Cycle préparatoire IFIPS Semestre 2 Mécanique 2008-2009 Interrogation écrite n°3 Lundi 6 Avril 2009. Durée 1h30 Les documents sont interdits. Les calculatrices sont autorisées Les exercices sont indépendants. Exercice I : système solaire On considère les planètes tournant autour du Soleil. On se place dans le référentiel de Copernic qui est galiléen. Chaque planète a une masse m et gravite autour du Soleil de masse M situé à l’origine O du système de coordonnées. Chaque planète est soumise à une force centrale où et avec G=6,67 10-11m3kg-1s-2, M=2 1030kg. On considère que les trajectoires des planètes sont toutes circulaires. 1) Montrer brièvement que la trajectoire d’une planète est plane. Dans la suite, on repèrera ainsi une planète par ses coordonnées polaires (r,θ). 2) Tracer sur un schéma, le Soleil, la trajectoire de la planète, le vecteur , la force et les vecteurs du repère local : . 3) Donner les composantes de la vitesse et de l’accélération dans le repère local et tracer le vecteur accélération sur le schéma précédent. 4) Montrer que la force dérive d’une énergie potentielle que l’on précisera en fonction de K et r. On choisira l’énergie potentielle nulle pour une distance r infinie. Justifier le signe de l’énergie potentielle. 5) On note . Exprimer les coordonnées du moment cinétique en fonction de m, r et . 6) Sachant que la trajectoire d’une planète est circulaire de rayon Rp, a) Montrer que le mouvement est circulaire uniforme. Pour cela, on utilisera la relation fondamentale de la dynamique. b) En déduire la norme du vecteur vitesse de la planète : uP en fonction de K, m et RP. c) En déduire l’expression de la période de révolution de la planète : TP en fonction de K, m et RP. d) Montrer que l’énergie mécanique totale de la planète est : e) Calculer numériquement uTerre, TTerre et Em,Terre sachant que la distance Terre-Soleil est RTerre=1,5 108km et que la masse de la Terre est mTerre=6 1024kg. On exprimera ces grandeurs en km/s, jours et Joules respectivement. 7) Donner l’expression de la norme de en fonction de K, m et Rp. Calculer numériquement LTerre, la norme de . 8) La stabilité des planètes, comètes et astéroïdes dans le système solaire est fixée par la position des géantes gazeuses que sont Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. On rappelle la troisième loi de Kepler qui indique que pour tout objet du système solaire, le rapport a3/T2 est le même où a est le demi-grand axe de l’ellipse trajectoire et T la période de révolution de l’objet. Afin de simplifier le calcul, on va choisir des unités adaptées : pour la Terre, on pose que la distance Soleil-Terre est de 1UA=1,5 108 km (1 unité astronomique) et on prendra l’année comme unité de temps. a) Que vaut a dans notre cas en fonction de RP ? b) Sachant que la période de révolution de Jupiter est de 12 ans, calculer RJupiter en UA. c) Les planètes gazeuses du système solaire sont en résonance orbitale c'est-à-dire que le rapport entre leurs périodes de révolution est une fraction rationnelle. Sachant que les résonances sont 2 :5 et 1:7 pour Saturne et Uranus respectivement, calculer les périodes TSaturne et TUranus puis les rayons des trajectoires de ces deux planètes. La notation n : m indique que la planète considérée fait n tours autour du Soleil pendant que Jupiter en fait m. Exercice II : Pendule amorti dans un fluide On considère un pendule de longueur l qui se déplace dans un plan et qui baigne dans un fluide et on cherche à déterminer l’évolution de ce pendule en fonction du temps. La force de frottement fluide est où k est une constante positive. 1) On se place dans le repère local 2) 3) 4) 5) avec . Donner les coordonnées de et de la vitesse dans ce repère local. Donner les coordonnées des trois forces en présence dans ce repère. Déterminer les coordonnées du moment en O de ces 3 forces en fonction de m, g, l et θ. Déterminer les coordonnées du moment cinétique dans ce repère local en fonction de…. En déduire l’équation différentielle vérifiée par θ(t). On posera et . Reécrire cette équation différentielle dans la limite des petits angles lorsque sin θ=θ. 6) Dans un premier temps, on suppose que les frottements sont négligeables. Déterminer θ(t) sachant que le pendule a été lâché sans vitesse initiale à t=0 lorsque θ=θ0. Tracer cette fonction en fonction du temps. 7) On suppose au contraire que les frottements sont très forts et on néglige alors le terme lié au poids dans l’équation différentielle. Intégrer une première fois l’équation différentielle puis en déduire la fonction θ(t) sachant que le pendule a été lâché sans vitesse initiale à t=0 lorsque θ=θ0. Tracer l’allure de cette fonction sur le graphe précédent. 8) Dans le cas général où frottements et poids jouent un rôle important, quel sera l’allure de l’évolution de θ(t) sachant que le pendule a été lâché sans vitesse initiale à t=0 lorsque θ=θ0 ? Expliquez brièvement votre schéma.