
Ajoutons cette hypothèse, c'est-à-dire supposons f bijective.
Soit t l'antécédent de z. On a les inégalités (cf. exercice 7, QC) :
a ≤ t ≤ succ(a),
donc soit t = a, soit t = succ(a), et donc soit z = f(a), soit z = f(succ(a)).
On conclut bien que f(succ(a)) = succ(f(a)) dans le cas d'un isomorphisme.
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volume 2
117
exercice 10-QC
(QC-1) Pour n = 1, la relation est triviale (tous les éléments sont
équivalents). L'ensemble quotient a un seul élément, ce n'est pas un
anneau (selon la définition adoptée ici).
Pour n = 0, au contraire, un élément n'est équivalent qu'à lui-même, le
quotient est Z, c'est bien anneau.
(QC-2) Pour n = 3 et n = 9, les tables donnent :
×
1
2
22 = 1
1
1
2
2
2
1
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118
×
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
4
6
8
1
3
5
7
3
3
6
0
3
6
0
3
6
4
4
8
3
7
2
6
1
5
5
5
1
6
2
7
3
8
4
6
6
3
0
6
3
0
6
3
7
7
5
3
1
8
6
4
2
8
8
7
6
5
4
3
2
1
82 = 1, donc 88 = 1.
Si on généralise à partir de ces exemples, on obtient l'énoncé :
"Soit n un entier impair. Dans Z/nZ, xn–1 = 1 est vérifié pour :
x = 1 et x = n–1".
En ce qui concerne x = 1, c'est évident. Pour x = n–1, on voit que x = –1
dans l'anneau quotient, donc xn–1 = (–1)n–1, donc si n – 1 est pair,
xn–1 = 1.
exercice 11-QC
(QC-1) Si on calcule dans Z/3Z, on obtient l'équation suivante (on a noté,
par abus, a la classe d'équivalence de a dans Z/3Z) :
a2 = 2.
Rappelons la table de Z/3Z –{0} :
1 2
×
1 1 2
2 2 1
Il est clair que l'équation ci-dessus n'a pas de solution.
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119
exercice 12-QC
(QC-1) Notons (+) la première hypothèse et (×) la seconde.
Il est clair que l'on aboutit à f(k) = kf(1) sous la seule hypothèse (+).
Si f(1) = 0, on en déduit f(k) = 0 pour tout k.
Si on suppose f(1) = 1, on déduit que f est l'identité.
Dans cette situation, les deux énoncés suivants sont donc équivalents :
f vérifie (×) et f(1) ≠ 0,
f(1) = 1.
Tous deux permettent de conclure que f est l'identité.
(QC-2) D'après ce qui précède, les endomorphismes du groupe (Q, +)
sont définis par la donnée de f(1). Ils sont tous de la forme f(x) = a x.
Ceci s'étend naturellement aux homomorphismes de (Q, +) dans (R, +).
Plus généralement, soit :
f : (Q, +) --. (G, ×),
un homomorphisme de groupes.
Comme précédemment, on voit que f(k) = f(1)k, si k est un entier relatif,
et f(ka) = f(a)k, pour k entier relatif et a rationnel quelconque. En
particulier :
f(k.1/k) = f(1) = f(1/k)k.
En appliquant à (R+*, ∞), on obtient :
f(1/k) = f(1)(1/k), donc :
f(p/q) = f(1)(p/q) , pour (p, q) ∈ Z × Z*.
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120
exercice 13-QC
(QC-1) L'ensemble des entiers relatifs pairs est bien un idéal : 0 est pair,
la différence de deux nombres pairs est un nombre pair, le produit d'un
entier quelconque par un nombre pair est un nombre pair.
Par contre l'ensemble des nombres impairs n'est pas un idéal : ce n'est
même pas un sous-groupe puisque 0 n'est pas impair.
L'ensemble des multiples de 3 est un idéal : 0 est multiple de 3, la
différence de deux multiples de 3 est un multiple de 3, et le produit d'un
entier quelconque par un multiple de trois est un multiple de trois.
exercice 14-QC
(QC-1) Le raisonnement développé dans la correction montre qu'aucun
élément n'est comparable à 0. D'ailleurs deux éléments ne sont jamais
comparables puisque g ≤ h entraîne g – h ≤ 0.
(QC-2) Supposons G archimédien : pour tout élément a tel que a > 0, et
tout élément b il existe un entier n tel que n.a > b.
Soit b un élément de G+, et a = min(G+).
Soit n le plus petit entier vérifiant n.a > b.
Si (n – 1).a < b, alors :
0 < b – (n – 1).a < a,
ce qui est contradictoire avec a = min(G+).
Donc b = (n – 1).a, et :
G+ = {n.a | n entier naturel, n > 0}.
Il en résulte que G– = {–n.a | n entier naturel, n > 0}, puis G = Z.a.
L'application n ∞ n.a est bien un isomorphisme de Z sur G.
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121
exercice 16-QC
(QC-1) Pour s'orienter soit vers un contre-exemple, soit vers une
démonstration générale, on peut essayer de commencer une démonstration :
Soit t = min(sup(A), sup(B)), et x un réel strictement inférieur à t. Peuton montrer que x n'est pas un majorant de A ∩ B, c'est-à-dire qu'il existe
z dans A ∩ B strictement inférieur à x ?
x < t ≤ sup(A), donc il existe z1, dans A, tel que x < z1 ≤ t,
x < t ≤ sup(B), donc il existe z2, dans B, tel que x < z2 ≤ t.
Bien sûr, rien ne prouve qu'on peut choisir z1, ou z2, dans A ↔ B.
Même dans le cas où ces bornes sont des maximum, il n'y a aucune
raison pour que max(A) ou max(B) soit dans A ∩ B.
A partir de là on peut élaborer un contre-exemple :
A = [0 , 1] ∪ {2}, B = [0 , 1] ∪ {3},
max(A) = 2, max(B) = 3,
A ∩ B = [0 , 1],
max(A ∩ B) = 1.
(QC-2) Si A est un ensemble de réels positifs, et sup(A) = 0, c'est que
A = {0}. Dans ce cas, pour tout B, A.B = {0}.
Il en résulte :
sup(A.B) = sup(A).sup(B).
Si sup(A) > 0, et sup(B) > 0, il existe dans A et dans B des éléments non
nuls (par exemple dans A un élément entre sup(A)/2 et sup(A)).
Leur produit est strictement positif, donc sup(A.B) est strictement positif.
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122
exercice 20-QC
(QC-1) On a vu que de façon générale supR(I) ≤ infR(J).
Si supR(I) ≠ infR(J), il existe donc un réel, soit t, tel que :
supR(I) < t < infR(J).
Soit x un élément de I, et y un élément de J :
x ≤ supR(I) < infR(J) ≤ y,
donc x ≤ t ≤ y.
Or x et y sont des éléments de I ∪ J, qui est un intervalle, donc t est
également un élément de I ∪ J.
Ceci est contradictoire avec supR(I) < t < infR(J).
En effet, t ne peut être dans I puisqu'il est plus grand que la borne
supérieure, et t ne peut être dans J puisqu'il est plus petit que la borne
inférieure.
Il en résulte que supR(I) = infR(J).
Daniel ALIBERT
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123
4
Pour Chercher
4-1 Indications pour les exercices (☺)
exercice 1-I
1) Nommer les plus grands éléments (a = max(A)…).
Utiliser la propriété : un plus grand élément est comparable à tout autre
élément et est supérieur à tout autre élément.
2) La borne supérieure est le plus petit majorant.
On peut la comparer aux autres majorants, et aux éléments de l'ensemble.
exercice 2-I
1) Faire un dessin, prendre des exemples.
2) Prendre des exemples pour bien comprendre cette relation : (2, 1) et
(1, 2), (3, 4) et (1, 2)…
Il faut distinguer des cas : pour (x, y) ≤L (s, t), d'abord (x ≤ s et x ≠ s)
c'est-à-dire x < s, y et t quelconques, ensuite (x = s et y ≤ t).
4) Pour (a, b) dans Z × Z, chercher à quelle condition (a', b') ≤L (a, b),
puis, en distinguant les différents cas, s'il se peut qu'il n'y ait aucun autre
élément entre les deux.
Daniel ALIBERT
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124
exercice 3-I
Indication générale : revenir sur les exemples et exercices déjà traités
(dans cet ouvrage ou ailleurs) pour tester les conjectures.
On pourra de cette façon trouver éventuellement des contre-exemples, ou
se convaincre qu'un énoncé est probablement vrai.
Ensuite passer à une démonstration en forme dans ce cas.
exercice 4-I
Voir les ensembles totalement ordonnés, et P({1, 2, 3}).
1) Faire des dessins, prendre des exemples.
Deux cas sont à séparer, selon que les deux éléments sont comparables,
ou non.
2) Récurrence, bien entendu.
3) Ce sont des ensembles finis, "petits", donc on peut les représenter
facilement en schématisant d'une façon quelconque l'ordre (une flèche
par exemple).
Voir en quoi ils se ressemblent.
4) Formaliser la définition de la question précédente pour la généraliser.
exercice 5-I
Penser à l'écriture en base 2.
Pour généraliser, on peut d'abord considérer le cas n = 4 ou n = 5.
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125
exercice 6-I
1) Procéder de proche en proche à partir de 3, grâce à la vérification
préliminaire.
2) Récurrence.
3) Si une partie non vide est majorée, toute sous-partie, en particulier
toute sous-partie à 2 éléments est majorée.
4) Si a ≠ b, a ≤ b et h(a) = h(b), comparer B(a) et B(b).
5) Récurrence.
exercice 7-I
Examinez les bijections croissantes que vous avez rencontrées.
exercice 8-I
2) Réfléchir à ce qui peut empêcher cet énoncé d'être vrai.
Tester sur les applications proposées.
3) Si a < succ(a), est-on sûr que f(a) < f(succ(a)) ?
exercice 9-I
1) C'est la commutativité de l'opération ∞ qui doit être établie.
2) Calculer a + (–1) × a.
3) Récurrence.
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126
exercice 10-I
6) Procéder par énumération des cas.
QC-2) Chercher un énoncé du type :
"Dans Z/nZ, xn–1 = 1 est vérifié pour x = n – 1 si n …"
exercice 11-I
1) Supposer qu'un élément x s'écrit de deux façons comme combinaison
de 1 et t, et aboutir à une contradiction si les coefficients sont distincts
(raisonnement par l'absurde, utilisant l'hypothèse "t n'est pas rationnel").
2) Utiliser le calcul de l'inverse d'un nombre complexe que vous
connaissez.
A quelle condition les parties réelles et imaginaires sont-elles entières ?
3) Ici encore utiliser une technique bien connue : la multiplication par la
"quantité conjuguée", c'est-à-dire a–b 3 , par rapport à a+b 3 .
Se rappeler que 3 n'est pas rationnel (on admettra cette propriété si
nécessaire).
5) De t2 + p t + q = 0, tirer 1/t en fonction de t.
Prendre toutes les précautions d'usage avant de diviser par une donnée
littérale !
Penser aux formules donnant la somme et le produit des racines d'une
équation du second degré en fonction des coefficients.
L'expression a + b t' joue le rôle de la "quantité conjuguée" ici.
exercice 12-I
2) Dans le cas d'un homomorphisme d'anneaux, f(1) = 1.
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127
exercice 13-I
1) Transformer h(a) = h(b) en composant par h(b)–1.
2) Se rappeler que dans un anneau a × 0 = 0.
3) Voir que le noyau est {0} ou le corps tout entier (double inclusion ( )).
exercice 14-I
Le préliminaire permet de voir que la relation < (c'est-à-dire ≤ et ≠) est
compatible avec la loi de groupe.
1) Tout élément est comparable à 0. Ensuite utiliser le préliminaire.
2) Si G est fini, tout élément est d'ordre fini.
A partir de n.g = 0, voir qu'il y aurait des éléments différents de 0, à la
fois plus grands que 0 et plus petit.
3) Reprendre les arguments de 2).
4) Penser à des groupes ordonnés que vous connaissez bien (Z, Q).
Supposer qu'il existe a' tel que a < a' < 2a. Comparer a' – a et a.
exercice 15-I
1) Un idempotent est un carré.
2) Tout élément est comparable à 0.
3) Utiliser l'exercice précédent : dans le groupe (A, +), il n'y a pas de plus
grand élément.
exercice 16-I
2) Démarche générale ( ).
Prendre un réel R, inférieur à sup(A) + sup(B), c'est la somme d'un réel
inférieur à sup(A) et d'un réel inférieur à sup(B).
Daniel ALIBERT
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128
Déduire qu'il existe des réel a et b dans A et B respectivement dont la
somme est comprise entre R et sup(A) + sup(B).
exercice 17-I
1) Entre deux entiers il y a une différence qui vaut au moins 1.
2) Utiliser le 1). Revoir ce que veut dire "archimédien".
3) Distinguer selon le signe de x.
exercice 18-I
1) Utiliser la notion de noyau (exercice 13)
2) cf. exercice 13.
3) Le corps des réels est archimédien, ce qui peut s'exprimer en disant
que certaines inéquations portant sur les entiers ont une solution :
(celles de la forme n.a > b, avec a > 0.)
Penser aussi que n2 ≥ n si n est entier naturel.
exercice 19-I
1) C'est un problème classique de résolution d'inéquations.
Une fois les éléments de A encadrés pour presque tous les n, voir les cas
particulier (qui sont en petit nombre) et calculer un majorant et un
minorant.
Penser à l'exploration graphique.
Le "tableau de variation" est également un outil puissant pour traiter les
problèmes de majoration ou minoration qui portent sur des fonctions
dérivables.
Un calcul approché peut également être utilisé.
Daniel ALIBERT
cours et exercices corrigés
volume 2
129
2) Penser que la fonction sin prend des valeurs entre –1 et 1.
3) Utiliser le calcul habituel du module en fonction de la partie réelle et
de la partie imaginaire.
Pour montrer qu'un majorant est la borne supérieure, il suffit de vérifier
( ) qu'il existe au moins un élément de l'ensemble entre ce majorant et un
nombre plus petit.
Pour choisir cet élément, on peut prendre un cas particulier facile à traiter
(s'aider de la représentation de M).
exercice 20-I
1) Propriété de base de R. Raisonnement classique sur les bornes ( ).
2) Ce sont des exemples simples.
Penser à des intervalles ouverts ou non.
3) Une bonne variété d'exemple doit vous suggérer les réponses.
4) Ici encore, faites des dessins, puis les raisonnements qu'ils vous
suggèrent. Se rappeler ce qu'est un intervalle ( ).
5) La contraposée est peut-être plus facile à prouver. Attention à sa
formulation (négation de "et").
Daniel ALIBERT
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volume 2
130
4-2 Méthodes ( )
Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de
méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce
volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque
exercice où une méthode a été indiquée par ( ) le (ou les) numéro de
la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les mathématiques,
et non d'un discours mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les
abus de langage usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale
qu'il se rapproche d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les
étudiants.
1- Démontrer une inclusion : A ⊂ B. Raisonner plutôt sur les éléments.
Prendre un élément quelconque a de A, et vérifier qu'il est bien dans
B. Généralement évident lorsque les ensembles sont définis en
extension. Sinon (cas le plus fréquent) A est caractérisé par une
propriété P, B aussi, soit Q. Il faut démontrer que P ≠ Q.
2- Prouver qu'une application f est injective : les méthodes sont variées.
utiliser directement la définition :
supposer f(x) = f(y), montrer x = y.
montrer que l'équation f(x) = b a au plus une solution.
si f est un homomorphisme ( ) de groupes, calculer son noyau
( ).
montrer que f est strictement monotone, en particulier s'il s'agit
d'une fonction dérivable, prouver que la dérivée a un signe constant.
le point précédent s'étend au cas où f est la restriction à un sousensemble de R (à N par exemple) d'une fonction dérivable.
Daniel ALIBERT
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volume 2
131
3- Prouver qu'une application f est surjective : les méthodes sont variées
également.
utiliser la définition : tout élément de l'ensemble arrivée a un
antécédent au moins.
montrer que quel que soit b, l'équation f(x) = b a au moins une
solution.
Par exemple parce que c'est une équation du second degré dont le
discriminant est positif, parce que c'est une équation polynomiale
de degré impair qui a donc toujours une solution…
si f est une fonction dérivable d'une variable réelle, on peut utiliser
le théorème des valeurs intermédiaires (voir volume sur les fonctions
d'une variable réelle).
dans le cas d'ensembles finis, l'injectivité peut entraîner la
surjectivité (compter les éléments).
cette méthode s'étend en algèbre linéaire dans le cadre de la
dimension finie (voir le volume sur les espaces vectoriels).
4- Utiliser max (ou min) : On doit toujours mettre en oeuvre les deux
propriétés caractéristiques de max (ou min). C'est un élément de
l'ensemble. C'est un majorant. Ne pas oublier que, lorsque max existe,
max = sup. Les méthodes qui s'appliquent aux bornes supérieures et
inférieures s'appliquent en particulier au plus grand ou au plus petit
élément.
5- Utiliser sup (ou inf) : deux caractéristiques de sup. C'est un majorant,
c'est le plus petit majorant. Pour calculer sup(A), on peut souvent
commencer par déterminer les majorants de A, puis voir s'il existe un
plus petit majorant. Ne pas négliger, lorsque la situation le permet,
l'étude des variations d'une fonction dérivable d'une variable réelle.
Conséquences pratiques : sup(A) est plus grand que tout élément de
A. Dans beaucoup de situations, on connaît bien A, mais pas sup(A).
Daniel ALIBERT
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volume 2
132
On démontre des propriétés de sup(A) en "passant par" A. Si
x < sup(A), ce n'est pas un majorant donc il existe un élément a de A
vérifiant x < a ≤ sup(A). Pour montrer une égalité du type T ≥ sup(A),
on montre que T est un majorant de A : pour tout a de A, T ≥ a. Pour
montrer une inégalité du type S ≤ sup(A), on cherche un élément de
A plus grand que S : il existe a dans A tel que S ≤ a (analogue pour
inf).
6- Raisonner dans un ensemble totalement ordonné : on utilise souvent
la séparation des cas. Étant donnés a et b, deux cas sont possibles,
a ≤ b et b ≤ a, ou parfois, a ≤ b et b < a.
Les parties finies ont un max et un min. Les applications monotones
bijectives sont des isomorphismes (la réciproque est monotone).
7- Calculer dans un anneau : pour les calculs algébriques de base, il faut
procéder comme on le ferait dans R, ou Z. Toutefois, prendre garde à
quelques points :
la multiplication n'est pas nécessairement commutative (on verra
l'exemple du calcul matriciel).
il peut exister des diviseurs de zéro ( ), ce qui rend plus délicates
les simplifications (à voir également en calcul matriciel).
il se peut qu'un multiple entier d'un élément non nul soit nul (voir
les exemples du type Z/kZ).
8- Calculer modulo n, c'est-à-dire dans un anneau Z/nZ : on calcule
comme dans Z, pour l'essentiel, en remplaçant toutefois les multiples
de n par 0. L'usage est de noter de la même manière un entier p et sa
classe d'équivalence, ce qui conduit à des écritures telles que 5 = –2
(modulo 7), en principe claires dans le contexte. Lorsque n n'est pas
trop grand, beaucoup de problèmes simples s'étudient par
énumération des différents cas.
Daniel ALIBERT
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133
9- Raisonner dans un groupe ou un anneau ordonné : l'opération
compatible avec la relation d'ordre permet de "transporter" une
situation par translation (loi de groupe). Si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z.
En particulier ce qui se passe en relation avec 0 s'étend en dehors de
0. Par exemple, dire que tout élément est comparable à 0 équivaut à
dire que l'ordre est total. Pour utiliser de manière analogue la seconde
opération d'un anneau (loi ×), il faut prendre des précautions. Elle
n'est compatible avec ≤ qu'en ce qui concerne les éléments supérieurs
à 0.
Pour calculer dans un groupe commutatif ordonné, on peut procéder
comme dans les entiers relatifs, ou dans les rationnels, ou les réels.
Les méthodes dans les exercices :
ex. 1 : 4, 5
ex. 4 : 4, 5, 6
ex. 8 : 4, 5
ex. 11 : 7
ex. 15 : 6, 9
ex. 20 : 5
ex. 2 : 4, 5, 6
ex. 6 : 6
ex. 9 : 7
ex. 13 : 7
ex. 16 : 5
ex. 3 : 6
ex. 7 : 6
ex. 10 : 8
ex. 14 : 9
ex. 19 : 5
Daniel ALIBERT
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134
4-3 Lexique (
)
A
Anneau : soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois internes ( ).
On dit que c'est un anneau si (E, T) est un groupe commutatif
( ), si × est distributive ( ) par rapport à T, enfin si × admet un
élément neutre ( ).
Antisymétrique (relation) : c'est une relation R qui a la propriété
suivante. Pour tout x et tout y, x R y et y R x entraîne x = y.
Application monotone : une application est monotone si elle est
croissante, ou décroissante ( ).
Archimédien : un groupe commutatif ordonné (G, +, ≤) est archimédien
si pour tout élément a, a > 0 (0 = élément neutre), et tout élément b,
de G, il existe un entier naturel non nul n tel que n.a > b.
B
Bien ordonné : un ensemble ordonné ( ) est bien ordonné si toute
partie non vide a un plus petit élément ( ).
Borne supérieure (respectivement inférieure) : dans un ensemble ordonné
(E, ≤), la borne supérieure (resp. inférieure) d'une partie A est le
plus petit (resp. grand) élément de l'ensemble des majorants (resp.
minorants) de A.
C
Comparable : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), on dit que deux
éléments x et y sont comparables si x ≤ y ou y ≤ x.
Compatible : dans un ensemble E, une loi interne × et une relation R sont
compatibles si l'implication suivante est vraie : si x R y et z R t,
alors x × z R y × t.
Daniel ALIBERT
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volume 2
135
Conjecture : énoncé mathématique correctement écrit, dont on ne sait pas
s'il est vrai ou faux.
Contraposée : la contraposée de l'énoncé "si P alors Q" est l'énoncé :
"si non(Q) alors non(P)".
Corps : un anneau ( ) (A, +, ×) est un corps si × est commutative et si
tout élément de A différent de l'élément neutre ( ) de + a un
symétrique ( ) pour ×.
Croissante (application) : soit (E, ≤) et (F, ≤) des ensembles ordonnés
( ). Une application f de E dans F est croissante si pour tout x et
tout y de E, x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).
D
Décroissante (application) : soit (E, ≤) et (F, ≤) des ensembles ordonnés
( ). Une application f de E dans F est décroissante si pour tout x
et tout y de E, x ≤ y f(x) ≥ f(y).
Diviseur de zéro : dans un anneau ( ) (A, +, ×), on désigne par 0
l'élément neutre ( ) de +. Un élément a est un diviseur de 0 s'il
existe un élément b non égal à 0 tel que a × b = 0.
E
Endomorphisme : pour un groupe, un anneau, un corps, E, un
endomorphisme est un homomorphisme ( ) de E dans lui-même.
F
Fractions équivalentes : ce sont deux fractions qui représentent le même
p
r
et sont équivalentes si et seulement si
rationnel. Les fractions
q
s
ps = qr.
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136
H
Homomorphisme d'anneau : si (A, +, ×) et (B, +, ×) sont des anneaux, un
homomorphisme d'anneaux de A dans B est un homomorphisme de
groupes ( ) de (A, +) dans (B, +) qui vérifie de plus :
pour tout x et tout y de A f(x × y) = f(x) × f(y),
f(1) = 1 (1 désigne l'élément neutre de × dans ces deux anneaux).
Homomorphisme de corps : c'est un homomorphisme d'anneaux entre
des corps ( ).
Homomorphisme de groupes : si (G, ×) et (H, T) sont des groupes, un
homomorphisme de G dans H est une application f de G dans H,
qui vérifie pour tout x et tout y de G, f(x × y) = f(x) T f(y).
I
Idempotent : dans un anneau, un élément idempotent est un élément égal
à son carré.
Injectif : une application est injective si deux éléments distincts ont des
images différentes.
Intègre : un anneau ( ) est intègre s'il ne possède pas de diviseur de
zéro ( ) différent de 0.
Intervalle : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), un intervalle est une
partie I de E qui a la propriété suivante : si x et y sont des éléments
de I, alors tout élément de E compris entre x et y est un élément de
I.
Inversible (élément) : dans un anneau ( ) (A, +, ×), un élément a est
inversible s'il existe un élément b de A tel que a ∞ b = 1 (élément
neutre ( ) de ×).
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137
M
Majorant (respectivement : minorant) : dans un ensemble ordonné ( ),
un majorant (resp. minorant) d'une partie est un élément plus grand
(resp. plus petit) que tout élément de cette partie.
Majorée (partie) (respectivement : minorée) : une partie d'un ensemble
ordonné ( ) est majorée (resp. minorée) si elle admet un
majorant (resp. minorant) ( ).
N
Naturellement bien ordonné (NBO) : un ensemble ordonné (E, ≤) ( )
est Naturellement Bien Ordonné, s'il est bien ordonné ( ), et si
tout élément, sauf min(E), a un prédécesseur.
Nilpotent (élément) : dans un anneau ( ) (A, +, ×), un élément a est
nilpotent s'il existe un entier naturel n tel que an = 0.
Noyau : le noyau d'un homomorphisme de groupes ( ) est l'ensemble
des éléments dont l'image est l'élément neutre.
O
Ordonné (ensemble) : soit E un ensemble. Si ≤ est une relation d'ordre
dans E, on dit que E, muni de ≤, est un ensemble ordonné.
Ordre : une relation R dans un ensemble est une relation d'ordre si elle
est réflexive ( ), antisymétrique ( ), et transitive ( ).
Ordre d'un élément d'un groupe : dans un groupe (G, ×) un élément g est
d'ordre fini s'il existe un naturel non nul n tel que gn = e (élément
neutre du groupe). L'ordre de g est alors le plus petit entier ayant
cette propriété.
Ordre d'un groupe : nombre d'éléments de ce groupe.
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138
P
Plus grand (respectivement : petit) élément : encore appelé maximum
(resp. minimum). Dans un ensemble ordonné, le plus grand
élément d'une partie A est un élément de A qui est un majorant
(resp. minorant) de A : tout élément de A lui est comparable ( ),
et il est supérieur ou égal à tous les éléments de A (resp. inférieur
ou égal).
Prédécesseur : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), un prédécesseur
d'un élément a est un élément b tel que b ≤ a, b ≠ a, et il n'existe
pas d'élément c vérifiant b < c < a.
R
Réflexive : soit R une relation sur E. Elle est réflexive si pour tout x de
E, x R x.
S
Section finissante (respectivement : commençante) : dans un ensemble
ordonné (E, ≤) ( ), soit a un élément. La section finissante (resp.
commençante) fermée d'origine a est l'ensemble des éléments de E
supérieurs (resp. inférieurs) ou égaux à a. La section finissante
(resp. commençante) ouverte est l'ensemble des éléments
strictement supérieurs (resp. inférieurs) à a.
Segment : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), soient a et b des
éléments, un segment d'extrémités a et b est formé des éléments de
E compris entre a et b. Selon que l'on précise "compris au sens
strict", ou strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b, etc.
on obtient le segment ]a , b[ ouvert, ]a , b] ouvert à gauche, fermé à
droite, etc.
Stable : une partie A d'un groupe (G, ×) est stable si pour tout x et tout y
de A, x × y est un élément de A.
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139
Successeur : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), un successeur d'un
élément a est un élément b tel que b ≥ a, b ≠ a, et il n'existe pas
d'élément c vérifiant b > c > a.
Surjective : une application f : E → F est surjective si tout élément de F a
un antécédent.
Symétrique (relation) : une relation R sur un ensemble E est symétrique
si pour tout x et tout y de E on a l'implication : x R y ⇒ y R x.
T
Totalement ordonné : un ensemble ordonné ( ) est totalement ordonné
si tous les éléments sont comparables ( ) deux à deux. On dit
encore que l'ordre est total.
Transitive (relation) : une relation R sur un ensemble E est transitive si
pour tout x, tout y, tout z de E, on a l'implication :
x R y et y R z ⇒ x R z.
Trivial : le sous-groupe trivial d'un groupe est celui qui a pour seul
élément l'élément neutre du groupe.