Statistiques – Test 1

Statistiques – Test 1
Les calculs doivent être détaillés et il faudra choisir une échelle adéquate pour les différentes
représentations graphiques. Calculatrice autorisée
Exercice 1 :
Un tour automatique produit des axes cylindriques. Les diamètres en (1/10 de mm), mesurés sur un
lot de 1000 pièces ont donné les résultats suivants :
Classes [244;246[
[246;247[ [247;248[ [248;249[ [249;250[ [250;251[ [251;252[ [252;253]
Effectif 11 132 152 200 194 158 139 14
1) Donner des valeurs approchées de la moyenne et de l’écart type du caractère X (diamètre mesuré).
2) Déterminer la classe modale.
3) Déterminer dans quelle classe se situe la médiane.
4) Tracer la fonction de répartition empirique ou le polygone des effectifs cumulés croissants, puis
déterminer la médiane par interpolation linéaire.
Exercice 2 :
La créatine phosphokinase (CPK) est une enzyme « essentielle dans le métabolisme énergétique
musculaire ». Elle peut être employée comme marqueur biologique des lésions musculaires et permet
d’apprécier dans le suivi d’un groupe de sportifs « la tolérance de la préparation musculaire vis-à-vis
de l’intensité et des types de travail » et de déterminer des seuils d’alerte. Bien que très variable d’un
individu à l’autre, on considère, après un temps de normalisation de 48 heures, des valeurs de CPK
de l’ordre de 1000 (Ul/l) comme importantes (E.Filaire, université de Clermont-Ferrand). Dine présente
les valeurs de CPK relevées chez 22 footballeurs d’une équipe de Ligue 1 :
145 174 180 201 220 256
266 270 276 291 308 332
356 372 387 392 405 507
660 705 1470 2855
1) Calculer la moyenne et l’écart-type pour ce groupe (arrondir les résultats au 1/100).
2) Représenter la boîte à moustaches.
3) Si on diminue les données initiales de 15%, puis de 2 UI/l quels seront la nouvelle moyenne et le
nouvel écart-type ? (arrondir au 1/100)
4) Comment peut-on obtenir une moyenne centrée réduite à partir des données initiales ?
Exercice 3 :
Lors d’un match de Handball, on relève les caractéristiques suivantes sur des spectateurs de la
tribune.
Sur 100 personnes : 40 personnes ont les yeux bleus, 45 personnes ont les cheveux blonds, 25
personnes ont à la fois les yeux bleus et les cheveux blonds.
Quelle est la probabilité qu’un individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou
les cheveux blonds ?
Exercice 4 :
Soient les événements A et B tels que : P(A U B) = 0,85 P(A) = 0,7 P(B) = 0,5
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Exercice 5 :
Un médecin examine les élèves d’un groupe scolaire pour déterminer leur aptitude au sport.
Au cours de cet examen, le médecin constate que :
2/3 des élèves sont d’origine rurale et les autres élèves sont d’origine citadine.
50% des ruraux présentent une bonne aptitude au sport et 40% des citadins présentent cette même
aptitude.
1. Quelle est la proportion d’élèves ayant une bonne aptitude au sport parmi l’ensemble des élèves ?
(vous laisserez le résultat sous forme d’une fraction)
2. Sachant qu’un élève a une bonne aptitude au sport, quelle est la probabilité que cet élève soit :
 d’origine rurale ?
 d’origine citadine ?
(vous laisserez les résultats sous forme d’une fraction)

Statistiques – Test 1 - Corrigé
Exercice 1 :
1°)
Diagramme en barres
Diamètres (en mm)
Effectifs
244 246 248 250 252
0 50 100 150 200
X = 249,0285, var(X) = 2,839277 et donc (X) ≈
≈≈
≈ 1,69
2°) La classe modale est [248; 249[.
(Soit M
0
, le mode. Par interpolation linéaire, on a :
M
0
– 248
249 – M
0
= 200 – 152
200 - 194 ⇔ M
0
– 248
249 – M
0
= 48
6 ⇔ M
0
– 248
48 = 249 – M
0
6 = 1 54 ⇔ M
0
= 249 – 6
54 = 2240 9
⇔ M
0
≈
≈≈
≈ 248,89)
3°) 1000 : 2 = 500 donc la médiane est dans la classe où sont situés les 500
ème
et 501
ème
effectif ;
c’est-à-dire [249 ; 250[.
4°)
Classes 244
246 247 248 249 250 251 252 253
Fréquence
cumulée 0 0,011 0,143 0,295 0,495 0,689 0,847 0,986 1
Soit M(Me, 0,5) , A(249 ; 0,495) et B(250 ; 0,689) .
Par interpolation linéaire, on a :
Me – 249
250 – 249 = 0,5 – 0,495 0,689 – 0,495
⇔Me = 249 + 0,005
0,194 ⇔ Me ≈
≈≈
≈ 249,03

Exercice 2 :
1) x ≈
≈≈
≈ 501,27 et ≈
≈≈
≈ 582,07
3) x (nouveau) = 0,85 x - 2 ≈ 424,08
(nouveau) = 0,85 ≈ 494,76
4) On a z =
x – x
 = x – 501,27 582,07 ≈ 0,00172x – 0,86.
Il suffit donc de multiplier les données initiales par 0,00172 puis de leur enlever 0,86 pour
obtenir une moyenne centrée réduite.
Exercice 3 :
Soit B : yeux bleus alors p(B) = 0,40
Soit Bl : cheveux blonds alors p(Bl) = 0,45
et p(B ∩ Bl) = 0,25.
P(B ∪Bl) = p(B) + p(Bl) - p(B ∩ Bl) = 0,40 + 0,45 – 0,25 = 0,85 – 0,25 = 0,6
La probabilité qu’un individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou les
cheveux blonds est de 60 %.
Exercice 4 :
P(A ∩B) = p(A) + p(B) – p(A ∪ B)
= 0,7 + 0,5 – 0,85
= 0,35
P(A) × P(B) = 0,7 ×0,5 = 0,35
Donc P(A ∩B) = P(A) × P(B) et donc A et B sont deux événements indépendants.
Exercice 5 :
Soit l’événement R : origine rurale et l’événement A : bonne aptitude au sport.
D’après l’énoncé on a : P(R) = 2/3 et p( R ) = 1/3
P(A/R) = 0,5 et p(A/ R ) = 0,4
1. p(A) = p(A ∩R) + p(A ∩R ) = p(A/R)p(R) + p(A/ R )p( R ) = 0,5 ×2
3 + 0,4 ×1 3 = 1,4 3 = 7
15
2. P(R/A) = p(A/R)p(R)
p(A) =
1
3
7
15
= 1
3 × 15 7 = 5
7
Sachant qu’un élève a une bonne aptitude au sport, la probabilité que cet élève soit :
 d’origine rurale est de 5
7.
 d’origine citadine est de 2
7.
Barème prévisionnel :
• Exercice 1 : 6,5 pts
• Exercice 2 : 7 pts
• Exercices 3 et 4 : 2 pts chacun
• Exercice 5 : 2,5 pts
NB : vous pouvez me réclamer vos notes par mail.
Nicolas Vauzelle