Localisation d`Anderson d`ondes de matière dans un

UNIVERSITÉ PARIS-SUD
ÉCOLE DOCTORALE : Ondes et Matière
Laboratoire Charles Fabry,
Institut d’Optique Graduate School
DISCIPLINE : PHYSIQUE
THÈSE DE DOCTORAT
à soutenir le 18/12/2012
par
Marie PIRAUD
Localisation d’Anderson d’ondes de matière
dans un désordre corrélé : de 1D à 3D
Composition du jury :
Directeur de thèse : Laurent Sanchez-Palencia
Rapporteurs : Bart van Tiggelen
Patrizia Vignolo
Examinateurs : Robin Kaiser
Gilles Montambaux
Georgy Shlyapnikov
Membre invité : Alain Aspect

Résumé
Cette mémoire présente une étude du transport quantique et de la localisation d’Anderson
d’ondes de matière sans interaction dans des désordres anisotropes. À l’aide d’approches mi-
croscopiques, nous étudions l’effet des corrélations du désordre dont nous démontrons qu’elles
peuvent considérablement modifier les propriétés du transport quantique à 1D, 2D et 3D. Nous
développons des outils généraux et les appliquons à des modèles de désordre continu pertinents
pour les expériences d’atomes ultrafroids : les potentiels de tavelures optiques (« speckle »).
Dans un premier temps, à une dimension, nous raffinons les précédents modèles du processus
de localisation d’un nuage d’atomes froids en expansion dans un potentiel de speckle usuel, et
nous montrons que la prise en compte de nouveaux éléments devrait permettre d’expliquer les
écarts entre les résultats expérimentaux et théoriques observés précédemment. Nous étudions
ensuite le transport quantique et la localization d’Anderson en dimensions supérieures, plus
particulièrement dans des désordres aux corrélations anisotropes, ce qui est naturellement
le cas dans la plupart des potentiels de speckle. Nous calculons les propriétés de transport
quantique et proposons une nouvelle méthode pour estimer la position du seuil de localisa-
tion à 3D (seuil de mobilité). Nos prédictions théoriques sont ensuite comparées aux résultats
obtenus par deux expériences récentes ayant observé la localisation tri-dimensionnelle d’ondes
de matière. Enfin, nous approfondissons notre étude des effets des corrélations du désordre.
Nous démontrons qu’elles peuvent induire l’inversion des anisotropies de localisation et une
amplification de la localisation d’Anderson avec l’énergie de la particule, lorsqu’elles sont
judicieusement adaptées.

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Introduction
Version française
« More is different ». Par cette courte affirmation [1], Philip W. Anderson a mis en évidence
que lors d’un changement d’échelle, le comportement d’un grand système complexe ne peut
pas toujours être simplement déduit du comportement plus simple de ses composants à petite
échelle. En rajoutant plus de complexité ou plus d’éléments à un système, son comportement
peut changer de nature : il subit une transition de phase.
En particulier, en 1958 [2], Anderson a prédit qu’un grand morceau de matériau désor-
donné peut être isolant, même lorsque les blocs élémentaires qui le composent ont un com-
portement métallique. La prédiction de cet effet, connu son le nom de localisation d’Anderson,
a ouvert un nouveau domaine de la physique, qui a attiré une attention considérable. Cela a
commencé par l’étude de systèmes pertinents pour la matière condensée [3,4], et a plus tard
joué un rôle important en physique des ondes classiques, en particulier dans le domaine des
milieux optiques denses [5,6]. Cependant, la localisation d’Anderson d’ondes quantiques est
longtemps restée inobservée. Le développement des atomes ultrafroids a ravivé ces études, et,
en suivant des propositions théoriques [7,8], la localisation d’Anderson d’ondes de matière
a finalement été observée à une dimension (1D) [9,10]. Ces résultats ont en fait ouvert un
nouveau champ de recherche concernant les systèmes quantiques désordonnés [11–13]. Cela
a stimulé de nombreuses études, dans le but d’observer la localisation d’ondes de matière
en dimensions supérieures à un, d’étudier comment elle se combine avec les interactions, et
son rôle dans les systèmes de spins désordonnés par exemple. A cet égard, les gaz quantiques
ont stimulé un intense travail de recherche expérimental et théorique, qui a conduit à des
résultats marquants ces dernières années. D’une part, ils offrent un contrôle sans précedent
des paramètres et de nouveaux outils de mesure. D’autre part, ils donnent lieu à des effets
originaux, qui nécessitent une analyse particulière en eux-mêmes.
En particulier, parmi les spécificités des gaz quantiques désordonnés, il y a les propriétés
de corrélations statistiques particulières du désordre. Malgré le caractère universel de la local-
isation d’Anderson, les corrélations du désordre peuvent avoir une influence sur son comporte-
ment macroscopique. Cette question fondamentale est pertinente pour les systèmes d’atomes
ultrafroids, car leurs corrélations sont bien caractérisées. Une comparaison directe entre l’ex-
périence et la théorie est alors possible, et ne peut pas se limiter à une comparaison qualitative.
En effet, les corrélations peuvent avor des effets très intéressants. Par exemple elles induisent
des seuils de mobilité effectifs en 1D [14,15], et elles peuvent mener à une divergence du
spectre de puissance du désordre et à l’absence d’une limite de bruit-blanc dans des modèles
isotropes à trois dimensions (3D) [16]. Et pourtant, au début de cette thèse, les effets des
corrélations restaient encore largement inexplorés. D’une part, les corrélations peuvent être
anisotropes en dimension d > 1, pour des raisons techniques [17–19]. D’autre part, des cor-

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rélations structurées peuvent être façonnées (presque) à souhait, par des méthodes optiques
simples [13,20,21]. Tels sont les sujets qui ont été abordés au cours de cette thèse.
Dans ce manuscrit nous présentons une étude théorique du transport quantique et de la
localisation d’Anderson d’ondes de matière sans interaction dans des modèles de désordre
corrélés à 1D, 2D et 3D. Nous nous concentrons sur les détails microscopiques du désordre,
et sur l’effet des corrélations statistiques, éventuellement anisotropes, d’un désordre continu.
Alors que les développements théoriques sont généraux, nous les appliquons à des potentiels
de speckle, pour les raisons soulignées ci-dessus. De façon un peu arbitraire, ma thèse peut être
séparée en trois étapes. Premièrement, stimulés par la récente observation de la localisation
d’Anderson dans des condensats de Bose-Einstein en expansion dans des potentiels de speckle,
Laurent et moi avons tout d’abord travaillé sur la localisation d’Anderson unidimensionnelle,
et nous avons développé un nouveau modèle qui peut expliquer certains écarts entre les
données expérimentales et un modèle plus simple [22]. Deuxièmement, nous nous sommes
tournés vers l’étude du transport quantique et de la localisation d’Anderson en dimensions
supérieures à un, en mettant particulièrement l’accent sur les effets d’anisotropie, qui sont
importants pour les expériences avec des atomes ultrafroids. Comme Luca Pezzè avait déjà
travaillé sur la diffusion classique dans des potentiels de speckle anisotropes 2D [23], nous
avons travaillé ensemble sur ce projet. Nous avons finalement prédit des effets intéressants,
tels que la suppression anisotrope de la limite de bruit blanc, des anisotropies des événements
de diffusion et de transport opposées, et une inversion de l’anisotropie de transport avec
l’énergie [24]. Notre étude s’est révélée être très opportune, car deux expériences apportaient
justement des preuves de localisation d’Anderson à 3D [18,19] pour lesquelles des désordres
corrélés dans différentes configurations ont été utilisés. Nous avons collaboré avec l’équipe
expérimentale de Vincent Josse et Alain Aspect à l’Institut d’Optique sur la Réf. [19]. Cette
collaboration nous a stimulés à approfondir notre travail théorique et nous avons proposé une
nouvelle méthode pour calculer le seuil de mobilité, qui, d’une part, a un sens physique clair,
et d’autre part, est applicable en pratique aux modèles de désordre ayant des corrélations
structurées [25]. Troisièmement, nous avons approfondi l’étude des effets des corrélations du
désordre, et nous avons prédit l’accroissement de la localisation d’Anderson induit par des
corrélations du désordre judicieusement adaptées, en toute dimensionnalité [26,27].
Le manuscrit détaille ces résultats, selon le plan suivant :
Chapitre 1: Nous commençons par un chapitre introductif dans lequel nous présentons
le concept de la localisation d’Anderson. Nous expliquons comment il s’est répandu de la
matière condensée à l’optique et de nombreux autres domaines, et récemment aux atomes
ultrafroids. Nous introduisons quelques unes des lignes de recherches actuelles, telles que les
effets combinés du désordre et des interactions inter-particules, ainsi que le rôle des corrélations
du désordre.
Chapitre 2: Dans le second chapitre nous introduisons les bases du transport quantique
et de la localisation d’ondes de matière en milieu désordonné. Nous présentons d’abord les
idées générales grâce à une image simple. Nous décrivons ensuite les outils formels qui sont
nécessaires pour une telle étude. La présentation est adaptée aux désordres anisotropes, ce qui
complique significativement la théorie comme nous allons le voir. Nous discutons cependant
le sens physique des principales quantités et nous faisons le lien avec l’image simple.
Chapitre 3: Nous introduisons ensuite les potentiels de tavelures optiques (« speckle »),

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comme un modèle de désordre contrôlé, qui est utilisé dans les expériences d’atomes ultra-
froids. Nous expliquons comment on obtient des motifs de speckle, et nous calculons leurs
principales propriétés statistiques, qui sont peu communes (ces potentiels sont non-gaussiens
et non-symétriques). En particulier leurs corrélations sont naturellement anisotropes (en di-
mension d > 1), et peuvent être facilement modifiées, une propriété que nous utiliserons dans
la suite.
Chapitre 4: Nous étudions la localisation d’Anderson à une dimension. A 1D tous les états
à une particule doivent être localisés, cependant, comme cela est par exemple montré dans la
Réf. [9], la localisation peut avoir un comportement complexe. Malgré un bon accord général
avec les prédictions théoriques de la Réf. [8], des déviations non-négligeables sont observées
dans les expériences [9,28]. Nous avons développé un nouveau modèle pour la localisation
d’un paquet d’onde de matière qui inclut des ingrédients qui ont été négligés précédemment.
Nos résultats indiquent que les déviations peuvent être expliquées par un crossover vers un
comportement à longue-distance qui est différent de celui prédit à courte distance.
Chapitre 5: Nous étudions ensuite le transport quantique et la localisation d’Anderson en
dimensions supérieures à un. Nous examinons théoriquement le transport d’une onde quan-
tique dans un désordre anisotrope et corrélé. Nous dérivons des expressions générales pour
chaque événement de diffusion, la diffusion de Boltzmann et la localisation d’Anderson, dont
les propriétés sont décrites par des tenseurs. Nous les appliquons ensuite à un modèle de
speckle 2D ayant une fonction de corrélation gaussienne et anisotrope, pour lequel on trouve
des effets d’anisotropie intéressants et contre-intuitifs, tels qu’une anisotropie de transport dif-
férente de celle du désordre, et un comportement non-monotone de l’anisotropie de transport
avec l’énergie.
Chapitre 6: Nous étudions aussi les désordres tridimensionnels ayant des corrélations
structurées et anisotropes. D’une part, pour trois modèles particuliers de désordre nous trou-
vons de riches propriétés de transport, telles que la suppression anisotrope de la limite de
bruit blanc et l’inversion de l’anisotropie de transport. D’autre part, nous nous concentrons
sur le seuil de localisation qui sépare en énergie les états localisés et étendus à 3D, et nous
proposons une nouvelle méthode pour estimer sa position, qui revient à une renormalisa-
tion auto-cohérente des énergies. Elle a l’avantage d’être facilement interprétable et d’être
applicable à des modèles de désordre aux corrélations finement structurées.
Chapitre 7: Les modèles de désordre étudiés dans le Chap. 6sont directement pertinents
pour les résultats expérimentaux présentés dans les Réfs. [18,19]. Nous examinons ces ex-
périences à la lumière de nos prédictions théoriques. En ce qui concerne la Réf. [18], nous
nous focalisons sur les quantités comparables que sont l’anisotropie du profil localisé et la
position du mobility edge. Comme cela est discuté dans ce chapitre, l’écart entre les données
expérimentales et les calculs théoriques ouvre des questions qui devrait stimuler un appro-
fondissement des travaux expérimentaux et théoriques. En ce qui concerne la Réf. [19], nous
détaillons l’analyse de l’expérience, à laquelle nous avons pris part, et dans laquelle nous avons
trouvé un accord semi-quantitatif. La comparaison donne un éclairage nouveau au problème,
qui d’une part a stimulé le travail décrit dans le Chap. 6, et d’autre part ouvre de nouvelles
perspectives expérimentales.
Chapitre 8: Nous exploitons encore le fait que les corrélations des speckles sont très bien
contrôlées et qu’elles peuvent être modifiées dans une large gamme de configurations. Nous
montrons que, grâce aux corrélations du désordre, la localisation d’Anderson peut être accrue
lorsque l’énergie de la particule augmente, dans un désordre continu. Nous illustrons cela