IE3_2009

Cycle préparatoire IFIPS 2008-2009
Semestre 2 Mécanique
Interrogation écrite n°3
Lundi 6 Avril 2009. Durée 1h30
Les documents sont interdits. Les calculatrices sont autorisées
Les exercices sont indépendants.
Exercice I : système solaire
On considère les planètes tournant autour du Soleil. On se place dans le référentiel de
Copernic qui est galiléen. Chaque planète a une masse m et gravite autour du Soleil de masse M situé
à l’origine O du système de coordonnées. Chaque planète est soumise à une force centrale
où et avec G=6,67 10
-11
m
3
kg
-1
s
-2
, M=2 10
30
kg.
On considère que les trajectoires des planètes sont toutes circulaires.
1) Mo nt re r brièvement que la trajectoire d’une planète est plane. Dans la suite, on repèrera
ainsi une planète par ses coordonnées polaires (r,θ).
2) Tracer sur un schéma, le Soleil, la trajectoire de la planète, le vecteur , la force et
les vecteurs du repère local : .
3) Donner les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le repère local et tracer le
vecteur accélération sur le schéma précédent.
4) Montrer que la force dérive d’une énergie potentielle que l’on précisera en
fonction de K et r. On choisira l’énergie potentielle nulle pour une distance r infinie.
Justifier le signe de l’énergie potentielle.
5) On note . Exprimer les coordonnées du moment cinétique en fonction d e m ,
r et .
6) Sachant que la trajectoire d’une planète est circulaire de rayon R
p
,
a) Montrer que le mouvement est circulaire uniforme. Pour cela, on utilisera la relation
fondamentale de la dynamique.
b) En déduire la norme du vecteur vitesse de la planète : u
P
en fonction de K, m et R
P
.
c) En déduire l’expression de la période de révolution de la planète : T
P
en fonction de
K, m et R
P
.
d) Montrer que l’énergie mécanique totale de la planète est :
e) Calculer numériquement u
Terre
, T
Terre
et E
m,Terre
sachant que la distance Terre-Soleil est
R
Terre
=1,5 10
8
km et que la masse de la Terre est m
Terre
=6 10
24
kg. On exprimera ces
grandeurs en km/s, jours et Joules respectivement.
7) Donner l’expression de la norme de en fonction de K, m et R
p
. Calculer
numériquement L
Terre
, la norme de .
8) La stabilité des planètes, comètes et astéroïdes dans le système solaire est fixée par la
position des géantes gazeuses que sont Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. On rappelle
la troisième loi de Kepler qui indique que pour tout objet du système solaire, le rapport
a
3
/T
2
est le même où a est le demi-grand axe de l’ellipse trajectoire et T la période de
révolution de l’objet. Afin de simplifier le calcul, on va choisir des unités adaptées : pour

la Terre, on pose que la distance Soleil-Terre est de 1UA=1,5 10
8
km (1 unité
a s t r o n o m i q u e ) et on prendra l’année comme unité de temps.
a) Que vaut a dans notre cas en fonction de R
P
?
b) Sachant que la période de révolution de Jupiter est de 12 ans, calculer R
Jupiter
en UA.
c) Les planètes gazeuses du système solaire sont en résonance orbitale c'est-à-dire que
le rapport entre leurs périodes de révolution est une fraction rationnelle. Sachant
que les résonances sont 2 :5 et 1:7 pour Saturne et Uranus respectivement, calculer
les périodes T
Saturne
et T
Uranus
puis les rayons des trajectoires de ces deux planètes. L a
notation n : m indique que la planète considérée fait n tours autour du Soleil pendant
que Jupiter en fait m.
Exercice II : Pendule amorti dans un fluide
On considère un pendule de longueur l qui se déplace dans un plan et qui baigne dans un fluide et on
cherche à déterminer l’évolution de ce pendule en fonction du temps. La force de frottement fluide
est où k est une constante positive.
1) On se place dans le repère local avec . D o n n e r l e s c o o r d o n n é e s d e
et de la vitesse dans ce repère local.
2) Donner les coordonnées des trois forces en présence dans ce repère.
3) Déterminer les coordonnées du moment en O de ces 3 forces en fonction de m, g, l et θ.
4) Déterminer les coordonnées du moment cinétique dans ce repère local en fonction de….
5) En déduire l’équation différentielle vérifiée par θ(t). On posera et . Reécrire
cette équation différentielle dans la limite des petits angles lorsque sin θ=θ.
6) Dans un premier temps, on suppose que les frottements sont négligeables. Déterminer θ(t)
sachant que le pendule a été lâché sans vitesse initiale à t=0 lorsque θ=θ
0
. Tracer cette
fonction en fonction du temps.
7) On suppose au contraire que les frottements sont très forts et on néglige alors le terme lié au
poids dans l’équation différentielle. Intégrer une première fois l’équation différentielle puis
en déduire la fonction θ(t) sachant que le pendule a été lâché sans vitesse initiale à t=0
lorsque θ=θ
0
. Tracer l’allure de cette fonction sur le graphe précédent.
8) Dans le cas général où frottements et poids jouent un rôle important, quel sera l’allure de
l’évolution de θ(t) sachant que le pendule a été lâché sans vitesse initiale à t=0 lorsque θ=θ
0
?
Expliquez brièvement votre schéma.