CONCOURS SUR ÉPREUVES OUVERT AUX CANDIDATS TITULAIRES D’UN DIPLÔME VALIDANT LA FIN DE PREMIÈRE ANNÉE DU GRADE DE MASTER OU D’UN CERTIFICAT DE SCOLARITÉ VALIDANT L’ANNÉE PRÉCÉDANT CELLE DE L’ATTRIBUTION DU GRADE DE MASTER ------CONCOURS SUR ÉPREUVES OUVERT AUX FONCTIONNAIRES CIVILS DE L’ÉTAT, DES COLLECTIVITÉS TERRITORIALES, D’UN ÉTABLISSEMENT PUBLIC OU D’UN ORGANISME INTERNATIONAL COMPTANT AU MOINS CINQ ANS DE SERVICE DANS UN CORPS DE CATEGORIE A OU ASSIMILÉ SESSION 2011 EPREUVE A OPTION (durée : 4 heures – coefficient : 6 – note éliminatoire <= 4 sur 20) PHYSIQUE Pour l'épreuve optionnelle de physique (6 pages), l'usage de calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisé à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. La consultation des notices de fonctionnement reste interdite. Les exercices et le problème sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. Les quelques applications numériques seront faites avec seulement deux chiffres significatifs. L'attention des candidats est enfin attirée sur le fait que lors de la correction des copies, il sera tenu le plus grand compte de la clarté et de la rigueur des démonstrations. 1/7 EXERCICE 1 : I / On considère le montage schématisé ci-dessous (figure 1). Lorsque l'interrupteur K bascule de 1 en 2, la tension u(t) aux bornes du condensateur est donnée par le graphique (figure 2). Figure 1 Figure 2 1/ Interpréter le graphique. 2/ La capacité du condensateur est de 1 mF. La pseudo période des oscillations est peu différente de la période du circuit sans résistance. En déduire l'inductance L de la bobine. 3/ Que devient la pulsation du circuit si la valeur de L est multipliée par 4 ? 4/ Quelle est l'énergie électrique dissipée en chaleur ? 5/ Représenter graphiquement la variation de u(t) en fonction du temps dans le cas où R = 0. En déduire i(t). II / Résistance négative On a réalisé le montage de la figure ci-dessous (figure 3). Le dipôle entre A et M, conçu à l'aide d'un amplificateur opérationnel alimenté par des sources auxiliaires, constitue une « résistance négative ». L'amplificateur opérationnel, considéré comme parfait, fonctionne convenablement : u AB=V A −V B=0 Figure 3 Il n'entre ni ne sort de courant des bornes (+) et (–) de l'amplificateur. On prend pour potentiel de référence celui du point M (masse). 1 / Montrer que V B= R2 V R 2R3 S Exprimer V A−V S en fonction de R1 et de l'intensité algébrique i qui arrive en A. 2/7 2 / En déduire la différence de potentiel : u AM =V A−V M en fonction de i, R1, R2, et R3. Pourquoi peut-on dire que le dipôle (A, M) est une résistance négative ? 3/ Déterminer la puissance « fournie » au dipôle. Cette puissance est négative. Quelle est la signification physique de ce résultat ? 4/ Dans une expérience, avec un générateur continu de résistance interne négligeable, on a relevé les valeurs suivantes : e = 6 V; R2 = R3 = 10 kΩ; R1 = 1000 Ω; R = 2000 Ω. a/ Calculer l'intensité i. b/ Calculer la puissance P 1 fournie par le générateur de force électromotrice e. c/ Calculer la puissance P 2 dissipée par effet Joule dans la résistance R ; la comparer à P 1 . D'où provient la puissance P 2−P 1 . III / On reprend le dipôle (A, M) de l'exercice précédent (« résistance négative »). On branche à ses bornes, en série, une bobine (L, r), un condensateur de capacité C, une résistance variable R (figure 4). Figure 4 On donne : R1 = R2 = R3 = 1000 Ω. On observe à l'oscillographe la tension u R aux bornes de R. On diminue progressivement la valeur de R en partant de R = 2000 Ω. On observe : – une tension nulle pour R R1r ; – une tension sinusoïdale de fréquence f pour R légèrement inférieur à R1r . 1/ En déduire l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i du courant dans le circuit. 2/ En déduire de cette équation différentielle que la charge q du condensateur satisfait à la relation : 2 d 1 2 1q Li =− Rr −R1 i 2 dt 2 2C 2 3/ A quelle condition l'énergie électrique 1 2 1q est-elle conservée ? Li 2 2C Cette condition étant réalisée, exprimer en fonction de L et C, la fréquence f des oscillations électriques sinusoïdales. AN : L = 44 mH ; C = 1 µF. Calculer f. 3/7 EXERCICE 2 : Étude d'une fronde Dans tout le problème, on néglige les frottements. Les questions 1/ et 2/ sont indépendantes. −2 On prendra, pour l'intensité de pesanteur du champ de pesanteur, ∥ g∥=10 m.s . Une fronde est constituée par un objet ponctuel (M) de masse m accroché à l'une des extrémités d'un fil, de longueur l et de masse négligeable, dont l'autre extrémité O est maintenue fixe. On fait tourner la fronde autour de O, dans un plan vertical, de manière que l'objet ponctuel (M) décrive un cercle de centre O. Pour provoquer ce mouvement, on communique à l'objet (M) quand le système est dans sa position d'équilibre OA, une vitesse horizontale V0 (figure 5). Figure 5 g∥ , la vitesse ∥VS∥ de l'objet ponctuel (M) 1/ a/ Exprimer en fonction de ∥V 0∥ , l et ∥ quand il passe au sommet S de sa trajectoire. g∥ , la tension T du fil quand l'objet (M) est dans b/ Exprimer en fonction de m, l, ∥V 0∥ et ∥ la position S. c/ Quelle doit être la valeur minimale de la vitesse ∥V 0∥ pour que le fil reste tendu en S ? AN : l = 0,80 m. 2/ La fronde tourne dans un plan vertical. Quand l'objet (M) passe, en montant, au point C de sa trajectoire (figure 5), il se détache du fil et est libéré. Sachant que le rayon OC fait avec la verticale OA, un angle α = 40° et que, en C, la vitesse de l'objet (M) est ∥VC ∥=15 m.s−1 . a/ Déterminer, dans le repère orthonormé (Cx, Cy), l'équation de la trajectoire de l'objet ponctuel (M) après sa libération. b/ Calculer à quelle distance d du point C, l'objet (M) touche le plan horizontal passant par le point C. 4/7 EXERCICE 3 : 1/ On considère deux charges ponctuelles de signes opposés +Q au point A et –q au point B. Nous admettons que l’équipotentielle zéro de ces deux charges est une sphère entourant la charge dont la valeur absolue est la plus faible (q<Q) (figure 6). Les deux charges sont distantes de h. Figure 6 1.1 Calculer le rayon a de cette sphère en considérant les points d'intersection M et M’ de la sphère (V=0) avec (AB). 1.2 Calculer la distance d=OB entre le centre de la sphère et la charge q. 2 / Une sphère métallique, de rayon a et de centre O, liée au sol, est en présence d’une charge Q, placée en A à la distance D de son centre (D>a) (figure 7). Figure 7 2.1 Déterminer la charge et la position (distance d par rapport au centre O de la sphère) de l’image de la sphère au potentiel zéro en regard de la charge Q. 2.2 Pour des raisons de symétrie, on travaillera dans le plan de la figure en coordonnées polaires. Montrer que le potentiel V en un point P quelconque extérieur à la sphère, repéré par ses coordonnées r et q, s’écrit : 2.3 Donner l’expression des composantes du champ électrostatique E au point P. 2.4 Montrer que la densité superficielle de charges σ(l) sur un point S de la sphère repéré par sa distance l de la charge Q s'écrit : Pour cela, on exprimera la distance BS en fonction de a, D et l. 2.5 Calculer la force F qu’exerce la charge +Q sur la sphère. 5/7 3 / La même sphère, en présence de la charge Q, est maintenant isolée et primitivement neutre (sa charge totale reste nulle). Pour résoudre ce nouveau problème, il suffit de procéder par superposition d’états d’équilibre à partir du problème précédent. On considère dans un premier temps la densité de charge σ qui apparaît à la surface de la sphère maintenue au potentiel zéro en présence de la charge Q (état d'équilibre du problème précédent). On isole alors la sphère en coupant la liaison avec la terre et on ajoute la densité de charge σ’ nécessaire pour que la sphère soit globalement neutre (nouvel état d'équilibre). 3.1 Expliquer pourquoi σ’ doit être uniforme et la calculer. 3.2 Déduire alors la répartition superficielle de charge σ 2 l en tout point S de la surface de la sphère. 3.3 En déduire le potentiel total V 2 créé en tout point P extérieur à la sphère par les deux distributions de charge σ et σ’ superposées. Rappel : relation dans un triangle quelconque : EXERCICE 4 : Une conduite circulaire horizontale présente un divergent d'angle d'ouverture α de longueur L = 25 cm qui fait passer le diamètre de D1 = 10 cm à D2 = 25 cm comme représenté sur la figure 8. Figure 8 De l'eau de masse volumique ρ = 1000 kg.m-3 et de viscosité cinématique ν = 10-6 m².s-1 circule avec un débit volumique Qν = 10 l.s-1 dans cette conduite. On note x, la distance entre la section d'entrée et la section courante du divergent. On appellera X = x /L la distance réduite. La pression à l'entrée du divergent est p1 = p (x=0) = 5 bars = 5.105 Pa. Pour l'ensemble de l'exercice, on néglige les pertes de charge. 6/7 1 / Calculer la vitesse au point 1 (v1) ainsi que la vitesse au point 2 (v2). 2 / Calculer les valeurs du nombre de Reynolds Re1 et Re2 aux points 1 et 2. En déduire la nature de l'écoulement pour chacun de ces points (1 et 2). 3 / Calculer l'expression du diamètre D(X) d'une section courante du divergent repérée par la distance réduite X = x / L. 4 / v(X) est la vitesse moyenne d'une section courante du divergent repérée par le distance réduite X, calculer numériquement v(X = 0,25 m); v(X = 0,5 m) et v(X = 0,75 m). 5 / Trouver l'expression du rapport v(X) / v1. On pourra noter β = D2 / D1. 6 / Déterminer l'expression de la différence de pression Δp(X) = p(X) – p(X=0) = p(X) – p 1 où p(X) désigne la pression en une section courante du divergent. 7 / Calculer numériquement Δp(X = 0,25 m) ; Δp(X = 0,5 m) ; Δp(X = 0,75 m) et Δp(X = 1 m). EXERCICE 5 : Un tube en U de section uniforme s = 2,0 cm² et ouvert à l'atmosphère contient du mercure (Hg) (figure 9). 1 / Dans la branche A du tube, on verse 20 cm 3 d'eau (l'eau et le mercure sont non miscibles). Calculer Δh la différence des niveaux des surfaces libres dans les deux branches A et B. 2 / On veut ramener les niveaux du mercure dans les deux branches dans un même plan horizontal en versant de l'alcool (non miscible avec le mercure) dans la branche B. Calculer Valcool le volume nécessaire pour obtenir ce résultat. AN : ρmercure = 13,6 g.cm-3 ; ρalcool = 0,80 g.cm-3 et ρeau = 1,0 g.cm-3 Figure 9 Fin de l'épreuve 7/7