Sur certaines fonctions arithmétiques.

Sur certaines fonctions arithmétiques.
Michel Paugam
23 avril 2013
Exposés du 19 et du 26 mars 2013
On explicite les propriétés des fonctions multiplicatives βet νqui apparaissent de façon
naturelle dans l’étude de séries de Dirichlet introduites dans [2] et [3].
1 Notations
On considère les fonctions de N∗dans Csuivantes
•δla fonction arithmétique donnée par
δ(n) = 1si n= 1
0si n > 1
•1donnée par 1(n) = 1 pour n≥1
•jdéfinie par j(n) = npour n≥1
•112la fonction indicatrice des carrés parfaits
112(n) = 1si nest un carré parfait
0sinon
•112N+1 la fonction indicatrice des nombres impairs
• R la fonction racine carrée
•ϕla fonction d’Euler
•µla fonction de Möbius.
Pour s∈Cet ℜs > 1, la série de Dirichlet ζimp(s)est définie par
ζimp(s) =
+∞
X
m=0
1
(2m+ 1)s=
+∞
X
n=1
112N+1(n)
ns
1

et la fonction βest définie par la série P+∞
n=1
β(n)
nsoù la suite (β(n))n>1est générée par
ζβ(s) = ζimp(2s−1)
ζimp(s)pour ℜs > 1
La fonction νest définie par la série
+∞
X
n=1
ν(n)
ns
avec
ζν(s) = ζβ(s+3
2)
ζimp(s+ 1) pour ℜs > 0.
Pour une fonction arthmétique f, on note aussi, comme dans [4], D(f, s)la série de
Dirichlet associée à f:
D(f, s) =
+∞
X
n=1
f(n)
ns
en précisant son abscisse de convergence absolue.
Dans la suite, on utilise sans rappels le produit de convolution de Dirichlet de fonctions
arithmétiques et la formule d’inversion de Möbius.
2 Rappels
Lemme 2.1 [1, Example 5, p. 34]
Soient fet gdeux fonctions arithmétiques multiplicatives alors le produit ordinaire f×g,
le produit de convolution de Dirichlet f∗gsont des fonctions multiplicatives ainsi que
f/g si gne s’annule pas.
Lemme 2.2 Si fet gsont deux fonctions arithmétiques multiplicatives et si hest une
fonction arithmétique complètement multiplicative alors
(f∗g)×h= (f×h)∗(g×h)
2

En effet, pour n∈N∗, on a
(f∗g)×h(n) = (f∗g)(n)h(n)
=X
kℓ=n
f(k)g(ℓ)h(n) = X
kℓ=n
f(k)g(ℓ)h(kℓ)
=X
kℓ=n
f(k)g(ℓ)h(k)h(ℓ)par l’hypothèse sur h
=X
kℓ=n
f(k)h(k)g(ℓ)h(ℓ)
=(f×h)∗(g×h)(n).
On rappelle les deux théorèmes suivants.
Théorème 2.3 [1, Theorem 11.3, p.227]
Soient D(f, s)et D(g, s)deux séries de Dirichlet qui convergent absolument pour ℜs > σ.
Si D(f, s) = D(g, s)pour tout sélément d’une suite de nombres complexes (sk)telle
que ℜsktende vers +∞lorsque ktend vers +∞, alors f(n) = g(n)pour n>1.
Théorème 2.4 [1, Theorem 11.5, p.228]
Soient fet gdeux fonctions arithmétiques. On suppose que la série de Dirichlet associée
àfest absolument convergente dans le demi-plan ℜs > σfet que celle associée à g
est absolument convergente dans le demi-plan ℜs > σg. Alors le produit des séries de
Dirichlet est la série
D(f∗g, s) = D(f, s)D(g, s)pour ℜs > max(σf, σg)
où f∗gest le produit de convolution de Dirichlet des fonctions fet g.
3 La fonction arithmétique β
Il est établi dans [2] que la fonction βest nulle sur les entiers pairs et que sur les entiers
impairs, on a
β(2n+ 1) = X
kℓ=2n+1
µ(k)112(ℓ)√ℓ
et que
−1<β(2n+ 1)
√2n+ 1 61
avec l’égalité si et seulement si 2n+ 1 est un carré parfait puisque si 2n+ 1 = kh2est la
décomposition de 2n+ 1 avec ksans facteur carré, on a β(2n+ 1) = µ(k)h. De plus, β
3

est multiplicative [3, §2.3]. Cette propriété s’obtient directement grâce à la définition de
ζβ. On sait que pour ℜs > 1,
ζβ(s) = 1
ζimp(s)×ζimp(2s−1)
Mais 1∗µ=δet la fonction 112N+1 est complètement multiplicative donc d’après le
lemme 2.2
(1∗µ)×112N+1 = (1×112N+1)∗(µ×112N+1) = δ×112N+1 =δ.
Par le théorème 2.4, pour ℜs > 1, on sait alors que
D(112N+1, s)D(µ×112N+1, s) = D(δ, s) = 1
d’où l’on déduit que
D(µ×112N+1, s) = 1
ζimp(s)=
+∞
X
m=0
µ(2m+ 1)
(2m+ 1)s.
D’autre part, d’après la définition de ζimp(s), pour ℜs > 1, on a
ζimp(2s−1) =
+∞
X
m=0
1
(2m+ 1)2s−1=
+∞
X
n=1
112N+1(n)
n2s−1
=
+∞
X
m=0
2m+ 1
((2m+ 1)2)s=
+∞
X
n=0
112(2n+ 1)√2n+ 1
(2n+ 1)s
=D(112× R × 112N+1, s).
L’expression de ζβ(s) = D(β, s)s’écrit donc
D(β, s) = D(µ×112N+1, s)D(112×R×112N+1, s) = D(µ×112N+1)∗(112×R×112N+1), s
par le théorème 2.4. Le théorème 2.3 et le lemme 2.2, (puisque la fonction 112N+1 est
complètement multiplicative) donnent alors
β= (µ×112N+1)∗(112× R × 112N+1) = µ∗(112× R)×112N+1.
Comme µet (112× R)sont deux fonctions multiplicatives, la fonction µ∗(112× R)l’est
également par le lemme 2.1 ainsi que β. Sur les entiers impairs, on a bien
β(2n+ 1) = X
kℓ=2n+1
µ(k)112(ℓ)√ℓ
et, au passage, par la formule d’inversion de Möbius, on obtient
112(2n+ 1)√2n+ 1 = X
d|(2n+1)
β(d).
4

4 La fonction arithmétique ν
Dans ce paragraphe, nous allons montrer que la fonction νest multiplicative. On définit
la fonction arithmétique ̟de N∗dans Cpar
̟(n) = nν(n).
On va d’abord établir que ̟est multiplicative.
Proposition 4.1 Avec les notations précédentes, on a
̟= (µ×112N+1)∗β
R
et la fonction ̟est multiplicative.
Démonstration. D’après la définition de ζν, pour ℜs > 1, on a
D(̟, s) = ζν(s−1) = 1
ζimp(s)×ζβ(s+1 2)
ou encore
D(̟, s) = D(µ×112N+1, s)D(β, s +1
2).
Comme
ζβ(s+1
2) =
+∞
X
n=1
β(n)
ns+1
2
=
+∞
X
n=1
β(n)
√n
1
ns=D(β R, s)
il en résulte par le théorème 2.4 que
D(̟, s) = D(µ×112N+1, s)D(β
R, s) = D(µ×112N+1)∗(β R), s
et par le théorème 2.3, on obtient le résultat annoncé. Comme les fonctions µ×112N+1 et
β
Rsont multiplicatives, il en est de même de la fonction ̟par le lemme 2.1. La fonction
̟s’annule donc sur les entiers pairs, et sur les entiers impairs, on a
̟(2n+ 1) = X
kℓ=2n+1
µ(k)β(ℓ)
√ℓ(1)
et par la formule d’inversion de Möbius, on obtient
β(2n+ 1)
√2n+ 1 =X
ℓ|(2n+1)
ℓν(ℓ).
5