Mouvement d`une bille dans un entonnoir

Mouvement d’une bille dans un entonnoir
Mouhamed Badji et Meric Manuel Kucukbas
9 f´evrier 2015

Table des mati`eres
I Description de l’experience 3
1 Compr´ehension des diff´erents articles 4
2´ Etude du cas g´en´eral de la trajectoire du mouvement de la bille dans un
entonnoir de surface quelconque 5
II Aspect th´eorique de l’´etude 8
3 Syst`eme consid´er´e 9
3.1 Caract´eristiques m´ecaniques du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Probl`ematique ..................................... 9
3.3 Hypothesesinh´erentes ................................. 10
4´ Etude du mouvement de la bille 11
4.1 ´ Etude Lagrangienne du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 D´et´ermination de l’´energie cin´etique de la bille . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 D´etermination de l’´energie potentielle de la bille . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.3 R´esolution de l’´equation d’Euler Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Discussion g´en´erale du mouvement de la bille 13
5.1 Discussion primaire au vue des r´esultats pr´ec´edents . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Discussion graphique de la nature du mouvement de la bille . . . . . . . . . . . . 15
6´ Etude de quelques cas particuliers 17
III Aspect pratique de l’´etude 19
7 Les diff´erents potentiels que l’on va consid´erer 20
8 But de la manipulation 21
8.1 Liste du mat´eriel n´ec´essaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.2 D´efinition du plan d’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.3 Hypotheses concernant le cas r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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Introduction
Nous, Meric Kucukbas et Mouhamed Badji, qui sommes ´etudiants en 3e ann´ee de
licence de physique `a l’universit´e Paris VII, avons dans le cadre de nos ´etudes, d´ecid´e de nous
pencher sur le cas du mouvement d’une bille dans un entonnoir. Mais pourquoi consid´erer un
cas de m´ecanique difficile `a notre stade d’´etude si ce n’est pour un rappel nostalgique de nos
cours de premi`ere ann´ee et de m´ecanique du solide de la 2e ann´ee ?
En effet, nous nous sommes int´eress´es `a ce cas si anodin de par son application au m´ecanisme
qui r´egit l’univers tout entier : la gravit´e et la relativit´e g´en´erale. Effectivement, l’ensemble de
l’univers et des corps massifs qui le constituent sont soumis `a une force universelle : La gravit´e
mise en avant historiquement par Isaac Newton et reprise par Albert Einstein sous le concept
de relativit´e g´enerale. Il ont stipul´e respectivement que les corps ayant une masse propre
s’attire selon une loi qui est inversement proportionnelle au carr´e de la distance s´eparant ces 2
corps, puis dans une optique plus r´ecente, Einstein a consider´e que les corps massifs provoquent
une courbure de l’espace temps de par la cr´eation d’un potentiel gravitationnel du `a leur masse
(un cas par exemple qui explique le ph´enomene de la d´eviation de la lumi`ere `a l’approche d’un
corps massif comme une ´etoile). Mais quel rapport nous dirons les profanes avec deux ´etudiants
qui observent apr`es avoir jet´e bˆetement une bille dans un entonnoir, le mouvement non
entretenu de ladite bille ?
En fait, dans le cadre de notre ´etude, nous avons adapt´e le cadre de l’observation
interplan´etaire `a un cas que tout le monde peut r´ealiser plus ou moins ais´ement chez lui en
prenant un ensemble de mat´eriel rudimentaire comme une bille et un entonnoir. La forme de
l’entonnoir d´etermine ce que l’on appelle le potentiel gravitationnel effectif,la dite courbure de
l’espace temps qui est inversement proportionnel `a la distance par rapport au centre de gravit´e
du corps massif. La bille, quant `a elle n’est rien d’autre que le corps plus l´eger qui se d´eplace
dans cette espace dont la contrainte majeure est ce fameux potentiel. On peut notamment selon
certaines conditions initiales faire l’analogie de la Terre se d´eplacant autour du soleil avec une
belle orbite elliptique.
2

Premi`ere partie
Description de l’experience
3

Chapitre 1
Compr´ehension des diff´erents
articles
Des ´equations, de l’Anglais, et beaucoup de calculs tout aussi farfelues les uns que les autres...
C’est `a peu pr´es ce qui est ressortis de faon plaisante de la toute premi`ere confrontation que
l’on a du faire de notre th`eme d’´etude. Nous avions `a notre disposition pour les pr´emisses de
notre ´etude deux articles tout deux issus de l’AJP (pour American Journal of Physics)
qui sont :
–’On trajectories of rolling marbles in cones and other funnels’ de Gary D. White
–’Perturbation approximation for orbits in axially symmetric funnels’ de Michael
Nauenberg.
Les deux ´etudes sont inter´essantes tant du point de vue physique, que du conditionnement de
l’univers d’´etude qui nous a beaucoup aid´e sur l’aspect calculatoire de notre partie th´eorique.
En effet, par un bon jeu d’observations, notamment de la prise en consid´eration du bon
r´eferentiel afin d’´eliminer le plus de contraintes de notre probl`eme, et par une ´etude
approfondie des diff´erents cas, c’est `a dire divers formes de potentiels, diff´erentes vitesses
initiales de la bille, bri`evement par les diff´erents param`etres que ces hommes ont consider´es
avant nous, nous avons `a notre tour pu nous all´ger d’une somme consid´erable de travail
concernant la partie th´eorique ainsi que pratique de notre champ d’´etude.
Ces deux articles, qui traitent exactement le mˆeme ph´enom`ene par deux aspects th´eoriques
quasi similaires (Nauenberg ayant donn´e une importance `a l’´etude ´energ´etique par le calcul du
Lagrangien du mouvement de la bille) nous ont permis aussi de nous rendre compte de la
difficult´e des math´ematiques inh´erentes ´a une ´etude cin´ematique qui paraˆıt aux premiers
abords pourtant tr`es simple : Une bille se d´eplacant par contrainte sur une surface mat´erielle en
forme d’entonnoir ou l’on considere assez grossirement que l’on va avoir une ´equation
diff´erentielle propre `a l’application du principe fondamentale de la dynamique. Il y a malgr´e de
tr`es adroites consid´erations hypoth´etiques et un tr`es bon r´eferentiel d’´etude, un tr`es lourd
spectre calculatoire sur cette ´etude qui nous avait paru simple aux premiers ´egards.
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