Examen corrigé

Université de Paris 13
M1-Math
Analyse de Fourier et fonctions holomorphes
Examen du 18/02/2016, 3h
Exercice 1 Calcul d'intégrale (3pts)
dθ
Calculer 02π 1−2α cos(θ)+α
6 1 . Indication : poser z = eiθ et exprimer
2 avec α ∈ C , |α| =
sous la forme f (z)dz avec f fraction rationnelle.
R
dθ
1−2α cos(θ)+α2
Exercice 2 Série de Fourier (5pts)
On découpe l'intervalle [0, 2π] en 2P intervalles avec les extrêmités
P −1 0 = c0 < c1 . . . c2P −1 < c2P = 2π et
on considère la fonction 2π -périodique donnée par f (x) = Pp=0
1[c2p ,c2p+1 ] (x) − 1[c2p+1 ,c2p+2 ] (x) pour
x ∈ [0, 2π] .
a) Faire le graphe (pour un choix des cp ) de f sur [−2π, 4π] pour P = 1 et P = 2 .
P
per
b) Calculer la dérivée au sens des distributions de f , en notant δc
= k∈Z δc+2πk .
c)
d)
e)
0
Calculer les coecients de Fourier ∂d
x f n . On rappelle que pour T ∈ D (R/(2πZ)) , ses coefcients de Fourier sont donnés par T̂n = heinx , T iR/(2πZ) avec la normalisation précisée par
R r+2π
dx
hϕ , ψiR/(2πZ) = r
ϕ(x)ψ(x) 2π
pour des fonctions périodiques régulières.
En déduire les coecients de Fourier fˆn , n ∈ Z .
Vérier que f ∈ W s,2 (Z/(2πZ)) pour tout s < 1/2 .
Exercice 3 Transformation conforme (6pts)
a)
b)
c)
d)
Sans faire de calcul expliquer pourquoi il existe un biholormorphisme du disque unité sur la
bande B = {z ∈ C , |Im z| < π/2} .
En prenant la détermination principale du logarithme sur C \ R− , vérier soigneusement que
l'application f (z) = logR− [(1−z)/(1+z)] est un biholormorphisme de D(0, 1) sur B . Indication :
Etudier d'abord l'image de D(0, 1) par z 7→ 1−z
1+z , et vérier outre l'aspect bijectif qu'il s'agit
d'une application conforme.
h
ii
Sur D(0, 1) on dénit la fonction g(z) = 1−z
= exp[i logR− ( 1+z
1+z
1−z )] . Avec le minimum de
calculs
que g est une application holomorphe de D(0, 1) surjective sur la couronne
vérier−π/2
C = z ∈ C,e
< |z| < eπ/2 .
Vérier que g est localement un biholomorphisme et expliquer ensuite pourquoi ce ne peut être
un biholomorphisme de D(0, 1) sur C .
Exercice 4 Propriété de la moyenne (6pts)
On dit qu'une fonction, réelle continue sur un ouvert Ω de R2 ∼ C , vérie la propriété de la moyenne
si pour tout point z0 ∈ Ω il existe une suite (rn )n∈N , rn > 0 et {z ∈ C , |z − z0 | ≤ rn } ⊂ Ω
∀n ∈ N , D(z0 , rn ) ⊂ Ω et lim rn = 0 ,
n→∞
Z 2π
1
∀n ∈ N , f (z0 ) =
f (z0 + rn eiθ )dθ .
2π 0
a)
Rappeler en quelque mots pourquoi une fonction harmonique sur Ω vérie la propriété de la
moyenne.
Le but de l'exercice est de montrer la réciproque.
1
On se donne une fonction f qui vérie la propriété de la moyenne et on travaille dans le disque
fermé D(a, R) = {z ∈ C , |z − a| ≤ R} ⊂ Ω . Rappeler
pourquoi il existe une unique fonction
harmonique réelle h , continue sur D(a, r) telle que h|z−a|=R = f |z−a|=R . On pourra donner sa
formule. Préciser sa régularité dans D(a, R) .
c) On note v = f − h . Montrer que cette fonction atteint son maximum m en un point de D(a, R) .
Vérier que si m > 0 alors v −1 (m) est un compact de D(a, R) .
−1 (m) tel que |z − a| est maximal. En
d) Sous l'hypothèse m > 0 , on choisit un point zm de v
m
utilisant la propriété de la moyenne pour v , conclure que m > 0 est impossible (un dessin peut
aider).
e) En déduire que f = h sur D(a, R) , et que f est harmonique dans Ω .
f ) Question subsidiaire : En remplaçant les disques par des intervalles centrés (et la moyenne sur
un cercle par la moyenne sur les deux extrêmités de l'intervalle), peut-on dire qu'une fonction
réelle sur un intervalle ouvert de R qui vérie la propriété de la moyenne est une fonction C ∞ ?
b)
2
Université de Paris 13
M1-Math
Analyse de Fourier et fonctions holomorphes
Examen du 18/02/2016, 3h
Correction 1 Avec z = eiθ on a dz = ieiθ dθ et donc
dθ
ieiθ dθ
dz
=
=
2
2
iθ
iθ
−iθ
2
1 − 2α cos(θ) + α
i(z − α(z + 1) + α2 z)
ie (1 − α(e + e ) + α )
dz
idz
=
=
.
1
2
−iα(z − (α + α )z + 1)
α(z − α1 )(z − α)
On en déduit
Z
2π
I=
0
Si |α| < 1 la fonction f (z) =
α de résidu
i(α − 1/α)−1
et on obtient I =
Correction 2
c)
2π
α2 −1
.
dθ
1
= 2iπ
1 − 2α cos(θ) + α2
2iπ
et on obtient I =
2π
1−α2
e−inc
2π
Le coecient de Fourier de δcper est
ˆ inx
n∈Z fn e
P
X
2(−1)p δcper
p .
P2P −1
p=0
et on obtient
2P
−1
X
p=0
Comme f =
idz
.
α(z − α1 )(z − α)
. Si |α| > 1 le pôle est en 1/α avec résidu i(1/α − α)−1
\
(∂
x f )n =
d)
S1
est méromorphe au voisinage de D(0, 1) avec un unique pôle en
i
1
(z− α
)(z−α)
La formule des sauts donne ∂x f =
b)
Z
(−1)p e−incp
.
π
dans D0 (R/(2πZ)) et comme ∂x est continu dans D0 (R/(2πZ)) on a
infˆn einx = ∂x f =
n∈Z

(−1)p e−incp

π
2P
−1
X
X
n∈Z
p=0

 einx .
Par unicité de la série de Fourier, on obtient
2P −1
1 X (−1)p e−incp
ˆ
∀n ∈ Z \ {0} , fn =
.
in
π
p=0
Pour n = 0 il sut de calculer
fˆ0 =
e)
R 2π
0
dx
f (x) 2π
et on obtient
P
−1
X
P
−1
X
p=0
p=0
(c2p+1 − c2p ) − (c2p+2 − c2p+1 ) =
(−c2p + 2c2p+1 − c2p+2 ) .
Le calcul des coecients de Fourier montre qu'il existe Cf tel que
1
∀n ∈ Z , |fˆn | ≤ Cf
.
hni
On en déduit que pour s < 1/2 ,
2s ˆ 2
n∈Z hni |fn |
P
1
< +∞ et donc f ∈ W s,2 (Z) .
Correction 3
b)
c)
d)
a) La bande B est simplement connexe. Le théorème de l'application conforme de
Riemann dit qu'il existe une application conforme (biholomorphisme) de B sur le disque unité.
On peut prendre l'application réciproque.
1−z
2
L'application ϕ : z → 1+z
est holomorphe sur D(0, 1) . L'égalité Z = ϕ(z) = 1+z
− 1 équivaut
1−Z
2
à z = (Z+1) − 1 = 1+Z et |z| < 1 équivaut à |Z − 1| < |Z + 1| autrement dit Z est à droite
de la médiatrice de [−1, 1] , c'est à dire Re Z > 0 . Ainsi ϕ est une bijection de D(0, 1) sur
le demi-plan {Re Z > 0} . Une bijection holomorphe est forcément biholomorphe (conforme).
2
On peut le vérier aussi avec ϕ0 (z) = − (1+z)
2 qui ne s'annule pas sur D(0, 1) . Par ailleurs,
logR est un biholomorphisme du demi-plan {Re Z > 0} sur B dont l'application réciproque est
l'exponentielle.
L'application exponentielle est une application holomorphe surjective de iB = z ∈ C , − π2 < Re < π2
sur la couronne C . Donc g(z) = exp(if (z)) dénit une application holomorphe surjective de
D(0, 1) sur C .
Comme f 0 ne s'annulent pas sur D(0, 1) et la dérivée de l'exponentielle, l'exponentielle ellemême, ne s'annule pas sur iB , g 0 ne s'annule pas. C'est donc un biholomorphisme local. Ce ne
peut être un biholormorphisme car la couronne n'est pas simplement connexe. Autre argument
valable : g n'est pas injective car l'exponentielle n'est pas injective de iB sur C .
Correction 4
Avec la formule de Green, ω (∆u)v − u(∆v)dx = ∂ω (∂n u)v − u(∂n v) dσ , n
normale extérieure, on a montré en cours en prenant ω = B(a, r) qu'une fonction harmonique
vériait
Z
R
a)
f (a) =
R
1
|Sd−1 |
f (a + rη) dη .
Sd−1
2π
1
iθ
En dimension 2 , cela donne f (a) = 2π
0 f (a + re ) dθ pour tout a ∈ Ω et tout r > 0 tel que
D(a, r) ⊂ Ω . Pour a ∈ Ω quelconque, cela est vrai en particulier en prenant une suite rn > 0
telle que limn→∞ rn = 0 .
On considère F (z) = f (a + Rz) qui est une fonction continue
h suriθD(0,
i 1) . On a vu en cours
R 2π
1
1+re
it
iθ
que H(re ) = 2π 0 P (r, θ − t)F (e ) dt avec P (r, θ) = Re 1−reiθ dénit l'unique fonction
R
b)
harmonique sur D(0, 1) continue sur D(0, 1) telle que H |z|=1 = F . On prend h(z) = H((z −
a)/R) . On sait de plus que cette fonction est C ∞ sur D(a, R) par l'hypoellipticité de ∆ .
c) La fonction v = f − h vérie la propriété de la moyenne (au point z0 ∈ Ω on prend la même
suite de rayons que pour f ). Elle est continue sur D(a, R) , donc atteint son maximum m . De
plus comme v |z−a|=R ≡ 0 , m 6= 0 (i.e. m > 0) implique que l'ensemble v −1 (m) est un fermé
qui n'intersecte pas le cercle de centre a et de rayon R . C'est un compact de D(a, R) .
−1 (m) et
d) Sous l'hypothèse m > 0 , la fonction z 7→ |z − a| est continue sur le compact v
iln existe zm ∈ v −1 (m) tel que |zom − a| = maxz∈v−1 (m) |z − a| . Alors le demi-plan E =
z ∈ C , Re [(zm − a)z] > |zm − a| ne contient aucun point de v −1 (m) . En particulier v(z) <
m pour tout z ∈ E ∩ D(a, R) tandis v(z) ≤ m = v(zm ) pour tout z ∈ D(a, R) . Cela contredit
la propriété de la moyenne en zm .
e) Les question c) et d) conduisent à max(v) = 0 , avec v = f − h . En faisant de même avec
w = −(f − h) on obtient f = h sur D(a, R) et comme h est harmonique f est harmonique sur
D(a, R) pour tout D(a, R) ⊂ Ω . Cela impose ∆f (z) = 0 pour tout z ∈ Ω et f est harmonique
(et donc C ∞ ) sur tout Ω .
f ) Il sut de prendre la fonction f (x) = x1Q (x) . Elle vérie la propriété de la moyenne sur R mais
n'est pas C ∞ .
2