Statistiques – Test 1

Statistiques – Test 1
Les calculs doivent être détaillés et il faudra choisir une échelle adéquate pour les différentes
représentations graphiques. Calculatrice autorisée
Exercice 1 :
Un tour automatique produit des axes cylindriques. Les diamètres en (1/10 de mm), mesurés sur un
lot de 1000 pièces ont donné les résultats suivants :
Classes [244;246[ [246;247[ [247;248[ [248;249[ [249;250[ [250;251[ [251;252[
[252;253]
Effectif
11
132
152
200
194
158
139
14
1) Donner des valeurs approchées de la moyenne et de l’écart type du caractère X (diamètre mesuré).
2) Déterminer la classe modale.
3) Déterminer dans quelle classe se situe la médiane.
4) Tracer la fonction de répartition empirique ou le polygone des effectifs cumulés croissants, puis
déterminer la médiane par interpolation linéaire.
Exercice 2 :
La créatine phosphokinase (CPK) est une enzyme « essentielle dans le métabolisme énergétique
musculaire ». Elle peut être employée comme marqueur biologique des lésions musculaires et permet
d’apprécier dans le suivi d’un groupe de sportifs « la tolérance de la préparation musculaire vis-à-vis
de l’intensité et des types de travail » et de déterminer des seuils d’alerte. Bien que très variable d’un
individu à l’autre, on considère, après un temps de normalisation de 48 heures, des valeurs de CPK
de l’ordre de 1000 (Ul/l) comme importantes (E.Filaire, université de Clermont-Ferrand). Dine présente
les valeurs de CPK relevées chez 22 footballeurs d’une équipe de Ligue 1 :
145
174
180
201
220
256
266
270
276
291
308
332
356
372
387
392
405
507
660
705
1470
2855
1)Calculer la moyenne et l’écart-type pour ce groupe (arrondir les résultats au 1/100).
2)Représenter la boîte à moustaches.
3)Si on diminue les données initiales de 15%, puis de 2 UI/l quels seront la nouvelle moyenne et le
nouvel écart-type ? (arrondir au 1/100)
4)Comment peut-on obtenir une moyenne centrée réduite à partir des données initiales ?
Exercice 3 :
Lors d’un match de Handball, on relève les caractéristiques suivantes sur des spectateurs de la
tribune.
Sur 100 personnes : 40 personnes ont les yeux bleus, 45 personnes ont les cheveux blonds, 25
personnes ont à la fois les yeux bleus et les cheveux blonds.
Quelle est la probabilité qu’un individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou
les cheveux blonds ?
Exercice 4 :
Soient les événements A et B tels que : P(A U B) = 0,85
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
P(A) = 0,7
P(B) = 0,5
Exercice 5 :
Un médecin examine les élèves d’un groupe scolaire pour déterminer leur aptitude au sport.
Au cours de cet examen, le médecin constate que :
2/3 des élèves sont d’origine rurale et les autres élèves sont d’origine citadine.
50% des ruraux présentent une bonne aptitude au sport et 40% des citadins présentent cette même
aptitude.
1. Quelle est la proportion d’élèves ayant une bonne aptitude au sport parmi l’ensemble des élèves ?
(vous laisserez le résultat sous forme d’une fraction)
2. Sachant qu’un élève a une bonne aptitude au sport, quelle est la probabilité que cet élève soit :
d’origine rurale ?
d’origine citadine ?
(vous laisserez les résultats sous forme d’une fraction)
Statistiques – Test 1 - Corrigé
Exercice 1 :
1°)
100
0
50
Effectifs
150
200
Diagramme en barres
244
246
248
250
252
Diamètres (en mm)
X = 249,0285, var(X) = 2,839277 et donc (X) ≈ 1,69
2°) La classe modale est [248; 249[.
(Soit M0, le mode. Par interpolation linéaire, on a :
M0 – 248 200 – 152
M – 248 48
M – 248 249 – M0
1
6 2240
=
⇔ 0
=
⇔ 0
=
=
⇔ M0 = 249 –
=
249 – M0 200 - 194
249 – M0 6
48
6
54
54
9
⇔ M0 ≈ 248,89)
ème
ème
3°) 1000 : 2 = 500 donc la médiane est dans la classe où sont situés les 500
et 501
effectif ;
c’est-à-dire [249 ; 250[.
4°)
Classes
244
246
247
248
249
250
251
252
253
Fréquence
cumulée
0
0,011
0,143
0,295
0,495
0,689
0,847
0,986
1
Soit M(Me, 0,5) , A(249 ; 0,495) et B(250 ; 0,689) .
Par interpolation linéaire, on a :
Me – 249
0,5 – 0,495
=
250 – 249 0,689 – 0,495
0,005
⇔Me = 249 +
⇔ Me ≈ 249,03
0,194
Exercice 2 :
1) x ≈ 501,27 et ≈ 582,07
3) x (nouveau) = 0,85 x - 2 ≈ 424,08
(nouveau) = 0,85
x– x
≈ 494,76
x – 501,27
≈ 0,00172x – 0,86.
582,07
Il suffit donc de multiplier les données initiales par 0,00172 puis de leur enlever 0,86 pour
obtenir une moyenne centrée réduite.
4) On a z =
=
Exercice 3 :
Soit B : yeux bleus alors p(B) = 0,40
Soit Bl : cheveux blonds alors p(Bl) = 0,45
et p(B ∩ Bl) = 0,25.
P(B ∪Bl) = p(B) + p(Bl) - p(B ∩ Bl) = 0,40 + 0,45 – 0,25 = 0,85 – 0,25 = 0,6
La probabilité qu’un individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou les
cheveux blonds est de 60 %.
Exercice 4 :
P(A ∩B) = p(A) + p(B) – p(A ∪ B)
= 0,7 + 0,5 – 0,85
= 0,35
P(A) × P(B) = 0,7 ×0,5 = 0,35
Donc P(A ∩B) = P(A) × P(B) et donc A et B sont deux événements indépendants.
Exercice 5 :
Soit l’événement R : origine rurale et l’événement A : bonne aptitude au sport.
D’après l’énoncé on a : P(R) = 2/3 et p( R ) = 1/3
P(A/R) = 0,5 et p(A/ R ) = 0,4
2
1 1,4 7
1. p(A) = p(A ∩R) + p(A ∩ R ) = p(A/R)p(R) + p(A/ R )p( R ) = 0,5 × + 0,4 × =
=
3
3
3
15
1
p(A/R)p(R) = 3 = 1 × 15 = 5
2. P(R/A) =
7 3 7 7
p(A)
15
Sachant qu’un élève a une bonne aptitude au sport, la probabilité que cet élève soit :
5
d’origine rurale est de .
7
2
d’origine citadine est de .
7
Barème prévisionnel :
•
•
•
•
Exercice 1 : 6,5 pts
Exercice 2 : 7 pts
Exercices 3 et 4 : 2 pts chacun
Exercice 5 : 2,5 pts
NB : vous pouvez me réclamer vos notes par mail.
Nicolas Vauzelle