Étude des panaches électrohydrodynamiques plans

THÈSE
Pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE POITIERS
UFR des sciences fondamentales et appliquées
Pôle poitevin de recherche pour l'ingénieur en mécanique, matériaux et énergétique - PPRIMME
(Poitiers)
(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
École doctorale : Sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique SIMMEA (Poitiers)
Secteur de recherche : Génie électrique et mécanique des milieux fluides
Présentée par :
Zelu Yan
Étude des panaches électrohydrodynamiques plans
Directeur(s) de Thèse :
Christophe Louste, Hubert Romat
Soutenue le 18 septembre 2014 devant le jury
Jury :
Président
Jean-Luc Aider
Directeur de recherche CNRS, ESPCI de Paris
Rapporteur
Jean-Luc Reboud
Professeur des Universités, Université de Grenoble 1
Rapporteur
Pedro Vazquez
Profesor, Universidad de Sevilla, España
Membre
Christophe Louste
Maître de conférences, Université de Poitiers
Membre
Hubert Romat
Professeur des Universités, Université de Poitiers
Membre
Philippe Traoré
Maître de conférences, Université de Poitiers
Membre
Laurent Berquez
Professeur des Universités, Université Paul Sabatier de Toulouse
Pour citer cette thèse :
Zelu Yan. Étude des panaches électrohydrodynamiques plans [En ligne]. Thèse Génie électrique et mécanique des
milieux fluides. Poitiers : Université de Poitiers, 2014. Disponible sur Internet <http://theses.univ-poitiers.fr>
THESE
pour l’obtention du Grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS
(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées)
(Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006)
Ecole Doctorale : Sciences et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Energétique et
Aéronautique - SIMMEA
Secteur de Recherche : Génie Electrique et Mécanique des Milieux Fluides
Présentée par :
Zelu YAN
************************
ÉTUDE DES PANACHES ÉLECTROHYDRODYNAMIQUES PLANS
************************
Directeur(s) de Thèse :
Christophe LOUSTE, Hubert ROMAT
************************
Soutenue le 18 Septembre 2014
devant la Commission d’Examen
************************
JURY
Jean-Luc REBOUD
Pedro VAZQUEZ
Jean-Luc AIDER
Laurent BERQUEZ
Hubert ROMAT
Philippe TRAORE
Christophe LOUSTE
Professeur, G2Elab, Université de Grenoble
MCF-HDR, Université de Séville
Directeur de recherche CNRS, PMMH, ESPCI
Professeur Université de Toulouse LAPLACE
Professeur, Université de Poitiers
MCF-HDR, Université de Poitiers
MCF-HDR, Université de Poitiers
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
"All our dreams can come true - if we have the courage to pursue them."
-Walt Disney
Remerciement
Je souhaite adresser mes sincères remerciements à toutes les personnes qui ont
contribué par leur soutien et leurs conseils à la réalisation de ma thèse.
En premier lieu, je tiens à remercier sincèrement M. Christophe Louste qui, en tant
que directeurs de thèse, a dirigé et suivit cette thèse avec attention. Il a consacré
beaucoup de temps à ce travail. Je tiens à le remercier particulièrement pour : son
écoute et sa grande disponibilité, pour le temps consacré à partager son expérience et
ses conseils qui m’ont considérablement aidés dans la rédaction de cette thèse et sans
qui ce mémoire n’aurait jamais été s’achevé.
Je remercie particulièrement M. Hubert Romat, Codirecteurs de cette thèse, pour
m’avoir accueilli très chaleureusement comme doctorant dans équipe EFD, pour son
soutien tout au long de ce travail de recherche et pour son rôle de guide dans les
méandres des démarches administratives.
J’aimerais aussi remercier M.Thierry Paillat et M. Philippe Traoré, qui m’ont apporté
leur aide très souvent et qui ont contribué à la relecture de mes articles et publications
tout au long de ces années d’études. Je tiens à adresser un grand merci à tous les
autres membres du le groupe Electrofluidodynamique : M. Eric Moreau, M.
Noureddine Zouzou, M. Nicolas Benard, M. Gérard Morin, pour la richesse et la
qualité de leur enseignement et leur investissement pédagogique dans la formation de
master en génie électrique et mécanique de fluides.
Un grande merci à mes collègues de bureau, Antoine et Patricia, qui m’ont toujours
encouragé au cours de ces années. Je remercie également Wu Jian, Arthur, Clément
pour les discussions intéressantes, pour leurs conseils scientifiques, et leurs aides.
J’aimerais aussi particulièrement remercier M. Christian Refin, Romain Bellanger,
Ivan Jolit, et Ludovic Mascarenhas, pour leur patience et leur aide précieuse dans la
préparation et les réalisations des manips. Je n’oublie pas Mme Catherine Ecale pour
son aide administrative indispensable. Mes remerciements iront également à toutes les
personnes administratives et techniques du laboratoire, merci pour votre aide
précieuse pendent ces années d’études.
Merci également à l’ensemble des membres du jury qui m’ont fait l’honneur de
participer à ma soutenance de thèse et de partager leurs connaissances. Veuillez
trouver ici, l’expression de ma sincère reconnaissance. Merci également de m’avoir
assisté par vos nombreux commentaires et conseils.
Enfin, je joins à ces remerciements tous les amis rencontrés en France. Merci pour
tous les très bons moments partagés ensemble qui m’ont rendu la vie en France très
agréable : Steve, Jiang Zhiwei, Hu Hui, Liu Guiyu, Sun Yang, Li Li, Zhou Zhiyong,
Yu Yanying, Liu Weiming, Zong Huliang, Wan bin, Fan Yu, Jiang Chennan, Tian
Yuzhen, Wang Cheng’an, Yi Zhibin, Cheng Peng, Zhou Wei, Wang Yun, Liu Qinxin,
Yu Wenbo, Li Zhipeng, Fu Shuoyun, Dong Yang, Wu Hanxiang, Wang Xuan, Zhang
Mengqi, Zhang Chuanxin et tous ceux que j’oublie, merci à vous tous.
Je dédie cette thèse
A mes très chers parents, Yan Zhijiang et Ma Li.
Pour m’avoir soutenu aussi bien financièrement que moralement tout au long de mes
études ne France depuis 2008, pour m’avoir toujours fait confiance, pour leur soutien
et leur écoute.
Table des matières
Table des matières
Résumé .................................................................................................................................................... 1
Nomenclature .......................................................................................................................................... 3
Plan du mémoire ..................................................................................................................................... 7
Chapitre I. Introduction ........................................................................................................................ 9
1.1. Présentation du jet classique .............................................................................................................. 9
1.1.1. Définition du Nombre de Reynolds du jet .................................................................................. 9
1.1.2. Jet libre ..................................................................................................................................... 11
1.1.2.1. Structure du jet libre .......................................................................................................... 11
1.1.2.2. Propriétés caractéristiques du jet libre ............................................................................... 12
1.1.2.2.1. Évolution de la vitesse centrale .................................................................................. 13
1.1.2.2.2. Évolution de la forme des profils de vitesse ............................................................... 16
1.1.2.2.3. Évolution de la demi-largeur du jet ............................................................................ 17
1.1.2.2.4. Intensité turbulente de la vitesse ................................................................................. 18
1.1.3. Le jet de paroi classique ........................................................................................................... 19
1.1.3.1. Structure du jet de paroi ..................................................................................................... 21
1.1.3.2. Propriétés caractéristiques du jet de paroi ......................................................................... 22
1.1.3.2.1.Évolution de la vitesse centrale ................................................................................... 22
1.1.3.2.2. Évolution de la forme des profils de vitesse ............................................................... 23
1.1.3.2.3. Évolution de la demi-largeur ...................................................................................... 23
1.1.4. Jet impactant classique ............................................................................................................. 24
1.2. Panache ............................................................................................................................................ 26
1.2.1. Définition du panache ............................................................................................................... 26
1.2.2. La classification des panaches purs .......................................................................................... 27
1.2.3. Montage expérimental .............................................................................................................. 27
1.2.4. Caractéristique du panache thermique ...................................................................................... 28
1.2.4.1. Structure du panache thermique ........................................................................................ 29
1.2.4.2. Évolution de la vitesse axiale moyenne ............................................................................. 30
1.2.4.3. Variations du profil ............................................................................................................ 31
1.2.4.4.. Évolution de la largeur du panache ................................................................................... 32
1.2.4.5. Évolution de l’intensité turbulente axiale .......................................................................... 32
1.3. Description générale du phénomène EHD....................................................................................... 34
1.3.1. Introduction .............................................................................................................................. 34
Table des matières
1.3.2. Mécanismes de création de charges .......................................................................................... 34
1.3.2.1. Dissociation recombinaison renforcée par effet de champ ................................................ 36
1.3.2.2. Injection de charge ............................................................................................................. 37
1.3.3. Electronvection dans les liquides .............................................................................................. 38
1.3.4. Comportement théorique des panaches EHD ........................................................................... 39
1.3.4.1. Longueurs caractéristiques ................................................................................................ 41
1.3.4.2. Densité de courant électrique ............................................................................................. 41
1.3.4.3. Régime laminaire ............................................................................................................... 42
1.3.4.4. Régime turbulent ............................................................................................................... 45
1.4. Conclusion ....................................................................................................................................... 48
Chapitre II. Panaches EHD ................................................................................................................. 51
2.1. Dispositif expérimental.................................................................................................................... 51
2.1.1. Un mot sur la méthode PIV ...................................................................................................... 51
2.1.2. Le choix de la configuration lame/plan .................................................................................... 52
2.1.3. Description du montage expérimental ...................................................................................... 53
2.2. Étude globale du jet EHD impactant ............................................................................................... 55
2.2.1. Qualification du dispositif ........................................................................................................ 55
2.2.2. Analyse critique de la qualité mesures ..................................................................................... 56
2.2.2.1. Nombre d’images non corrélées ........................................................................................ 57
2.2.2.2. Convergence de la moyenne .............................................................................................. 60
2.2.2.3. Analyse statistique des champs de vitesse ......................................................................... 69
2.2.2.3.1. Vitesse moyenne ......................................................................................................... 69
2.2.2.3.2. Champs fluctuants ...................................................................................................... 71
2.3. Structure du panache EHD .............................................................................................................. 72
2.3.1. Évolution de la vitesse axiale ................................................................................................... 73
2.3.2. Évolution de la forme des profils de vitesse ............................................................................. 75
2.3.3. Évolution de la demi-largeur .................................................................................................... 77
2.3.4. Évolution de l’intensité turbulente ............................................................................................ 78
2.4. Analyse en champs moyens ............................................................................................................. 79
2.4.1. Les panaches ............................................................................................................................. 80
2.4.2. Les jets impactant ..................................................................................................................... 85
2.5. Étude paramétrique de la structure du panache ............................................................................... 86
2.5.1. Caractérisation des panaches .................................................................................................... 86
2.5.1.1. Comportement de la vitesse axiale du jet .......................................................................... 86
Table des matières
2.5.1.2. Évolution de la demi-largeur ............................................................................................. 92
2.5.1.3. Intensité turbulente ............................................................................................................ 94
2.5.2. Adimensionnement du comportement ...................................................................................... 97
2.5.2.1. Cas 1 :
=-1000kV/m .............................................................................................. 101
2.5.2.2. Cas 2 :
=-833kV/m ................................................................................................ 103
2.5.2.3. Cas 3 :
=-1333kV/m .............................................................................................. 105
2.6. Conclusion ..................................................................................................................................... 107
2.6.1. Les quatre zones caractéristiques du panache EHD................................................................ 107
2.6.2. Bilan de caractéristique .......................................................................................................... 109
Chapitre III. Étude de la force .......................................................................................................... 110
3.1. Les forces en mécaniques des fluides ............................................................................................ 110
3.2. Mesure des forces .......................................................................................................................... 111
3.2.1. Présentation ............................................................................................................................ 111
3.2.1.1. Mesure des forces de contact ........................................................................................... 112
3.2.1.2. Mesure des forces de champ ............................................................................................ 112
3.2.2. Méthodologies directes et indirectes....................................................................................... 112
3.2.2.1. Méthodes directes ............................................................................................................ 113
3.2.2.2. Méthodes indirectes ......................................................................................................... 116
3.2.2.2.1. Méthodes intégrales .................................................................................................. 116
3.2.2.2.2. Les méthodes différentielles ..................................................................................... 119
3.2.3. Méthode de simulation numérique ......................................................................................... 122
3.3. Méthode intégrale appliquée au cas lame/plan .............................................................................. 122
3.3.1. Démarche ................................................................................................................................ 122
3.3.2. Volume de contrôle ................................................................................................................ 133
3.3.3. Calcul du terme de pression .................................................................................................... 135
3.3.3.1. Choix du point de départ ................................................................................................. 141
3.3.4. Analyse un cas de
= -35kV,
=3cm .................................................................................. 143
3.3.4.1. Vérification de l’hypothèse initiale .................................................................................. 143
3.3.4.2. Détection des zones de force volumique par volume glissant ......................................... 147
3.3.5. Influence du potentiel appliqué et de distance inter-électrode sur la force moyenne ............. 148
3.4. Méthode RANS ............................................................................................................................. 149
3.4.1. Introduction ............................................................................................................................ 149
3.4.2. Résultats de la méthode .......................................................................................................... 151
3.4.3. Comparaison des méthodes intégrale classique et RANS intégrale ........................................ 153
Table des matières
3.4.3.1. Terme instantané.............................................................................................................. 154
3.4.3.2. Terme visqueux et terme pression ................................................................................... 154
3.4.3.3. Terme convectif ............................................................................................................... 154
3.5. Estimation de la force par modèle théorique simplifié .................................................................. 159
3.5.1. Bord de panache et la vitesse moyenne .................................................................................. 160
3.5.2. Approximation polynomiale ................................................................................................... 163
3.5.2.1. Pour une largeur de jet 2
.............................................................................................. 164
3.5.2.2. Pour une largeur de jet 2
........................................................................................... 166
3.5.3. Approximation par fonction puissance ................................................................................... 168
3.5.4. Résultat ................................................................................................................................... 170
3.6. Conclusion ..................................................................................................................................... 172
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique ................................ 174
4.1. Introduction en générale sur l’actionneur à barrière diélectrique .................................................. 174
4.2. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique dans gasoil ..................................... 176
4.2.1. Montages expérimentaux ........................................................................................................ 176
4.2.2. Principaux résultats sur les champs de vitesse dans le gasoil ................................................. 177
4.2.2.1. Comparaison des profils de vitesse .................................................................................. 178
4.2.2.2. Influence des paramètres ................................................................................................. 180
4.3. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique dans du silicone ............................. 180
4.3.1. Caractéristique de l’huile de silicone ...................................................................................... 181
4.3.2. Dispositif expérimental ........................................................................................................... 182
4.3.3. Analyse du comportement sous signal continu ....................................................................... 183
4.3.3.1. Polarité positive ............................................................................................................... 184
4.3.3.2. Polarité négative .............................................................................................................. 187
4.3.3.3. Discussion........................................................................................................................ 189
4.3.3.4. Remarque sur la double couche ....................................................................................... 190
4.3.4. Jets de paroi EHD produits par le signal alternatif ................................................................. 191
4.3.4.1. Étude du comportement pour un signal carré
=30kV,
=0,2Hz ............................. 192
4.3.4.2. Influence de l’amplitude du signal................................................................................... 194
4.3.4.3. Influence du rapport cyclique du signal ........................................................................... 195
4.3.4.4. Influence de la fréquence du signal ................................................................................. 196
4.3.4.5. Influence de la forme du signal ....................................................................................... 196
4.4. Estimation de la force produite par l’actionneur à barrière diélectrique ........................................ 197
4.4.1. Spécificité du calcul de la force en présence d’une paroi ....................................................... 197
Table des matières
4.4.2. Force produite par l’actionneur dans le gasoil ........................................................................ 199
4.4.2.1. Influence des paramètres ................................................................................................. 199
4.4.2.2. Variation temporelle de la force ...................................................................................... 200
4.4.3. Force produite par l’actionneur dans l’huile de silicone ......................................................... 201
4.4.3.1. Influence du potentiel ...................................................................................................... 203
4.4.3.2. Influence du rapport cyclique du signal ........................................................................... 204
4.4.3.2. Influence de la fréquence ................................................................................................. 205
4.4.3.3. Influence de la forme du signal ....................................................................................... 205
4.5. Conclusion ..................................................................................................................................... 207
Conclusion générale et perspectives .................................................................................................. 209
Annexe ................................................................................................................................................. 213
Annexe Chapitre II ............................................................................................................................... 213
2.1. Incertitude des champs de vitesse présentés la partie 2.41 ........................................................ 213
2.1.1.
=1cm ............................................................................................................................... 213
2.1.2.
=2cm ............................................................................................................................... 214
2.1.3.
=3cm ............................................................................................................................... 215
2.1.4.
=4cm ............................................................................................................................... 216
2.2. Bi-dimensionnalité de l’écoulement .......................................................................................... 217
2.2.1. Intégrale de la divergence d'un champ ................................................................................ 217
Annexe Chapitre III .............................................................................................................................. 220
3.1. Bibliographie de la méthode indirecte ....................................................................................... 220
3.1.1. Les méthodes intégrales ...................................................................................................... 221
3.2. Calcul de thermes de pression ................................................................................................... 223
3.3. Évolution de la force électrique en fonction du volume de contrôle ......................................... 230
3.3.1.
=1cm ............................................................................................................................... 230
3.3.2.
=2cm ............................................................................................................................... 231
3.3.3.
=3cm ............................................................................................................................... 232
3.3.4.
=4cm ............................................................................................................................... 233
3.4. RANS équation en déduire de N-S ............................................................................................ 234
3.5. Cas d’étude de terme termes convectifs pour les deux méthodes,
=-10kV,
=3cm ............. 236
Annexe Chapitre IV .............................................................................................................................. 238
4.1. Champs de vitesse pour un pulse positif avec un rapport cyclique 50% ................................... 238
4.2. Champs de vitesse pour un pulse négatif avec un rapport cyclique 50% .................................. 239
4.3. Champs de vitesse pour un signal en dents de scie 1 ................................................................. 240
Table des matières
4.4. Champs de vitesse pour un signal en dents de scie 2 ................................................................. 241
4.5. Champs de vitesse pour un triangle avec un rapport cyclique 50% ........................................... 242
4.6. Champs de vitesse pour un carré avec un rapport cyclique 20%. .............................................. 243
4.7. Champs de vitesse pour un carré avec un rapport cyclique 80% ............................................... 244
Références bibliographiques .............................................................................................................. 245
Résumé
Résumé
Ce travail est une analyse de la structure des panaches Électrohydrodynamiques plans
également appelés jets Électrohydrodynamiques en géométrie plane. Il a pour objectif
de proposer une description la plus précise possible de l’écoulement, d’apporter une
meilleure compréhension des phénomènes physiques notamment à l’aide de modèles
simples et de quantifier la force électrique. Le chapitre I est une étude bibliographique
qui propose un résumé des principales connaissances sur la structure de deux
écoulements très similaires aux jets EHD : les jets classiques et les panaches
thermiques. Le chapitre II est consacré à la présentation du montage expérimental,
ainsi qu’à la méthodologie expérimentale utilisée dans cette étude. La qualité des
mesures obtenues grâce à la méthode de vélocimétrie par images de particule y est
discutée ; les problèmes de non-corrélation, de convergence statistique des résultats y
sont par exemple abordés. L’analyse des champs de vitesse permet de mettre en
évidence la structure des panaches et de proposer une classification des jets EHD. Le
chapitre III est consacré à l’étude de la force électrique dans les panaches EHD.
L’actionneur utilisé pour produire le jet plan est de type lame-plan. Trois méthodes
indirectes ont été utilisées pour estimer la force à partir du champ de vitesse. La
première méthode appelée méthode intégrale classique calcule la force par intégration
volumique de l’équation de Navier-Stokes. La deuxième méthode appelée méthode
RANS intégrale estime la force à partir de chacun des termes de l’équation RANS en
utilisant une décomposition de la vitesse en valeur moyenne et fluctuation. Enfin, la
force est également calculée selon une troisième méthode basée sur une modélisation
simplifiée de l’écoulement inspirée des travaux de Malraison et Atten. Dans le dernier
chapitre, l’étude est étendue à un écoulement électroconvectif de type jet de paroi
électrique. Il est généré par un actionneur à barrière diélectrique. L’étude est faite avec
deux types des liquides diélectriques différents. Comme pour le jet plan, l’analyse des
champs de vitesse permet de définir les structures de l’écoulement, mais également de
calculer l’intensité de la force produite.
Mots-clés : contrôle d’écoulement, électrohydrodynamique, injection de charges,
liquide diélectriques, force électrique.
Summary
This work is related to the analysis of the structure of electrohydrodynamic plane
plumes also called electrohydrodynamic jets in plane geometry. The aim of this work
is to provide a more precise description and a better understanding of its physical
phenomenon and to quantify the electric force using the simple models. Chapter I is a
literature review which provides a summary of two flows with the structure very
similar to EHD jets: classic jets and thermal plumes. Chapter II is devoted to the
presentation of the experimental setup and method used in this study. The quality of
the measurements obtained by the method of Particle Image Velocimetry is discussed;
problems of non-correlation and statistical convergence of the results are also
discussed. The analysis of velocity fields allows us to identify the structure and
propose a classification of the EHD plumes. Chapter III is devoted to the study of the
electric force in the EHD plumes. The actuator used to produce the plane jet is a blade
plane device. Three indirect methods were used to estimate the force from the velocity
field. The first classical method called integral method calculates the force by
volumetric integration of Navier-Stokes equations. The second method called RANS
1
Résumé
integral method estimates the force from each term of RANS equation using the
average and fluctuating velocity components. Finally, the force is also calculated
using a third approach with a simplified flow model based on the work of Malraison
and Atten. In the last chapter, the study is extended to one type of électroconvectif
flow: the electrical wall jet. It is generated by a dielectric barrier actuator. The study is
carried out with two different dielectric liquids. As is the case with plane jet, the
analysis of velocity fields is used to define the flow structures and calculate the force
produced.
Keywords : flow control, electrohydrodynamics, charge injection, dielectric liquid,
electric force.
2
Nomenclature
Nomenclature
Champs de vitesse
Symbole Définition
Unité
Vitesse caractéristique du fluide
̅
Composante de vitesse moyenne dans la
direction, = , ,
̅ ,0
Composante de vitesse moyenne dans la
direction
en sortant de la buse,
= , ,
̅ ,�
Composante de vitesse moyenne axiale
(au centre du jet) dans la direction ,
= , ,
̅,
Point de vitesse moyenne où sa vitesse
dans la direction i est égale à la moitié
de la vitesse axiale, = , ,
̅,
Composante de vitesse moyenne dans la
direction
en sortant de la buse
= , ,
Composante de vitesse instantanée dans la
direction , = , ,
′
Composante fluctuante de vitesse dans la
direction , = , ,
′
Composante fluctuante de vitesse des
coordonnées cylindriques, = , ,
Ecart-type de vitesse dans la direction ,
,
= , ,
′ ′
̅̅̅̅̅̅
Contrainte de cisaillement de tenseur de
Reynolds, , = , ,
Nombre du Reynolds
Symbole Définition
Nombre de Reynolds en général
Nombre de Reynolds pour un jet plan
ReD
�
�
Nombre de Reynolds pour un jet rond
Nombre de Reynolds pour caractériser la
couche de mélange
Nombre de Reynolds pour caractériser la
zone du jet loin de la buse (locale)
Nombre de Reynolds critique pour passer
d’un régime laminaire à un régime
turbulent
Unité
Équation
̅,
=
̅ ,�
Équation
=
=
=
�
=
=
3
Nomenclature
Jet classique
Symbole Définition
Unité
Viscosité cinématique du fluide
Hauteur de fente pour jet plan
Diamètre de la buse pour jet rond
Distance buse/plaque pour le jet
impactant
Origine virtuelle de la vitesse du jet (si
0
l’axe du jet suivant )
Origine virtuelle pour l’expansion de
radiale du jet
Rayon de contraction=épaisseur de plaque
de la buse
Rapport d’aspect,
sur la sortie de
buse
Largeur de la buse d’un jet plane
Débit de quantité de mouvement à la
̇0
sortie de la buse
Taux de décroissance de la vitesse pour le
jet plan
Taux de décroissance de la vitesse pour le
jet rond
Demi-largeur de jet plan (l’axe suivant )
Demi-largeur de jet plan (l’axe suivant )
Demi-largeur de jet rond
Taux d’expansion du jet plan
Taux d’expansion du jet rond
Intensité turbulente dans la direction,
= , ,
Intensité turbulente sur l’axe
,�
Intensité turbulente totale
,�
Panache thermique
Symbole Définition
Hauteur du panache plan
Rayon de la source thermique
Débit de masse à la sortie de la buse
,0
̅
0
∗
0
4
Rayon efficace de la vitesse moyenne à la
buse ronde
Intensité turbulente moyenne à la buse
Échelle de rayon de panache en
comprenant le débit de masse, quantité
de mouvement et l’intensité turbulent
moyenne à la sortie de la buse
Rayon d’un panache thermique
Unité
Équation
=
̇0 =∫
,0
′
̅
= √̅̅̅̅
Équation
,0
=
=∫
̅ = ∫
0
∗
0
=
̅
0
,0
̇0
−
,0
Nomenclature
Panache EHD
Symbole Définition
Unité
−
Constante de vitesse de dissociation
Constante de vitesse de recombinaison
s
Largeur hydraulique du panache EHD
Largeur de la zone chargée
Demi-largeur de jet si l’axe du panache
EHD plan
Largeur
caractéristique du panache EHD
0
plan où sa vitesse dans la direction
est
égale à 0,1 de la vitesse axiale
Largeur efficace pour le panache EHD
plan
,
�⃗
�
0
μ
̅
�
,
,
0,
̅
̅
Débit de masse calcule par
Distance lame plan
Densité de courant électrique
Courant électrique total
A
∙
Mobilité d’ionique
Coefficient de diffusion
Densité volumique de charge
Intégrale de la charge par unité de
longueur pour une section fixée
Vitesse principale pour le modèle panache
EHD, autres deux composantes , .
Vitesse principale axiale pour le modèle
panache EHD
Viscosité dynamique
Pa ∙ s
Champ moyen dans direction
,
= , ,
Coefficients de la vitesse centrale pour le
modèle panache EHD
Coefficients de la demi-largeur pour le
modèle panache EHD
Coefficients du champ moyen pour le
modèle panache EHD
Terme regroupant l’ensemble du terme
dérivé de force et gradient de pression
pour la méthode intégrale classique,
= , ,
Terme regroupant l’ensemble du terme
dérivé de force et gradient de pression
pour la méthode RANS intégrale,
= , ,
Équation
=
+∞
−∞
+∞
−∞
5
Nomenclature
Autres
Symbole Définition
Unité
Dimension caractéristique de longueur en
générale
Epaisseur de vorticité
Demi-largeur du jet en générale
, ,
, ,
6
Composante dans un repère cartésien
Composante dans un repère cylindrique
Équation
=
̅
∆̅
Plan du mémoire
Plan du mémoire
Ce travail est la première partie d’un projet qui a pour objectif de développer des
dispositifs de contrôle électrohydrodynamiques. De façon plus précise, il porte sur
l’étude d’un actionneur de type lame plan avec deux objectifs principaux. Tout
d’abord mieux comprendre la physique de l’écoulement grâce à l’analyse
structurelle de l’écoulement induit par l’actionneur. Puis, développer des méthodes de
mesure de la force électrique générée par actionneurs pour permettre la mise en place
de stratégies de contrôle.
Le Chapitre I est une synthèse de données bibliographiques consacrée à l’étude de la
structure de trois écoulements de référence : le jet libre, le panache thermique et le jet
de paroi. L’objectif est de disposer d’une base de connaissances sur les
comportements classiques des écoulements en mécanique de fluides. La présentation
n’est pas exhaustive, mais se limite aux seules données utiles à la démarche
comparative proposée dans le chapitre II. Comme dans la littérature, les écoulements
sont le plus souvent classés en fonction de leur nombre de Reynolds, le chapitre
commence par un rappel sur les différentes façons de calculer le Reynolds d’un
écoulement. Les paragraphes suivants présentent la structure des trois écoulements de
référence : le jet libre, le jet de paroi et le panache thermique. La présentation y est
faite classiquement, selon un découpage en trois zones principales : zone potentielle
ou zone de développement, zone de transition et zone autosimilaire. Pour chacune de
ces zones, quatre caractéristiques principales ont été retenues : évolution de la vitesse
axiale, variation de la forme du profil de vitesse, accroissement de la demi-largeur et
comportement de l’intensité turbulente.
La fin du chapitre propose également une introduction à l’électrohydrodynamisme.
Les deux principaux mécanismes de création de charges dans les liquides que sont
l'injection et la dissociation/recombinaison y sont présentés. La fin du chapitre
propose un bilan des données et connaissances bibliographiques disponibles sur les
écoulements électrohydrodynamiques. Quatre modèles proposés par Malraison et
Atten y sont détaillés : écoulement laminaire et turbulent en configuration
axisymétrique et plane. Dans ce document, ces modèles servent de base à l’analyse
proposée dans le chapitre II ainsi que de support à l’une des méthodes développées
dans le chapitre III pour estimer la force électrique produite.
Dans le chapitre II, on s’intéresse à la structure d’écoulements EHD produits par un
dispositif lame/plan. Toute la démarche s’appuie sur l’analyse de champs de vitesse
obtenus par la méthode de vélocimétrie par image de particule PIV. Bien que cette
méthode soit aujourd’hui bien maîtrisée et largement utilisée en mécanique des
fluides sa mise en pratique dans un écoulement chargé reste délicate. La première
partie du chapitre expose de façon détaillée l’ensemble des vérifications, réglages et
protocole de mesure que nous avons réalisé pour garantir la qualité des mesures. Ainsi,
le choix : des particules et de leur concentration, de l’intervalle de temps ∆t entre
deux images sont discutés. Après une rapide présentation de la méthode d’analyse
statistique choisie, le nombre d’images minimums nécessaires à l’analyse statistique
des résultats est aussi testé. L’ensemble des résultats obtenus dans ce document est
donné sous la forme de valeurs moyennes et d’incertitudes. La deuxième partie est
une présentation détaillée de la méthodologie utilisée pour l’analyse de nos
écoulements. Elle s’appuie sur une configuration représentative. Avec dans l’ordre des
7
Plan du mémoire
actions réalisées : l’acquisition des champs de vitesse, observation du comportement
global en champ moyen puis extractions de quatre caractères principaux : évolution de
la vitesse axiale, variation de la forme des profils de vitesses, l’évolution de la
demi-largeur et l’évolution de l’intensité turbulente axiale. Les résultats sont ensuite
comparés avec ces mêmes données relevées sur les trois écoulements de référence (et
présentée au chapitre I). La fin du chapitre se reconcentre sur l’ensemble des
écoulements EHD produits par le dispositif lame/plan. L’influence des deux
paramètres : distance et potentiel est discutée. Au vu de ces résultats, une méthode
d’adimensionnement est proposée pour définir une classification des ensembles des
panaches.
Le chapitre III est entièrement consacré à l’étude de la force électrique. Le chapitre
commence par une revue bibliographique des méthodes de mesure de force utilisées
en mécanique des fluides. Celles-ci peuvent être regroupées en deux grandes familles.
Tout d’abord, les méthodes directes qui mesurent la force grâce à des capteurs
typiquement avec une balance. Et les méthodes indirectes qui permettent d’estimer la
force à partir de données autres que des mesures de force. Nous ne présentons ici que
les méthodes qui permettent d’estimer la force à partir du champ de vitesse du liquide :
les méthodes intégrales, et les méthodes différentielles. La deuxième partie du
chapitre se concentre sur la mise en application de deux méthodes intégrales. La
première méthode, appelée la méthode intégrale normale, permet d’estimer la force à
partir du champ vitesse en intégrant l’équation de Navier-Stokes. La deuxième
méthode, appelée la méthode RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes Integral
Method), permet également de calculer la force à partir du champ de vitesse, mais en
utilisant l’équation RANS. Puis, les résultats de ces deux méthodes sont comparés. La
fin du chapitre explore une autre voie : l’intégration de modèles simplifiés. L’objectif
est ici de réduire le temps de calcul nécessaire à l’estimation de la force dans le but de
développer des applications de contrôle. On trouve dans la littérature plusieurs
modèles simplifiés. Ces modèles ont été développés dans le cadre d’études théoriques
avec pour ambition de décrire la physique des phénomènes EHD. Les plus célèbres
d’entre eux ont été développés en relation avec le duo Malraison et Atten de l’équipe
de Grenoble.
Le chapitre IV est consacré à l’analyse de l’écoulement électroconvectif généré par un
actionneur à barrière diélectrique (actionneurà barrière diélectrique. Cet actionneur a
déjà été étudié par Michelle Daaboul au cours de sa thèse en 2006. Il a montré que
dans du gasoil et sous certaines conditions, l’actionneur produit un jet de paroi
turbulent ou se comporte comme un générateur de tourbillon. La première partie du
chapitre rappelle les résultats obtenus par Daaboul en insistant plus particulièrement
sur l’influence de paramètres comme la fréquence et le potentiel du signal de
commande. La suite du chapitre expose les résultats de l’étude que nous avons menée,
sur le comportement de cet actionneur dans l’huile de silicone. L’influence du type de
signal : continu ou alternatif, l’influence du potentiel, de la fréquence, de la forme du
signal (dans le cas alternatif, etc.) y sont présentés. En fin chapitre, les méthodes
utilisées au chapitre III sont reprises pour calculer la force électrique produite dans le
gasoil et l’huile de silicone. L’association de la méthode intégrale et d’une analyse de
phase permet une première mesure instationnaire de la force.
8
Chapitre I. Introduction
Chapitre I. Introduction
Ce chapitre propose une analyse mécanique et électrique du comportement des jets
EHD à partir de champs de vitesses expérimentaux obtenus par vélocimétrie laser
d’images de particules. La description proposée s’appuie sur une mise en perspective
des écoulements EHD avec deux écoulements classiques : les jets et les panaches
thermiques.
Après, une introduction consacrée : aux comportements des jets classiques, aux
panaches thermiques ainsi qu’aux principes de bases de l’EHD ; l’essentiel du
chapitre porte sur l’analyse et comparaison du comportement ces jets.
1.1. Présentation du jet classique
Cette première partie est consacrée à une rapide présentation des connaissances
acquises depuis de nombreuses années sur la physique des jets classiques. Le
qualificatif classique fait ici référence à des jets produits à l’aide de moyen mécanique
du type buse et pompe. Il n’est pas possible ici d’énumérer l’ensemble des
connaissances accumulées mais seulement de présenter celles qui feront écho au
travail réalisé dans cette thèse sur les jets EHD.
Les jets sont créés en injectant du fluide dans un milieu infini au repos constitué du
même fluide. On parle alors de jets monophasiques. En pratique, le fluide est injecté
dans un réservoir via une buse cylindrique ou une fente. Le jet est dit « libre » dans le
cas où les parois du réceptacle ne perturbent pas le jet. Lorsque les parois latérales
influencent le comportement du jet celui-ci est dit confiné, enfin si le jet rebondit sur
une des parois, il est qualifié de jet impactant.
1.1.1. Définition du Nombre de Reynolds du jet
Comme la plus part des écoulements, les jets sont classés en fonction de leur nombre
de Reynolds. Ce nombre sans dimension représente le rapport entre les forces
d’inertie et les forces visqueuses.
En générale, on le définit de la façon suivante :
=
(1.1)
Le choix de la vitesse caractéristique et de la viscosité cinématique ne fait pas débat.
En pratique, la vitesse du jet est utilisée comme vitesse caractéristique et
est la
viscosité cinématique du fluide étudiée. Par contre, il y a de multiples possibilités
pour le choix la longueur de référence. Trois méthodes sont couramment utilisées
dans les études de jet.
Dans certaines études, c’est le diamètre de la buse
ou la hauteur de fente
qui
sert de longueur de référence. Dans ce cas nous utilisons la notation
=
pour un jet plan et
=
. Dans d’autres, c’est l’épaisseur de vorticité qui
donne la longueur caractéristique. L’épaisseur de vorticité ou épaisseur de la couche
9
Chapitre I. Introduction
de mélange se développe au fur et à mesure que le jet s’éloigne de la buse. Elle varie
en fonction de la distance et du temps. Elle est définie de la manière suivante :
=
̅
∆̅
(1.2)
Où ∆ ̅ est la différence de vitesse entre le jet et le milieu ambiant. L’épaisseur de
est une mesure de la hauteur sur laquelle le profil de vitesse moyenne sur
vorticité
une section local présente une forme de gradient. (voir figure 1.1).
Figure 1.1 : Développement de la couche de mélange entre le jet et le milieu ambiant
(photo de Brown & Roshko (1974), et profil de vitesse associé [1].
Cette méthode est privilégiée dans le cas d’études portant sur le développement de la
couche de mélange au voisinage immédiat de la sortie de buse.
�
=
(1.3)
Dans le troisième groupe enfin, lorsque l’étude se situe loin de la buse, c’est le rayon
ou la demi-largeur du jet
qui donne l’unité de longueur. Le terme de rayon ou de
demi-largeur du jet est défini dans la nomenclature de ce document.
=
(1.4)
Quel que soit le système étudié, il existe en général un nombre de Reynolds critique
au voisinage duquel l’écoulement passe de laminaire à turbulent.
Lorsque le Reynolds de l’écoulement est inférieur au Reynolds critique on observe
que, dans l’équation de Navier-Stokes, le terme visqueux est bien plus important que
le terme convectif non-linéaire. Ce dernier peut alors être négligé et l’équation de
Navier-Stokes prend alors une forme linéaire dont la solution est stable. Dans ce cas,
l’écoulement est dit laminaire.
À l’opposé, si le Reynolds de l’écoulement est très supérieur au Reynolds critique ;
10
Chapitre I. Introduction
c’est le terme convectif qui domine. L’équation de Navier-Stokes est alors fortement
non linéaire et l’écoulement est dit turbulent.
Dans le cas d’un fluide circulant dans un tube cylindrique, par exemple, l'écoulement
passe d’un régime laminaire à un régime turbulent lorsque le nombre de Reynolds
atteint une valeur critique (
> � =2300).
1.1.2. Jet libre
1.1.2.1. Structure du jet libre
Selon la définition donnée précédemment, un jet libre est un jet qui n’interagit avec
aucune paroi. Un jet libre est dit turbulent lorsque son Reynolds calculé à partie de la
taille de la buse
est supérieur à 20. Ceci peut paraître paradoxal puisque
l’écoulement qui produit le jet en jaillissant d’une buse n’est lui turbulent que lorsque
son Reynolds est supérieur à 2300. Cet écart s’explique par la nature même du jet. À
la différence des parois internes de la buse, le fluide ambiant peut se mettre en
mouvement très facilement. Le fort cisaillement qui existe sur les bords des jets entre
le fluide sortant de la buse et le fluide ambiant initialement au repos induit le
développement d’instabilités de Kelvin-Helmholtz qui créent dès la sortie du jet des
tourbillons et provoquent la transition turbulente du jet.
La figure 1.2 présente un exemple d’écoulement de type jet libre turbulent. Sur cette
image instantanée, on observe l’apparition de structures cohérentes dès la sortie de la
buse sur toute la périphérie du jet. Dans le cas des jets ronds, comme sur l’exemple
présenté figure 1.2, elles prennent la forme d'anneaux tourbillonnaires. Au fur et à
mesure qu’elles s’éloignent de la buse, ces structures s'apparient et deviennent plus en
plus grosses, puis se cassent en générant une turbulence fine. La turbulence est alors
pleinement développée et on note l'apparition de nouvelles structures.
Figure 1.2 : Schéma d’un jet rond turbulent à fort nombre de Reynolds.
Un jet se définit à l’aide de plusieurs paramètres (voir figure 1.3) de façon habituelle,
on décompose les jets en trois zones :
11
Chapitre I. Introduction
Figure 1.3 : Structure d’un jet libre [2].
La zone potentielle : Cette première zone est située au voisinage immédiat de la buse.
Elle est caractérisée par : le développement d’une couche de cisaillement à la frontière
entre le jet et le milieu ambiant, mais également par une zone située au centre du jet,
appelée cône de potentiel. Le cône de potentiel se définit comme la zone dans laquelle
l’écoulement conserve des propriétés identiques à celle observées à l’intérieur de la
buse. En pratique, on définit cette zone comme étant le lieu où la vitesse sur l’axe est
égale à 95%-99% de la vitesse en sortie de buse ̅ ,0 .
La zone de transition : Elle s’étend de la fin de la zone potentielle à plusieurs fois le
diamètre de la buse pour les jets cylindriques ou plusieurs fois la largeur de la fente
pour les jets plans. Cette zone est également caractérisée par la fusion des couches de
mélange et donc la disparition complète du cône potentiel. On observe
l’épaississement du jet ainsi que la décroissance de la vitesse axiale dès le début de
cette zone. Le jet devient turbulent et la couche de mélange occupe tout le jet, mais la
turbulence n’est pas encore pleinement développée.
La zone pleinement développée ou zone d’écoulement établi : Dans cette zone, la
turbulence est pleinement développée. Elle est caractérisée par une intensité
turbulente constante. Cette zone possède également un caractère autosimilaire, qui
implique que les profils de vitesse moyenne dans la direction transversale ont une
allure identique, autosimilaire, indépendante de leur position. Les profils de vitesse
transversaux convenablement adimensionnés suivent alors une distribution gaussienne.
On constate également que, le jet s’élargit de manière linéaire, et la décroissance de
vitesse axiale suit une loi inversement proportionnelle à la distance [3]. Enfin, il
semble que certaines caractéristiques comme le taux d’expansion ou le taux de
décroissance de la vitesse sur l’axe du jet se révèlent dépendantes du nombre de
Reynolds.
1.1.2.2. Propriétés caractéristiques du jet libre
Il faut noter que même si les jets classiques sont étudiés depuis longtemps, ils ont
également beaucoup d’applications industrielles et sont sans cesse le sujet de nouvelles
observations. Au fur à mesure du développement de nouvelles technologies ou
méthodes d’analyses, les jets continuent d'être l'objet de nombreuses recherches
fondamentales en mécanique des fluides. Dans les années 80, l’utilisation de mesures
par vélocimétrie laser type LDV ou PIV ont permis, par exemple, de montrer que les
mesures de vitesse antérieures, réalisées avec des fils chauds, pouvaient être biaisées.
Aujourd’hui, on trouve dans la littérature un grand nombre de publications sur le
12
Chapitre I. Introduction
comportement des jets en fonction des conditions de sortie. Ces études montrent qu’en
modifiant par exemple la géométrie de la buse des comportements d’une grande
variabilité peuvent être observés.
Nous présentons ci-dessous un ensemble de courbes caractéristiques issues d’études
différentes menées dans des années 2000. Nous nous référons plus particulièrement
aux résultats de Deo qui a fait des études de jets plans sur l’influence de
variant
de 1500 à 16500 [4] et sur l’influence de la géométrie de la buse pour
=1,80×104
[5] ainsi qu’à ceux de Quinn [6] qui a mené des études similaire sur les jets ronds à
=1,84×105 et de Papadopoulos avec
de 4800 à 17500 [7].
Nous ne présentons ici que les 4 paramètres utiles dans le cadre de cette étude, mais le
lecteur qui souhaite s’intéresser à l’étude des jets est invité à se reporter sur l’un des
nombreux ouvrages consacrés aux jets et dont les plus célèbres sont sans aucun doute :
Abramovich (1963) [8] , Schlichting (1968) [9], Pope (2000) [10].
1.1.2.2.1. Évolution de la vitesse centrale
L’un des paramètres le plus souvent repris dans les études de jet est l’évolution de la
vitesse au centre du jet ou vitesse axiale. C’est elle qui permet de délimiter les trois
zones : zone potentielle, zone de transition, et zone pleinement développée.
Très logiquement, on observe dans tous les jets que la vitesse axiale diminue lorsque
qu’on s’éloigne de la buse. Au fur et à mesure que le jet s’éloigne de l’orifice, il
entraine avec lui une certaine quantité de fluide environnant. La quantité de
mouvement totale se conserve, mais le flux massique augmente. Le jet s’élargit et la
vitesse axiale diminue.
Il a été remarqué, qu’à une certaine distance de l’orifice la décroissance de la vitesse
axiale ̅ ,� adopte systématiquement le même comportement. Elle décroit de façon
inversement proportionnelle à la distance à l’orifice
pour les jets ronds et
inversement proportionnelle à la racine carrée de
pour les jets bidimensionnels de
type jet plan. Ces phénomènes se retrouvent dans les deux équations suivantes :
Jet plan (figure 1.4 et figure 1.6a)
̅ ,� ̅
,0
=[
−
0
]−
(1.5)
Jet rond (figure 1.5 et figure 1.6b)
̅ ,� ̅
,0
=[
−
0
]−
(1.6)
La figure 1.4a illustre ce comportement typique dans le cas de cinq jets plans. La
courbe représente la variation de l’inverse de la vitesse au carré en fonction de la
distance . On peut observer que les cinq courbes sont horizontales aux faibles
valeurs de
. En effet, dans cette partie proche de la fente, la vitesse axiale des jets
est constante et égale à la vitesse de sortie du jet ̅ ,0 . C’est la zone du cône de
13
Chapitre I. Introduction
potentiel. Il y a ensuite une phase de transition puis, les courbes prennent la forme de
droites. A cet endroit, la vitesse axiale des jets varie de façon inversement
proportionnelle à la racine carrée de la distance. La pente des droites et donc leurs
coefficients
apparaissent comme légèrement différents. En effet, il a été démontré
que la valeur de
dépend de la géométrie de l’orifice.
Dans un jet rond, une fois franchi la zone de transition, la vitesse diminue de façon
inversement proportionnelle à la distance. C’est un point caractéristique des jets ronds.
Seul le coefficient directeur des droites change en fonction de la géométrie de la buse
ce qui semble montrer que le coefficient
est lui aussi dépendant de multiples
paramètres.
a
b
Figure 1.4 : Décroissance de la vitesse moyenne centrale adimensionnée d’un jet
plan de différents ratios (a), géométrie de la buse associée[4] (b).
La figure 1.5a présente la décroissance de la vitesse axiale observée cette fois sur des
jets ronds de différents ratios [4]. Quel que soit le ratio observé, on note le même
comportement que sur les courbes. Une première partie horizontale, une transition,
puis une croissance linéaire. La différence vient du fait que sur ce second graphique ce
n’est plus l’inverse de la vitesse au carré qui est représenté en fonction de
mais
l’inverse de la vitesse.
et
ont été mesurés expérimentalement par plusieurs chercheurs. Différentes
études réalisées dans les années 70 ont estimé que
varie de 0,14 à 0,21. Dans un
article de 1976 Rajaratnam [3] propose une valeur moyenne de 0,16.
a lui été évalué
à 0,15 dans le cas de jets rond d’eau[11-15] et autour de 0,17 dans l’air [16-17].
En 1999 Papadopoulos [7] s’intéresse à l’influence du nombre de Reynolds sur la
décroissance de la vitesse axiale. Deo [4] réalise le même type d’étude sur les jets plan
en 2008. Ils réalisent tous deux des tests pour des Reynolds compris entre 1500 et
17500. Quel que soit le Reynolds étudié ils retrouvent systématiquement les mêmes
lois de variation de vitesse : inversement proportionnelle au carré de la distance pour
les jets plan et inversement proportionnel à la distance pour les jets plans. On peut
noter que Deo n’utilise pas le même mode de représentation. Il illustre le
14
Chapitre I. Introduction
comportement linéaire de la courbe en utilisant une représentation logarithmique de la
fonction.
a
b
Figure 1.5 : Décroissance la vitesse moyenne centrale adimensionnée d’un jet rond
pour les différentes géométries de sortie de buse (a), géométrie de la buse associée [6]
(b).
Les deux auteurs s’intéressent également à l’influence du Reynolds sur le taux
décroissance (figure 1.6). Ils observent ainsi que
et
augmentent avec le
Reynolds. Dans son étude sur les jets plans Deo va plus loin. Selon lui,
varie de
façon importante à bas Reynolds mais semble avoir un comportement asymptotique en
lorsque le Reynolds tend vers 25000 (figure 1.7). La valeur asymptotique n’est,
elle-même, pas constante; elle dépend du rapport d’aspect AR de la fente et situe la
valeur de
autour de 0,18.
a
Figure 1.6 : Influence de (a)
pour un jet plan et (b)
la décroissance de la vitesse axiale.
b
pour un jet rond sur
La variation de la vitesse axiale permet d’avoir une information sur la forme du jet. Le
coefficient de proportionnalité de -1 ou de -0,5 apporte une distinction nette entre jet
rond et jet plan. Les coefficients
et
sont d’une plus grande variabilité.
Cependant, ils fournissent une information complémentaire sur le facteur d’aspect.
15
Chapitre I. Introduction
Figure 1.7 : Évolution de
(
=
).
en fonction de
pour différent ratio d'aspect
1.1.2.2.2. Évolution de la forme des profils de vitesse
C’est une autre caractéristique importante très regardée dans les études de jets. La plus
part des travaux réalisés sur ce sujet montrent que les profils de vitesse adimensionnés
deviennent auto-similaires au-delà d’une certaine distance à l’origine. Cela signifie
qu’à une distance suffisante de l’orifice, tout profil adimensionné en vitesse en
position respectivement par la vitesse sur l’axe ̅ ,� et par la demi-largeur du jet
(
jet plan ou
jet rond), prend systématiquement la forme d’une
Gaussienne d’équation :
̅ ̅ ,� =
− ln
∗
(1.7)
a
b
Figure 1.8 : Superposition de profils adimensionnés pris en différentes sections (a)
d’un jet plan ratio=0,45
=1,8×104 [5] (b) jet rond où est la légende radio ou
diamètre sur la courbe de gauche à nombre de Reynolds 1×105 [10].
La figure 1.8 présente un ensemble de profils de vitesse adimensionnés en différentes
sections d’un jet plan figure 1.8 (a) et d’un jet rond figure 1.8 (b). Dans le cas du jet
plan, les profils deviennent similaires à partir de
=20. Pour le jet rond la figure (b)
montre que les profils se superposent au-delà de
=40. Certains auteurs comme [5]
16
Chapitre I. Introduction
montrent cependant que l’apparition du régime auto-similaire dépendant du rapport
. Plus celui-ci est grand, plus il faut de temps pour atteindre le régime
auto-similaire. Quel que soit, le type de jet (plan ou rond), tous les profils de vitesse
sont gaussiens dans la zone auto-similaire (voir la figure1.8) [17].
1.1.2.2.3. Évolution de la demi-largeur du jet
Comme nous l’avons précisé plus avant, la demi-largeur largeur d'un jet plan
ou
jet rond
est définie comme la distance entre l'axe central du jet et le point où la
vitesse est égale à la moitié de sa valeur sur l'axe du jet ̅ ,� . Les différentes études
indiquent également qu’au-delà d’une certaine distance, la demi-largeur augmente
linéairement avec la distance .
Dans la zone linéaire, la relation est de la forme :
Pour le jet plan
=
−
(1.8)
=
−
(1.9)
Pour le jet rond
Où
est le taux d’expansion du jet et
est une origine virtuelle pour l’expansion
radiale du jet. Il faut noter que les origines virtuelles 0 et
ne sont pas
nécessairement égales [ 18] et dépendent fortement des conditions géométriques
d’entrée (jet issu d’un orifice, d’un tube, d’un convergent).
Deo [4] a étudié les variations de
dans le cas de jets plans pour des Reynolds
allant 1500 à 16500. Il a mesuré que
diminue de 0,14 à 0,09 lorsque le nombre de
Reynolds augmente. La même tendance a été observée sur les jets ronds d’eau par
Rivière [19]. Il observe une diminution de
du 0,09 au 0,075 lorsque le nombre de
Reynolds varie de 2200 à 16000.
L'évolution caractéristique de la demi-largeur d’un jet est représentée sur la figure 1.9.
Les courbes (a) et (b) présente respectivement les évolutions d’un jet rond et d’un jet
plan. Quelle que soit la géométrie du jet : plane ou axisymétrique, les courbes sont
composées d’une partie initiale plus ou moins plate, suivie d’une zone de croissance
linéaire. La figure 1.9 montre également que la valeur
ne dépend pas seulement du
nombre de Reynolds, mais également de la forme de l’orifice.
Dans le cas d’un jet rond, un orifice tranchant favorise le mélange en sortie de buse et
conduit donc à un taux d’expansion plus important ; de la même façon, pour un jet
plan, un petit rapport
induit à un taux d’expansion
plus important.
La variation linéaire de la demi-largeur est une caractéristique intrinsèque de
l’ensemble des jets. Cette évolution est totalement indépendante du type de jet étudié.
17
Chapitre I. Introduction
Le taux d’expansion
ou
est également un paramètre intéressant puisse qu’il
caractérise assez bien le mélange entre le jet et le milieu ambiant. Il est cependant
dépendant à la fois de la géométrie de la buse ainsi que du Reynolds du jet.
a
b
Figure 1.9 : Évolution de la demi-largueur (a) d’un jet plan [5], (b) d’un jet rond [6].
1.1.2.2.4. Intensité turbulente de la vitesse
Prenons la direction . L’intensité turbulente se définit comme le rapport de la
fluctuation de vitesse sur la vitesse moyenne locale ̅ .
Elle donne une information sur le niveau de turbulence de l’écoulement. On pourra
désigner suivant la valeur de le champ turbulent comme faible si ≈1% , moyen
≈10%, et fort lorsque ≈20%.
̅̅̅̅
=√ ′ ̅
(1.10)
Dans le cas des jets, la plupart des auteurs étudient la variation de l’intensité turbulente
sur l’axe du jet ̅ = ̅ ,� . Ils observent que l’intensité turbulente commence par
augmenter, passe parfois par un maximum, puis devient constante dans la zone
pleinement développée. La figure 1.10 présente les résultats obtenus par [5] et [6] dans
leurs études sur des jets respectivement plans et ronds.
L'augmentation rapide de l’intensité turbulente en sortie de buse est une caractéristique
intrinsèque des jets [20]. Elle reflète la croissance d’instabilités dans la couche de
cisaillement dû notamment à la présence de structures à grandes échelles dans cette
zone. Selon Deo [5], le pic d’intensité turbulente est lié à la présence par intermittence,
de grosses structures sur l’axe du jet. L’alternance de ces structures avec des
écoulements basses vitesse en provenance du milieu ambiant créé des fluctuations de
vitesse élevées. L’intensité turbulente atteint sa valeur maximale aux environs de
=10 ou
=8. Cette valeur maximale varie en fonction du type d’orifice. Une buse
acérée est synonyme de mélange plus intense dans cette zone, et donc d’une intensité
turbulente plus forte.
18
Chapitre I. Introduction
Lorsqu’on s’éloigne de cette zone initiale, les grosses structures disparaissent. Elles
sont remplacées par des tourbillons de plus en plus petits qui occupent tous les jets.
Cette répartition plus homogène, multi-échelle, réduit l’intermittence et l’intensité
turbulente devient constante[21].
a
b
Figure 1.10 : Évolution de l’intensité turbulente du jet plan sur l’axe [5] (a). évolution
de l’intensité turbulence du jet rond sur l’axe [6] (b).
1.1.3. Le jet de paroi classique
Le jet de paroi ou « wall jet » est un écoulement qui se développe le long d’une
surface. Il s’obtient principalement de deux façons : soit à l’aide un jet propulsé
tangentiellement le long d’une paroi soit consécutivement à l'impact d’un jet sur une
surface. Ce type de jet a de nombreuses applications pratiques. Dans le domaine
industriel, les applications les plus fréquemment citées sont le refroidissement et le
chauffage, le désembuage et le séchage, et le rinçage des surfaces. Ce jet est
également souvent utilisé dans le contexte de chauffage ou d’annelage des plaques
métalliques ou de verre pendant la fabrication [22]. Dans toutes ces applications, la
structure turbulente du jet de paroi, en particulier des points proches de la surface, est
un paramètre déterminant pour les performances du système.
Ce jet est aussi un sujet fréquent d’études fondamentales. Une attention considérable a
été portée à la fois sur l’étude théorique et l’étude expérimentale des jets de paroi
aussi bien laminaires que turbulents. Beaucoup d’études portent également sur les jets
de paroi se développant sur des surfaces incurvées (voir la figure 1.11). Comme par
exemple, l’étude de Newman (1961) [23] et Wille & Fernholz (1965) [24] qui porte
sur la déviation d'un jet de paroi circulant le long d’une paroi convexe. Les travaux
sur les écoulements autour d’un cylindre de Newman [23], Nakaguchi [25] et Fekete
[26]. On trouve même dans la littérature des études tridimensionnels de jets sortant de
buse de largeur finie et évoluant le long d'une paroi plan (voir la figure 1.12),
Newman et al. (1972)[27], Davis (1980) [28] et Kebede (1982) [29].
En raison de sa complexité, le comportement de ce jet reste difficile à modéliser. Il
n’existe pas comme pour les jets libres de modèle de comportement adimensionnel
universel. Il y a eu beaucoup de tentatives pour trouver des lois d'échelle, c'est-à-dire
trouver des adimensionnements, identifier la présence de zone autosimilaire [30] mais
sans grand succès. Le plus souvent, il est nécessaire d’apporter un grand nombre
d'hypothèses pour prédire certaines propriétés.
19
Chapitre I. Introduction
Figure 1.11 : Schéma d’un jet de paroi MHD s’écoulant le long d’une surface
incurvée.
Figure 1.12 : Schéma d’un jet de paroi tridimensionnelle.
Les jets les plus étudiés restent cependant les jets de paroi plane et les jets de paroi
radiale pour leurs caractéristiques bidimensionnelles 2D et leur symétrique d’axe. Le
jet de paroi plan bidimensionnel est souvent formé par un fluide sortant d’une buse
fente, c’est-à-dire ayant un grand ratio largeur/hauteur.
La buse peut être placée tangentiellement (figure 1.13) ou perpendiculairement à la
paroi (figure 1.14). Dans le premier cas, le jet de paroi se développe dès la sortie de
buse alors que dans le second cas, il se forme seulement après impact sur la surface.
Plusieurs séries d’études sur ce type de dispositif ont été effectuées par Erikssion et
Karlsson [31-36], et également par Bakke (1957), Bradshaw (1959), Hodgson
(1965), Poreh et al. 1967), Witze (1974), Tanaka (1977), and Codazzi et al. (1981)
[37-43].
Un très bon résumé des résultats datant d’avant 1981 se trouve dans Laver et Rodi
[44]. On peut y trouver les principales observations issues de diverses études
expérimentales. Depuis 90s, avec l'amélioration de la méthode par fil chaud et surtout
utilisation de systèmes d’anémométrie laser Doppler (LDV), plusieurs études plus
complètes ont permis d’obtenir davantage de précision en proche paroi notamment en
ce qui concerne les contraintes de cisaillements (Wygnanski et al. [45] Schneider et
Goldstein,[46] Abrahamsson et al. [31] et Eriksson et al. [32] Venas et al.[47])
20
Chapitre I. Introduction
a
b
Figure 1.13 : Schéma d’un jet de paroi bidimensionnel placé tangentiellement à la
paroi(a), photo instantanée d’un jet (b) [48].
Figure 1.14 : Schéma de l'évolution de l'écoulement impactant d'un jet rond sur une
paroi. Des anneaux tourbillonnaires dans le champ proche de l'orifice, des profils de
vitesse de jet libre et de jet de paroi radial dans le champ lointain.
1.1.3.1. Structure du jet de paroi
Une façon classique de définir les différents paramètres du jet consiste à prendre le
cas d’un jet turbulent sortant d’une fente placée sur la paroi et de vitesse initiale ̅ ,0
sur la figure 1.15 sont représentés de façon schématique : la fente de hauteur d
(formée d’une paroi verticale placée perpendiculairement à la paroi à une distance d)
et un profil de vitesse typique d’un jet de paroi.
On peut noter que pour définir la demi-largeur du jet deux paramètres différents sont
sert à la caractérisation de la demi-largeur
nécessaires :
,
,
, .
supérieure et
de la demi largeur inférieure. En effet, il a été démontré que les
,
jets de paroi se décomposent en deux parties aux comportements distincts. Une partie
basse située entre la surface et le point de vitesse maximale
et une partie haute
au-dessus de
. Dans la partie basse appelée, la couche intérieure, le jet se comporte
comme une couche limite turbulente, tandis que la partie haute (couche extérieure) le
jet se comporte comme un écoulement libre. Ces deux parties aux comportements
totalement différents font des jets de paroi des écoulements singuliers et complexes à
étudier[49]. Certains auteurs voient même trois zones et distinguent le comportement
au voisinage du point de vitesse max de ceux des parties intérieure et extérieure.
21
Chapitre I. Introduction
a
b
Figure 1.15 : Représentation schématique du dispositif à fente utilisé pour former un
jet de paroi plan bidimensionnel (a) et profil de vitesse typique d’un jet de paroi [50]
(b).
1.1.3.2. Propriétés caractéristiques du jet de paroi
Comme nous l’avons déjà évoqué, les propriétés des jets de paroi sont moins
universelles que celles des jets libres. Chaque configuration (forme de la paroi, vitesse
du jet, rugosité de la paroi…) modifie le comportement de façon très importante. Les
deux couches du jet multiplient les configurations et rendre la description complexe.
On peut cependant extraire quelques comportements généraux.
1.1.3.2.1.Évolution de la vitesse centrale
Comme dans les jets libres, la vitesse centrale se définit dans chaque profil de vitesse
comme la vitesse maximale du profil.
Figure 1.16 : Représentations logarithmiques des variations de la vitesse maximale
d’un jet de paroi plan sur surface plane en fonction de la distance à la buse [50].
Comme dans les jets libres, on peut remarquer que la vitesse en sortie de buse reste
constante pendant un certain temps avant de commencer à décroitre. On ne parle pas
de cône de potentiel pour les jets de paroi cependant le comportement est similaire.
Toujours comme dans les jets libres, à une certaine distance de la fente, la vitesse
22
Chapitre I. Introduction
adimensionnée adopte une loi de décroissance en
. La valeur de α fait cependant
débat. Certains affirment que α=-0,5 (comme dans les jets libres), d’autre annonce des
valeurs différentes comme sur l’exemple présenté figure 1.16 où l’auteur [50] trouve
une valeur de -0,6.
1.1.3.2.2. Évolution de la forme des profils de vitesse
Contrairement aux jets classiques, il semble difficile de trouver une loi d’échelle dans
les jets de paroi. Plusieurs essais ont été faits pour identifier une zone de similarité,
mais le résultat n’est pas satisfaisant. Difficile de donner également une forme
mathématique universelle aux profils de vitesse. Comme ils sont le résultat de
l’évolution de deux couches aux comportements distincts le nombre de combinaisons
est très important. Cependant, il reste possible de trouver une loi d’échelle pour
chaque couche, mais pas pour les deux (ou les trois) couches à la fois [34] [45]. On
parle alors de similarité incomplète.
Sur la figure 1.17 on peut voir le résultat de l’adimensionnement des profils de vitesse
par la demi-largeur supérieure figure 1.17a. Dans ce cas, les profils de vitesses se
superposent parfaitement, mais uniquement dans la partie haute. Si au contraire on
adimensionne les profils par la demi-largeur inférieure figure 1.17b, alors les profils
sont similaires dans la partie inférieure mais pas dans la partie supérieure.
a
b
Figure 1.17 : Courbes de l’adimensionnement des profils de vitesse par la
demi-largeur supérieure (a) et la demi-largeur inférieure [50] (b).
1.1.3.2.3. Évolution de la demi-largeur
Les variations de la demi-largeur sont un autre bon exemple de la complexité des jets
de paroi. Contrairement aux jets classiques, il existe deux demi-largeurs différentes :
la demi-largeur extérieure
, .
, et la demi-largeur intérieure
Il existe dans la littérature beaucoup plus de données sur
, . En effet, dans la
plupart des expériences, la résolution près de la paroi est insuffisante pour déterminer
correctement la forme du profil en dessous du maximum et donc
même si
,
cette coordonnée existe bien évidemment. (voir Figure 1.17a):
23
Chapitre I. Introduction
Figure 1.18 : Variation de la demi-largeur extérieure adimensionnée d’un jet de paroi
plan en de la distance à l’orifice pour différents nombres de Reynolds [51].
Sur la figure 1.18, on peut voir que la demi-largeur extérieure croît avec la distance
dès la sortie de buse. Comme dans les jets libres, la croissance est linéaire et semble
peu dépendante du nombre de Reynolds. Cependant, on observe que le taux de
croissance de la couche
est bien inférieur à celui des jets libres.
1.1.4. Jet impactant classique
Quelques propriétés des jets libres viennent d’être décrites dans la section précédente,
nous allons maintenant dire quelques mots sur les jets impactant.
Un jet impactant est un jet libre qui frappe une surface. Ils sont donc sensibles aux
mêmes paramètres que les jets libres. Ainsi, la géométrie de la buse, la viscosité sont
des paramètres influents. À ces paramètres, il faut ajouter tous ceux liés à
l’impact comme par exemple : le type de surface libre ou rigide, la rugosité de la
surface, sa courbure, l’angle et la distance entre la buse d’injection et la surface.
La figure 1.19 montre trois exemples de jets ronds impactant : un plan de façon
perpendiculaire, une surface convexe ou encore une surface concave.
a
b
c
Figure 1.19 : Jet impactant (a) sur une plaque, (b) sur une paroi convexe, (c) sur une
paroi concave [52].
Une synthèse bibliographique des principales études réalisées sur les jets impactant a
été faite par Gauntner et al. [53]. Ils y présentent une large gamme de résultats
théoriques et expérimentaux sur l’aérodynamique du jet impactant.
Dans cette introduction, nous ne retiendrons de ce travail de synthèse que les quelques
informations nécessaires à l’analyse des jets impactants EHD que nous présentons
24
Chapitre I. Introduction
dans ce document. Nous nous limitons donc aux jets qui impactent une surface placée
perpendiculairement à leur l’axe de symétrie et à l’influence de la distance buse
/plaque que nous appelons .
Concernant la structure du jet impactant, certains auteurs comme Gauntner et al. [53]
définissent 4 parties. De façon totalement arbitraire, nous préférons ici la description
proposée par Deshpande et Vaishnav [54] distinguent seulement trois zones (figure
1.20c).
Une zone de régime de jet pseudo-libre : Cette zone proche de la buse prend la
forme d’un jet libre classique. L’écoulement n’y est pas significativement influencé
par la surface d’impact. Il peut être subdivisé selon les cas en une zone potentielle,
une zone de transition et une zone pleinement développée si l’impact intervient
suffisamment loin de la buse.
Une région d’impact : C’est la zone dans laquelle la présence de l’obstacle
commence à se faire sentir. Elle correspond à la zone de déflexion. On y observe une
augmentation de la turbulence, une augmentation de la pression et un changement de
direction du fluide. La vitesse axiale du jet diminue rapidement au fur à mesure qu’il
s’approche du point de stagnation et jusqu’à devenir nulle au voisinage de la plaque.
Une région de jets de paroi : Après l’impact, le jet s’éloigne du point d’impact en
longeant la paroi. L’écoulement dévié forme un jet qui se développe le long de la
paroi. Les fluctuations de pression deviennent rapidement indépendantes de la
position de l’obstacle, ce qui est caractéristique du jet impactant développé [55].
Les jets impactant peuvent également être classés en trois types selon que l’impact
intervient dans la zone potentielle, (figure 1.20a), dans la zone transitionnelle
(figure 1.20b) ou encore dans la zone développée (figure 1.20c) du jet.
Les deux premiers types de jet sont principalement utilisés pour les échanges
thermiques. Ces jets sont principalement utilisés dans les applications de
refroidissement de surface. Le jet n’a pas le temps de se développer complètement
avant de heurter la plaque. Kataoka [56] a prouvé que la distance buse/plaque
optimale, c’est-à-dire celle qui permet le plus grand échange thermique entre le jet et
plaque se situe à l’endroit où l’intensité turbulente axiale atteint son maximum. Pour
les jets cylindriques, ce maximum est situé entre
= 8 et
= 10. Ceci explique
pourquoi les jets impactants sont généralement étudiés pour des distances d’impact
inférieures à 10 diamètres.
Les jets impactants développés sont constitués d’un jet libre et d’un jet impactant
(figure 1.20c).
25
Chapitre I. Introduction
a
b
c
Figure 1.20 : Différents jets impactant [54] : impact du noyau potentiel (a), impact du
jet transitionnel (b), Jet développé(c).
1.2. Panache
1.2.1. Définition du panache
Par définition, un panache est un écoulement ascendant produit par une source de
flottabilité. La mise en mouvement du liquide est due à la différence de densité qui
existe entre l’intérieur et l’extérieur du panache.
a
b
c
d
e
Figure 1.21 : Image Schlieren (a) du panache thermique qui se développe au-dessus
d’une flamme de bougie (photo de P. Rona, National Undersea Research Program),
(b) panache thermique autour d’une femme, (c) Panache hydraulique : remonté d’eau
douce en méditerranée, (d) photo de Schlieren d’un jet à masse volumique variable en
sortie d’un sèche-cheveux, (e) fumée émise par les cheminées industrielles sur le ciel
bleu (photo de Paul Falardeau (Flickr)).
26
Chapitre I. Introduction
Les panaches les plus célèbres sont les panaches thermiques. Au contact d’une source
de chaleur, un liquide voit sa densité modifiée. Il s’élève alors et s’élargit
progressivement sous l’effet d’entraînement du liquide. La force motrice est
uniquement la force de flottabilité créée par la différence de densité entre le fluide
chaud du panache et le fluide environnant plus froid. On observe typiquement ce
genre de panache au-dessus de toute source chaude : une flamme de bougie (figure
1.21a), une personne (figure1.21b).
Les résurgences d’eau douce en mer sont un autre exemple de panache. L’eau douce
sort d’une source située au fond de la mer avec une vitesse quasi-nulle. La différence
de densité entre l’eau de mer et l’eau douce permet à l’eau douce de s’élever vers la
surface en formant un panache (figure1.21c)
Certains auteurs ont étendu le nom de panache à tous les écoulements qui subissent de
façon directe ou indirecte l’influence d’une force de flottabilité, même si celle-ci n’est
pas le moteur principal de l’écoulement. Les jets chauds comme ceux qu’on observe
en sortie : d’un sèche-cheveux (figure 1.21d), d’une cheminée (figure1.21e), sont
ainsi parfois abusivement appelés panaches.
La dénomination anglaise est ici beaucoup plus claire puisqu’elle distingue les jets, à
masse volumique variable «forced plume » ou «buoyant jet» des panaches pur appelé
simplement plume. Nous nous limitons dans cette présentation aux panaches purs ou
« plumes » de type panache thermique.
1.2.2. La classification des panaches purs
Comme les jets, les panaches sont caractérisés en fonction de divers paramètres. En
fonction du régime du fluide, par exemple. On parle ainsi de panache laminaire ou de
panache turbulent. La géométrie de la source peut également être utilisée pour réaliser
une classification.
Pour créer un panache, il suffit de déposer une source de chaleur au fond d’un
réservoir contenant un fluide homogène de température constante. La chaleur diffuse
autour de la source et le fluide s’échauffe. La densité du fluide chaud étant plus faible
que celle du fluide environnant, celui-ci s’élève en accélérant progressivement. Le
mouvement initial est uniquement généré par la source de chaleur. L’apparente
simplicité du montage masque la complexité de l’écoulement. Les interactions fortes
qui existent entre inertie et forces de flottabilité conduisent à une transition abrupte
laminaire /turbulent.
1.2.3. Montage expérimental
Les deux formes du panache les plus étudiées sont : le panache plan, généré par une
source de chaleur de type fil chaud (figure 1.22a), et le panache rond, produit le plus
souvent par un disque plat chauffé (figure 1.22b). Dans la littérature, la géométrie
axisymétrique est beaucoup plus étudiée que l’autre forme. Un très bon résumé de
résultats a été publié par List(1982) [57].
27
Chapitre I. Introduction
a
b
Figure 1.22 : Panache thermique de type fil chaud (2D) (a), panache thermique de
type disque plat chauffé(b).
1.2.4. Caractéristique du panache thermique
Comme pour les jets, l’évolution de la vitesse axiale, les profils de vitesse, l’évolution
de la largeur du panache, l’évolution de l’intensité turbulente axiale sont les
paramètres les plus étudiés. Un grand nombre de données sont disponibles pour les
jets axisymétriques. Malheureusement, les études de panaches plans sont beaucoup
plus rares. En raison de manque des données disponibles sur les jets plans, l’évolution
de la vitesse moyenne axiale sera la seule donnée présentée pour cette géométrie.
Dans plupart des études, la source thermique est placée en dessous pour que le
panache thermique puisse monter vers le haut. Ici, pour faciliter les études
comparatives avec les comportements des jets, on considère toujours
comme la
direction principale du panache ; le panache monte suivant .
La figure 1.23 montre l’évolution de la vitesse dans un panache thermique
axisymétrique. Les profils de vitesse ̅ de la composante axiale ont été
adimensionnés par la vitesse axiale ̅ ,� de chaque profil. La hauteur et la direction
radiale sont adimensionnées par le diamètre de la source . On peut également voir
sur cette figure l’évolution du rayon du panache efficace adimensionnel ∗ (définir à
partir du rayon du panache efficace
de l’équation 1.15).
est
Il est intéressant de noter que dans les études de panache le rayon du panache
préféré à l’évolution de la demi-largeur
lorsqu’on fait des études sur des
paramètres caractérisant la dynamique de l’écoulement, comme par exemple, le débit
et quantité de mouvement.
Sur cette représentation, on voit que le rayon du panache commence par diminuer
jusqu’à une altitude
=1,5, puis, à partir de ce point, le panache s’élargit et les
profils deviennent de plus en plus plats jusqu’à prendre la forme d’une gaussienne sur
le haut du panache. Cette tendance est typique du comportement des panaches.
28
Chapitre I. Introduction
Figure 1.23 : Évolution du profil de vitesse radial adimensionné ̅
efficace adimensionnel ∗ [58].
̅ ,� et rayon
1.2.4.1. Structure du panache thermique
Comme pour les jets, les panaches sont souvent décomposés en trois zones.
Contrairement aux jets où seule la variation de la vitesse axiale permettait de définir
les différentes zones, dans le cas des panaches, c’est l’utilisation conjointe de la
vitesse axiale et de la température qui permettent cette délimitation. La figure 1.24
présente la vitesse axiale adimensionnée ̅ ,� ̅ , .
Figure 1.24 : Évolution de vitesse axiale adimensionnelle d’un panache plan en
fonction de la distance adimensionnelle [59].
Zone I : Zone de développement. Cette zone s’étend de la source au point de vitesse
maximale (
=0,06 sur la figure 1.24) C’est la zone où le gradient de la température
entre l’intérieur et l’extérieur du jet est le plus fort. La force de flottabilité est
importante, le fluide accélère et la vitesse augmente.
Zone II : Zone transitoire. Sur la figure 1.24 pour 0,06<
<0,2. A l’entrée de cette
zone, la vitesse axiale atteint sa valeur maximale. Cela signifie qu’en ce point, il y a
équilibre entre les forces de flottabilité et de viscosité. La baisse de vitesse qu’on
observe dès l’entrée de cette zone signifie que la force de viscosité commence à
dominer. La présence de grosses structures apparaissent dans le panache.
Zone III : Zone autosimilaire. Sur la figure 1.24 pour
>0,2. Les profils de
29
Chapitre I. Introduction
température et de vitesse sont auto-similaires. Le gradient de température est trop
faible pour imposer une force de flottaison significative. Les grosses structures
tourbillonnaires encore visibles dans la zone II s’évoluent très brusquement et se
décomposent en structures de plus en plus fines.
Les simulations de panaches thermiques purs ronds comme ceux réalisées par Plourde
[60] ont permis de retrouver ces trois zones.
1.2.4.2. Évolution de la vitesse axiale moyenne
Comme pour les jets, l’évolution de la vitesse axiale est une propriété importante qui
sert à caractériser le panache thermique. On sait qu’à une certaine distance de la buse,
les jets plans suivent une loi de puissance -1 et les jets ronds une loi puissance -0,5.
Ce n’est pas le cas des panaches thermiques.
La figure 1.25a montre l’évolution de la vitesse maximale (axiale) d’un panache rond
en fonction de la distance à la source chaude. À une distance de la source chaude de
=3,5, la vitesse commence à décroître. On entre alors dans une zone qui
correspond à la zone II de la figure 1.24. À partir de la zone III (
4 sur la figure
1.23), la vitesse diminue selon une loi puissance -1/3.
a
b
̅
Figure 1.25 : Évolution de la vitesse axiale adimensionnelle ,� ̅ , d’un panache
rond [58] (a), Évolution de vitesse centrale ̅ ,�
d’un panache plan,
4 3
la distance à la source chaude,
(m /s ) flux de flottabilité,
la largeur de la
source thermique[61] (b).
Pour le panache plan, Kotsovinos (1975) a fait une mesure sur la vitesse verticale
centrale qui montre que cette vitesse ne dépend que de
(figure1.25b).
En effet, l'analyse dimensionnelle prescrit alors que la vitesse moyenne ̅ ,� sur l'axe
d'un panache rond et plan sont données par 1.11 et 1.12 respectivement.
̅ ,� =
̅ ,� =
30
(1.11)
(1.12)
Chapitre I. Introduction
est la distance à la source,
et
sont des coefficients constants pour les
panaches ronds et plans.
désigne le flux de flottabilité (L4T-3).
=
0
(1.13)
est le coefficient dilatation thermique, 0 est la le flux de chaleur,
est la
chaleur spécifique du fluide à pression constante et la constante de pesanteur
normale.
Les coefficients ont été beaucoup étudiés. Pour le panache thermique rond, Rouse et
al. (1952) [62] suggèrent pour
, une valeur de 4,7 . George et al. (1977) [63],
Nakagome (1976) [64] et Beuther (1980) [65] indiquent une gamme de valeurs de qui
va 3,4 à 3,9.
Pour les panaches plans, Rouse et al(1952) [62] proposent un
de 1,8, d’autres
chercheurs proposent une valeur voisine de 2 : 2,05 pour Yokoi(1960) [66], 1,66 pour
Kotsovinos(1975) [67], 1,7 pour Chen (1976) [68], 2,0 pour Zukoski(1980) [69], 2,13
pour Ramaprian(1989) [70] et 2,04 pour Yuan (1996) [71].
Dans la littérature, les valeurs de
et
dépendent des conditions expérimentales
même si on peut penser qu’une valeur voisine de 4 pour
et proche de 2 pour
semblent raisonnables. En revanche, la décroissance de la vitesse en fonction de
apparait comme plus universelle. C’est une fonction de −
pour les panaches rond
et une constante dans les panaches plans.
Si la décroissance est moins rapide dans les panaches thermiques que dans les jets
libres, c’est tout simplement parce que la force de flottabilité apporte de la quantité de
mouvement au panache jusqu’à une distance très éloignée de la source.
1.2.4.3. Variations du profil
Sur la figure 1.26a, on peut voir l’évolution typique du profil de vitesse. La forme des
profils évolue lorsqu’on s’éloigne de la source. D’abord étroit et de faible largeur, la
vitesse centrale augmente rapidement et le profil s’élargit lentement (
0,06)
zone1. Puis le panache atteint le point de vitesse maximale. À partir de ce point, la
vitesse centrale diminue progressivement alors que le profil s’étale zone2, (0,06
0,2) Enfin, zone3, (
0,2), les profils adoptent la forme d’une Gaussienne.
La figure 1.26b permet d'observer clairement une zone (zone3). Sur ce graphique, les
profils sont normalisés par leur valeur maximale. On voit alors qu’au delà de
4,
les profils prennent une forme Gaussienne et se superposent parfaitement. L’équation
s’écrit :
̅ ̅ ,� =
− ∗
(1.14)
Le coefficient
est en accord avec Shabbir et al.[72] .Ils trouvent une valeur de
-0,693 qui est quasiment égale à la valeur –ln2 obtenue pour les jets classiques.
31
Chapitre I. Introduction
a
b
Figure 1.26 : Profils de vitesse ̅ ̅ ,� en fonction de
pour différentes
positions
, ou
est la coordonnée radiale. [59] (a), profils de vitesse
̅ ̅ ,� dans la zone auto-similaire [58] (b).
1.2.4.4.. Évolution de la largeur du panache
Comme nous l’évoquions précédemment, la largeur du panache est souvent
caractérisée par le rayon efficace du panache . Ce rayon est un peu différent de la
demi-largeur utilisée dans les études sur les jets classiques. Il se définit par le rapport
entre le débit de masse et la quantité de mouvement. Il semble que cette formulation
ait été introduite par Thring and Newby(1953)[73].
=
∞
0
∞
0
̅ ̅,
̅ ̅,
(1.15)
D’ou ̅ ̅ , est la vitesse moyenne adimensionnelle dans une position locale du
panache.
est la position radiale. Dans le cas d’un panache rond,
est normalisé
par le diamètre de la source thermique , on aura ∗ =
.
Les variations du rayon ∗ montrent (figure 1.23) qu’il diminue jusqu'à atteindre une
valeur minimale près de
=1,5 puis augmente avec
à partir de ce point. Il
existe donc d’abord, un phénomène de restriction du panache lorsque celui-ci accélère
fortement puis seulement après commence son élargissement. L’évolution de ∗
devient linéaire à partir de
=3,0; ce comportement linéaire est parfaitement en
accord avec les modèles théoriques [74] . Selon les modèles théoriques, le taux de
variation doit alors est égal à 0,18. Dans la littérature, les auteurs [15] [72] [75]
annoncent des valeurs comprises entre 0,14 à 0,18 ce qui semble cohérent.
1.2.4.5. Évolution de l’intensité turbulente axiale
Comme dans les jets libres, l’intensité turbulente renseigne sur le niveau de
turbulence du panache. On peut noter que, à la différence des jets libres, l’intensité
turbulente atteint sa valeur maximale au voisinage de la source thermique (figure
1.27a).
32
Chapitre I. Introduction
La courbe commence par une valeur de 0,6 pour
<1,0 et diminue fortement pour
atteindre une valeur constante d'environ 0,35 en
=3,5 (c’est-à-dire au début de la
zone III ou zone autosimilaire). Le niveau élevé d’intensité turbulente observé près de
la source (zone I) est lié aux fortes perturbations que subit le fluide lors de sa mise en
mouvement.
On peut également noter que dans le cas des jets axisymétriques l’intensité turbulente
axiale obtenue à partir de données
PIV est similaire à la mesure directe en
′
PIV. Figure 1.27 on voit les fluctuations radiales ′ ,� et azimutales �,�
sont du
′
même ordre de grandeur, et les fluctuations dans l’axe du panache
,� sont
′
′
′
légèrement plus importantes ,� ≈ �,� ≈0,8 ,� .
On peut donc en déduire l’intensité turbulente dans la direction du panache
′
̅ ,� . Après calcul, on obtient une valeur de 0,22. Cette valeur est très proche
√̅̅̅̅̅̅
,�
de celle des jets classiques dans cette zone.
a
b
d
Figure 1.27 : Évolution radiale des fluctuations de (a) ′ ,� (b)
Évolution
de
l’intensité
turbulente
sur
l’axe
du
,�
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
′
′
′
̅ ,� [58].
= √̅̅̅̅̅̅
,� + �,� +
,�
c
′
�,�
et (c)
panache
′
,� .
(d)
rond,
Pour conclure, on peut dire que si l’intensité turbulente des panaches est très forte
près de la source, elle prend une valeur constante dès le début de la zone III. Cette
valeur est semblable à celle observée en zone auto-similaire dans les jets libres.
33
Chapitre I. Introduction
1.3. Description générale du phénomène EHD
1.3.1. Introduction
Un jet électrohydrodynamique est un écoulement créé à l’aide d’une force électrique.
On emploie également le terme d’écoulement électroconvectif. Il existe trois forces
électriques : la force de Coulomb, la force diélectrique et la force diélectrophorétique.
En pratique, dans les écoulements monophasiques, la force utilisée est presque
toujours la force de Coulomb. Les ions, accélérés par la force de Coulomb,
transmettent par collision leur énergie cinétique aux molécules neutres du liquide ce
qui produit un écoulement électroconvectif.
Pour obtenir une force de Coulomb significative, il faut, d’une part générer un champ
électrique intense, mais également faire apparaître au sein du liquide une zone chargée
(non-neutre). La littérature consacrée à ce sujet fait apparaître un grand nombre de
géométries d’électrodes permettant de produire une force de Coulomb dans un liquide.
Une façon simple d’organiser cette multitude est de classer ces dispositifs en fonction
du principe physique qu’ils utilisent. Il en existe quatre principaux : l’injection, la
dissociation/recombinaison augmentée par effet de champ, le gradient de conductivité
électrique ou encore l’induction. On notera, que les gradients de conductivité
conséquents ne s’observent que pour des écoulements soumis à un fort gradient de
température. Dans le cas des écoulements isothermes, qui nous intéressent ici, la voie
de l’induction a été longtemps la plus étudiée ; cependant, elle semble aujourd’hui
délaissée au profit de deux méthodes bien plus efficaces : l’injection et la
dissociation/recombinaison.
1.3.2. Mécanismes de création de charges
De façon générale, il existe en permanence, dans tous les liquides, des porteurs de
charges libres. Ils peuvent être nombreux (cas des liquides conducteurs) ou rares (cas
des liquides isolants). Cependant, quel que soit le nombre de ces porteurs de charges,
les liquides sont naturellement neutres ce qui signifie qu’ils contiennent autant de
charges des deux signes. Dans le cas des liquides purs (dans lequel les ions
métalliques dissous ont été éliminés, il existe différents procédés physico-chimiques
qui peuvent être à l’origine de la création de porteurs de charges.
Le premier mécanisme est le principe de dissociation/recombinaison.[76] Dans tous
les liquides, même les plus purs, persistent des impuretés. La propriété chimique très
réactive de certaines de ces impuretés, peut être à l’origine (surtout dans les liquides
électrolytiques) de réactions chimiques donnant lieu à des paires ioniques.[77]
Sous l’effet de rayons ionisants, ou d’une autodissociation du liquide lui-même, des
ions sont en permanence produits de façon uniforme dans tout le volume du liquide.
Certaines molécules neutres se dissocient ainsi naturellement en ions positifs et
négatifs. En l’absence de champ électrique ou lorsque le champ électrique est faible,
cette production est équilibrée par une recombinaison qui maintient constante la
concentration ionique du liquide. (Il existe toujours un déséquilibre ou décalage en les
deux réactions). Le phénomène de dissociation/recombinaison est le phénomène
principal à l’origine de la création de porteur de charges en volume dans les liquides.
34
Chapitre I. Introduction
Enfin, des charges peuvent apparaître dans les zones de contact entre le liquide et les
autres matériaux. Les phénomènes sont complexes et multiples. On parle alors
d’injection de charge, de phénomène de double couche… Les charges sont issues de
réactions électro-physico-chimiques complexes faisant intervenir des échanges entre
les matériaux: injection électronique, effet tunnel, oxydoréduction, adsorption...
L’ensemble de ces phénomènes se retrouvent dans l’étude du comportement des
liquides soumis à l’action d’un champ électrique continu entre deux électrodes planes.
Nikuradse synthétise l’ensemble des comportements électriques observés sous la
forme d’une courbe courant tension théorique très souvent reprise dans la littérature
[76].
Figure 1.28 : Trois régimes de conduction d’un liquide soumis à un champ électrique
continu entre électrodes planes et parallèles [76].
On distingue trois régimes :
Le régime I : Appelé également régime ohmique, il correspond aux champs faibles.
La conductivité y est supposée constante.
Le régime II : Appelé aussi régime de saturation. Il concerne des champs plus
importants. Selon les représentations, il apparait sous la forme d’un plateau comme
dans la courbe si dessus ou sous la forme d’une droite de faible pente. (Bien plus
faible que dans le régime ohmique.
Le régime III ou régime exponentiel : Au-delà d’une certaine limite, le courant croît
de plus en plus vite jusqu’au claquage.
L’étude du champ local, notamment par effet Kerr, a montré qu’aux champs faibles
(régime I) la production d’ions est homogène dans tout le volume. Le nombre d’ions
extraits par le champ est très faible en comparaison du nombre produit par
dissociation. Le liquide se comporte comme un milieu de conductivité constante et
ohmique.
Dans le régime II : La différence de potentielle appliquée entre les électrodes est plus
importante. On observe que le champ n’est plus constant dans tout l’espace inter
électrode. Ce phénomène s’explique par la présence d’hétérocharges au voisinage des
35
Chapitre I. Introduction
électrodes. L’apparition d’hétérocharges est compatible avec la rupture de pente
observée sur la courbe courant tension.
Le troisième régime est plus complexe. La plupart du temps la couche
d’hétérocharges est remplacée par un couche d’homocharges importante sur l’une au
moins des électrodes. L’apparition de cette homocharges est liée à la création sur la
surface de porteurs de charges de même signe que l’électrode. Ce dernier phénomène
est appelé injection.
1.3.2.1. Dissociation recombinaison renforcée par effet de champ [78]
On explique, en générale la dissociation/recombinaison à l’aide d’un modèle binaire
simple. Une molécule neutre AB peut dissocier à deux ions libres + et −
→
←
+
�
−
+
(1.16)
Avec : la constante de vitesse de recombinaison
(m3.s-1) peut être calculée par la
loi de Langevin. Cette loi qui a été établie pour les gaz s’applique également aux
liquides.
=
�+ + �−
(1.17)
avec
la charge électrique élémentaire (en C), �+ et �− sont les mobilités des
charges respectivement positive et négative (en m2∙s-1∙V-1) et enfin la permittivité
du liquide. (en C∙V-1∙m-2).
Soit
(m-3) la densité volumique de molécules non dissociées et ∓ (m-3) la
densité volumique d’ion positif et négatif. Lorsque les réactions de dissociation et de
recombinaison s’équilibrent, il y a autant d’ions qui apparaissent que d’ions qui se
recombinent.
la constante de vitesse de dissociation (s-1) peut être calculée par
l’équation.
=
∓
(1.18)
En l’absence de champ électrique ou lorsque le champ électrique est faible, la réaction
de dissociation recombinaison atteinte un niveau d’équilibre qui maintient en
permanence la présence de + ions positive et − ions négative par unité de volume:
+
=
−
=(
(1.19)
Il faut remarquer que la mobilité est souvent considérée comme une fonction
constante au champ faible. Cependant, il a été démontré que ce n’est pas toujours le
cas. En présence d’un champ fort, la mobilité est une fonction du champ électrique
36
Chapitre I. Introduction
appliqué. De même, dans le modèle figure 1.28, la mobilité des charges positives est
supposée identique à la mobilité des charges négatives. Ce qui n’est pas toujours le
cas non plus. Deux ions de taille différente ont systématiquement une mobilité
distincte. Le modèle présenté ici est un modèle simple qui permet d’appréhender le
phénomène
de
recombinaison
en
général.
Dans
la
pratique
la
dissociation/recombinaison fait intervenir des comportements beaucoup plus
complexes : des couples multiples de molécules et d’ions ayant des mobilités
différentes et taux de dissociation en fonction du champ électrique.
Comme nous venons de le préciser ci-dessus, le mécanisme de dissociation
recombinaison est un processus qui se produit naturellement dans la plupart des
liquides. Il permet d’expliquer, l’existence d’ions libres négatifs et positifs même dans
les liquides les plus purs. Le déplacement des ions créés en volume par le phénomène
de dissociation permet d’expliquer le faible courant observé dans les liquides (même
dé-ionisés) soumis à un champ faible.
Onsager [77], proposa en 1934 une théorie pour apporter une explication à
l’accroissement de conduction observée sur des liquides soumis à un champ électrique
intense. Cette théorie est connue sous le nom de renforcement de la dissociation par
effet de champ. Elle démontre qu’en présence d’un champ électrique intense,
l’alignement des dipôles avec le champ réduit très sensiblement l’énergie nécessaire à
dissociation des molécules. La constante de recombinaison restant elle inchangée, il y
a augmentation du nombre d’ions. Selon cette théorie, la constante de vitesse de
dissociation
croît avec la valeur absolue de , alors que la constante de vitesse
de recombinaison
n’est pas affectée. Le modèle le plus souvent cité considère
[77] :
=
(1.20)
est la constante de dissociation lorsque de champ électrique est nul.
=
+
+
+
+
+
+⋯
(1.21)
dépend de l’électrolyte considéré cependant dans le cas d’électrolytes symétriques
=
D’ou
| |
(1.22)
est la constante de Boltzmann.
1.3.2.2. Injection de charge
Lorsqu’un liquide isolant est placé sous un champ très intense, on observe une
croissance exponentielle du courant (figure 1.28). Les mesures (notamment par effet
Kerr) montrent, dans ce cas, la présence d’une couche d’homocharges sur l’une au
moins des électrodes. Ce phénomène ne peut pas être expliqué par une augmentation
37
Chapitre I. Introduction
de la dissociation par effet de champ. Felici et Tobazeon [76] ont démontré, grâce à
des membranes électrodialytiques que l’accroissement du courant ne peut s’expliquer
que par une création importante de porteur de charges au niveau des électrodes qu’on
appelle communément injection. Attention, il ne s’agit surtout pas ici, d’injection
d’ions métalliques dans le liquide. Le métal des électrodes peut, dans la plupart des
cas, être considéré comme chimiquement inerte. Il ne peut échanger que des électrons
avec ce liquide. Les électrons en se fixant sur les molécules du liquide forment alors
des ions. Les homocharges observées sont dues à l’accumulation de ces ions aux
interfaces.
Même si le phénomène d’injection apparait aujourd’hui comme une évidence, il reste
complexe à expliquer. Comment des électrons peuvent-ils être échangés entre une
électrode et liquide isolant ? L’injection froide d’électron par effet tunnel ou effet de
champ à l’anode ou à la cathode est peu probable. Celle-ci ne peut intervenir que pour
des champs supérieurs à 10MV/cm (valeur bien supérieure à celle nécessaire à
l’apparition du phénomène d’injection).
L’explication la plus probable est la présence d’une double couche au voisinage des
électrodes métalliques. L’adsorption par les électrodes d’ions électrolytiques en
provenance du liquide abaisse la barrière de potentiel qui devient ainsi franchissable
par les électrons. Plusieurs types de réactions, réversibles ou non peuvent alors se
produire :
Tableau 1.1 : types de réactions au voisinage des électrodes métalliques.
Type de réaction principe
exemple
−
−
⇆ +
Oxydo-Réduction Anode
Nitrobenzène
−
cathode + − ⇆ −
Anode
+ −⇆
(réversible)
−
⇆
+ −
Cathode
Oxydo-réduction Le réducteur cède des
injection irréversible de protons dans
(irréversible)
électrons à l’anode
l’eau
+
Anode é
⇆
Anode
→
+ −+
+ −
+
Cathode
+ −→
L’oxydant capte des
Le prélèvement d’électrons au niveau
électrons à la cathode
de l’anode peut être vu comme une
Cathode
+
injection de charges positives (ion
−
⇆ é
H+).
Au champ élevé, la double couche et le champ électrique abaissent la barrière de
potentiel de l’interface liquide/métal et permettent l’injection de porteurs de charges
dans le liquide. Ces charges injectées expliquent l’accroissement exponentiel observé
sur le courant et forment alors au voisinage des électrodes, des couches
d’homocharges (non-neutre) susceptibles d’être mises en mouvement par la force de
Coulomb.
1.3.3. Electronvection dans les liquides
On appelle électroconvection tout mouvement de fluide produit par une force
électrique. En pratique le terme, «d’électroconvection », s’applique surtout aux
liquides puisque dans le cas de gaz on utilise plutôt les termes de vent ionique ou de
vent électrique.
38
Chapitre I. Introduction
La découverte de l’électroconvection n’est pas récente. La mise en mouvement des
liquides par injection d’ions est connue depuis plus d’un siècle. À notre connaissance,
Faraday est le premier à en parler dans son célèbre article de 1838 publié par la Royal
Society de Londres [79]. Il note qu’une pointe plongée dans un liquide (de l’essence
de térébenthine) produit d’intenses tourbillons lorsqu’elle est portée à un haut
potentiel. Le phénomène restera longtemps inexpliqué et il faut attendre les travaux
sur la conduction dans les liquides réalisés par Jaffé (1911) puis par Nikuradse (1934)
pour voir apparaitre les premières avancées significatives dans ce domaine.
L’explication complète des phénomènes de conduction est réalisée par Félici et
l’équipe du laboratoire d’Électrostatique de Grenoble [78], [80-85]. Ils sont les
premiers à proposer une modélisation théorique solide du phénomène.
On sait aujourd’hui que les mouvements électroconvectifs sont induits soit par une
force de Coulomb soit par une force Diélectrique. La mise en mouvement du liquide
peut ainsi être obtenue grâce à l’association d’une charge d’espace et d’un champ
électrique (force de Coulomb) ou par un gradient de permittivité (force diélectrique).
Le travail présenté dans ce document est exclusivement consacré à l’étude de flux
électroconvectifs produit par injection de charge.
Dans le cas où le liquide est soumis à un régime d’injection de charges, une couche
d’homocharges se développe à la surface des électrodes injectrices. En présence d’un
champ intense ces couches sont mises en mouvement par la force de Coulomb. Les
ions de l’homocharge, accélérés par le champ électrique, transmettent ensuite une
partie de leur énergie cinétique aux molécules neutres qui les entourent, soit par chocs
élastiques soit par frottements visqueux. Le mouvement global qui en résulte est
appelé flux électroconvectif, jet EHD ou encore panache électroconvectif [86-87]. Il a
été montré expérimentalement qu’un liquide ainsi électrisé peut atteindre une vitesse
de l’ordre de 1 m/s [88-89]. L'intensité de la force volumique produite dépend
directement de l'intensité du champ électrique. La limite est atteinte lorsque le champ
appliqué est si intense qu’il déclenche la rupture diélectrique ou claquages du liquide
[ 90 ]. Dans ce cas, l’apparition de streamers [ 91 ] (pré-claquage) puis d’arcs
électriques (claquage) engendrent des réactions électrochimiques qui détériorent le
liquide. Les flux électroconvectif ont déjà été étudiés de façon théorique notamment
dans [86] [92-97] et numérique dans [98-105].
Les travaux réalisés sur les écoulements électroconvectifs notamment par Atten,
Malraison, Perez et Mc Cluskey, permettent d’affirmer que, dans les liquides, les flux
électroconvectifs sont issus de la mise en mouvement de la charge d’espace mais
également que leur forme particulière résulte d’un très fort couplage entre forces
électriques et forces mécaniques. En effet, dans les liquides et à la différence de ce qui
est observé dans les gaz, les ions ne suivent pas les lignes de champ. Ils sont entraînés
par l’écoulement qu’ils ont eux même engendrés. Les porteurs de charges peuvent
ainsi être confinés (cas des écoulements laminaires) ou au contraire mélangés avec le
reste du liquide par diffusion turbulente. (La figure 1.30) [106].
1.3.4. Comportement théorique des panaches EHD
Bien qu’il existe assez peu de données expérimentales sur les jets EHD, on trouve
dans la littérature des modèles théoriques qui prédisent en partie le comportement de
ces derniers. Un premier modèle, limité aux panaches bidimensionnels laminaires en
39
Chapitre I. Introduction
champ constant, a été développé en 1992 par Mc Cluskey [97]. Deux années plus tard,
B. Malraison [106] publie un ensemble de modèles plus complets qui prédisent le
comportement des panaches aussi bien axisymétriques, que plans, laminaires que
turbulents, en champ constants et non-constants. Ne disposant que de très peu de
données expérimentales, le raisonnement est construit à partir des connaissances
acquises sur les écoulements électroconvectifs entre deux plaques planes ainsi que sur
l’analogie entre panaches thermiques et panaches EHD.
L’analogie repose sur une mise en mouvement par force volumique : force de
flottaison pour les panaches thermiques et force de Coulomb pour les panaches EHD.
En effet, la force électrique qui s’exerce sur la charge d’espace crée une force
volumique comparable à la poussée d’Archimède qui propulse le panache thermique.
Deux cas sont considérés de façons clairement distinctes : le cas laminaire et le cas
turbulent.
Selon le modèle proposé par Malraison, le panache thermique d’une cigarette illustre
assez bien les similitudes de comportement des deux panaches en régime laminaire.
Lorsqu’une cigarette se consume lentement dans un espace calme, la fumée s’élève du
point de combustion sous la forme d’un fin filet. Ce flux, très mince, contient toute la
fumée et la majeure partie du fluide chaud. Le filet d’air central visible entraine avec
lui par frottement visqueux une zone beaucoup plus importante qui s’élargit au fur et à
mesure qu’on s’éloigne de la cigarette. Ce panache, beaucoup plus large n’est pas
visible à l’œil nu, mais peut être observé facilement avec des techniques de mesures
classiques.
a
b
Figure 1.29 : Panache laminaire (fumée d’une cigarette)(a), Panache turbulent (fumée
d’une torche)(b).
Par analogie, dans un panache EHD laminaire, la quasi-totalité de la charge doit être
confinée dans un fin filet au centre du panache autour duquel se développe
progressivement, par entrainement visqueux, une couche de mélange de plus grande
dimension (voir figure 1.29a).
Pour les panaches turbulents l’analogie fumée ∕ charge électrique fonctionne
également. Dans un panache turbulent, la fumée est dispersée dans la totalité du
panache par diffusion turbulente (figure 1.29b exemple d’une torche). De la même
40
Chapitre I. Introduction
façon, dans les panaches EHD, la charge est disséminée par la turbulence dans
l’ensemble du panache.
1.3.4.1. Longueurs caractéristiques
Pour établir les lois de comportement des deux types de panache EHD, on distingue
dans chaque panache deux zones. Chacune de ces zones est définie une largeur
caractéristique : une zone au centre du panache qui contient l’ensemble de la charge
de largeur de 2 . Dans cette zone, la distribution volumique de charge est considérée
comme homogène sur toute section transversale du panache. Et une zone de mélange
de largeurs 2 appelée également largeur hydrodynamique ou largeur du panache.
a
b
Figure 1.30 : Confinement des charges dans un panache EHD laminaire (a), diffusion
des charges dans un panache turbulent (b).
La figure 1.30 représente de façon schématique ces deux zones dans le cas d’un
panache laminaire (a) et turbulent (b). Dans le cas laminaire, les deux zones distinctes :
au centre une zone de largeur 2 qui contient la quasi-totalité de la charge et la zone
de mélange, plus étendue, de largeur 2 , qui elle est pratiquement neutre. (Voir figure
1.30(a)).
Dans le cas turbulent, il n’y plus de distinctions entre zone chargée et zone neutre. Les
deux zones sont confondues de largeur 2 =2 . La densité volumique de charge est
rapidement homogénéisée par diffusion turbulente.
Les connaissances expérimentales accumulées sur les panaches thermiques et
l’analogie évidente entre les deux types de panaches permettent d’émettre des
hypothèses simplificatrices suffisantes pour résoudre ce problème de façon
analytique.
1.3.4.2. Densité de courant électrique
Ainsi, la densité de courant électrique dans les liquides non-conducteurs s’exprime
comme la somme des trois termes : un terme de mobilité d’ionique, un terme
d’advection et un terme de diffusion. Indépendamment du type d’écoulement, la
densité de courant s’exprime de la façon suivante :
41
Chapitre I. Introduction
�⃗ = � ⃗⃗ + ⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1.23)
Les mesures réalisées dans de l’huile de silicone ont montré que la vitesse des ions est
⃗⃗ .
négligeable devant la vitesse du liquide � ⃗⃗
Le coefficient de diffusion
est très faible par conséquent le terme de diffusion est
négligeable devant le terme de mobilité [107]. La diffusion ne joue un rôle dominant
que dans les zones à fort gradient de charge et faible vitesse, c’est-à-dire au voisinage
de la surface des électrodes.
Les études sur les panaches thermiques montrent que la vitesse du fluide est
principalement parallèle à la direction du panache. Les autres composantes de la
vitesse sont négligeables. En appliquant ces trois hypothèses à l’équation 1.23, on
obtient :
�⃗ = ⃗⃗ → ≈
(1.24)
En intégrant la densité de courant �⃗ sur une section du panache on obtient le courant
électrique qui circule dans le panache.
=
1.3.4.3. Régime laminaire
∫ �⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗ =
�
∫
�
.
(1.25)
On suppose que les profils de vitesse sont de la forme (voir la figure 1.31) :
=
�
−| |
(1.26)
Figure 1.31 : Profil de vitesse, largeur hydraulique du panache et largeur de zone
contenant les charges d’un panache EHD laminaire.
42
Chapitre I. Introduction
Avec cette fonction, on voit bien que
de la vitesse est égale à 0,37 � .
est la demi-largeur du panache ou la position
La charge entièrement contenue dans une zone au centre du panache de largeur 2 .
Comme cette zone est extrêmement fine, on peut supposer que pour une section
donnée, la charge est homogène et la vitesse du liquide est constante et égale à la
vitesse au centre du panache � . On en déduit que le courant qui traverse une
section du panache est égal à :
=
�
∫
≈
�
�
∫
̅
�
=̅
�
≈ ̅∙
̅
∙
�
=
�
�
�
∫
=̅
�
�
�
(1.27)
�
(1.28)
�
(1.29)
En ce qui concerne le bilan de quantité de mouvement du fluide : dans le cas
laminaire, on suppose que la quantité de mouvement reste constante ; la force de
Coulomb compensant la force visqueuse :
⃗⃗ ≈ ⃗⃗
(1.30)
En utilisant l’analogie avec les panaches thermiques, on suppose que les composantes
de la vitesse
et
sont négligeables devant
et que les dérivées de
dans les
directions
et
sont négligeables devant celles en
ainsi:
≈
∫
.
�
∫
�
=
∫
�
�
≈
−
| |
(1.31)
ds
∫
�
=
�
∫
�
(1.32)
−
| |
�
≈
�
(1.33)
43
Chapitre I. Introduction
∫ ̅̅̅̅̅ .
�
≈
∫ ̅ ̅
=
�
̅
≈
�
̅
≈
�
�
∫
�
�
̅
̅ ̅
=̅ ̅
�
(1.34)
(1.35)
(1.36)
est la section δ du panache (voir figure 1.32).
Figure 1.32 : Profil de vitesse et la zone de panache et charge électrique projetée sur
la surface, la zone verte représente la distribution de charge, la zone grise l’étendue du
panache. Cas du panache bidimensionnel (lame-plan) (a), cas du panache à symétrie
de révolution (b).
Pour modéliser l’élargissement du panache, on utilise une nouvelle fois l’analogie
avec les panaches thermiques. Comme dans une couche limite laminaire,
l’élargissement du panache EHD laminaire est contrôlé par la diffusion de vorticité.
→
≈
≈
44
≈
≈
�
(1.37)
(1.38)
Chapitre I. Introduction
�
≈
(1.39)
On peut alors dissocier les panaches plans des panaches axisymétriques.
Tableau 1.2 : Paramètres concernant le modèle panache EHD en régime laminaire.
Paramètres
Plan
Axisymétrique
Section centrale
=
�
� =
=
=
Section δ du panache
̅=
Densité moyenne de charge
Quantité de mouvement
�
Largeur
≈
≈
̅=
�
̅
≈
�
≈
�
�
̅
�
En supposant que la vitesse axiale, la largeur du panache, et le champ électrique
, =
,
varient selon une fonction puissance de z du type � =
̅ = 0
on obtient:
Tableau 1.3 : Termes calculés à partir du modèle de panache EHD en régime
laminaire.
Terme
Plan
Axisymétrique
Densité
− −
moyenne de ̅ = −
−
̅=
charge
0
0
Quantité de
mouvement
�
Largeur
≈
−
≈
α
−
1.3.4.4. Régime turbulent
0
−
−
+
0
+
−
−
�
≈
−
0
≈(
−
−
0
−
En régime turbulent, la charge est dispersée dans tout le panache par diffusion
turbulente. On suppose que la distribution des charges respecte une loi gaussienne
dans toute section du panache :
Le courant total s’obtient par intégration de la densité de courant sur une section
complète de la zone de mélange
=
∫ �⃗ ∙ ⃗ ≈
�
∫
�
≈ ̅̅̅̅
∫
�
= ̅̅̅̅
(1.40)
45
Chapitre I. Introduction
′ ′ ≈ ̅
̅̅̅̅ = ̅ ̅ + ̅̅̅̅̅
̅
≈
̅
(1.41)
̅
(1.42)
̅ est la vitesse moyenne du panache dans une section donnée. Dans le cas turbulent,
on admet également que la variation de quantité de mouvement du panache est due à
la force électrique. La quantité de mouvement d’un petit volume de panache est égale
à:
̇ =
(1.43)
Soit en moyenne sur une tranche de panache de volume
d’épaisseur
.
̅̇ = ̅
(1.44)
Dans le cas turbulent, on admet que la variation de quantité de mouvement du
panache est due à la force électrique.
̅
≈ ̅̅̅̅̅̅̅
Et donc
̅
≈
̅
(1.45)
̅
(1.46)
Au fur et à mesure que le panache s’éloigne de la source, il entraine avec lui le fluide
environnant et son débit s’accroit. L’augmentation du débit massique entre deux
sections de panache distantes de d est uniquement due à l’advection de fluide au
travers des parois latérales. On isole une section du panache.
̅
=
est le périmètre d’une tranche de panache d’épaisseur
(1.47)
et de section
.
En supposant que la turbulence est pleinement développée, on peut appliquer au
panache EHD turbulent l’hypothèse d’entrainement proposée par Morton et al [74].
Dans leur étude sur les panaches thermiques, pour une altitude
donnée, la vitesse
d’entrainement
est proportionnelle à la vitesse moyenne du panache. L’analyse du
comportement des panaches thermiques montre que les fluctuations turbulentes ′ ， ′，
′ sont proportionnelles à la vitesse moyenne ′ ≈ ′ ≈ ′ ≈ ̅.
46
Chapitre I. Introduction
≈ ̅
(1.48)
=
De plus, contrairement aux panaches thermiques, ici
̅
=
≈ ̅
, donc :
(1.49)
a
b
Figure 1.33 : Représentation schématique des panaches turbulents avec leurs profils
de vitesse, (a) cas à symétrie de révolution (pointe-plan), (b) cas bidimensionnel
(lame-plan).
En se plaçant dans une section perpendiculaire au panache. On obtient tableau 1.4 et
1.5 ci-dessous :
Tableau 1.4 : Paramètres du modèle pour panaches EHD en régime turbulent.
Paramètres
Plan
Axisymétrique
Périmètre du panache
=
+ ≈
=
Section
=
=
Densité moyenne de charge
Quantité de mouvement
Debit massique
̅≈
̅
̅
̅
≈
̅
≈ ̅
̅
̅=
̅
̅
̅
=
=
̅
̅
̅
En supposant que la vitesse axiale et la largeur du panache varient selon une fonction
, ̅=
, ̅ = 0
.
puissance en
du type ̅ =
47
Chapitre I. Introduction
Tableau 1.5 : Termes calculés à partir du modèle de panache EHD en régime
turbulent.
Themes
Plan
Axisymétrique
Densité
− −
− −
+
+
moyenne
̅=
+ ( +
̅=
√
de charge
0
0
Quantité de
mouvement
Largeur
α
̅ ≈
+
+
=
(
+
0
̅ ≈
+
+
=
−
1
(
0
− +
+
+
1
Il est plus intéressant de souligner le facteur de loi de puissance de chaque terme pour
chaque cas d’étude. Le Tableau 1.6 montre les lois de variations en puissance en
fonction de
pour la vitesse maximum � (en régime laminaire) où la vitesse
moyenne ̅ (en régime turbulent), la largeur du panache pour le cas du champ
constant. Tableau 1.7 présente des mêmes infos pour le cas du champ variant.
Tableau 1.6 : Résultat avec hypothèse de champ constant.
Évolution vitesse
Demi-largeur
central sur l’axe
Laminaire
turbulent
laminaire
turbulent
Lame-plan
Pointe-plan
−
Tableau 1.7 : Résultat avec hypothèse de champ variable ̅ = 0
.
Évolution vitesse
Demi-largeur
central sur l’axe
laminaire
turbulent
laminaire
turbulent
+
−
Lame-plan
Pointe-plan
− +
−
Avec ces tableaux, on voit bien que la vitesse maximale se maintient plus efficace
pour la géométrie lame-plan. Ce qui est en accord avec les résultats de panache
thermique et le jet classique. On voit une augmentation de la vitesse avec
dans le
cas lame plan en régime laminaire et une décroissance de la vitesse avec dans le
cas pointe-plan. En cas de champ électrique non-constant, l’augmentation de la
vitesse avec
est moins rapide et la décroissance de la vitesse est plus rapide que
dans le cas de champ constant.
1.4. Conclusion
Les panaches EHD sont des écoulements complexes dans lesquels forces électriques
et forces mécaniques sont fortement couplées. La physique complexe et la présence
de charges rendent ce type d’écoulement difficile à étudier.
48
Chapitre I. Introduction
Ce chapitre propose une sélection de données bibliographiques dans les domaines du
jet classique et du panache thermique. Cette base de données a pour objectif de servir
de support à l’étude des panaches EHD proposée dans le chapitre II. La ressemblance
entre les écoulements Electroconvectifs et les panaches thermiques ou les jets est par
ailleurs souvent suggérée par plusieurs auteurs sans pour autant avoir jamais été
quantifiée avec précision faute de données précises sur le champ de vitesse.
Pour chacun des deux écoulements présentés dans le chapitre (panache et jet), deux
configurations principales sont détaillées (axisymétrique et plane). La structure de
chacun des écoulements est décrite en trois zones principales. La première zone,
proche de la source, est appelée zone potentielle pour le jet classique et zone de
développement pour le panache thermique. Le comportement des deux écoulements
est très différent dans cette première zone puisque le jet dispose d’une vitesse initiale
en sortie de buse tandis que le panache a lui une vitesse nulle sur son point source. En
revanche, les deux écoulements ont une deuxième et troisième zone qui se
ressemblent. Elles sont appelées respectivement zone de transition et zone
autosimilaire dans les deux cas. Lors d’un impact, une quatrième zone vient s’ajouter
après la zone autosimilaire : la zone d’impact.
Plusieurs paramètres sont très caractéristiques de l’écoulement. Certains d’entre eux
peuvent également être reliés aux phénomènes physiques étudiés. Ainsi une
décroissance en puissance -0,5 de la vitesse axiale est caractéristique d’un jet plan
alors qu’une décroissance en puissance -1 spécifique d’un jet rond tout n’en étant pas
sensible au nombre de Reynolds du jet. Un profil de vitesse Gaussien, typiquement
observé en zone autosimilaire, indique une turbulence homogène. L’intensité
turbulente adimensionnée (qui donne une indication sur le niveau de turbulence) se
stabilise systématiquement autour d’une valeur constante comprise entre 0,2 et 0,3.
Les quatre paramètres caractéristiques et leurs coefficients associés sont dans le
tableau ci-dessous.
Tableau 1.7 : Comparaison des paramètres caractéristiques du jet classique et panache
thermique.
Paramètres
Coefficient
Configuration Jet
Panache Jet de
caractéristiques
critère
classique thermique paroi
l’évolution de la
Pente de
plan
-0,5
0
-0,5/ -0,6
vitesse axiale
décroissance
rond
-1
-0,33
la profil de vitesse Coefficient du plan
0,69
0,69
dans la zone
profil de vitesse
autosimilaire
rond
0,69
0,69
l’évolution de la
Taux de
Plan
0,09-0,14
0,08-0,09
demi-largeur
croissance
rond
0,075-0,09 0,14-0,18
l’intensité
Constant dans plan
0,2-0,3
turbulente axiale.
la zone
autosimilaire
rond
0,2-0,25 ≈0,22
49
Chapitre I. Introduction
Enfin, l’idée de choisir le jet classique et panache thermique comme support de
référence est réfléchi. Comme l’ont déjà fait remarquer plusieurs auteurs, la force de
coulomb qui met en mouvement le panache EHD peut être comparée à la force de
flottaison qui est le moteur principal du panache thermique. L’analogie n’est
cependant pas complète puisque la force de flottaison, souvent faible, perdure jusqu’à
une distance très importante de la source là où la force électrique, très importante
proche de la source, décroit-elle très rapidement. Au-delà de quelques millimètres
l’écoulement EHD ressemble davantage à un jet classique qu’à un panache. De
nombreux caractères peuvent ainsi être rapportés à ceux d’un jet classique. Une
première analyse théorique des écoulements électroconvectifs a été développée par
Malraison et Atten. Leur démarche théorique, basée sur une simplification des
équations : de la conservation du débit de masse, de conservation du débit de la
quantité et de conservation des charges, s’appuie largement sur cette analogie. Les
quatre modèles qu’ils proposent et correspondant à deux régimes (laminaire /turbulent)
et deux géométries (plan et axisymétrique) donnent une description du comportement
des flux EHD. La validité de ces modèles est limitée puisque par hypothèse ceux-ci ne
sont valables que loin de la source. De plus, par manque de données expérimentales,
les modèles n’ont pu être vérifiés. Ces modèles restent cependant les seuls disponibles
et servent de support aux analyses réalisées dans le chapitre II. Leur utilisation comme
support de calcul pour mesurer la force électrique totale produite sera également
discutée dans le chapitre III.
50
Chapitre II. Panaches EHD
Chapitre II. Panaches EHD
2.1. Dispositif expérimental
Le travail présenté ici a pour objectif de compléter les connaissances acquises sur les
jets EHD grâce à une étude expérimentale PIV en champ large. À la différence des
flux électroconvectifs étudiés par Daaboul [88], le jet présenté ici n’est pas confiné.
Les résultats peuvent ainsi être comparés avec les panaches thermiques [108] et des
jets plans classiques [4].
2.1.1. Un mot sur la méthode PIV
La vélocimétrie par image de particules ou PIV est une méthode très utilisée en
mécanique des fluides. Elle est basée sur l’analyse du déplacement de particules très
fines entrainées par le fluide. Un grand nombre de documents consacrés à la PIV et sa
capacité à mesurer les propriétés d’un écoulement turbulent de petite échelle sont
disponibles dans la littérature [109-117].
Le principe est extrêmement simple. La zone de fluide étudiée est éclairée avec un
laser. Les particules qui traversent cette zone s’illuminent en diffusant la lumière du
laser ; leur position est enregistrée grâce à une caméra numérique. L’inter-corrélation
de deux images successives permet de déterminer le déplacement des particules puis
d’en déduire la vitesse du fluide.
Ces mesures n’ont de sens que si la vitesse relative fluide\particules est nulle. De
nombreuses études théoriques et expérimentales ont permis de préciser les règles que
doit respecter le couple liquide/particule pour garantir la qualité des mesures. Ces
règles sont aujourd’hui bien connues et la qualité des mesures PIV reconnues par tous.
Dans le cas des écoulements EHD, c’est-à-dire en présence de champ et de charges
électriques, les mesures sont un peu plus délicates que dans le cas général. Les
particules peuvent par exemple se charger et acquérir une mobilité non-nulle. Elles
peuvent également être mises en mouvement par la force diélectrophorétique.
Les travaux réalisés par Daaboul et al. [118] ont démontré que sous certaines
conditions les mesures PIV peuvent être réalisées dans les écoulements
électroconvectifs. Le respect de règles simples concernant le choix des particules
(diamètre, matériaux) et leur concentration évite une trop forte accumulation de
charge à la surface des particules et garantit la pertinence des mesures. Conformément
à ces recommandations nous avons utilisé des particules de
de diamètre 0,5µm
avec une concentration inférieure à 0,01g/l.
Lors de mesures PIV, l’échauffement du liquide par le laser doit également être limité
pour éviter une élévation locale de température qui modifierait les caractéristiques du
liquide et produirait des mouvements thermo-convectifs.
Pour réaliser les mesures présentées dans ce document, la zone d’étude est éclairée
avec un double plan laser pulsé de 2×120mJ. La puissance laser que nous avons
utilisée peut paraître importante. Elle est nécessaire pour obtenir un bon contraste des
51
Chapitre II. Panaches EHD
particules sur l’image. Pour limiter l’échauffement du liquide pendant les mesures, la
fréquence du laser est limitée à 4�z.
Nous avons pu vérifier grâce à un thermomètre que dans ces conditions la température
du liquide ne change pas pendant les acquisitions. L’analyse PIV montre également
que les mouvements thermo-convectifs locaux, induits par l’échauffement du laser, ne
dépassent pas le millimètre par seconde.
Les images sont acquises avec une résolution spatiale de 2048×2048 pixels. Chaque
couple d'images est recueilli avec un intervalle de temps suffisant pour permettre un
déplacement moyen d’environ 8 pixels pour les particules les plus rapides. Les images
sont analysées avec le logiciel Davis 7.0. Le traitement des images PIV est réalisé en
utilisant la méthode de corrélation croisée standard, avec des fenêtres d'interrogation
de 32×32 pixels avec un recouvrement de 50% des fenêtres d'interrogation. Pour
améliorer le rapport du signal/bruit d'un algorithme multi-passes utilisant le
déplacement de la fenêtre d'interrogation en fonction du vecteur vitesse local a été
utilisé. Le traitement fournit pour chaque couple d’images une matrice de vecteurs de
déplacement (128×128). Suite aux mesures réalisées dans ces conditions, la précision
sur l'amplitude des vitesses instantanées peut être estimée à 1%.
2.1.2. Le choix de la configuration lame/plan
La méthode la plus efficace pour produire un flux électroconvectif par injection de
charge consiste à utiliser une paire d’électrodes asymétriques. L’une des électrodes
doit également avoir un faible rayon de courbure (sur une partie au moins). Sur cette
surface à faible rayon de courbure, le champ électrique prend des valeurs très élevées
au voisinage immédiat de la surface (effet de pointe). Dans les gaz, ces zones sont le
siège de l’effet couronne ; dans les liquides, c’est à cet endroit que se produit en
général une injection.
En favorisant ainsi l’injection sur l’une des électrodes, on obtient une injection
unipolaire de charge qui favorise la mise en mouvement du liquide. Il existe un grand
nombre de configuration qui permettent de produire un flux électro convectif. Les
plus couramment cités dans la littérature sont : lame-plan, fil-plan, pointe-plan, fil
entre deux plans parallèles, etc (figure 2.1).
Le jet EHD impactant étudié ici est obtenu à l’aide d’un dispositif lame/plan. (Schéma
dans figure 2.1a). Les deux électrodes (la lame et le plan) sont placées
perpendiculairement à une distance qui peut varier de 1cm à quelques centimètres. La
lame est portée à un haut potentiel à l’aide d’une source haute tension DC et le plan
est relié à la terre. Dans cette configuration, l’arête de la lame est le lieu d’un champ
électrique extrêmement intense qui déclenche l’injection unipolaire de charges
souhaitée. Le champ électrique accélère ensuite ces homocharges qui à leur tour
transmettent leur énergie cinétique à l’ensemble du liquide par collisions successives
avec les molécules neutres.
Le choix de la configuration lame plan est aussi guidé par la volonté d’obtenir un
écoulement bidimensionnel plus facile à étudier par la méthode PIV. Comme expliqué
plus après, les enregistrements PIV présentés dans ce document sont réalisés à l’aide
d’un plan laser. Avec ce type de dispositif, la corrélation et donc l’étude de
52
Chapitre II. Panaches EHD
l’écoulement ne peut se faire que pour des particules présentent sur les deux photos de
chaque couple d’images. Il est donc nécessaire que la direction principale de
l’écoulement, dans la section de fluide étudié, soit parallèle au plan laser, c’est-à-dire
globalement bidimensionnel.
a
b
c
d
Figure 2.1: Schéma de configurations (a) lame-plan, (b) pointe-plan, (c) fil-plan, (d)
fil entre deux plans parallèles.
Dans une étude de jet plan classique, le liquide est propulsé au travers une fente
étroite. Le jet plan se caractérise par un écoulement 2D [4] [119-121]. De façon
générale, un jet est considéré plan si son le ratio largeur sur longueur est proche de
zéro. Dans la pratique, pour obtenir des jets plans, on utilise des fentes dont le ratio
est proche de zéro (en générale inférieur à 0,1).
Ici, la lame joue le même rôle que la fente. Le jet produit par injection de charges
électriques au niveau de l’arête de la lame a un ratio épaisseur sur largeur voisin de
zéro.
2.1.3. Description du montage expérimental
Le montage expérimental utilisé dans ce travail est représenté de façon schématique
sur la figure 2.2a. Il est constitué d’une cuve de 30×30×30 cm3(3) qui contient 18
litres de liquide diélectrique. Dans cette cuve est placé le dispositif lame/plan. Un plan
laser (4-5), éclaire la zone de mesure grâce à un hublot percé sur la face avant de la
cuve. Une caméra CCD 2048×2048 points (2), placée perpendiculairement au plan
laser, film la scène au travers d’un second hublot placé sur le côté. La caméra est fixée
sur un axe horizontal mobile (1) qui permet de réaliser aux choix : des plans
rapprochés 3cm×3cm (zoom) pour obtenir des détails dans certaines zones choisies
ou au contraire des champs larges 20cm×20cm. La cuve est faite de plastique noire
pour absorber au maximum les réflexions du laser.
53
Chapitre II. Panaches EHD
a
Zoom
b
c
d
1200
U= 1V
H=3cm
1000
E
E (V/m)
800
600
400
200
0
0
5
10
15
H (mm)
20
25
30
e
Figure 2.2 : (a)Montage expérimental : (1)-système de déplacement, (2)-CCD digital
camera LaVision Imager pro X, (3)-cellule expérimentale, (4)-laser Quantel Twins
CFR, (5)-nappe laser, (6)-Châssis pivotant, (b) dimension de la lame, (c) champ
électrique en l’absence de charge , (d) champ électrique proche de l’électrode, (e)
évolution axiale du champ électrique =1V, H=3cm.
54
Chapitre II. Panaches EHD
L’électrode plane est une plaque métallique carrée de 20cm × 20cm et 3mm
d’épaisseur placée horizontalement dans la cuve et connectée à la terre. La lame, de
10 cm de long, est affutée sur le bord faisant face au plan pour créer une arête acérée
(rayon de courbure 5μm figure 2.2b). Ses coins ont été arrondis pour limiter les effets
de bord. Son potentiel est contrôlé grâce à une alimentation haute tension Spellman
SL1200. Le courant qui circule entre ces deux électrodes est mesuré à l’aide d’une
résistance de shunt et d’un oscilloscope. L’ensemble lame/plan est monté sur un
support qui permet de régler la distance lame plan à une distance
comprise entre 0
et 10cm.
Avec la forme de la lame, on peut simuler le champ électrique en l’absence de charge.
La figure 2.2c présente le cas de =1V, =3cm et la figure 2.2d montre le champ
électrique proche de l’extrémité de la lame. On voit bien que le champ est très intense
sur la pointe de la lame et qu’il décroît rapidement. La force est perpendiculaire à la
surface de la lame. Il atteint 1000V/m proche de la lame et 100V/m en =0,5mm,
puis le champ électrique décroit progressivement jusqu’au plan (la figure 2.2e).
Enfin la cuve pivote de 90° autour d’un axe vertical pour permettre les mesures dans
différents plans (6). Grâce ce dispositif, le plan laser peut être placé parallèlement à la
lame ( =constant) voir même dans le plan de la lame ( =0) Figure 2.3a ou
perpendiculairement à la lame (plan =0). Le plan =0 est le plan de symétrie de la
lame Figure 2.3b.
Le liquide est une huile diélectrique dont les propriétés principales sont données à
20°C dans la table 2.1.
Tableau 2.1 : propriétés de l’huile diélectrique à 20o C.
Paramètre
Unité
Masse volumique
kg/m3
Viscosité cinématique
mm²/s
Conductivité électrique
S/m
Permittivité relative
a
Figure 2.3 : (a) Mesure PIV dans le plan de la lame
perpendiculaire à la lame =0.
Valeur
850
4,3.10-6
1,15.10-9
2,2
b
=0, (b) mesure PIV dans le plan
2.2. Étude globale du jet EHD impactant
2.2.1. Qualification du dispositif
55
Chapitre II. Panaches EHD
L’objectif de cette première série de mesures est de vérifier le bon fonctionnement du
système sur l’ensemble de la plage de mesure, c’est-à-dire pour des tensions
comprises entre 0 et -40kV et des distances inter électrodes allant de 1cm à 4cm. Les
premiers résultats montrent que les écoulements électro-convectifs produits avec le
dispositif lame/plan sont largement instationnaires.
a
b
Figure 2.4 : Champ de vecteurs et module de vitesse (m/s) instantanée d’un jet EHD
=-30kV, =3cm, (a) plan =0, (b) plan =0.
Nous avons donc décidé, de façon très classique, d’utiliser, pour cette étude, une
approche statistique. Dans la suite du document, tout champ de vitesse instantané est
décrit comme la somme d’un champ moyen et d’un champ fluctuant.
= ̅ + ′.
Afin de définir le nombre minimal d'images nécessaires à l’évaluation statistique de la
vitesse, cette première étude PIV est construite sur analyse de 1000 couples d’images
soit 1000 vecteurs vitesses en chaque point.
2.2.2. Analyse critique de la qualité mesures
Le logiciel PIV que nous utilisons réalise des inter-corrélations entre images
consécutives. L’algorithme permet d’estimer le déplacement des particules au dixième
de pixel près. De façon générale, pour obtenir une précision de mesure inférieure à
1%, le temps ∆ qui s’écoule entre deux prises d’image doit être réglé de façon à
obtenir un déplacement de quelques pixels. Ce nombre dépend de la densité du champ
de vecteur souhaité. Comme exposé dans la partie précédente, en respectant ce critère,
nous obtenons dans la majorité des cas un comportement gaussienne.
Cependant, l’analyse détaillée des résultats montre que certains histogrammes sont
non conformes. La figure 2.5 présente un exemple d’histogrammes non-conformes
obtenus près de la lame pour une tension de -30kV et une distance =1cm. Ils
correspondent aux 1000 valeurs de
et
relevées en ce point. Ils apparaissent
déformés, non symétriques (rond bleu figure 2.5b). On remarque également la
présence de pics d’échantillons en 0 (ellipsoïdes verts) et la présence de valeurs
aberrantes (rond orange).
56
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
Figure 2.5 : Histogrammes des deux composantes de la vitesse au point
( =0,169mm, =-1,87mm) pour le cas =-30kV, =1cm, ∆ =100μs. (a) , (b) .
Nous avons pu vérifier que les valeurs aberrantes étaient très peu nombreuses et sans
influence sur les résultats. Ce qui n’est pas le cas du pic d’échantillons en 0 qui
indique un nombre important d’images non corrélées. Nous avons souhaité étudier
l’origine de ce problème.
2.2.2.1. Nombre d’images non corrélées
Lorsque le logiciel ne parvient pas à calculer le déplacement des particules sur une
fenêtre de corrélation, il indique une vitesse locale exactement égale à 0. Pour chaque
couple d’images, il peut exister une ou plusieurs régions de l’image qui n’ont pu être
corrélées. En additionnant, l’ensemble des points non corrélés sur chacune des 1000
images, on obtient une cartographie de ces zones.
Dans le cas de notre dispositif lame/plan, si on représente sur une image, la
distribution spatiale des points non corrélés en fonction de leur nombre on s’aperçoit
qu’ils sont majoritairement situés sous l’arête et sur l’axe de symétrie de l’image
(figure 2.6).
Comment expliquer ce phénomène ? Il arrive parfois que par manque de particules
(nous travaillons avec peu de particules) le logiciel ne parvienne pas à établir de
corrélation sur une petite zone de l’image. Si le phénomène est peu fréquent et
aléatoire et il est sans influence sur le résultat. En examinant les images, nous avons
pu vérifier que, sur nos images, le nombre de particules est suffisant ; il n’est que très
rarement inférieur à 4 particules par fenêtre d’interrogation. De plus, le fait que les
points non corrélés soient majoritairement regroupés sous l’arête ne semble pas en
accord avec cette hypothèse.
On peut remarquer sur l’image 2.6a que les points non corrélés se trouvent dans la
zone de forte vitesse. À cause d’une vitesse trop importante, les particules peuvent
parcourir une distance supérieure à la distance maximale autorisée par l’algorithme de
recherche. Dans notre cas, avec des fenêtres d’interrogation de 32 pixels et un
recouvrement de 50%, la distance maximale est de 16 pixels. Selon l’histogramme,
les particules les plus rapides se déplacent à 1m/s. En 100µs, elles parcourent ainsi
une distance maximale de 0,1mm, soit 10 pixels. Ce qui est bien inférieur aux 16
pixels maximum.
57
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
Figure 2.6 : Distribution du nombre de points non-corrélés pour deux intervalles de
temps d’un jet à =-30kV, =1cm, (a) ∆ =100μs, (b) ∆ =40μs et exemples de
champs de vitesse instantanés calculés par le logiciel (c) ∆ =100μs, (d) ∆ =40μs.
Un autre facteur de non-corrélation est la disparition des particules. Les particules
éclairées sur la première image se déplacent et sortent de la nappe laser. Elles ne sont
plus visibles sur la seconde image. Ce phénomène se produit lorsque la direction
principale de l’écoulement n’est pas parallèle au plan laser et en présence
d’écoulement 3 ou fortement turbulent. Pour résoudre ce problème, on peut : soit
augmenter la largeur du plan laser (si l’écoulement n’est pas trop cisaillé), soit
diminuer la distance parcourue par les particules en abaissant le temps entre 2 images
successives. Dans notre cas, les meilleurs résultats sont obtenus en réduisant le temps.
En abaissant le temps 40µs (figure 2.6b) le nombre de points non corrélés sous la
lame passe de plus de 200 localement à moins de 10 pour 1000. De plus après
réduction du temps la distribution des points non corrélés n’apparait plus comme
localisée, mais comme aléatoire.
La figure 2.7 présente l’influence du temps ∆ sur la mesure statistique de la vitesse
en un point situé sous la lame. Si, pour obtenir une grande précision, le temps t est
réglé de façon à obtenir un déplacement de 5 pixels ; les particules les plus rapides
sortent du plan laser, et les distributions de
et
sont non gaussiennes figure 2.7
(a) et (b). Les valeurs moyennes de
et
sont alors sous estimées (tableau
ci-dessous).
58
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
Figure 2.7 : Histogrammes des deux composantes de la vitesse en un point pour deux
intervalles de temps ∆ différents, =-30kV, =1cm. (a) , ∆ =100μs, (b) ,
∆ =100μs , (c) , ∆ =40μs , (d) , ∆ =40μs.
Tableau 2.2 : Valeurs moyennes, et écarts types des vitesses pour les deux intervalles
de temps.
̅
̅
∆ (μ )
(m/s)
100
-0,032
0,063
-0,461
0,166
40
-0,055
0,071
-0,534
0,168
En réduisant fortement ∆ on corrige ce problème. Le déplacement des particules est
plus faible, elles ne sortent plus du plan laser, les histogrammes prennent une forme
gaussienne ce qui permet de calculer correctement les valeurs moyennes et les
fluctuations.
Le même résultat est observable sur tous les points détectés Figure 2.6a. Après
correction du ∆ figure 2.6c, quelques valeurs non corrélées persistes, mais elles sont
distribuées de façon aléatoire sur l’ensemble du domaine étudié et leur nombre en un
point est inférieur à 20 sur 1000 soit 2%.
En conclusion, dans la majorité des études PIV l’intervalle de temps entre deux
images successives ∆ , est réglé de façon à obtenir un déplacement de 5 à 10 pixels.
Cette configuration permet, le plus souvent, d’obtenir une précision d’environ 1% sur
la mesure de la vitesse.
59
Chapitre II. Panaches EHD
Dans le cas des écoulements EHD de type lame/plan étudié ici ce réglage ne doit pas
être employé pour réaliser des mesures de vitesse sous la lame. La violence de
l’injection induit probablement un bouillonnement local, mêlant instabilités et
turbulence qui éjecte rapidement les particules de la nappe laser.
En réduisant t on réduit considérablement le nombre de valeurs non-corrélées ce qui
permet d’obtenir des résultats corrects. Malheureusement, diviser ∆ revient
également à diviser la distance parcourue et donc à perdre en précision.
Le choix d’un ∆ correct reste donc délicat. Il ne doit être ni trop grand (grand
nombre de points non-corrélés) et ni trop petit (perte de de précisions). Dans cette
étude le réglage a été réalisé par essais successifs, pour chaque configuration testée un
∆ optimal a été trouvé. Les mesures proches de la lame restent délicates et
demandent beaucoup de savoir-faire de la part de l’expérimentateur.
2.2.2.2. Convergence de la moyenne
Afin de définir le nombre minimal d’échantillons nécessaire au calcul de la moyenne,
nous avons réalisé une étude sur la convergence de la moyenne. Pour présenter les
résultats de cette étude, deux points locaux ont été choisis dans chacun des deux plans
( =0 et =0). Les points ont été placés dans des zones d’intérêts. Dans le plan =0
(figure 2.8a), les points sont
-1,-12) et
12,-17).
se trouve dans le cœur du
jet, tandis que
se situe dans la zone de recirculation sur la droite du jet. Dans le
plan =0 les points sont
5,-10) et
30,-20).
est au milieu de l’espace
inter-électrode sur l’axe de symétrie de la lame,
placé sur une position semblant
indiquer une injection est plus forte.
a
b
Figure 2.8 : Situation géographique des points dans des deux plans (a) plan
plan =0.
=0, (b)
L’analyse PIV fournit en chaque point un ensemble de 1000 valeurs instantanées.
Pour visualiser la loi statistique, les valeurs sont regroupées par classe et présentées
sous la forme d’histogrammes (figure 2.9 à 2.12).
60
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
Figure 2.9 : Analyse statistique de la vitesse au point
( =-1mm, =-12mm) dans
plan = 0 pour un jet à =-30kV,
=3cm. Représentation des 1000 valeurs
instantanées en fonction du temps (a) , (b) . Représentation sous forme
d’histogramme de ces mêmes 1000 valeurs (c) , (d) , Convergence de la valeur
moyenne (e) , (f) .
61
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
Figure 2.10 : Analyse statistique de la vitesse au point
( =12mm, =-17mm)
dans plan z=0 pour un jet à =-30kV, =3cm. Représentation des 1000 valeurs
instantanées en fonction du temps (a)
, (b) . Représentation sous forme
d’histogramme de ces mêmes 1000 valeurs (c) , (d) . Convergence de la valeur
moyenne (e) , (f) .
62
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
Figure 2.11 : Analyse statistique de la vitesse au point
( =5mm, =-10mm) dans
plan =0 pour un jet à =-30kV,
=3cm. Représentation des 1000 valeurs
instantanées en fonction du temps (a) , (b) . Représentation sous forme
d’histogramme de ces mêmes 1000 valeurs (c) , (d) . Convergence de la valeur
moyenne (e) , (f) .
63
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
Figure 2.12 : Analyse statistique de la vitesse au point
( = mm, =-20mm)
dans plan =0 pour un jet à =-30kV, =3cm. Représentation des 1000 valeurs
instantanées en fonction du temps (a) , (b) . Représentation sous forme
d’histogramme de ces mêmes 1000 valeurs (c) , (d) . Convergence de la valeur
moyenne (e) , (f) .
Les histogrammes de chacune des composantes aux points
(voir
figures ci-dessus) mettent en évidence le comportement gaussien de la vitesse. Nous
avons donc décidé d’interpréter les données selon la loi normale dans l’ensemble de
ce document. Les valeurs moyennes sont systématiquement données avec un niveau
de confiance de 99,7%, soit une incertitude élargie ∆ de :
∆
64
=
√ −
(2.1)
Chapitre II. Panaches EHD
̅ ±
= ̅ ±∆
√ −
où
est l'écart type et =1000 est le nombre d’images.
s’écrit en divisant ∆ par la valeur moyenne.
,
=
∆
̅
(2.2)
= , , . L’erreur relative
(2.3)
Les figures 2.13-2.16 montrent l’évolution de la valeur moyenne (en noir) et de
l’incertitude associée au calcul de la moyenne pour un nombre d’échantillons donné
(bâtons rouges) en chacun des quatre points
et . Les courbes situées sur
la droite (figure 2.13-2.16) montrent la vitesse de convergence de l’incertitude en
fonction du nombre d’échantillons. On peut observer que la valeur moyenne semble
se stabiliser vers 700 échantillons pour tous les points. L’incertitude décroît fort
logiquement avec le nombre d’échantillons suivant une fonction exponentielle.
a
b
c
d
Figure 2.13 : Convergence de la vitesse au point
( =-1mm, =-12mm) pour un
jet à =-30kV, =3cm. (a) variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (b)
convergence de l’incertitude associée ∆ en fonction du nombre de mesures, (c)
variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (d) convergence de l’incertitude sur
∆ .
65
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
Figure 2.14 : Convergence de la vitesse au point
( =12mm, =-17mm) pour un
jet à =-30kV, =3cm, (a) variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (b)
convergence de l’incertitude associée ∆ en fonction du nombre de mesures, (c)
variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (d) convergence de l’incertitude sur
∆ .
Dans le plan =0 (figure 2.13-2.14) on trouve dans le cas étudié et après 1000
mesures : au point
( =30mm, =-20mm) la valeur placée sur l’axe de symétrie du
jet une porte une vitesse moyenne
: ̅ =-3,9±1,42mm/s, = -87,61±1,97 mm/s.
Le très faible ratio de ̅ ̅ (4.3%) montre que le jet est pratiquement vertical. Il
s’écoule en ce point perpendiculairement à la plaque. Et au point
choisit à côté du
jet dans la zone tourbillonnaire à droite: ̅ =1,26±0,72mm/s, = -4,81 ±0,91mm/s
La vitesse est pratiquement nulle.
Dans le plan =0 on obtient en
et . : ̅ =9,08±1,98mm/s, ̅ =-98,48±3,35
mm/s et
: ̅ =11,99±2,26mm/s, ̅ = -147,07±3,26mm/s, pour tous les points, les
incertitudes ∆ et ∆ sont inférieures à 4mm/s après 1000 mesures.
66
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
Figure 2.15 : Convergence de la vitesse au point
( =5mm, =-10mm) pour un jet
à
=-30kV,
=3cm. (a) variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (b)
convergence de l’incertitude associée ∆ en fonction du nombre de mesures, (c)
variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (d) convergence de l’incertitude sur
∆ .
On peut observer que l’incertitude décroit toujours de façon exponentielle. Si on passe
en représentation logarithmique figure 2.17, on s’aperçoit que l’incertitude finit
toujours par décroitre linéairement selon une droite de pente -0,5. Comme par
définition
∆
log ∆
=
= log
√ −
− log
(2.4)
−
(2.5)
Le fait d’atteindre asymptotiquement un comportement linéaire de pente -0,5 permet
donc d’affirmer que
est fixé. Pour les points étudiés, il faut environs 500
échantillons pour que l’incertitude adopte ce comportement linéaire.
Donc 700 champs de vitesse suffisent souvent pour obtenir une bonne estimation de la
vitesse moyenne et de son incertitude. Comme on ne peut pas étendre avec certitude
le comportement mesuré en 4 points à l’ensemble des mesures, dans la suite du
67
Chapitre II. Panaches EHD
document, les valeurs moyennes sont systématiquement calculées à partir de 1000
valeurs et sont données avec un niveau de confiance de 99,7%,
a
b
c
d
Figure 2.16 : Convergence de la vitesse au point
( =30mm, =-20mm) pour un
jet à =-30kV, =3cm. (a) variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (b)
convergence de l’incertitude associée ∆ en fonction du nombre de mesures, (c)
variation de la valeur moyenne ̅ (en noir), (d) convergence de l’incertitude sur
∆ .
a
b
Figure 2.17 : Convergence de l’incertitude adimensionnée des quatre points (a) ∆ ,
(b) ∆ .
68
Chapitre II. Panaches EHD
2.2.2.3. Analyse statistique des champs de vitesse
Cette partie est consacrée à l’analyse statique des jets EHD. Conformément à la
démarche classique, l’étude commence par l’analyse du champ moyen et se poursuit
par la présentation des champs fluctuants.
2.2.2.3.1. Vitesse moyenne
Pour cette analyse, des mesures PIV ont été réalisées suivant deux plans
perpendiculaires : le plan =0 (plan qui contient la lame) et le plan =0, qui passe
par le milieu de la lame.
L’analyse en champ moyen fait apparaître le comportement global de l’écoulement.
L’ensemble se comporte comme un panache qui prend sa source sur l’arête de la lame,
se dirige vers le plan et l’impact perpendiculairement. Au point d’impact, le panache
se sépare en deux jets de paroi symétriques qui s’éloignent en longeant le plan.
La figure 2.18 présente pour exemple les champs de vitesse obtenus pour =-30kV,
=3cm. Les vecteurs vitesses sont présentés en noir sur un arrière-plan coloré
représentant le module de la vitesse.
a
b
c
d
Figure 2.18 : Champ de vecteurs et module de vitesse (m/s) d’un jet EHD =-30kV,
=3cm, (a) module de vitesse ̅ (m/s) dans plan =0, (b) erreur de vitesse ∆ (m/s)
dans plan =0, (c) module de vitesse ̅ (m/s) dans plan =0, (d) erreur de vitesse
∆ (m/s) dans plan =0.
69
Chapitre II. Panaches EHD
Le plan =0 donne un bon aperçu de la forme du panache image 2.18a. Ce plan de
mesure correspond au milieu de la lame. Au voisinage de l’arête (en haut de l’image),
la couleur rouge indique une vitesse très élevée dépassant les 10cm/s. La verticalité
des vecteurs vitesse indique que le panache est propulsé vers le plan. Au centre du
panache, la couleur passe ensuite du rouge au vert lorsque celui-ci s’éloigne de l’arête.
Enfin, au point d’impact, l’orientation des vecteurs vitesse change et devient
horizontale (deux jets horizontaux en vert). On remarque la présence d’une zone bleue
au point d’impact (figure 2.18a). C’est une zone de vitesse nulle typique des jets
impactant. Le fait que cette zone ne soit pas exactement centrée en =0 montre, par
ailleurs, que le montage n’est pas parfait. Le panache est incliné de quelques degrés.
La figure 2.18 (c) présente le champ des vitesses moyennes de l’écoulement dans le
plan =0. On aperçoit sur l’image la lame (dont les angles ont été arrondis pour
limiter l’effet de bord). Ce plan donne accès au comportement du panache dans la
direction Z. La couleur rouge, visible sur la quasi-totalité de l’espace inter-électrode,
permet d’apprécier l’homogénéité du panache. Elle s’étend de =0 à =-20mm ce
qui correspond à la partie « cœur de panache » visible également en rouge sur la
figure 2.18. Les couleurs verte et bleue qui apparaissent 1cm au-dessus du plan
correspondent au changement de vitesse observé dans l’autre plan.
La direction du panache n’est pas homogène. Verticale au milieu de la lame, elle
s’incline de plus en plus lorsqu’on s’approche des bords de l’électrode pour atteindre
45° près des coins. L’arrondi pratiqué sur les coins pour limiter les effets de bord est
visiblement insuffisant pour les supprimer totalement.
Les figures 2.18b et 2.18d présentent l’incertitude des mesures de vitesse sur
l’ensemble de la zone. Sur le plan =0, l’incertitude est globalement inférieure à
2mm/s et un peu plus importante, (jusqu’à 3,5mm/s au voisinage de l’arête et au point
d’impact). On note aussi que l’incertitude est plus faible au centre du jet que sur ses
bords. Ce comportement est typique d’une couche de mélange. Si on excepte les
zones de vitesse quasi-nulle pour lesquelles l’erreur devient forcément importante,
l’erreur relative dans les zones d’intérêt est donc de l’ordre de 3% (voir figure 2.19
ci-dessous)
a
Figure 2.19 : Erreur relative (%) d’un jet EHD
probabilité de 0.997, (a) plan =0, (b) plan =0.
70
b
=-30kV,
=3cm pour une
Chapitre II. Panaches EHD
Le contraste est plus important sur plan =0. Au centre de l’image l’erreur est
d’environ 5% mais elle dépasse les 10% près des coins et dans la zone d’impact. Une
fois encore la vitesse étant quasi-nulle dans la zone d’impact une erreur même de 20%
à cet endroit n’a pas réellement de sens. En revanche, cette valeur importante près des
coins, confirme qu’il persiste à cet endroit un effet de pointe marqué qui tend à rendre
l’écoulement particulièrement instable. Pour obtenir une plus grande précision, il
serait nécessaire d’augmenter le nombre de mesure de façon importante.
2.2.2.3.2. Champs fluctuants
L’étude des fluctuations fournit des informations importantes sur le comportement du
flux étudié ; notamment le niveau des instabilités et de la turbulence. De façon
théorique, les fluctuations sont calculées de la façon suivante :
,
=√
∑=
−̅
=√
∑=
′
(2.6)
La figure 2.20 montre un exemple de convergence de ,
en fonction du nombre
de mesures. Sur le cas présenté, il faut environ 700 images pour que, ,
atteigne
une valeur asymptotique. C’est cette valeur que nous utilisons comme vitesse de
fluctuation.
Figure 2.20 : Convergence de
=-30kV, =3cm.
,
d’un point dans le plan
=0 d’un jet EHD
La même méthode est appliquée en tout point de l’espace. Les figures 2.21 ci-dessous
présentent la répartition spatiale des fluctuations dans les deux plans =0 et =0.
Dans le plan =0 figure 2.21(a) et (b) les fluctuations se développent dans l’ensemble
du jet. Elles sont plus importantes dans la direction
que dans la direction . .
semble à peu près homogène dans l’ensemble du jet ainsi que dans les deux jets de
paroi. ,
est plus important au voisinage de la lame et à l’impact sur le plan.
et .
sont quasiment identiques. Très fortes au niveau
Dans le plan =0, .
des coins de la lame, elles semblent plus homogènes vers le milieu de la lame.
71
Chapitre II. Panaches EHD
Cependant toujours au milieu de la lame on retrouve la même tendance que dans le
plan =0 avec une valeur plus forte près de la lame dans les deux cas.
Comme l’arête de la lame et surtout les coins sont des zones d’injection. Il semble
donc que l’injection provoque de fortes fluctuations.
On peut également observer qu’il existe une zone située dans l’axe de la lame et à une
distance comprise entre 1cm et 2cm de la plaque dans laquelle les 3 composantes sont
pratiquement identiques.
Malraison [106] décrit son modèle de panache EHD turbulent en utilisant l’hypothèse
, . ) ont un rapport identique avec
que les fluctuations de vitesse ( . , .
la vitesse principale du panache ̅ .
a
b
c
d
Figure 2.21 : Fluctutation vitesse dans un jet EHD
=-30kV,
=3cm : (a)
(m/s), (b) , (m/s) dans plan =0, (c) , (m/s), (d) , (m/s) dans plan
,
=0.
2.3. Structure du panache EHD
Dans la littérature (voir bibliographie), la structure des jets, des jets impactants ou des
panaches thermiques est décrite en s’appuyant sur les variations : de la vitesse
moyenne, de l’intensité turbulente sur l’axe central, mais également sur la variation de
72
Chapitre II. Panaches EHD
la demi-largeur, ou la forme des profils de vitesse. La structure des jets EHD peut se
définir de la même façon.
La figure 2.22 présente le relevé de la vitesse moyenne sur l’axe central d’un panache
EHD. La vitesse moyenne a été adimensionnée par la vitesse maximale et la distance
à la lame
par la distance lame-plan .
Sur cette courbe, on distingue assez facilement 3 zones :
1) La première qui s’étend de l’arête de la lame
maximale ̅ ,� ⁄ ̅ ,0=1 souvent
=0,1.
=0 au point de vitesse
2) Une seconde zone, dans laquelle la vitesse décroît lentement 0,1
0,5~0,6.
3) Enfin une dernière zone, caractérisée par une rapide décroissance de la vitesse.
0,5~0,6
1.
Le point de vitesse maximal permet une séparation nette entre première et seconde
zone. La frontière entre deuxième et troisième zone semble plus floue.
Figure 2.22 : Variation de la vitesse moyenne axiale adimensionnée entre l’arête de la
lame
=0 et le point d’impact
=1.
2.3.1. Évolution de la vitesse axiale
Les figures 2.23a et 2.23b montrent l’évolution de la vitesse axiale d’un jet à
=-30kV pour une distance inter-électrode
=3cm. Sur ces deux figures, on
remarque qu’une partie de la zone deux peut-être approximée par une loi puissance
(courbe rouge) d’équation :
̅ ,� ⁄ ̅
,0
=[
−
0
]
(2.7)
Celle-ci est similaire à celle utilisée pour modéliser la décroissance de la vitesse dans
les jets, voir équation (1.5) et les panache thermiques. Il faut noter ici que c’est la
distance inter-électrode
qui est utilisée comme distance de référence tandis que
dans équation (1.5) c’était la hauteur de fente.
73
Chapitre II. Panaches EHD
L’approximation sur le graphe en échelle logarithmique, la figure 2.23b est plus
précise et nous permet de déterminer les différents coefficients dans le cas du jet à
-30kV. Ainsi
=5,0 et =-0,22. Ces valeurs peuvent être comparée au
et à
l’exposant α des jets plan libres ou à ceux des panaches.
a
b
c
d
e
Figure 2.23 : Courbes caractéristiques d’un panache EHD
=-30kV,
=3cm.
Évolution de la vitesse centrale adimensionnée (a) l’échelle normale, (b) l’échelle
logarithmique, (c) profil de vitesse de la section
=0,5, (d) évolution de la
demi-largeur, (e) variations de l’intensité turbulente sur l’axe.
La valeur
=5,0 de notre jet est bien plus grande que celle des jets classiques, (pour
rappel
≈0,16 pour les jets plan
≈2,0 pour les panaches plan) mais c’est
simplement parce la longueur d’adimensionnement utilisée pour le jet EHD est plus
74
Chapitre II. Panaches EHD
grande ( > ). Un point plus intéressant sera de vérifier si la même valeur de 5,0 se
retrouve pour tous les panaches EHD.
L’exposant
est également différent. Dans les jets plans, la vitesse axiale varie selon
une loi puissance -0,5 tandis que dans les panaches thermiques bidimensionnels, elle
reste constante (coefficient de 1). Sur ce panache EHD, nous obtenons une valeur
intermédiaire de -0,22.
2.3.2. Évolution de la forme des profils de vitesse
Dans son étude sur les jets impactants, Daaboul [119] identifie, sur ses panaches, une
zone où tous les profils des vitesses sont gaussiens. Il note que dans cette zone, les
profils de vitesses se superposent, mais la superposition n’est que partielle. Pour le
centre du jet (entre l’axe et la demi-largeur) la superposition est parfaite cependant
au-delà de
, les profils ne se superposent plus. Daaboul attribue ce manque
d’autosimilarité au confinement propre à son dispositif. Il pense également que la
distance entre ses deux électrodes est trop faible pour permettre à la zone
auto-similaire de se développer pleinement.
Dans notre système, les dimensions sont plus larges pour éviter le problème de
confinement et la distance entre la lame et le plan a été augmentée pour permettre à
une éventuelle zone autosimilaire de se développer.
La figure 2.23c montre la forme d’un profil de vitesse adimensionné caractéristique.
Sur l’exemple, le profil est celui de la section
=0,5, c’est-à-dire au milieu de
zone à décroissance lente. Comme cela a déjà été observé pour les jets et les panaches,
le profil à une forme gaussienne. Cependant, probablement à cause de l’effet
d’entrainement, il faut ajouter une constante 0 au modèle utilisé dans équation (1.7)
pour modéliser correctement le profil. C’est un peu comme si le jet EHD était placé
dans un flux externe.
̅ ̅ ,� =
0
+
−
Après le calcul, on obtient : 0 =0,12, =0,88,
aux valeurs trouvées dans la littérature.
∗
(2.8)
=0,78. Si on compare ces résultats
Tableau 2.3 : Équations de profil de vitesse pour jet, panache thermique et
EHD.
̅ ̅ ,� =
B
C
= 0++
0
Jet
0
1
-ln2
Panache thermique
0
1
-ln2
Panache EHD
0,12
0,88
-0,82
panache
(
0,5
0,5
0,5
)
Le profil gaussien est une caractéristique des zones autosimilaires dans les panaches
thermiques et dans les jets. Il semble donc qu’une zone autosimilaire soit également
présente sur ce panache EHD. La présence et l’étendue d’une zone autosimilaire
peuvent être déterminées par la méthode du débit de masse.
75
Chapitre II. Panaches EHD
La méthode a été proposée pour l’étude des jets classiques. Selon Abramovich [122]
la pression à l’intérieure d’un jet libre est invariable et égale à celle de la pression
extérieure lorsqu’on se place suffisamment loin de l’orifice. Par conséquent, aucune
force ne s’exerce sur le jet et le débit de quantité de mouvement du jet se conserve
dans toutes les sections transversales du jet. Dans la zone autosimilaire, le débit de
quantité de mouvement se conserve, soit :
∫
0
=∫
0
= ̇
(2.9)
Où
est la masse de fluide qui traverse un élément d’une section transversale du
jet par unité de temps.
Le débit de quantité de mouvement peut se calculer aisément à partir des profils de
vitesse fournis par la mesure PIV. Dans une section fixée, il s’obtient par intégration
de ̅ sur une section de jet.
La figure 2.24a montre l’évolution de ̅ dans plusieurs sections du jet. Les
courbes ont une forme en cloche classique. La valeur maximale au centre du jet
augmente très rapidement sur les premiers profils puis diminue progressivement. Les
courbes d’abord très étroites s’élargissent avec le jet lorsqu’on s’éloigne de la lame.
Pour intégrer correctement l’ensemble, il faut définir les limites des sections. Compte
tenu de la forme des courbes, l’essentiel du débit de quantité de mouvement est
contenu dans le centre du jet. Nous avons choisi de façon arbitraire de limiter chaque
section à 90% de la vitesse maximale.
a
Figure 2.24 : (a) Profils de
quantité de mouvement.
b
pour différentes sections, (b) variation du débit de
Après intégration (équation 2.9) on obtient le débit de quantité de mouvement
chaque section. La variation de ce débit est présentée sur la figure 2.24b.
̇ de
On note que le débit de quantité de mouvement augmente de façon intense jusqu’à
=0,1 (position du point de vitesse maximale) ; puis entre 0,1
0,35, ̇
croit de plus en plus lentement. De 0,35
0.55, ̇ reste pratiquement
constant. Enfin, le débit de quantité de mouvement décroit très rapidement. En réalité,
76
Chapitre II. Panaches EHD
dans cette dernière partie seul le débit de quantité de mouvement dans la direction du
jet décroit à cause du changement de direction. En conclusion, sur la première partie
de la courbe ̇ augmente sous l’action des forces électriques, se stabilise et diminue
(change de direction).
Puisqu’en zone autosimilaire il y a conservation du débit de quantité de mouvement,
la figure 2.24b montre que la zone autosimilaire se situe entre 0,35
0,55.
Cette zone correspond à celle dans laquelle nous avons observé une décroissance de la
vitesse en puissance =-0,22.
La figure 2.25a montre les profils de vitesse de toutes les sections étudiées. On peut
voir que tous les profils ont la forme d’une gaussienne. Ils se superposent tous pour
<1. Au-delà de
=1, seuls les profils compris entre 0,35
0,55
continuent à se confondre (figure 2.25b). Ces résultats sont en accord avec la position
du plateau de ̇ (figure 2.24b).
a
b
Figure 2.25 : Profils de vitesses adimensionnés ̅ ̅ ,� pour =-30kV, =3cm, (a)
toutes les sections 0,1
0,8, (b) restriction aux sections 0,3
0,5.
Sur le cas présenté ci-dessus, la constance du débit de quantité de mouvement,
l’autosimilarité des profils de vitesse (gaussienne) semble confirmer l’existence d’une
zone de turbulence pleinement développée (zone autosimilaire). Cette zone est
coincée entre une zone d’accélération et une zone d’impact. Cette situation rend
difficile l’existence des zones autosimilaires notamment pour
très court. Pour
laisser le temps à la turbulence de s’homogénéiser, un compromis entre champ
électrique et distance inter-électrode doit être trouvé.
2.3.3. Évolution de la demi-largeur
La figure 2.23d montre l’évolution de la demi-largeur sur l’axe. Cette évolution se
traduit en trois phases.
Une diminution dans la zone1 qui correspond à la zone dans laquelle le liquide
accélère. Ce phénomène ressemble à ce qu’on observe dans les panaches thermiques
(figure 1.23), sauf que la tendance décroissante y est moins intense. Par contre, le
comportement est assez différent des jets classiques pour lesquels la largeur de jet est
constante en sortie de buse.
77
Chapitre II. Panaches EHD
Puis deuxième phase, le jet s’élargit. La demi-largeur adopte un comportement linaire
et augmente au fur à mesure qu’on s’éloigne de la lame. Dans cette partie, la
demi-largeur se comporte selon l’équation :
=
−
(2.10)
Avec dans notre cas
=0,16 pour le cas de =-30kV,
=3cm. Une même
croissance linéaire avec un taux de croissance de la demi-largeur est dans la gamme
de
observée sur les panaches thermiques (0,14-0,18) et dépasse légèrement la
gamme dans les jets libres. (0,075-0,14). Contrairement à la loi de décroissance de la
vitesse, le paramètre adimensionnel n’a pas ici d’influence sur la constante
. Elle
est du même ordre de grandeur que le
d’un jet classique ou d’un panache
thermique. La dernière phase est une forte décroissance liée à l’impact.
2.3.4. Évolution de l’intensité turbulente
En général, pour un écoulement donné, une plus grande valeur de la vitesse RMS
indique une turbulence de niveau plus élevé. Par définition, la vitesse RMS en un
point se définit de la façon suivante :
,
Où
=√ ∑
=
est le nombre d’échantillons de vitesse et
′
−̅
=
′
(2.11)
′
la vitesse de fluctuations.
(2.12)
Dans la figure ci-dessous, les deux enregistrements ont la même vitesse moyenne. Par
contre les fluctuations de vitesse sont beaucoup plus importantes dans la figure 2.26a.
Celle-ci correspond un niveau de turbulence plus élevé.
Cependant, il est fréquent que l’intensité des fluctuations soit liée à la vitesse
moyenne de l’écoulement. C’est la raison pour laquelle, l’intensité turbulente est un
paramètre plus efficace pour comparer le niveau de turbulence d’écoulements de
vitesses moyennes différentes.
L’intensité turbulente
l’équation (2.13).
, également appelée niveau de turbulence est définie suivant
≡
,
̅
(2.13)
Intensité turbulente est une échelle de turbulence qui est exprimée en pourcentage. Un
écoulement parfaitement laminaire sans aucunes fluctuations de vitesse aurait une
78
Chapitre II. Panaches EHD
valeur d'intensité turbulente de 0% (ce cas idéal ne se produit en pratique jamais). À
l’opposé, des valeurs supérieures à 100% sont possibles. Cela peut se produire, par
exemple, si la vitesse moyenne de l’écoulement est très faible tandis que les
fluctuations de la vitesse sont grandes. Une valeur supérieure à 100% est souvent
observée au voisinage de la pointe dans les jets EHD. Au centre du jet, l’intensité
turbulente prend alors la forme particulière suivante :
,�
≡
,�,
̅ ,�
(2.14)
a
b
Figure 2.26 : Comparaison des variations de vitesse instantanée pour deux positions
de même vitesse moyenne ̅ et de vitesse RMS différentes (a) ,
plus grande,
(b) ,
plus petite.
La figure 2.23e présente l’évolution de l’intensité turbulente sur l’axe. D’abord très
élevée, l’intensité turbulente diminue rapidement et se stabilise autour d’une valeur
constante (0,25 sur le cas présenté sur la figure 2.23e) puis remonte avant impact. Ce
comportement est très similaire à celui mesuré sur les panaches thermiques (figure
1.18) et pour lesquels, après une décroissance initiale, l’intensité se stabilise autour de
0,2. Pour les jets classiques, l’ensemble est un peu différent. Dans la plupart des tests,
le fluide est laminaire en sortie de buse. L’intensité turbulente est donc très petite au
début et le reste jusqu’à la sortie du cône de potentiel. À ce moment, elle augmente
(voir figure 1.7), puis se stabilise autour d’une valeur constante qui dépend du nombre
de Reynolds et de la géométrie de buse (0,2-0,3 pour jet plan, 0,2-0,25 pour le jet
axisymétrique.
Le dispositif expérimental que nous utilisons permet de faire varier un grand nombre
de paramètres. Nous présentons dans cette partie les champs PIV enregistrés pour
différentes distances inter électrodes. Pour chaque distance , les mesures sont faites
pour des tensions variant de -5kV à -40kV. Les tests à =1cm ont dû être limités à
une tension maximale de -30kV pour éviter d’atteindre la limite de rigidité
diélectrique du liquide (claquage à -33kV).
2.4. Analyse en champs moyens
Les figures 2.27-2.30 présentent les champs moyens expérimentaux enregistrés par
méthode PIV. Sur ces représentations, la structure des écoulements apparait
79
Chapitre II. Panaches EHD
clairement. Globalement, les panaches gardent toujours la même forme : une origine
sur l’arête de la lame, un jet qui s’élargit plus ou moins rapidement et deux zones de
recirculation de part et d’autre du jet. Dans la zone de champ fort (au voisinage de
l’arête) le liquide subit une violente accélération. Cette accélération est de toute
évidence provoquée par la force de Coulomb. Les charges électriques injectées sont
expulsées en direction du plan. Bien que la force électrique soit orientée selon les
lignes de champ, la mise en mouvement du liquide créé un effet de confinement qui
limite le déplacement des charges et les contraint à se diriger directement vers la
plaque. On constate que la distance lame-plan n’a pas fondamentalement d’influence
sur la morphologie du jet. Quelle que soit , on retrouve toujours les mêmes
structures de jet. En revanche, le potentiel appliqué modifie sensiblement le
comportement.
Sur chaque image, on peut apercevoir dans le coin en haut à gauche une zone au
comportement aberrant. Comme le laser éclaire la scène par la droite, cette partie du
liquide se trouve dans l’ombre de la lame. Les particules y sont mal éclairées ce qui
empêche toute corrélation. Les vecteurs vitesses calculés dans cette zone sont donc
faux et doivent être ignorés.
L’analyse rapide de la forme des jets présentés figure 2.27-figure2.30, fait cependant
apparaître des caractéristiques particulières qui permettent de classer les jets en deux
catégories : les jets libres ou plumes qui ne semblent pas atteindre la plaque et les jets
impactant.
2.4.1. Les panaches
On peut remarquer que les panaches présentés sur les figure 2.27a, figure 2.28a,
figure 2.29a et figure 2.30a, n’atteignent pas le plan. Le flux se referme sur lui-même
sous la forme de deux grosses structures tourbillonnantes sans percuter l’électrode
plane. On constate également que dans ce régime de fonctionnement, le panache
s’élargit très rapidement. Sa forme rappelle celle d’une plume ou d’un plumet d’où
son nom de plume (plus souvent utilisé en anglais qu’en français)
L’élargissement et la perte rapide de vitesse montrent que la force électrique décroît
très rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’arête de la lame. En l’absence de force
électrique, le flux est alors dominé par les forces d’inertie et les forces visqueuses : il
diffuse et tourbillonne. Dans ces conditions, le confinement n’est, sans doute, pas
suffisant pour éviter la dispersion des charges. Comme le panache ne se maintient pas
jusqu’au plan, il est également possible que la conductivité relaxe une partie de la
charge.
Ce type de jet dissipé présente des caractéristiques similaires aux jets classiques à
faible nombre de Reynolds étudiés par Abdel-Rahman [120].
80
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
Figure 2.27 : Champs de vecteurs pour
-20kV, (e) -25kV, (f) -30kV
f
=1cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d)
81
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
g
h
Figure 2.28 : Champs de vecteurs pour =2cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d)
-20kV, (e) -25kV, (f) -30kV, (g) -35kV, (h) -40kV.
82
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
g
h
Figure 2.29 : Champs de vecteurs pour =3cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d)
-20kV, (e) -25kV, (f) -30kV, (g) -35kV, (h) -40kV.
83
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
g
h
Figure 2.30 : Champs de vecteurs pour =4cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d)
-20kV, (e) -25kV, (f) -30kV, (g) -35kV, (h) -40kV.
84
Chapitre II. Panaches EHD
L’analyse des champs de vitesses instantanés montre également que ces panaches sont
intermittents avec des fluctuations de vitesses importantes. Celles-ci peuvent atteindre
20% de la vitesse moyenne alors que pour les autres panaches elles ne dépassent pas
les 10%.
Les panaches sont agités de mouvements violents (voir figure 2.31) séparés par de
longues périodes calmes pendant lesquelles le panache peut même totalement
disparaitre. Comme on peut le voir sur les figures le mouvement est extrêmement
irrégulier. On est très loin du panache thermique type bougie ou cigarette. Il est quasi
certain que dans ce cas l’écoulement n’est pas bidimensionnel. Ces fluctuations
pourraient être dues à un problème d’injection très irrégulière. Le champ électrique à
l’extrémité de la lame est probablement proche de la valeur du seuil d'injection.
a
b
Figure 2.31 : Deux exemples de champ de vitesses PIV instantané d’un panache
EHD, =-5kV, =2cm.
L’apparition de panaches ne semble pas lié à la distance inter électrode. Ils ont été
obtenus à toutes les distances
testées, mais toujours avec un potentiel de -5kV. Il
semble également que les plumes soient plus stables lorsque la distance inter électrode
est faible.
2.4.2. Les jets impactant
La transition plume jet/impactant n’est pas nette. À partir de -10kV les panaches
deviennent plus stables ; on voit apparaitre de part et d’autre du panache deux grosses
structures contrarotatives qui stabilisent le jet. Le panache a toujours un élargissement
rapide, mais sa vitesse augmente et il atteint la plaque. Cependant, on ne détecte pas
encore vraiment la présence de jets de paroi caractéristiques des jets impactant. Il
existe donc une transition progressive pour passer de la plume au régime avec jets de
paroi. Dans notre cas, cette transition se situe entre -5kV et -15kV.
Entre -15kV et -40kV le jet impacte suffisamment sur la paroi pour donner naissance
à deux jets de paroi qui s’écartent en longeant la plaque. À cause de l’effet
d’entrainement, une quantité de plus en plus grande de liquide se met en mouvement
lorsque la tension augmente. De part et d’autre du jet les structures tourbillonnaires se
développent et se déforment. Le jet bat beaucoup moins que dans le régime précédent,
85
Chapitre II. Panaches EHD
(figure 2.27b, 2.28b, 2.29b et 2.30b et 2.30c). On note également que pour un
potentiel donné, plus la distance
est faible, plus la vitesse du jet est importante et
plus le jet semble s’affiner. Les mêmes phénomènes sont observés pour une distance
constante lorsque la tension augmente. Ces observations laissent penser, comme
l’affirme certains auteurs que la dynamique du panache est pilotée par la valeur du
champ moyen.
2.5. Étude paramétrique de la structure du panache
Une observation rapide de l’aspect global des panaches montre des similitudes entre
panaches mais également entre panaches EHD, panaches thermiques et jets. Ce
chapitre est consacré à l’étude de l’influence de paramètres comme la distance
inter-électrode ou la tension : la variation de la vitesse moyenne, l’intensité
turbulente sur l’axe central ; mais également sur la variation de la demi-largeur, ou la
forme des profils de vitesse. L’objectif est de fournir un ensemble de données
caractéristiques des jets EHD et ainsi parvenir à un classement plus quantitatif que
l’observation globale proposée ci-dessus.
2.5.1. Caractérisation des panaches
2.5.1.1. Comportement de la vitesse axiale du jet
La figure 2.32 montre l'évolution de la vitesse au centre du panache (le long de l'axe
des y) en fonction de la distance à la lame. Sur un même graphe sont superposées les
courbes correspondant aux mesures réalisées pour différents potentiels à une distance
fixée. Les vitesses sont adimensionnées par la vitesse maximale du jet ̅ , et les
distances par la distance inter-électrodes .
Comme les jets obtenus avec une tension
=-5kV, sont instables. L’analyse en
champ moyen n’est pas particulièrement pertinente. Ils ont été exclus de cette partie
de l’étude.
D’un point de vue général, on retrouve la décomposition en trois zones déjà observée
sur les courbes de vitesse de l’exemple traité dans la figure 2.22. En partant de
l’extrémité de lame position y =0 le liquide commence par accélérer violemment,
passe par une valeur maximale puis décroît lentement, enfin la vitesse se met à chuter
rapidement pour redevenir nulle au point de contact avec l'électrode plane y =1.
Dans tous les cas testés, la phase d’accélération est très rapide. Compte tenu de la
forme de la courbe, la position exacte du maximum de vitesse n’est pas facile à
déterminer avec une grande précision. Cependant, on voit nettement que si on excepte
la configuration =1cm, la vitesse maximale est atteinte aux environs de y
=0,1
dans tous les cas testés. La position du maximum de vitesse semble être peu
dépendante du potentiel imposé. Ce point peut paraître très proche de la lame, mais
cette proximité s’explique facilement par la décroissance rapide du champ électrique
sur l’axe.
Proche de la pointe, l'influence des forces mécaniques (viscosité, pression, inertie) est
négligeable par rapport à la force électrique. L’accélération du liquide est donc très
rapide. Comme la force électrique décroit avec le champ électrique, elle diminue très
86
Chapitre II. Panaches EHD
rapidement lorsqu’on s’éloigne de la pointe en géométrie lame plan, si la densité
volumique de charge est faible, la décroissance du champ sur l’axe est exponentielle
et devient quasi nulle à quelques millimètres du point d’injection. On peut noter que
la position du point de vitesse maximale n’indique pas à quel endroit la force
électrique devient négligeable, mais simplement la position pour laquelle forces
électriques et forces mécaniques se compensent.
a
b
c
d
Figure 2.32 : Évolution de la vitesse adimensionnelle sur l’axe de symétrie pour
différents potentiels (a) =1cm, (b) =2cm, (c) =3cm, (d) =4cm.
La figure 2.33 précise la position du maximum de vitesse pour l’ensemble des
panaches. Il semble que la position du point de vitesse maximale
augmente
avec le potentiel, passe par un maximum puis diminue légèrement vers une valeur
stable. La tendance est bien visible pour =1cm et plus légère pour les autres
distances. Le maximum semble également se décaler avec la distance. Pour =1cm
le maximum est atteint pour =-15kV, =-20kv pour
=2cm, =-25kV pour
=3cm et =4cm. Pour les tensions situées avant le sommet de la courbe, la phase
d’accélération n’est pas perturbée par la présence de l’impact. Plus la tension est
importante et plus le champ augmente accroissant d’autant la zone dans laquelle
s’exerce la force de Coulomb. La zone d’accélération s’agrandit avec le champ
électrique et la vitesse maximale est atteinte de plus en plus loin de la lame. Au-delà
du point max, l’impact crée un gradient de pression qui perturbe le fonctionnement du
jet. La transition est très nette à 1 cm elle est atteinte pour un potentiel de =-15kV.
87
Chapitre II. Panaches EHD
Figure 2.33 : Variation de la position de la vitesse maximum axiale en fonction du
potentiel pour toutes les distances.
Revenons au comportement de la vitesse le long de l’axe figure 2.32. Passé le point de
vitesse maximal, la vitesse commence à décroitre avec certaines pentes. Ce
comportement est typique de la mise en place d’une zone auto-similaire. Pour vérifier
l’existence d’une telle zone, nous avons utilisé la méthode du débit de quantité de
mouvement déjà utilisée à la section 2.22. Sur la figure 2.34, nous présentons une
partie des résultats de cette étude limitée aux tensions de -10kV et -30kV.
a
b
c
Figure 2.34 : Débit de quantité de mouvement de panaches sous (a) =-10kV,
2cm
4cm, (b) =-30kV, 1cm
4cm, (c) =-30kV, 2cm
4cm.
88
Chapitre II. Panaches EHD
Quelle que soit la distance étudiée, à =-10kV le débit de quantité de mouvement
suit une courbe en cloche. À 1cm, le maximum est atteint en
=0,5 et la courbe est
très bombée. Il est difficile d’identifier une partie plate. Le liquide n’a visiblement pas
le temps d’adopter un comportement autosimilaire. Pour les plus grandes distances ,
la partie centrale est également bombée, mais la partie centrale semble plus plate.
On retrouve deux comportements distincts à
=-30kV. Le cas
=1cm est
particulièrement intéressant. On peut voir que, dans ce cas, le débit de quantité de
mouvement augmente pratiquement jusqu’à l’impact. Comme le débit de quantité de
mouvement augmente en présence d’une force extérieure cela signifie que la force
électrique est motrice pratiquement jusqu’à l’impact. Ainsi sur les premiers
millimètres, la force électrique est dominante et le liquide est accéléré, puis une fois le
point de vitesse maximal franchit, la force électrique n’est plus suffisante pour
maintenir la vitesse du liquide, mais elle reste présente et continue à accroître la
quantité de mouvement du jet.
Les autres cas à =-30kV ont été reportés sur la figure 2.34b pour davantage de
lisibilité. Les courbes de débit de quantité de mouvement apparaissent très aplaties
dans leur partie centrale. Nous avons pu vérifier que dans cette zone centrale les
profils adimensionnés prennent la forme d’une gaussienne et se superposent
parfaitement voir figure 2.35.
a
b
̅
̅
Figure 2.35 : Profils de vitesse adimensionnés
� pour différentes distance
inter-électrodes, =-30kV, (a)
=0,3, (b)
=0,5.
Le plus étonnant, est le cas =-30kV, =1cm. Bien que le débit de quantité de
mouvement ne soit constant à aucun moment, ses profils sont gaussiens,
auto-semblables et totalement superposables aux autres profils. Difficile d’apporter
une explication définitive à ce phénomène, mais il semble que les jets EHD soit par
nature extrêmement turbulente. Vu la petite taille des jets, la turbulence produite par
l’injection s’homogénéise assez rapidement et donne aux profils de vitesse leur forme
gaussienne.
Si on étend cette étude aux autres tensions, on observe une influence du potentiel. En
superposant les courbes de profil de jets de différents potentiels pris à des tensions
comprises entre -10kV et -40kV, on s’aperçoit que toutes ne sont pas gaussiennes. En
=0,3, les profils correspondant aux tensions de -10kV à -25kV ne sont pas
89
Chapitre II. Panaches EHD
gaussiennes (figure 2.36a) alors que les autres (tension de -30kV à -40kV le sont
visiblement). Il faut attendre d’atteindre
=0,5 pour que tous les profils soient
superposables. On peut en conclure qu’une forte tension favorise la mise en place de
l’autosimilarité.
La turbulence se développe très rapidement dans les jets EHD et finit toujours par
devenir homogène si on lui en laisse le temps. À forte tension, l’injection produit une
turbulence plus forte qui s’homogénéise plus rapidement qu’à faible tension.
a
b
̅
̅
Figure 2.36 : Profils de vitesses adimensionnés
,� pour différents potentiels
appliqués,
=0.5, =4cm, (a)
=0,3, (b)
=0,5.
L’étude sur le débit de quantité de mouvement ainsi que sur la forme des profils de
vitesse nous confirme que la zone autosimilaire à une longueur qui dépend à la fois de
la distance et du potentiel appliqué. Une distance importante permet à l’autosimilarité
de s’établir même si le potentiel est faible. On trouve par exemple la zone
autosimilaire s’étend entre 0,3<
<0,5 à =-30kV quelle que soit la distance .
Dans les jets et les panaches, la vitesse sur l’axe décroît de façon exponentielle en
zone autosimilaire. Le taux de décroissance est très caractéristique du type
d’écoulement étudié (jet plan, jet cylindrique, panache). Nous avons voulu savoir si
les jets EHD avaient leur propre évolution caractéristique ; si le taux de décroissance
est spécifique ou s’il est identique à celui d’un des autres écoulements. Pour cette
partie de l’étude, l’évolution de la vitesse axiale a été tracée sur une représentation
logarithmique puis approximée par une courbe de tendance linéaire pour déterminer le
taux de décroissance (voir figure 2.37). Pour chaque cas, seule la région de la courbe
située dans la zone de débit de quantité de mouvement quasi constant est prise en
compte. Pour certaines configurations géométriques, la zone constante comporte un
grand nombre de point ce qui permet une bonne approximation du taux cherché
(exemple =-15kV, =3cm). Pour d’autres, l’estimation est réalisée sur 4 à 5 points
et l’erreur d’estimation est assez grande.
90
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
d
e
f
g
Figure 2.37 : Échelle logarithmique, évolution de la vitesse adimensionnelle sur l’axe
de symétrie pour différentes distances avec le potentiel appliqué constante, (a) -10kV,
(b) -15kV, (c)-20kV, (d)-25kV, (e)-30kV, (f)-35kV, (g) -40kV.
91
Chapitre II. Panaches EHD
Quelques tendances se dégagent. À partir de =3cm, la pente ne semble pas
dépendre du potentiel appliqué. Elle reste voisine de =-0,22. L’ensemble des taux a
été reporté sur la figure 2.38 pour réaliser une comparaison avec les résultats trouvés
dans la littérature. Toutes les mesures que nous avons réalisées donnent des taux
intermédiaires entre de panache thermique plan et jet plan.
Au-dessus de -25kV le taux moyen est de =-0,22 pour toutes les distances. On
s’approche du comportement des panaches ronds. Cela pourrait indiquer la présence
de points d’injection sur la lame et une organisation du flux en multiples panaches
ronds plutôt qu’en panaches plans. Pourtant, même si les études PIV dans le plan =0
ont montré qu’un certain déséquilibre pouvait exister sur la répartition spatiale de
l’injection le long de la lame, elles n’ont pas confirmé l’existence de panaches ronds
multiples.
Certains modèles proposés dans la littérature donnent une autre explication possible.
En supposant, que le champ électrique décroit selon une loi du type
, il
0
obtiennent une décroissance en puissance =de la vitesse axiale du panache
EHD. Tout dépend donc de la loi de décroissance du champ électrique. Nous
reviendrons sur ce point au chapitre 2.38.
Figure 2.38 : Variation de la pente de décroissance de la vitesse axiale des panaches
EHD
dans la zone centrale.
2.5.1.2. Évolution de la demi-largeur
La figure 2.39 montre l'évolution de la demi-largeur des jets pour différentes distances
et différents potentiels. Les axes horizontaux et verticaux sont adimensionnés par la
distance inter-électrode .
Sur toutes les courbes, on retrouve le même comportement que celui observé sur
l’exemple précédant. Proche de la plaque le jet semble large. Il s’amincit rapidement
puis s’élargit de nouveau. La violente accélération du jet sur les premiers millimètres
explique facilement l’amincissement initial. Le liquide est comme aspiré vers le
centre du jet. On mesure une vitesse d'écoulement importante sur la direction latérale
(axe ) dans cette zone.
Puis, à partir d’une distance avale de
≈0,05, le jet commence à se développer.
Ce comportement est cohérent avec la description du panache EHD faite par Atten
92
Chapitre II. Panaches EHD
dans [94]. Enfin à l’approche de l’impact la demi-largeur des jets se met à décroitre
très rapidement.
a
b
c
d
Figure 2.39 : Évolution de la demi-largeur adimensionnelle du jet pour différentes
potentiels, (a) =1cm, (b) =2cm, (c) =3cm, (d) =4cm.
La figure 2.39 aussi montre l'influence de la tension appliquée sur la demi-largeur du
panache. Plus la tension est élevée et plus la contraction initiale est forte. De
=-30kV à =-40kV, la demi-largeur devient si faible qu’elle en est pratiquement
plus mesurable. La partie croissante peut être décomposée en deux parties. Une
première partie assez rapide puis une phase linéaire. La première partie non-linéaire
est surtout visible sur les basses tensions. La transition non-linéaire/linéaire est
particulièrement visible de =-10kV à =-20kV. À plus fort potentiel la croissance à
partir du point le plus mince semble linéaire du début à la fin. Au contraire à
=-10kV et =1cm, il semble que la phase linéaire ne soit jamais atteinte. On
observe sur ce même cas à =-10kV une forte décroissance de la vitesse à partir de
=0,65. Il est peu probable que ce phénomène soit dû à l’impact qui se trouve
assez loin de ce point. En pratique, imposer une force volumique locale
bidimensionnelle en l’absence de confinement tend à produire deux tourbillons
contrarotatifs (ceci se vérifie aisément grâce à une simulation numérique). C’est plutôt
ce phénomène qu’il faut voir dans ce dernier cas.
En approximant la partie linéaire avec le même modèle que celui utilisé pour
caractériser les demi-largeurs de jets ou de panache thermiques.
93
Chapitre II. Panaches EHD
=
On obtient la variation du
2.40).
Figure 2.40 : Variations de
4cm.
−
(2.15)
en fonction de la distance et du potentiel (voir la figure
en fonction du potentiel pour distances 1cm
Le taux d’expansion
diminue lorsque le potentiel augmente et quel que soit .
La variation est quasiment linéaire. Le taux d'entraînement de l’écoulement est donc
plus important aux faibles tensions. On note également que la demi-largeur du jet est
plus importante lorsque la distance inter-électrode est plus grande. Inversement
accroître la tension réduit le taux d’expansion et produit des panaches plus étroits.
On voit que toutes les valeurs de
varient entre 0,1 et 0,3. Si on compare avec les
valeurs trouvées dans la littérature pour les jets classiques et les panaches thermiques,
on observe qu’ils sont tous du même ordre de grandeur. La gamme de variations des
jets EHD est cependant plus étendue. L’étude bibliographique, donne pour le panache
thermique une pente qui varie de 0,14 à 0,18, tandis que pour le jet classique,
est
encore plus petit (0,075-0,14). Ainsi à faible tension les panaches EHD s’élargissent
bien plus vite que les panaches thermiques ou les jets. À tension moyenne, ils se
comportent comme des panaches thermiques et à fort potentiel leur taux de croissance
est proche de celui des jets. Le taux d’expansion des panaches EHD est beaucoup plus
sensible aux paramètres électriques et dimensionnels que les jets ou les panaches
thermiques.
2.5.1.3. Intensité turbulente
Dans cette partie, on va étudier le comportement de l’intensité turbulente des
panaches EHD pour les mêmes quatre distances inter-électrode et la même gamme de
potentiel que dans les parties précédentes. Seule l’intensité turbulente sur l’axe
centrale ,� est considérée.
Comme sur les représentations précédentes, sur la figure 2.41, le point
=0 est
placé sur l’arête de la lame et le plan se trouve en
=1. L’intensité turbulente est
très forte au niveau de lame (supérieure à 100%). Elle diminue rapidement jusqu’en
94
Chapitre II. Panaches EHD
=0,05 environ, qui est également la position du point de vitesse maximale. Pour
la plupart des courbes, l’intensité turbulente est pratiquement constante dans la partie
centrale. Puis l’intensité turbulente remonte de façon importante jusqu’au point
d’impact. Ainsi, la zone d’accélération et la zone d’impact peuvent être identifiées à la
fois sur les profils de vitesse axiale (figure 2.32) et les variations de l'intensité
turbulente sur l’axe central (figure 2.41).
a
b
c
d
Figure 2.41 : Variations de l’intensité turbulente sur l’axe du jet en fonction de la
distance pour différents potentiels et différentes distances inter-électrode (a) =1cm,
(b) =2cm, (c) =3cm, (d) =4cm.
Ce comportement semble le même pour tous les cas étudiés sauf les cas avec un
potentiel de =-5kV. Sur ces dernières, il n’existe pratiquement pas de portion
horizontale au centre et l’intensité turbulente reste toujours très élevée. Comme nous
l’avons déjà constaté et analysé dans la section précédente les jets à =-5kV ont un
comportement très instable probablement corrélé à une injection irrégulière.
L’intensité turbulente importante confirme la présence de fortes oscillations de vitesse.
L’analyse des fluctuations montre une prédominance de perturbations de grande
amplitude et de basse fréquence plutôt caractéristique d’un fort niveau d’instabilité
que d’une turbulence homogène. Seule une étude du spectre de fréquence pourrait
confirmer ce dernier point cependant cette étude n’est pas réalisable avec les données
PIV dont nous disposons.
Les courbes affichées dans la figure 2.41 sont très peu influencées par la tension
appliquée. Si on exclut les courbes à =-5kV (très différentes) et les courbes à
95
Chapitre II. Panaches EHD
=-10kV qui sont légèrement au-dessus des autres, toutes les courbes se superposent.
Dans la partie centrale, l’intensité atteint systématiquement la valeur de ,� = 0,4.
Si on compare le comportement des jets EHD avec les écoulements de références, on
retrouve certaines caractéristiques. Dans les jets libres qui sont souvent laminaires en
sortie de buse ou à Reynolds faible l’intensité turbulente près de l’orifice est faible.
Au contraire, certains panaches thermiques possèdent, tout comme les panaches EHD,
une forte intensité turbulente à proximité de leur point source. En effet, à la différence
des panaches laminaires, les panaches turbulents ont une intensité turbulente initiale
importante. De la même façon, il existe de façon théorique deux types de panaches
EHD : le panache laminaire et le turbulent. Comme dans tout type d’écoulement, la
forme laminaire possède une intensité turbulente initiale faible et aucun des panaches
présenté ici n’est visiblement laminaire. Le haut niveau d’intensité turbulente
s’explique probablement par la présence d’instabilités hydrauliques et électriques. Il
semble que le phénomène d’injection soit par nature instable. La mise en mouvement
du liquide par les charges et le balayage des couches chargées par le liquide en
mouvement est une source de couplages haute fréquence probablement à l’origine du
phénomène.
Inversement, la hausse d’intensité turbulente ne s’observe la plupart du temps que
dans les jets impactant. Les panaches thermiques n’ayant pas forcément de point
d’impact, ils conservent longtemps le même niveau d’intensité turbulente.
Enfin la constance du niveau d’intensité turbulente dans la zone centrale est commune
aux trois types d’écoulements. Dans les jets libres, l'intensité turbulente atteint une
valeur constante dans la région auto-similaire. Cette valeur (environ égal à 0,25) est
indépendante de la façon dont le jet est généré, mais dépend du nombre de Reynolds
[117]. Elle augmente légèrement avec celui-ci pour passer de 0,18 à Reynolds 150 à
0,25 pour un Reynolds de 16500 en conclure que nos panaches se comportent comme
des jets fortement turbulents sur la figure 2.41. Pour les panaches thermiques, la
valeur est de 0,22. Elle est également liée à la zone autosimilaire.
La figure 2.42 montre l’évolution de l’intensité turbulente (prise dans la zone
constante) en fonction du potentiel. C’est pour les faibles tensions que celle-ci est la
plus élevée. Contrairement à ce qu’avait observé par Daaboul, les panaches à faible
tension que nous présentons ici ne sont pas des panaches laminaires. Au delà de 20kV
l’intensité turbulente ne semble pas varier. Elle reste cependant voisine du niveau le
plus élevé observé dans les jets libres et les panaches thermiques. Augmenter le
potentiel ne permet pas d’accroitre significativement le niveau de turbulence avec ce
dispositif. Enfin, toujours sur la figure 2.42, l’intensité turbulente atteint sa valeur la
plus basse entre =-10kV et =-15kV. Exactement au voisinage du changement de
régime évoqué en début de chapitre. Il semble que ce point d’inflexion sur la courbe
correspondent à un régime de transitoire du jet (-10kV,-15kV) que nous ne sommes
pas parvenus à caractériser pour le moment.
Par analogie avec ces deux écoulements de référence, on peut penser que dans les
panaches EHD, la zone dans laquelle l’intensité turbulente est constante est une zone
pseudo-développée dans laquelle la force électrique n’a que peu d'influence (figure
2.43). Tout comme dans les jets classiques, c’est une zone de turbulence pleinement
développée dans laquelle la viscosité domine. On remarquera cependant qu’elle
96
Chapitre II. Panaches EHD
s’établit beaucoup plus rapidement dans les jets EHD, mais également qu’elle devient
constante avant d’atteindre la zone auto-similaire. En effet, il semble plus facile
d’homogénéiser une intensité turbulente élevée que de produire cette intensité
turbulente à partir des interactions entre jet et milieu ambiant.
Figure 2.42 : Variations de l’intensité turbulente dans la zone centrale
fonction du potentiel appliqué.
Figure 2.43 : Intensité turbulente
pour
=-30kV,
,�
en
=3cm.
Comme dans les panaches, l’intensité turbulente est d’abord plus faible au centre que
sur les bords.
2.5.2. Adimensionnement du comportement
A la différence de la géométrie plan/plan, la configuration lame plan a été assez peu
étudiés expérimentalement. La plupart des adimensionnements disponibles dans
littérature sont une extension des travaux réalisés en plan/plan. Comme en mécanique
des fluides, plusieurs nombres sans dimension sont utilisés pour caractériser les
écoulements EHD.
97
Chapitre II. Panaches EHD
Le nombre
ions :
compare la vitesse d’agitation du fluide à la vitesse de migration des
=
�
√
(2.16)
Ainsi lorsque
1 le mouvement des ions n’est que très peu perturbé par le
mouvement du liquide. Les trajectoires des ions se confondent pratiquement avec les
lignes de champ. Inversement, la distribution spatiale des ions est totalement
perturbée par les mouvements du liquide lorsque
>1.
Dans le cas présent, =2,2, et
=850 kg∙m-3, la mobilité hydrodynamique √
est de 1,52.10-7 m2∙V-1∙s-1 et la mobilité ionique de l’ordre de κ=1.10-8 m2∙V-1∙s-1 donc
≈15. En conclusion, excepté au voisinage des électrodes, les effets convectifs sont
dominants.
est un nombre adimensionnel qui représente le rapport entre la force de Coulomb et
les forces de frottement visqueux :
=
�
(2.17)
avec
viscosité dynamique du fluide (Pa∙s). Avec une tension qui varie entre -5kV et
-40kV dans les études présentés ici. Le
varie de 2,67.103 à 2,13.104.
Nombre adimensionnel souvent associé au nombre
d’injection.
=
0
. Il caractérise le régime
(2.18)
L’injection est dite faible lorsque
1. Dans ce cas, la présence de charge dans le
liquide n’est pas suffisante pour provoquer qu’une distorsion du champ électrique. À
l’opposé, lorsque >1 l’injection est dite forte et on observe une forte distorsion du
champ électrique qui est diminué au voisinage de l’injecteur et augmenté près de
l’électrode collectrice.
Dans notre cas expérimental, la quantité de charges sur l’injecteur (pour nous la lame)
0 n’est à priori pas connue. Calculer C n’est pas trivial.
Nombre de Reynolds électrique.
=
98
=

(2.19)
Chapitre II. Panaches EHD
est également utilisé pour caractériser les écoulements. Il est formé à partir de la
vitesse des ions
=
et de l’écartement des électrodes , (
=
). Dans
cette étude, le Reynolds électrique varie entre 11,6 et 93.
À ces nombres adimensionnels il faut ajouter des temps caractéristiques comme : Le
temps de transit
:
=

(2.20)
ici, 0,33s< <32s.
Dans nos cas d’études, le liquide est en mouvement et le temps nécessaire aux ions
pour parcourir la distance entre les deux électrodes est beaucoup plus petit. Par
comparaison pour =4cm et =-5kV la vitesse du liquide est de 2mm/s et le temps
de transit associé est 20s.

ou encore le temps de relaxation :
Ici,
= 
(2.21)
=16,9ms.
H=1cm
H=2cm
H=3cm
H=4cm
100
t (s)
10
tT
1
0.1

0.01
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
U (kV)
Figure 2.44 : Évolution du temps de transit
du potentiel appliqué.
Comme
l’injecteur.
et temps de relaxation
en fonction
(figure 2.44), il ne peut y avoir présence d’homocharges que près de
Tous ces nombres adimensionnels sont construits à partir des propriétés physiques du
liquide (celles-ci sont constantes pour l’ensemble des expériences présentées dans ce
document), de la tension appliquée et d’une distance caractéristique qui dépend que
du dispositif : lame/plan, pointe/plan, plan/plan.
99
Chapitre II. Panaches EHD
Nous avons voulu vérifier si une même démarche pouvait être appliquée aux
écoulements lame/plan, s’il existait une similarité de comportement entre tous les
écoulements réalisés.
Le premier paramètre que nous avons étudié est la vitesse maximale du jet. Sur la
figure 2.45a nous avons tracé la vitesse maximale en fonction du champ moyen
.
On peut noter que les courbes correspondant aux vitesses atteintes avec des distances
de =3cm et =4cm. Dans ce cas, l’adimensionnement en champ moyen fonctionne
bien. Les deux courbes (vert et bleu) sont totalement confondues. Par contre pour les
distances plus faibles ( =1cm et =2cm courbes noir et rouge), les comportements
restent assez différents.
Nous avons alors suivi la démarche inverse. Supposons qu’il existe une longueur
qui
caractéristique
et un champ adimensionné
tel que :
=
permette de superposer toutes les courbes de vitesse. Le coefficient α est une
fonction de .
Figure 2.45 : Variation de la vitesse maximale pour différentes distances
inter-électrode (a) en fonction du champ électrique moyen
(kV/m), (b) en
(kV/m).
fonction du champ électrique
=
De façon arbitraire on choisit 0 =3cm et =1 comme position origine. Alors pour
toute distance , et toute tension
le champ adimensionné
est égal à
=(
=
0
0
(2.16)
On en déduit que
=
0
0
(2.17)
En appliquant la même démarche aux autres courbes pour faire correspondre au
mieux les courbes de vitesse on trouve =1 pour =0,03m et =0,04m; =0,955
pour =0,02m ; =0,92 pour =0,01m. Les résultats de cet adimensionnement sont
100
Chapitre II. Panaches EHD
présentés figure 2.45b. On constate alors que les courbes se superposent parfaitement
pour toutes les distances étudiées.
Nous avons ensuite souhaité vérifier si cet adimensionnement est valable pour
l’ensemble des caractéristiques des jets ou s’il ne pouvait s’appliquer qu’à la vitesse
maximale. Nous avons donc calculé la valeur de
pour l’ensemble des cas
étudiés. Dans le tableau 2.4, les champs de référence
ont été calculés à partir
des différents potentiels pris sur la position de référence. Puis, grâce à la formule 2.16
les potentiels associés à chaque position ont été calculés à partir des valeurs de
et de
correspondantes. Ces valeurs sont ensuite utilisées pour réaliser des
comparaisons à
constant.
Tableau 2.4 : Champ
et potentiels correspondants pour toutes les distances
étudiées.
(kV/m)
(kV)
1cm
=0,92 2cm =0,955
3cm ≈1
4cm =1
-166,7
-2,6
-4,2
-5
-6,7
-333,3
-5,5
-8,8
-10
-13,3
-500
-8,6
-13,4
-15
-20
-666,7
-11,7
-18,1
-20
-26,7
-833,3
-14,9
-22,9
-25
-33,3
-1000
-18,2
-27,7
-30
-40
-1166,7
-21,6
-32,5
-35
-46,7
-1333,3
-24,9
-37,4
-40
-53,3
L’idéal serait de comparer l’évolution des différents paramètres pour différente
distance, mais à
constant. Malheureusement selon le tableau ci-dessus, il
faudrait disposer de mesures réalisées à des potentiels spécifiques et nous ne
disposons que de mesures réalisées à des potentiels réguliers. Il nous est donc
impossible de réaliser parfaitement cette étude. Cependant, il existe dans le tableau
certains de groupes qui peuvent être testés.
2.5.2.1. Cas 1 :
= -1000kV/m
Pour =3cm et =4cm un champ
=-1000kV/m correspond à un potentiel
respectivement =-30kV et =-40kV. Pour
=2cm l’idéal serait de disposer d’une
mesure avec =-27,8kV comme cette mesure n’est pas disponible, on choisit
est égal à -1000kV/m si
=-30kV. De même pour
=1cm, le champ
=-18kV.
Sur la figure 2.46, seuls les comportements correspondants aux distances comprises
entre =2cm et =4cm sont comparés. La comparaison des champs de vitesse
adimensionnés figure 2.46. Avec le niveau d’échelle proposé, on voit bien que le
panache se développe de la même façon dans les trois cas.
La figure 2.46 montre le comportement global est le même dans les trois cas. Pour
confirmer plus finement l’aspect similaire des jets, quatre critères ont été analysés.
Les résultats de cette étude sont présentés figure 2.47.
101
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
Figure 2.46 : Champ de vecteurs et module de vitesse ̅ m s d’un panache EHD
et ̅ ,
m s (a) =-30kV, =2cm, (b) =-30kV, =3cm, (c) =-40kV, =4cm.
a
b
c
d
Figure 2.47 : Courbes caractéristiques du panache EHD pour un champ moyen
corrigé de -1000kV/m, (a) évolution de la vitesse centrale axiale, (b) profils de vitesse
dans une section
=0,5, (d) évolution de la demi-largeur, (e) variations de
l’intensité turbulente sur l’axe.
102
Chapitre II. Panaches EHD
La figure 2.47a montre que l’évolution des vitesses axiales adimensionnées sont
identiques ; la figure 2.47b que la forme des profils de vitesse radiale sont les mêmes,
la figure 2.47c que les demi-largeurs adimensionnées des panaches croissent de façon
linéaire selon une même pente; enfin on observe figures 2.47d que l’intensité
turbulente est voisine 0,3-0,4 dans les trois cas. Pour conclure, on voit bien que les
trois panaches ont les caractéristiques semblables sur ces quatre critères.
L’adimensionnement semble bien fonctionner.
On aura noté que le cas =1cm =-18kv n’est pas représenté sur la figure 2.47.
Cette mesure n’a pas été enregistrée au cours des différents essais. Comme pour le cas
=2cm, le potentiel aurait pu être arrondi au potentiel le plus proche.
Malheureusement à =1cm, le comportement est très différent entres =-15kV et
=-20kV. Approximer =-18kV par l’un ou l’autre des potentiels voisins ne
fonctionne pas. La variation de comportement entre =-15kV et =-18kV est
beaucoup trop importante pour être remplacée par l’une ou l’autre des deux courbes.
La figure 2.48 montre que la courbe de vitesse =-30kV, =2cm se situe bien entre
les deux courbes de =-15kV et =-20kV. Il semble donc raisonnable de penser
qu’une courbe =1cm et =-18kV aurait un comportement très voisin des courbes
=2cm, =-30kV et =3, =-30kV et =4cm, =-40kV.
Figure 2.48 : (a) Évolution de la vitesse centrale pour les trois cas.
2.5.2.2. Cas 2 :
= -833kV/m
Pour obtenir un champ
=-833V/m, une tension =-15kV est nécessaire pour
=1cm, pour =2cm, il faut =-22,8kV remplaçable par =-25kV. Pour =3cm,
=-25kV. Enfin pour =4cm, =-33kV serait idéal, cependant comme cette tension
n’est pas disponible, elle peut être remplacée par =-35kV (très proche).
Comme pour le cas précédant, la figure 2.49 montre que l’aspect général des panaches
est très similaire. Les trois courbes de la figure 2.50 montrent que la superposition
n’est pas aussi bonne que dans le cas précédant. Les courbes correspondant aux cas
=3cm et =4cm restent quasi identiques, mais la courbe =2cm est sensiblement
différentes. Difficile de dire si cet écart peut s’expliquer par l’erreur d’arrondi sur la
valeur des tensions les plus proches.
103
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
c
Figure 2.49 : Champ de vecteurs et module de vitesse ̅ m s d’un panache EHD
et ̅ ,
m s , (a) =-25kV, =2cm, (b) =-25kV, =3cm, (c) = -35kV,
=4cm.
a
b
c
d
Figure 2.50 : Courbes caractéristiques du panache EHD pour un champ moyen
corrige de -833 � m, (a) évolution de la vitesse axiale, (b) profils de vitesse dans une
section
=0,5, (c) évolution de la demi-largeur, (d) variations de l’intensité
turbulente sur l’axe.
104
Chapitre II. Panaches EHD
Le cas =1cm est encore pire. La figure 2.51 montre l’ordre de grandeur des vitesses
est pratiquement le même tout le long de l’axe central. La forme générale de la
variation de vitesse reste malgré tout très différente.
Figure 2.51 : Évolution de la vitesse centrale pour les deux cas.
L’adimensionnement proposé reste valable en terme d’ordre de grandeur de la vitesse,
c’est également vrai pour l’intensité turbulente. La variation de vitesse le long de
l’axe n’est identique qu’à partir de 2cm.
2.5.2.3. Cas 3 :
= -1333kV/m
On pourrait penser que l’adimensionnement proposé n’est pas correcte et que les
superpositions observées figure 2.47 pour un champ
=-1000kV/m sont un
hasard ; que les comportements observés à
=1cm sont différents des autres.
Cependant, si on compare les deux configurations extrêmes qui correspondent
exactement à un champ
=-1333kV/m soit :
=-25kV pour
=1cm et
=-40kV, =3cm, on retrouve à nouveau des comportements très similaires (figure
2.52). Les champs de vitesse adimensionnés sont quasiment identiques (figure 2.53).
Les variations de vitesse axiale (figure 2.53a), la forme des profils de vitesse (figure
2.53b), la croissance des demi-largeurs et même les variations de l’intensité turbulente
sont, en tout point, identiques.
Il existe visiblement une similarité de comportement entre les quatre distances
étudiées. L’adimensionnement en champ moyen qui fonctionnement particulièrement
bien en configuration plan/plan n’est valable en lame/plan que pour les distances
importantes (ici supérieures à =3cm). L’adimensionnement proposé ici a permis de
montrer que la similarité de comportement peut s’étendre jusqu’à =1cm. Cependant,
un plus grand nombre d’études serait nécessaire pour affiner le modèle. De plus, le
modèle proposé est issu d’une étude purement mathématique et il serait préférable de
proposer un modèle qui s’appuie davantage sur la physique du phénomène.
105
Chapitre II. Panaches EHD
a
b
̅
Figure 2.52 : Champ de vecteurs et module de vitesse
m s d’un panache EHD
et ∆ (m/s) (a) =-25kV, =1cm, (b) =-40kV, =2cm.
a
b
c
d
Figure 2.53 : Courbes caractéristiques du panache EHD pour un champ moyen
corrigé de -1333 (kV/m), (a) Évolution de la vitesse axiale, (b) profils de vitesse dans
une section
=0,5, (d) Évolution de la demi-largeur, (e) Variations de l’intensité
turbulente sur l’axe.
106
Chapitre II. Panaches EHD
2.6. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons étudié la structure des panaches EHD produits par un
actionneur de type lame-plan plongé dans une cuve contenant du gasoil. L’utilisation
de la méthode de vélocimétrie par image de particule bien que délicate en présence de
charges électriques (risque d’accumulation de charges sur les particules) nous a
permis d’obtenir des champs de vitesse de qualité. Nous avons pu montrer que
l’utilisation de particules de
de diamètre 0,5µm avec une concentration
inférieure à 0,01g l permet d’obtenir des résultats de bonne qualité. De plus, le
caractère hautement turbulent du panache notamment dans la zone proche de
l’électrode nécessite de réduire au maximum l’intervalle de temps entre deux images
successives ∆ . Malheureusement, la réduction de cet intervalle de temps induit
également une perte de précision. Le choix d’un déplacement de 4 pixels qui permet
d’obtenir une précision de mesure 1% apparaît comme un bon compromis.
Comme les panaches EHD générés sont largement instationnaires, une analyse
statistique a été mise en place. L’aspect gaussien des données a pu être vérifié.
L’analyse de la vitesse moyenne en chaque point montre que 400-500 images sont
nécessaires pour obtenir une bonne convergence de la moyenne. Au-delà, la valeur
moyenne et l’écart type des mesures ne varient pratiquement plus. Comme il est
impossible de mener cette étape de calibration en tout point de toute configuration, les
études ont toutes été réalisées à partir de 1000 images. Les résultats de ces mesures
sont donnés avec un niveau de confiance de 99,7%.
L’aspect tridimensionnel et l’homogénéité de l’écoulement ont également été abordés
grâce à une étude selon deux plans de mesures perpendiculaires. Les principaux
résultats et conclusions sont exposés ci-dessous.
2.6.1. Les quatre zones caractéristiques du panache EHD
L’analyse des différents paramètres et notamment de la vitesse axiale montre que les
panaches EHD peuvent se découper en quatre zones (figure 2.54).
a
b
̅
Figure 2.54 : (a) Cartographie de la composante
du panache, (b) évolution de ̅
le long de l’axe de symétrie en fonction de la distance à la lame
.
107
Chapitre II. Panaches EHD
Zone I: zone d’accélération
C’est la première zone de la structure. Elle s’étend de l’arête de la lame au point de
vitesse maximum. La vitesse, nulle sur la pointe, augmente rapidement jusqu’à
atteindre sa valeur maximale.
À la différence de la zone de potentiel des jets, il n’y a pas ici d’apport de masse. De
plus, on sait que pour les jets, l’écoulement en sortie de buse est contrôlé par la force
d’inertie qui parvient à maintenir la vitesse au centre du jet constante sur une certaine
distance ainsi former le cône de potentiel. Ce n’est pas le cas ici.
Par contre, cette zone possède une forte ressemblance avec la zone de développement
des panaches thermiques (figure 1.24). Dans les deux cas (EHD et thermique), le
liquide est soumis à une force volumique qui l’accélère rapidement. Comme nous
l’avons déjà évoqué dans l’introduction sur les panaches EHD seule l’origine de la
force diffère. Pour des panaches thermiques, c’est une force de flottaison induite par
la différence de densité qui existe entre liquide chaud et liquide froid ; dans le cas
EHD, c’est une force électrique qui met le liquide en mouvement.
Il semble que la zone d’accélération soit bien courte dans notre cas. La force
électrique apparait comme plus intense, mais également de portée moins longue
comparativement à la force de flottaison des panaches thermiques.
Zone II : zone de transition
Cette partie du panache est une zone de transition qui commence au point de vitesse
maximale et se termine là où débute la zone d’écoulement établi. Elle se caractérise
par une baisse de la vitesse axiale. Pour le jet EHD, la longueur de cette zone n’est
pas fixe et varie selon les conditions.
Zone III : zone d’ autosimilaire
C’est une zone qu’on retrouve dans tous les types de jets et de panaches.
L’écoulement n’y est pas significativement influencé par la surface d’impact. Comme
dans le cas des jets classiques/impactant ou des panaches thermiques, les profils de
vitesse adimensionnés ont une forme gaussienne. Ils sont également autosimilaires.
La vitesse axiale décroit selon une loi puissance de taux -1 identique à ce qui est
observé sur les jets plans mais différents du taux de -0,5 des jets ronds. Ceci semble
confirmer, l’aspect planaire de nos panaches EHD.
Dans cette zone, la demi-largeur des panaches EHD augmente linéairement avec la
distance. Ce comportement linéaire s’observe également dans les jets et les panaches
thermiques. Le coefficient K de croissance et également compris entre -0,16 et
-0,25.
Enfin l’intensité turbulente mesurée est constante dans cette zone. Comprise dans une
gamme de 0,25-0,4. Cette constance et ces valeurs ont également été observées sur les
panaches thermiques et les jets.
108
Chapitre II. Panaches EHD
Le caractère électrique et la présence de charges ne semblent donc avoir que peu
d’impact sur le comportement de la zone II des jets EHD en configuration lame /plan.
Zone IV: zone d’impact
Dans cette zone, la présence de la paroi se fait ressentir. La vitesse axiale ne respecte
plus la loi de puissance de la zone III. Elle décroît de façon plus rapide. Cette zone
ressemble fortement à celle observée dans le jet impactant. Même si, dans l’étude
présentée ici, cette région n’a pas fait l’objet d’une analyse poussée, il ne semble pas
que la présence de charges électriques influence le comportement. Dans les conditions
expérimentales que nous avons utilisées au cours de ces travaux, aucune différence
n’a pu être observée dans cette zone avec les jets impactant classiques.
L’augmentation de la turbulence, de la pression et la formation des jets de paroi
semblent en tout point identiques à ceux observés sur des jets non chargés.
2.6.2. Bilan de caractéristique
Les mesures de champ de vitesse par vélocimétrie laser par image de particules ont
montré qu’un dispositif lame plan permet d’obtenir un jet quasi-bidimensionnel au
centre de la lame. Le flux électroconvectif engendré peut prendre deux aspects
différents : une forme courte formée d’un jet encadré par deux tourbillons qui met le
liquide au voisinage de la pointe, mais n’atteint pas le plan, une forme de jet qui
impacte le plan et se sépare symétriquement en deux jets de paroi.
La forme courte est très instable et correspond à un champ électrique faible. Il semble
que l’injection ne soit pas régulière et conduise une force électrique intermittente. Un
champ électrique fort produit quant à lui une injection plus régulière et un jet de forte
vitesse.
L’analyse des variations de la vitesse axiale, de la forme des profils de vitesse, de la
croissance de la largeur du jet ou de l’intensité turbulente sur l’axe permettent de
définir quatre zones caractéristiques. (Voir la figure 2.55).
Figure 2.55 : Variations des caractéristiques du panache EHD sur l’axe.
109
Chapitre III. Étude de la force
Chapitre III. Étude de la force
Ce chapitre est consacré à l’étude des forces électriques ou forces EHD qui s’exercent
sur un liquide. Lors d’une brève introduction, nous présentons tout d’abord un rappel
sur les différents types de forces qui peuvent s’exercer sur un fluide, en insistant plus
particulièrement sur les forces électriques. Nous exposons ensuite plusieurs méthodes
qui permettent de mesurer ou calculer l’amplitude et la direction force EHD. Puis
nous utilisons deux de ces méthodes pour estimer la force produite par nos dispositifs.
Enfin, nous concluons ce chapitre par une analyse critique des résultats.
3.1. Les forces en mécaniques des fluides
De façon générale, les fluides subissent continuellement l’action de forces extérieures.
Ces forces qui provoquent l’accélération/décélération ou la déformation des fluides
sont très diverses. Le plus souvent, on les classe, selon leur distance d’action, en deux
catégories : forces de contact ou forces de champ.
1) Les forces de champ (actions à distance sur le fluide) : Ces forces agissent sur des
distances non-négligeables par rapport aux distances caractéristiques de
l’écoulement étudié. Elles sont produites par des champs naturels comme : le
champ de gravité, un champ électromagnétique… Elles agissent de façon
homogène sur tous les éléments d’un volume de fluides et s’écrivent sous la
forme de forces volumiques.
2) Les forces de contact (actions qui s’exerçant sur surface d’un élément de fluide),
Ces forces s’exercent à la frontière de tout élément de fluide. On peut citer pour
exemple : la tension de surface, la force de frottement, la pression, le cisaillement.
Elles s’expriment sous la forme de force par unité de surface.
Bien que de façon générale, on distingue deux types de forces, celles-ci sont toujours
modélisées sous la forme de vecteurs.
Comme nous l’avons rappelé dans le chapitre I, on sait depuis les expériences de
Faraday qu’un liquide peut être mis en mouvement par l’action de forces électriques
ou forces électro-hydrodynamiques. On sait également que les liquides contiennent en
quantité plus ou moins importante des dipôles (neutres) et des espèces chargées de
type ions qui respectivement s’orientent ou se déplacent en présence d’un champ
électrique. Tous ces mouvements sont dus à l’action de forces électriques sur le
liquide.
Supposons un petit volume de liquide diélectrique (2) plongé dans un liquide
diélectrique (1)
Avec
et
(F/m) : permittivité respective des milieux (1) et (2),  (m3) :
volume du milieu (2), (m2) : surface de  , ⃗⃗ : vecteur normal à la surface ,
⃗⃗ + : vecteur champ électrique sur la face externe de , ⃗⃗ − : vecteur champ
électrique sur la face interne de .
110
Chapitre III. Étude de la force
Figure 3.1 : Volume de liquide diélectrique plongé dans un liquide diélectrique
en présence d’un champ électrique
.
La résultante des forces électriques peut s’exprimer sous la forme d’une somme de
forces surfaciques et de forces volumiques
⃗ =∫ ⃗
+∫ ⃗

(3.1)
Avec ⃗ (N/m3) : densité volumique de force électrique ⃗ (N/m3) : densité
surfacique de force électrique, suivante [92]:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
⃗ = ⃗⃗ −
⃗ =
⃗⃗ +
−
( ⃗⃗ + ∙ ⃗⃗ − ⃗⃗
]
(3.2)
(3.3)
(C/m3) : densité volumique de charge, (V/m) : intensité du champ électrique,
(kg/m3) : masse volumique,
(F∙m2/kg) : valeur déterminée à température
�
constante.
Le premier terme des équations 3.2 et 3.3 représente l’action de la force de Coulomb
exercée par le champ sur la charge d’espace
et la densité superficielle de charge
. Le second terme, qui peut être appelé densité de force diélectrophorétique, est
relié au gradient de permittivité et exprime l’action du champ sur les dipôles. Le
troisième est le terme d’électrostriction. L’interaction mutuelle des dipôles entre eux
provoque la contraction du diélectrique dans une direction parallèle au gradient du
champ appliqué.
3.2. Mesure des forces
3.2.1. Présentation
Mesurer les forces qui s’exercent sur un fluide n’est pas une idée nouvelle puisque
Archimède s’intéressait déjà à la force de flottaison au 3ème siècle avant JC.
111
Chapitre III. Étude de la force
Cependant, ce domaine connait aujourd’hui un regain d’intérêt suite à l’explosion des
applications de contrôle des écoulements. Selon l'objectif de l'étude, l’analyse peut
porter sur des forces de contact ou de pression, des mesures de force moyenne, des
valeurs résolues en espace ou en temps. Chacun de ces objectifs nécessite l’utilisation
d’outils spécifiques.
3.2.1.1. Mesure des forces de contact
Un corps renflé immergé dans un fluide en mouvement relatif, produit sur le fluide
une force de contact. Comme selon la troisième loi de Newton également appelé
principe des actions réciproques (ou mutuelles), il existe pour chaque action une force
de réaction égale et opposée ; tout corps exerçant une force sur un fluide subit une
force d'intensité égale de même direction, mais de sens opposé.
̅�
= −̅
�
(3.4)
Il suffit pour connaitre la force exercée sur le fluide de mesurer celle subit par l’objet.
3.2.1.2. Mesure des forces de champ
La mesure d’une force de champ peut paraître plus délicate. Le champ de gravité
exerce, sur les liquides, une force qu’il est difficile d’estimer en mesurant l’effet du
liquide sur la terre. Cependant, la plupart des forces volumiques qu’elles soient
d’origine électrique ou magnétique sont produites par des dispositifs de petite taille et
mesurer la force de réaction reste une façon assez simple d’estimer la force produite.
Malheureuse connaître la force globale n’est en général pas suffisant pour les
applications de contrôle. Elles nécessitent de créer des cartographies spatiales de
répartition des forces impossible à réaliser avec la méthode de réaction. Il faut donc
utiliser d’autres méthodes.
3.2.2. Méthodologies directes et indirectes
Noca et al. distinguent deux façons d’aborder le problème : les méthodes intrinsèques
(indirectes) qui utilisent les propriétés internes des écoulements (vitesse, pression, etc.)
et les méthodes extrinsèques (directes) [123-124] qui mesurent la force de réaction
notamment à l’aide de capteurs de force.
La force de contact entre un fluide et un obstacle peut, par exemple, être évaluée avec
des jauges de déplacement, en mesurant la force nécessaire pour maintenir le corps
sur une trajectoire donnée. C’est une méthode directe.
Les forces exercées sur et par le fluide peuvent également être dérivées des équations
de la mécanique des fluides et évaluées en utilisant des bilans de quantités de
mouvement. Ce sont ces méthodes dites indirectes qui nous intéressent plus
particulièrement dans ce travail de thèse. Les méthodes indirectes nécessitent de
connaître précisément les paramètres du fluide : distribution spatiale et temporelle de :
la vitesse, la pression, l’intensité turbulente. Ces mesures complexes, longtemps
restées inaccessibles, sont aujourd'hui possibles grâce à l'avènement de techniques
112
Chapitre III. Étude de la force
telle que la vélocimétrie par image de particules (PIV) qui permettent d’obtenir des
cartographies spatiales et temporelle d’une grande précision.
À ces méthodes intrinsèques et extrinsèques, il faut ajouter une troisième voie : la
simulation numérique. Les modèles numériques sont de plus en plus performants et
offrent aujourd’hui une qualité suffisante pour estimer l’ensemble des paramètres qui
interviennent dans les écoulements et donc plus particulièrement les forces qui
agissent sur le fluide.
3.2.2.1. Méthodes directes
L'étude directe des actions réciproques entre corps et un fluide en mouvement a reçu
une attention considérable. Toutes les études sur l’aérodynamisme des véhicules, la
portance des ailes d’avion, la poussée des moteurs aéronautiques en sont des
applications directes. Il existe des ouvrages entiers consacrés à ce sujet que nous ne
présenterons pas ici. Dans ce paragraphe, nous nous limitons aux travaux réalisés sur
la mesure des forces EHD.
On trouve dans la littérature plusieurs travaux consacrés à la mesure directe de la
force de Coulomb. La plupart portent sur l’étude d’actionneurs plasmas à barrière
diélectrique et donc sur l’étude des forces électriques dans les gaz.
Un actionneur à barrière diélectrique est un dispositif composé de deux électrodes
séparées par une barrière diélectrique solide.
Figure 3.2 : Schéma d’un actionneur à barrière diélectrique.
De façon très schématique (figure 3.2), l’une des électrodes est connectée à un
générateur Haute Tension alternatif et la seconde électrode, parfois appelée contre
électrode, est reliée à la masse [125] Le dispositif créé un plasma de surface qui
produit une force de poussée suffisante pour mettre le gaz en mouvement.
Plusieurs études sont consacrées à la mesure directe de la force de poussée produite
par les actionneurs plasmas dans le cas de décharge à barrière diélectrique [126-134].
Une très bonne synthèse bibliographique de ces travaux a été réalisée par Debien
[135].
Les phénomènes physiques à l’origine des forces électriques sont très différents dans
les liquides et les gaz. La problématique est donc spécifique du milieu. Cependant,
comme il n’existe pas à notre connaissance de travaux réalisés dans les liquides, nous
présentons ci-dessous quelques montages représentatifs qui mettent en évidence les
difficultés de mise en œuvre et les limites de ces méthodes.
113
Chapitre III. Étude de la force
Que ce soit dans les liquides ou dans les gaz, les forces électriques sont des forces qui
agissent en volume. Elles sont souvent instationnaires, de faibles amplitudes
(quelques mN/m) et donc par nature difficile à mesurer. De plus, la présence de haute
tension, de plasma (dans le cas des gaz) et de champs électriques élevés perturbent le
fonctionnement de la plupart des systèmes de mesures de précision.
Une solution pour parvenir à mesurer cette force consiste à utiliser une balance
électronique. Durscher [ 136 ] utilise par exemple une balance Ohaus de type
Adventurer ™ Pro AV313C. Pour protéger leur appareil de mesure de tous bruits
électromagnétiques, les actionneurs sont montés sur un support acrylique et la balance
est placée dans une cage de Faraday (voir figure3.3a). Avec ce dispositif, les auteurs
certifient qu’ils obtiennent une mesure de la force avec une précision de 4% (pour un
intervalle de confiance de 95%). D’autres dispositifs ont été utilisés avec plus ou
moins de succès comme par exemple le pendule de Porter et al [137].
a
b
c
Figure 3.3 : Schéma de la mesure directe de la force EHD par balance électronique,
(a) [136], (b) [138], (c)[137].
Le mouvement du pendule est enregistré par un dispositif laser ce qui permet de
calculer le coefficient d’amortissement du mouvement pendulaire. La résolution des
équations de mouvement permet d’en déduire la force exercée par le système plasma.
Ce montage est intéressant à plusieurs titres. En utilisant un système laser, les auteurs
garantissent une insensibilité totale du dispositif de mesure vis-à-vis des perturbations
électromagnétiques. Deuxièmement, la force à mesurer étant faible, sa mesure est très
sensible aux biais expérimentaux. Même si les auteurs n’en parlent pas ce dispositif
est intéressant, car la distance entre l’actionneur et l’axe est réglable. En multipliant
les mesures d’une même force, il doit être possible de limiter les biais liés à des
positions anormales (mode propre de résonnance du bras de levier).
Malheureusement, bien que la théorie du mouvement pendulaire soit aujourd’hui bien
maîtrisée, les auteurs soulignent dans leur article la difficile mise en œuvre de cette
technique. La présence d’oscillations basses fréquences perturbe le calcul du
coefficient d’amortissement et la mesure de la force reste imprécise.
Un autre dispositif intéressant est utilisé par Gregory dans le cadre de mesures de la
force électrique dans une chambre à vide [139] (figure 3.4). Dans ce dispositif,
l’actionneur et la balance sont placés aux deux extrémités d’un bras pivotant. Cette
architecture est intéressante puisqu’elle permet d’éloigner le système de mesures (la
balance) de l’actionneur et donc des perturbations électromagnétiques. De plus, en
114
Chapitre III. Étude de la force
déplaçant le pivot en direction de la balance, le système permet également de profiter
d’un effet « bras de levier » qui amplifie la force mesurée par la balance et accroit
notablement la sensibilité de la mesure. Sur le dispositif présenté, ils utilisent une
balance de force de type Mettler Toledo XS205. Le pivot est désaxé de façon à ce que
la force lue par la balance soit, en pratique, deux fois supérieure à la force réelle
générée. Les auteurs n’indiquent pas la précision de leur méthode de mesure, mais on
peut déduire de leurs résultats quelle est inférieure à 0,5mN.
Figure 3.4 : Schéma et dispositif expérimental de la mesure directe de la force EHD
par balance électronique [139].
En conclusion, nous pouvons dire que les mesures directes de forces électriques sont
difficiles. D’une part la force à mesurer est faible et d’autre part, les appareils de
mesure doivent être protégés des perturbations électromagnétiques. On peut
cependant trouver dans la littérature des solutions techniques à ces problèmes.
Cependant, ces méthodes ne sont pas idéales et souffrent de problèmes intrinsèques.
Le premier problème vient de la mesure elle-même. Selon l’hypothèse : « action
réaction », il suffit de mesurer la force exercée par le fluide sur l’action pour connaitre
la force appliquée par l’actionneur sur le fluide.
=
(3.5)
Les dispositifs que nous venons de présenter s’incrivent dans cette démarche et
enregistrent la force de poussée que subit l’actionneur. Le problème est qu’une partie
de la force poussée (
) mesurée ne provient pas de l’actionneur (
), mais
des forces de frottement qui existent soit entre l'écoulement et la surface soit dans les
dispositifs de mesure (frottement sur l’axe de rotation du pivot).
=
−
�
(3.6)
Dans le cas particulier des actionneurs plasma à barrière diélectrique, le frottement
entre l’écoulement et la surface diélectrique est non négligeable. Pour connaître la
force produite par l’actionneur, il faudrait donc être capable d’estimer la valeur de la
force de frottement ce qui est particulièrement difficile [129].
L’autre défaut de ces méthodes est leurs difficultés à fournir des variations
temporelles hautes fréquences. L’un des avantages majeurs des actionneurs
115
Chapitre III. Étude de la force
électriques est leur faible temps de réaction. La force électrique s’établit en quelques
millisecondes (peut-être moins). En utilisant des systèmes mécaniques comme des
bras de levier ou des balancés ont réduit considérablement la bande passante des
dispositifs de mesure ce qui limite leur utilisation aux faibles fréquences voir aux
seules valeurs moyennes.
Enfin ces dispositifs directs sont incapables de fournir des informations sur la
distribution spatiale du champ de force, par nature, ils ne donnent que la force
moyenne. Pour accéder à toutes ces informations d’autres méthodes sont comme les
méthodes indirectes peuvent être employées.
3.2.2.2. Méthodes indirectes
Les méthodes indirectes sont basées sur l'analyse des champs de vitesse et de pression.
Initialement, ces méthodes ont été développées pour déterminer la portance et la
trainée d’objets placés dans un écoulement [123] complétée par David L.[140] puis
adaptées à l’étude des forces EHD dans les gaz notamment au sein de l’institut Pprime
Débien et al. [141-142].
L’idée fondamentale est de quantifier la force volumique qui s’exerce sur le fluide
grâce à un calcul inverse de l’équation de quantité de mouvement (Navier-Stokes).
⃗
=
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ + ∇
⃗⃗ −
+ ( ⃗⃗ . ∇
∇ ⃗⃗
(3.7)
D’après cette équation, il suffit de connaitre la pression et la vitesse locale pour
calculer la force volumique. On notera que dans l’équation ci-dessus la force de
gravité est considérée comme négligeable (ce qui presque toujours le cas).
En théorie, les données de vitesse et de pression peuvent être obtenues
expérimentalement par mesure directe ; la pression est relevée à l’aide de capteurs de
pression et les champs de vitesse sont enregistrés par méthodes PIV ou LDV [136].
En pratique, les choses sont souvent plus complexes. La pression est rarement connue
ou alors seulement en quelques points grâce à des relevés ponctuels sur des surfaces
de contact et les données de vitesse sont le plus souvent bruitées. Heureusement, les
progrès réalisés permettent d’obtenir des champs haute fréquence très peu bruités. Le
problème de la pression reste lui entier et deux approches ont été développées pour
contourner ce problème. La première approche regroupe l’ensemble des méthodes
dites intégrales, la seconde les méthodes différentielles [143]. Les méthodes intégrales
sont robustes et peuvent être résolues en temps, mais ne donnent qu’une valeur
globale de la force ; les méthodes différentielles permettent de produire des cartes de
forces détaillées, éventuellement résolues en temps, mais sont extrêmement sensibles
aux bruits.
3.2.2.2.1. Méthodes intégrales
Les méthodes intégrales reposent sur le concept de bilan de quantité de mouvement.
Le concept est de quantifier la force volumique qui s’exerce sur un volume de fluide
116
Chapitre III. Étude de la force
par intégration de l’équation de quantité de mouvement (Navier-Stokes). Soit un
volume de contrôle
de surface .
Figure 3.5 : Volume de contrôle
.
Le fluide situé à l’intérieur de ce volume de contrôle (figure 3.5) subit une force
volumique qui peut être calculée par intégration sur  de l’équation de quantité de
mouvement.
⃗
⃗⃗
=∭

⃗⃗ ⃗⃗ + ∇
⃗⃗ −
+ ( ⃗⃗ . ∇
∇ ⃗⃗
(3.8)
Les termes convectifs et visqueux se calculent aisément à partir des champs de vitesse.
Terme convectif :
⃗�
=
⃗⃗ ⃗⃗
∭ ( ⃗⃗ . ∇

(3.9)
Terme visqueux :
⃗
=
∭ ∇ ⃗⃗

(3.10)
Pour estimer le terme temporel, il est nécessaire de disposer d’au moins deux champs
de vitesse consécutifs. L’utilisation d’une PIV rapide donne d’excellents résultats.
Terme temporel :
⃗⃗
⃗
= ∭

(3.11)
Seul le terme de pression n’est pas quantifiable directement :
⃗
= ∭ ⃗∇⃗

(3.12)
117
Chapitre III. Étude de la force
La pression n’étant, au mieux, connue qu’en quelques points et non sur l’ensemble du
domaine, le terme de pression est impossible à estimer directement. Le problème peut
être simplifié en utilisant la théorie du flux de Green-Ostrogradsky. L’intégrale de
volume peut être ramenée à une intégrale de surface. Les deux termes étant
mathématiquement équivalents.
⃗
= ∭ ⃗∇⃗

= ∬ . ⃗⃗
(3.13)
On voit que pour calculer le terme de pression, il suffit de connaître la pression sur la
surface du volume de contrôle. Celle-ci peut alors être mesurée à l’aide de capteurs de
pression. En pratique, même si certains auteurs réalisent des mesures sur une partie de
la surface, il n’y a pas à notre connaissance de publication dans laquelle une telle
mesure aurait été réalisée sur la totalité de la surface du volume de contrôle.
Une autre possibilité constitue à placer les contours du volume de contrôle si loin de la
zone d’étude que la pression peut-être supposée constante sur l’ensemble de la surface.
Cette méthode est parfois utilisée dans les gaz, car la pression s’homogénéise
rapidement lorsqu’on s’éloigne de la zone de force. Certaines études sur les gaz vont
même jusqu’à négliger le terme de pression. Dans les liquides, il est impossible de
négliger l’influence de la pression. Il faut donc la calculer à partir du champ de vitesse.
La méthode classique consiste à travailler avec un volume de contrôle suffisamment
grand pour englober toute la zone de force. La force EHD doit être nulle ou
négligeable sur toute la surface du volume de contrôle figure 3.6.
Figure 3.6 : Volume de contrôle englobant toute la zone de force.
Grâce à cette hypothèse, le gradient de pression s’obtient facilement en tout point M de
la surface par calcul inverse de l’équation de Navier-Stokes.
⃗∇⃗ | =
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ | − ∇ ⃗⃗ |
| + ( ⃗⃗ . ∇
(3.14)
La pression sur la surface se calcule à un scalaire près par propagation de la pression le
long de la surface à partir d’un point origine de position et de pression arbitraire selon
la relation suivante :
118
Chapitre III. Étude de la force
= ̅ + ∫ ⃗∇⃗
0
.⃗
(3.15)
La force volumique qui s’exerce sur le fluide située à l’intérieur du volume de
contrôle se calcule en utilisant la relation suivante :
⃗
⃗⃗
=∭

⃗⃗ ⃗⃗ −
+ ( ⃗⃗ . ∇
∇ ⃗⃗
+
∙ ⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗
(3.16)
On notera que la valeur de 0 n’a aucune influence sur le résultat. La pression en
est donc toujours supposée égale à 0.
Cette méthode a été proposée par Noca et al.[ 144 ] En utilisant des données
d’écoulements mesurés par PIV, ils ont calculé la force exercée par un fluide sur un
corps non profilé [123]. La précision de la méthode en termes de résolution spatiale et
la précision aux mesures de vitesse a été étudiée par [140] sur les résultats DNS. Plus
récemment, cette méthode a été utilisée avec succès par [141] pour estimer la force
électrique instationnaire produite par des actionneurs plasmas dans un écoulement
d'air.
3.2.2.2.2. Les méthodes différentielles
Les méthodes intégrales sont systématiquement basées sur une forme particulière de
l’équation de Navier-Stokes. À la différence des méthodes intégrales, elles permettent
de calculer la force volumique en tout point de l’espace.
Comme pour les méthodes intégrales, l’absence de données sur la pression reste la
difficulté majeure. Celle-ci n’étant pas quantifiable, les méthodes intégrales
s’appuient sur des formulations particulières de l’équation de Navier-Stokes dans
lesquelles la pression n’apparait pas.
Parmi l’ensemble des méthodes intégrales, la méthode de Wilke [145] est sans aucun
doute la plus simple. Il suppose et vérifie numériquement que dans les gaz, le terme
de la force est au moins un ordre de grandeur plus grand que les gradients de pression
dans l'ensemble de volume de contrôle, soit :
| |
|
|
(3.17)
Il en déduit donc que les dérivées de la pression peuvent être négligées et la force peut
être calculée avec l’équation suivante :
⃗
=
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ −
+ ( ⃗⃗ . ∇
∇ ⃗⃗
(3.18)
119
Chapitre III. Étude de la force
Une autre possibilité est d’utiliser l’équation de vorticité. Cette équation s’obtient en
écrivant le rotationnel de l’équation de Navier-Stokes.
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
⃗⃗
(3.19)
− ⃗⃗. ∇ ⃗⃗ − ∇ ⃗⃗ + ( ⃗⃗ . ∇ ⃗⃗
(3.20)
Le champ de vorticité se déduit du champ de vitesse donc comme pour les méthodes
intégrales, les termes de :
Transport de la vorticité :
= ( ⃗⃗ . ∇ ⃗⃗
(3.21)
Viscosité :
�
D’étirement de la vorticité :
=
=
∇ ⃗⃗
(3.22)
⃗⃗. ∇ ⃗⃗
(3.23)
Se calculent aisément à partir du champ de vitesse. Le terme temporel nécessite lui au
moins deux champs consécutifs
=
⃗⃗
(3.24)
Cette méthode permet de calculer le rotationnel de la force sans connaitre le champ de
pression. Pour estimer la force volumique le calcul du rotationnel ne suffit pas. Il faut
faire des hypothèses ou ajouter des informations.
Albrecht et al. [143] ont utilisé cette méthode pour calculer le champ de force produit
par un plasma. N’ayant qu’une information bidimensionnelle sur l’écoulement, champ
de vecteurs 2D (PIV dans un plan laser). Ils ont supposé leur écoulement
bidimensionnel. Cette première hypothèse permet de restreindre l’équation vectorielle
à une seule composante non-nulle mais également de simplifier cette dernière
équation puisque le terme d’étirement de vorticité est nul dans ce cas. Ils obtiennent
ainsi l’équation suivante.
−
120
=
+
−
+
(3.25)
Chapitre III. Étude de la force
Cette unique équation est insuffisante pour calculer les deux composantes de la force
et . Par conséquent, ils supposent que la force est principalement orientée dans
la direction x et sa composante en y ainsi que toutes dérivées sont négligeables.
(3.26)
La composante
de la force peut être calculée selon :
=
(
+
−
+
(3.27)
L’hypothèse utilisée par Albrecht est très intrusive, plutôt que de supposer la force
uniquement orientée selon une direction cartésienne, il serait sans doute préférable
d’utiliser une hypothèse ayant un sens physique en supposant par exemple que la
force est dirigée dans la direction du champ électrique.
Figure 3.7 : Composantes du vecteur vitesse dans un repère lié au champ électrique.
=
cos + sin
(3.28)
=
cos − sin
(3.29)
=
∂
∂
−
∂
∂
(3.30)
est la composante de la vitesse suivant la direction du champ électrique,
décomposant de la vitesse perpendiculaire au champ électrique.
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
+
∂
∂
est le
(3.31)
121
Chapitre III. Étude de la force
,
=
(3.32)
3.2.3. Méthode de simulation numérique
La force peut également être estimée par simulation numérique. En reproduisant grâce
à un modèle numérique plus ou moins complexe l’écoulement observé
expérimentalement, certains auteurs proposent une estimation de la force. Dans le cas
des forces EHD, la démarche nécessite de modéliser la complexité physique des
phénomènes électriques ainsi que le couplage de ces équations électriques avec les
équations de Navier-Stokes.
Des simulations de l’actionneur DBD ont été réalisées dans les gaz, avec de degrés de
complexités divers. Certaines simulations considèrent le déplacement d’ion dans le
gaz pur. Jayaraman et al [146] simulent la physique d'un actionneur asymétrique 2D
fonctionnement en hélium. D’autres simulent le processus d'ionisation [146-147]
[ 148 ], et d’autres encore vont jusqu’à considérer des écoulements ionisés
multi-espèces dans des mélanges gazeux comme l’air [129], [149-150]. Dans la
majorité de ces approches dans un certain nombre de ces études sur actionneurs de
plasma les auteurs affirment que leurs prédictions sont compatibles avec les résultats
expérimentaux[151-152].
Toutes ces études font progresser la compréhension des phénomènes, mais les
résultats restent dépendants des modèles physiques, des schémas numériques, ainsi
que des conditions aux limites utilisées.
3.3. Méthode intégrale appliquée au cas lame/plan
3.3.1. Démarche
Comme nous l’avons déjà évoqué ci-avant, cette méthode est basée sur l'intégration
de l'équation de quantité de mouvement.
⃗
Pour facilité,
=∭

⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ −
+ ( ⃗⃗ . ∇
∇ ⃗⃗
+
∙ ⃗⃗⃗⃗
(3.33)
l’exposé de notre démarche on pose :
⃗⃗⃗ =
⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ −
+ ( ⃗⃗ . ∇
∇ ⃗⃗
(3.34)
Le vercteur ⃗⃗⃗ se calcule en tout point uniquement à partir du champ de vitesse.
122
Chapitre III. Étude de la force
⃗
= ∭ ⃗⃗⃗

∙ ⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗
+
(3.35)
Par définition le vecteur ⃗⃗⃗ vérifie également :
⃗⃗
⃗⃗⃗ = ⃗ − ∇
(3.36)
Pour faciliter les calculs, l’écoulement est supposé bidimensionnel. Les volumes de
contrôle sont des rectangles qui s’appuient sur les points du champ PIV. Les 4 faces
sont nommées en fonction de leur position géographique (Nord Sud Est Ouest).
Figure 3.8 : Volumes de contrôle pour l’écoulement est supposé bidimensionnel.
Avec les coordonnées du vecteur, les forces s’écrivent alors :
=
+ (
+
−
+
(3.37)
=
+
+
−
+
(3.38)
=∬
+ ∫ ∙
− ∫ ∙
(3.39)
=∬
+ ∫ ∙
−∫ ∙
(3.40)


�
�
Tous les termes (la convection, visqueux, temporel) peuvent être calculés à partir du
champ de vitesse en utilisant une méthode de type différences finies ou éléments finis
(d’ordre 1 ou 2).
123
Chapitre III. Étude de la force
Les figures 3.9 et 3.10 montrent que les valeurs du terme temporel en deux points
dans les deux directions sont très bruitées. Les figures 3.9b, 3.9d, 3.10b et 3.10d
montrent une image instantanée du terme temporel suivant deux directions. On peut
voir que le terme instantané est extrêmement bruite. Par contre, le terme temporel
moyen devient rapidement négligeable, l’ordre de grandeur de ce terme moyen est
100 fois plus petit que le terme temporel (voir figure 3.11a et 3.12a).
a
b
c
d
Figure 3.9 : Évolution du terme temporel sur un point et cartographie du terme
temporel instantané pour la composante
(a) (b) et la composante (c) (d),
=-10kV, =3cm.
En théorie, la méthode intégrale peut être utilisée pour étudier les évolutions
temporelles de la force. Cependant, comme le terme temporel est un terme dominant,
il doit être déterminé avec une grande précision. La PIV 4Hz que nous utilisons ne
permet pas d’obtenir une précision suffisante aussi, dans le travail présenté ici, nous
ne déterminons que la force moyenne en nous appuyant sur la forme moyennée des
équations :
̅ =
124
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+ (
+
−
+
(3.41)
Chapitre III. Étude de la force
̅ =
̅̅̅̅̅
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
−
+
(3.42)
̅
=∬̅
+ ∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
(3.43)
̅
=∬̅
+ ∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
(3.44)


a
�
�
b
c
d
Figure 3.10 : Évolution du terme temporel sur un point et cartographie du terme
temporel instantané pour la composante (a) (b) et la composante
(c) (d),
=-35kV, =3cm.
Les figures 3.11 et 3.12 présentent les composantes
et
moyennes des termes :
temporel, convectif et visqueux calculés à partir des champs de vitesse PIV pour une
différence de potentiel de =-10kV. On note qu’il existe deux régions principales
pour lesquelles les termes sont non nuls. D’une part au voisinage de la pointe d’autre
part au dessus de la plaque. On peut également se rendre compte que les incertitudes
sont loin d’être négligeables puisqu’elles sont systématiquement du même ordre de
125
Chapitre III. Étude de la force
grandeur que le terme calculé. Ce n’est pas une surprise puisque ces termes sont
obtenus par dérivation du champ de vitesse. Cependant si on observe la convergence
de la valeur moyenne on peut s’apercevoir que celle-ci semble atteindre une valeur
convergée vers =700 (figure 3.13a et 3.13c, figure 3.14a et 3.14c). La même
remarque peut être appliquée à l’écart type qui lui converge en =700 (figure 3.13b
et 3.13d, figure 3.14b et 3.14d). Augmenter le nombre de mesures ne sert à rien. On
observe également que les composantes du terme temporel sont négligeables devant
celles des termes visqueux et convectifs. Ils peuvent donc être négligés (figure 3.11 et
figure 3.12).
̅̅̅̅̅
a
b
c
d
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
e
f
Figure 3.11 : Cartographie de la composante
moyenne des termes : temporel (a),
convectif (c), visqueux (e) et leur incertitude de calcul à gauche (b), (d) et (f).
=-10kV, =3cm.
126
Chapitre III. Étude de la force
̅̅̅̅̅
a
b
c
d
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
e
f
Figure 3.12 : Cartographie de la composante
moyenne des termes : temporel (a),
convectif (c), visqueux (e) et leur incertitude de calcul à gauche (b), (d) et (f).
=-10kV, =3cm.
127
Chapitre III. Étude de la force
a
b
c
d
Figure 3.13 : Convergence de la composante
moyenne des termes : convectif (a),
visqueux (c) et leur incertitude de calcul (b), (d). =-10kV, =3cm.
a
b
c
d
Figure 3.14 : Convergence de la composante
moyenne des termes : convectif (a),
visqueux (c) et leur incertitude de calcul (b), (d). =-10kV, =3cm.
128
Chapitre III. Étude de la force
Les figures 3.10 ont été obtenues à partir de champs de vitesse enregistrés avec un
potentiel de -35kV. On peut voir que toutes les remarques faites pour les champs à
-10kV s’appliquent également à -35kV. Le terme temporel est négligeable en
moyenne (figure 3.15-3.18).
̅̅̅̅̅
a
b
c
d
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
e
f
Figure 3.15 : Cartographie de la composante
moyenne des termes : temporel (a),
convectif (c), visqueux (e) et leur incertitude de calcul (b), (d) et (f). =-35kV,
=3cm.
129
Chapitre III. Étude de la force
̅̅̅̅̅
a
b
c
d
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
e
f
Figure 3.16 : Cartographie de la composante
moyenne des termes : temporel (a),
convectif (c), visqueux (e) et leur incertitude de calcul (b), (d) et (f). =-35kV,
=3cm.
130
Chapitre III. Étude de la force
a
b
c
d
Figure 3.17 : Convergence de la composante
moyenne des termes : convectif (a),
visqueux (c) et leur incertitude de calcul (b), (d). =-35kV, =3cm.
a
b
c
d
Figure 3.18 : Convergence de la composante
moyenne des termes : convectif (a),
visqueux (c) et leur incertitude de calcul (b), (d). =-35kV, =3cm.
131
Chapitre III. Étude de la force
Les valeurs moyennes doivent être obtenues à partir un nombre suffisant de mesures.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
+
−
+
(3.45)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
−
+
(3.46)
et
Ainsi :
et
̅ ≈
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
−
+
(
(3.47)
̅ ≈
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
−
+
(3.48)
a
b
̅
̅
c
d
Figure 3.19 : Cartographie du terme ̅ (a) et incertitude ∆ ̅
̅ (c) et incertitude ∆ ̅ (d). =-10kV, =3cm.
132
(b), terme
Chapitre III. Étude de la force
̅
a
b
̅
c
d
Figure 3.20 : Cartographie du terme ̅ (a) et incertitude ∆ ̅ (b), terme ̅ (c)
et incertitude ∆ ̅ (d) pour le cas =-35kV, =3cm.
3.3.2. Volume de contrôle
La première étape consiste à placer le volume de contrôle  . Cette étape est
déterminante. Pour que le calcul soit correct, la force électrique doit être nulle en tout
point de la surface S. Si cette hypothèse n’est pas vérifiée, le calcul perd tout sens
physique et le résultat est faux. Selon la théorie, les forces électriques sont situées
dans les zones de champ fort. Il est donc souhaitable d’éloigner au maximum les
bords du volume de contrôle des zones de champ fort. En utilisant un logiciel des
éléments finis, il est possible de calculer le champ électrique en l’absence de charge
d’espace. On identifie alors la zone de champ fort autour de la pointe, mais comme la
charge d’espace n’est pas connu impossible de situer avec exactitude la zone de force.
Une autre possibilité consiste à utiliser le terme de vitesse ⃗⃗⃗. Comme par définition :
⃗⃗
⃗⃗⃗ = ⃗ − ∇
(3.49)
On peut supposer en première approximation que si
⃗⃗ = ⃗⃗
⃗⃗⃗ = ⃗⃗ alors ⃗ = ⃗⃗ et ∇
(3.50)
133
Chapitre III. Étude de la force
⃗⃗ ,
Ce n’est bien évidemment pas toujours vrai puisqu’on peut avoir également ⃗ = ∇
Mais supposons dans un premier temps que si
⃗⃗ = ⃗⃗
⃗⃗⃗ = ⃗ = ∇
(3.51)
Nous pouvons donc placer le volume de contrôle de façon à ce que les bords du
volume soit dans les zones où ⃗⃗⃗ = ⃗⃗
Figure 3.21 : Placement d’un volume de contrôle et surface de contrôle. =-35kV,
=3cm.


2H/3
2H/3
2H/3
2H/3
a
b
Figure 3.22 : Exemple de contrôle placé autour de l’arête de la lame (a) ̅
̅ , =2 /3×2 /3, =-35kV, =3cm.
et (b)
La figure 3.21 montre le placement du volume de contrôle et la figure 3.22 montre un
exemple de volume de contrôle placé sur l’arête de la lame. Nous avons supposé,
conformément à la théorie, que la force électrique créée est sous l’arête. Le volume de
contrôle est placé légèrement au-dessus passe légèrement sur la lame. Une fois le
volume de contrôle en place, il reste à calculer le terme de pression.
134
Chapitre III. Étude de la force
3.3.3. Calcul du terme de pression
⃗⃗p e se fait en deux étapes : (1) estimation de la
Le calcul du terme de pression �
pression le long de la surface
du volume de contrôle, (2) détermination du terme de
pression. Comme la force électrique est supposée nulle tout le long de la surface de
contrôle . L’équation de Navier-Stokes nous permet de calculer le gradient de
pression moyen à partir du champ de vitesse en tout point de la surface :
̅| =
⃗∇⃗ ̅ | = ⃗⃗⃗
̅̅̅̅̅
⃗⃗ . ∇
⃗⃗ ⃗⃗ | − ∇
⃗⃗ |
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(3.52)
En bi-dimensions seule la composante
du gradient est nécessaire pour les cotés Est
et Ouest et la composante
pour les Nord et Sud.
Sur les côtés Est et Ouest :
̅
| = ̅̅̅̅| =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
| −
+
|
(3.53)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
| −
+
|
(3.54)
Sur les côtés Nord et Sud :
̅
| = ̅̅̅̅|
=
Puis par propagation de la pression à partir d’une position et d’une pression arbitraire,
nous en déduisons la pression sur le bord du volume de contrôle.
̅ = 0̅ + ∫ ⃗∇⃗
Où
̅
0
.⃗
est un scalaire et ⃗ est un vecteur unitaire tangent à la surface
(3.55)
.
Figure 3.23 : Calcul de pression par propagation de la pression à partir d’une position
et d’une pression arbitraire.
135
Chapitre III. Étude de la force
Considérons un volume de contrôle , , ,
composé horizontalement de
cellules et verticalement de
cellules de largeur  et de hauteur  . Chaque
point du contour est repéré sur la grille en fonction de sa position , . On suppose
que les coordonnées du point
sont , et par conséquent
, ;
,
et
, . La pression au point
, se calcule par propagation à partir du point
arbitraire
, de pression ̅ arbitraire et un sens de parcours lui aussi arbitraire
(par exemple trigonométrique figure 3.23).
Sur la figure 3.10, on a : 0 =0
. Pour calculer la pression, on utilise une
0,
méthode différence finie du premier ordre. À partir du sens de circulation
trigonométrique choisit on a : entre
et
comme sur , ⃗ = ⃗ et
, =0 .
̅ = ̅ + ∫ ⃗∇⃗
0
⃗⃗ |
= ̅ + ∫∇
.⃗
−
̅
= ̅ +∆ ∑
=
̅ = ̅
, =0
Comme dans notre exemple
|
= 0̅ + ∆ ∑
=
0 =0
,0
0
Pour un point
⃗ = ⃗ et
sur
,
̅ = ̅ + ∫ ⃗∇⃗
0
136
, placé sur
.⃗
|
=
(3.56)
̅
,
−
= 0̅ + ∆ ∑
=
et
̅ = ̅ + ∫ ⃗∇⃗
=
̅
= ̅ +∫
, =
−
̅ = ̅
.⃗
.⃗
0
>
̅
0
(3.57)
,
−
= 0̅ + ∆ ∑
=
(3.58)
̅
,
(3.59)
et
= ̅ + ∫ ⃗∇⃗ . ⃗
+ ∫ ⃗∇⃗ . ⃗
= ̅ +∫
̅
|
=
(3.60)
Chapitre III. Étude de la force
̅ = ̅
−
̅
= ̅ +∆ ∑
,
=0
−
,
̅
= 0̅ + ∆ ∑
=
−
,
̅
+∆ ∑
=0
,
(3.61)
et
�̅
= ̅ + ∫ ⃗∇⃗
0
�̅
̅
= ̅ +∆ ∑
=0
placé sur
,
̅ = ̅ + ∫ ⃗∇⃗
.⃗
0
= ̅ −∆
∑
=+
−
= 0̅ + ∆ ∑
=
̅ = �̅ − ∆ ∑
=
̅
,
−
= 0̅ + ∆ ∑
=
De la même façon, pour un point
⃗ = −⃗
,
−
̅ = ̅ + ∫ ⃗∇⃗
̅
= 0̅ + ∆ ∑
=
, entre
,
̅ = ̅ ,
+ ∫ ⃗∇⃗ . ⃗
0
−
Pour un point
⃗ = −⃗
= 0̅ + ∫ ⃗∇⃗ . ⃗
.⃗
̅
= ̅ +∫
−
,
̅
+∆ ∑
=0
|
=
,
(3.62)
(3.63)
et
= ̅ + ∫ ⃗∇⃗ . ⃗
̅
̅
̅
,
,
−
+∆ ∑
=0
,
.⃗
̅
−
+∆ ∑
=0
placé sur
̅
= ̅ −∫
,
̅
−∆
,
entre
= ̅ −∫
|
=
̅
=+
=
=0
(3.64)
∑
−∆ ∑
et
̅
|
̅
,
,
(3.65)
(3.66)
.
(3.67)
137
Chapitre III. Étude de la force
̅ = ̅ ,
= ̅ −∆
−
̅ = ̅ ,
= 0̅ + ∆ ∑
−∆ ∑
=
̅
=
̅
,
= +
̅ = 0̅ + ∆ ∑
=
Et enfin de
à
̅
−
,
+∆ ∑
=0
̅
̅ = 0̅ + ∆ ∑
=
.⃗
̅
−
=0
=0
̅
,
=0
= +
̅
,
,
(3.69)
,
(3.70)
̅
̅
= ̅ +∫
= ̅ +∆ ∑
+∆ ∑
̅
,
,
−∆ ∑
=
̅
,
(3.71)
, =0 .
−
−
,
∑
=
̅ = ̅ + ∫ ⃗∇⃗
̅
=0
−∆ ∑
, ⃗ = ⃗ et
+∆ ∑
138
,
de nouveau sur
̅ = ̅ ,
−
̅
(3.68)
+∆ ∑
−∆
=
,
−
,
̅ = ̅ −∆ ∑
−
̅
∑
̅
−∆ ∑
=
|
=0
(3.72)
,
̅
(3.73)
,
−∆ ∑
=
̅
,
(3.74)
Chapitre III. Étude de la force
̅
0
−
̅
= 0̅ + ∆ ∑
=
−
−
,
̅
+∆ ∑
=0
̅
+∆ ∑
=0
,
,
−∆ ∑
=
̅
,
̅
−∆ ∑
=
,
(3.75)
Donc
−
̅
∆ ∑
=0
−
,
̅
+∆ ∑
=0
,
̅
−∆ ∑
=
,
̅
−∆ ∑
=
,
=
(3.76)
La connaissance de la pression en tout point du contour permet de calculer les termes
de pression.
̅
̅
�
= ∫ ̅∙
=∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
�
Le développement des calculs de ̅
Après développement, on obtient :
̅
̅
=∆ ∆ ∑( +
=0
,
−∆ ∆ ∑ ( +
=
̅
= ∆
−
∑
+ ∆
=0
+
−
∑
=
+∆ ∆ ( 0−
−
̅
0
+
−
−
∑
=0
−∫ ̅∙
et ̅
−
−∫ ̅∙
=∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
= ∫ ̅∙
(3.77)
−∫ ̅∙
0
est disponible en Annexe 3.4.
−
̅
,
∆
̅
∑
=
0
̅
,
,
+∆ ∆ ( −
− ∆
,
(3.79)
,
̅
(3.78)
−
∑
=0
−
0
+
0
+
−
∑
=0
̅
̅
,
,
(3.80)
139
Chapitre III. Étude de la force
Avec le dispositif PIV que nous utilisons : ∆ = ∆ .
̅
= ∆
̅
−
̅
∑ ( +
=0
= ∆
,
−
−∑
−
+ ∑
=0
=
−
+
−
+ −
+∑ ( 0−
=
=
0
0
̅
̅
∑
̅
̅
,
,
,
,
=
−
+∑ ( −
−
−∑
̅
−∑ ( −
=0
−
=0
0
0
+
+
,
(3.81)
̅
̅
,
,
(3.82)
Le résultat peut paraître complexe, il permet toutefois de faire apparaitre un certain
nombre d’informations.
1)
⃗
est indépendant de p0. Pour calculez la pression sur le bord du domaine
nous avons utilisé une pression de référence 0 . On peut constater grâce aux 2
équations ci-dessus que les deux composantes du terme de pression sont
totalement indépendantes de p0. On peut donc toujours choisir 0 =0.
2) On notera également que ̅
et ̅
des gradients c’est-à-dire à partir de ̅
vitesse.
3)
se calculent uniquement à partir
et ̅ et donc à partir du champ de
Enfin tous les gradients n’interviennent pas avec le même poids dans le résultat.
Exemple dans le calcul de ̅
composantes du gradient en
, le gradient
:
̅
− ,0
et
̅
̅ ,0
− ,0
a un poids de ( +1- 0 ). Les
n’interviennent pas dans le
résultat (poids nul) alors que les gradients de la face Nord ont un poids égale à
(nombre vertical de cases du volume) sur ̅
. En tenant compte du sens de
parcours, on peut considérer que le point
est en début de face Nord et en fin de
face Est. On constate alors que le gradient placé en début de face a un poids plus
important que ceux placés en fin de face.
Les poids respectifs des gradients pour un volume de contrôle de
sont donnée sur les figures 3.24a et 3.24b respectivement pour ̅
=8, =4, cases
et ̅
.
La figure 3.24 expose de façon graphique les poids respectifs des gradients de
pression d’un volume de contrôle de =8, =4 cases pour ̅
et ̅
. Le
140
Chapitre III. Étude de la force
poids des différents termes varie de 0 à ( -1) soit 6 sur les faces Nord et Sud et atteint
même n- 0 -1 soit 6,5 pour la face Est dans le calcul de ̅
du terme de pression.
Toutes ces constations n’ont pas d’importance si les gradients sont parfaitement
connus, mais comme dans notre cas les gradients sont calculés à partir de champs de
vitesse échantillonnés et bruités, il existe en tout point une erreur d’estimation du
gradient. La bonne stratégie pour calculer ⃗
consiste à placer les points dont
l’erreur d’estimation est la plus grande sur les positions de poids les plus faibles et vis
et versa. Pour ce faire, on peut placer le volume de contrôle de façon stratégique ou
déplacer la position du point
0, 0 .
a
b
Figure 3.24 : Poids des gradients sur un volume de contrôle pour
̅
(b).
̅
(a) et
3.3.3.1. Choix du point de départ
En théorie, la variabilité du poids des gradients en fonction de leur position sur le
contour du volume de contrôle n’a pas d’importance. Dans la pratique, ce n’est pas le
cas. Comme le gradient de pression sur le contour est égal au terme de vitesse ⃗⃗⃗
(lui-même calculé à partir de champs de vitesse échantillonnés et bruités), il existe en
tout point une erreur sur l’estimation du gradient de pression. Cette erreur est fonction
de l’erreur sur la vitesse et ses dérivées au même point. Elle est donc plus ou moins
importante selon la position du point considéré.
On peut voir figure 3.24 (b) que l’erreur sur ⃗⃗⃗ et (donc sur ⃗⃗ ) est très grande dans
l’axe de la pointe mais également près de la zone d’ombre en haut à gauche. Elle est
très faible partout ailleurs. Si on ramène ces informations au volume de contrôle
choisi. L’erreur sera très faible sur les bords Est et Ouest, faible sur le bord Sud
(excepté au centre) et la partie à droite du bord Nord, et très importante sur la partie
gauche du bord Nord.
La bonne stratégie pour calculer ⃗
consiste à placer le point origine
0 , 0 de
la propagation de façon à ce que les points dont l’erreur est la plus grande soit sur les
positions de poids les plus faibles et vice versa.
Enfin à toutes ces remarques, il faut ajouter que notre volume de contrôle coupe la
lame. Comme la pression s’obtient par propagation, elle ne peut être obtenue en
traversant la lame (figure 3.25).
141
Chapitre III. Étude de la force
Figure 3.25 : Lame coupée par volume de contrôle lors du calcul de propagation de la
pression.
Cela n’aurait pas de sens physique. Il faut donc proposer un parcours de propagation
qui ne franchit pas la lame. Il existe 2 stratégies : propager la pression à partir de la
lame. Ce qui est intéressant puisque la valeur du gradient sur la lame n’interviendrait
pas dans les calculs ou faire en sorte que la propagation se termine par le point placé
sur la lame. Les deux stratégies sont illustrées figure 3.26 et figure 3.27 avec un
volume de contrôle de × =8 ×4 cases.
a
b
Figure 3.26 : Poids des différents gradients sur le terme de pression (a) coordonnée
en , (b)coordonnée
dans le cas d’une propagation à partir de la lame.
a
b
Figure 3.27 : Poids des différents gradients sur le terme de pression (a) coordonnée
en , (b)coordonnée
dans le cas d’une propagation à partir du point bas.
142
Chapitre III. Étude de la force
Comme on peut le voir sur les figures 3.26 et 3.27, les deux stratégies sont
équivalentes. Dans les deux cas, le poids des différents termes sera sensiblement le
même. Nous avons choisi la seconde stratégie.
3.3.4. Analyse un cas de
= -35kV, �=3cm
Nous sommes maintenant en mesure de calculer l’ensemble des termes. Les intégrales
volumiques sont calculées en utilisant une méthode de type volumes finis classique.
La convergence des deux composantes de la force électrique moyenne et la
convergence des erreurs-types correspondantes sont présentés sur la figure 3.28a et
3.28b respectivement. Après avoir effectué les calculs à partir de 1000 champs de
vitesse, la composante verticale de la force moyenne est estimée à
̅ =-45,32±8,82mN/m. Cette valeur est en bon accord avec les mesures effectuées
dans le gaz [141].
a
b
Figure 3.28 : Convergence de la force électrique et son erreur type pour les deux
composantes (a), convergence de l'erreur-type dans les deux directions (b).
En raison de la géométrie symétrique de l'actionneur de lame-plan dans cette étude, la
force électrique moyenne devrait théoriquement être verticale. Cependant, on observe
sur la figure 3.21 que le champ de vitesse n’est pas symétrique. Le jet est légèrement
incliné. La composante horizontale moyenne n'est pas égale à zéro.
̅ = -1,94±16,58mN/m.
3.3.4.1. Vérification de l’hypothèse initiale
Pour réaliser le calcul de la force, nous avons supposé que la force était nulle sur le
bord du volume de contrôle voir la figure 3.6, il est indispensable que cette condition
soit vraie pour que le calcul soit correct.
Nous avons initialement vérifié que ⃗⃗⃗=⃗⃗ ; cependant, c’est une condition nécessaire
mais non-suffisante. Pour prouver que le calcul est correct et donc que la force est
bien nulle sur le bord, il suffit de vérifier que le résultat est indépendant de la taille du
volume de contrôle tant que celui-ci englobe la zone de force dans sa totalité figure
3.29.
143
Chapitre III. Étude de la force
Figure 3.29 : Constance de la force calculée pour différents volumes de contrôle.
Le calcul de la force électrique volumique est systématiquement réalisé sur cinq
volumes de contrôle rectangulaires demi-largeur
et de longueur (voir cas 1 à cas
5 tableau 3.1). Tous sont placés sur l'axe de symétrie. Les volumes de contrôle sont
représentés sur la figure 3.30.
Figure 3.30 : Positions et dimensions des volumes de contrôle utilisés pour estimer la
force électrique générée.
Tableau 3.1 : Dimensions et les résultats pour 5 cas de volume de contrôle.
Cas Volume de contrôle
Taille adim
1
-12,5mm
12,5mm
-25mm
0mm
5/6 × 5/6
2
-10mm
110mm
-20mm
0mm
2/3 × 2/3
3
-5mm
15mm
-15mm
0mm
1/6 × 1/2
4
-2,5mm
12,5mm
-10mm
0mm
1/6 × 1/3
5
-1,25mm
11,25mm
-5mm
0mm
1/12 × 1/6
représente la distance entre la lame et l'électrode de plan. Cette démarche a été
utilisée pour chaque étude de cas. Nous ne présentons cependant ici pour exemple que
les résultats obtenus pour un actionneur lame-plan =3cm, alimenté par un signal
HV continu négatif de =-35kV.
144
Chapitre III. Étude de la force
Les calculs de la force électrique volumique ont été réalisés sur les cinq volumes de
contrôle rectangulaires de demi-largeur
et de longueur . Ils sont référencés sous
le nom de cas1-cas5. La position de ces volumes de contrôle est visible sur la Figure
3.30.
La figure 3.31a et 3.31b présente le résultat du calcul de chacun des 5 termes
(temporel, convectif, visqueux, pression et force électrique) sur les 5 volumes de
contrôle. La composante suivant l’axe
sur le figure 3.31a et la composante
sur
la figure 3.31b.
On peut constater que les deux composantes du terme temporel sont extrêmement
faibles. Peu importe la taille du volume de contrôle ou la composante étudiée. Les
valeurs du terme temporel sont négligeables devant les autres. Cela confirme que le
jet est dans un régime moyen stable.
Le terme visqueux est également négligeable. Ce résultat peut paraitre surprenant
puisque la distribution spatiale du terme de vitesse présenté sur les figures 3.15 et 3.16
montrent qu’il est globalement du même ordre de grandeur que les autres termes.
Cependant comme celui-ci est symétrique par rapport à l’axe du jet et que nos
volumes de contrôle sont également symétriques, l’intégration de la force visqueuse
sur l’un des volumes de contrôle donne un résultat quasi-nul.
Le comportement du terme de pression est également très intéressant. Pour les petits
volumes de contrôle, le terme semble important. En réalité, la valeur calculée n’a pas
de sens physique puisque l’hypothèse de force nulle sur le bord du volume de contrôle
qui est nécessaire au calcul de la pression n’est pas vérifiée. Dès que le volume de
contrôle devient suffisamment grand, l’hypothèse est vérifiée et le terme devient
négligeable. Il existe cependant une exception. La composante y du terme pour le plus
grand volume de contrôle est extrêmement important sur la figure 3.31b. En fait, le
bord bas du grand volume de contrôle est proche du plan et donc de la zone où le
liquide impacte sur le plan. Il y a donc localement une pression importante créée par
l’impact. Cette élévation brusque du terme de pression a donc bien une explication
physique.
Le terme convectif croît avec la taille du volume de contrôle puis se stabilise autour
d’une valeur asymptotique. On note également que la brusque augmentation du terme
de pression figure 3.31b correspond exactement à la brusque chute du terme convectif.
L’énergie cinétique du liquide est convertie en énergie potentielle de pression. Il n’y a
pas ici d’intervention de phénomène électrique.
La force électrique se calcule comme la somme de chacun des termes précédents.
Variable pour les petits volumes de contrôle, elle se stabilise quand la taille du volume
de contrôle atteint la moitié de la taille du champ mesure. Si le jet avait été
complètement symétrique par rapport à l’axe =0, la composante suivant
de force
aurait dû être nulle. Cependant le fait que le jet soit légèrement incliné vers la gauche
montre que la force électrique possède une composante horizontale non-nulle.
Dans la direction
figure 3.31b (direction d'écoulement principale), la force
électrique provient principalement de la contribution du terme de convection qui est
associé aux changements de vitesse (accélération, freinage, changement de direction).
145
Chapitre III. Étude de la force
Cependant comme nous l’avons fait remarquer précédemment toute modification de
la vitesse n’est pas forcément due à la force électrique. Près de la plaque, c’est le
gradient de pression qui est à l’origine du changement de vitesse observé.
20
15
terme temporel en x
terme convectif en x
terme visqueux en x
terme de pression en x
terme de force en x
U=-35kV
H=3cm
10
fy (mN/m)
fx (mN/m)
5
0
-5
-10
-15
-20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0.0
0.8
terme temporel en y
terme convectif en y
terme visqueux en y
terme de pression en y
terme de force électrique en y
U=-35kV
H=3cm
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2dl/H2
2dl/H2
a
b
Figure 3.31 : Évolution de tous les termes en fonction du volume de contrôle pour un
jet EHD =-35kV, =3cm. Les termes sont calculés selon la méthode du bilan de
quantité de mouvement sous la forme intégrale. (a) dans la direction , (b) dans la
direction .
On peut observer sur la figure 3.32a le comportement asymptotique des deux
composantes de la vitesse lorsque la taille du volume de contrôle augmente. La force
électrique moyenne est d'environ -2mN/m dans la direction
et -45 mN/m dans la
direction . En effet, 80% de la force est contenue dans le volume de contrôle cas 3.
10
0
U=-35kV
H=3cm
=2H/3 x 2H/3
50
Fx
Fy
40
F (mN/m)
F (mN/m)
-10
-20
-30
U=-35kV
H=3cm
=2H/3 x 2H/3
Fx
Fy
30
20
-40
10
-50
-60
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
2dl/H2
0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
2dl/H2
a
b
Figure 3.32 : Évolution de la (a) force volumique globale et (b) incertitude sur
l’estimation de la force dans le volume de contrôle en fonction des différentes tailles
2
.
Sans surprise, la force électrique est essentiellement confinée à la zone près de
l’électrode de la lame. L'incertitude est environ 15 mN/m pour
et 5mN/m pour
figure 2.32b. L’erreur standard grandit un peu avec la taille du volume de contrôle
choisie à cause de l'accumulation des erreurs de mesure par intégration sur l'ensemble
de la zone.
En conclusion, la force est très intense proche de l'électrode de la lame. Cela confirme
l'hypothèse proposée par Mc Cluskey [153] qui suggère que dans les jets liquides, les
charges électriques sont confinées autour de l'axe du jet. Comme le champ électrique
146
Chapitre III. Étude de la force
n’est fort qu’au voisinage de l’arête de la lame, la force électrique est limitée à une
zone proche de l’arête.
3.3.4.2. Détection des zones de force volumique par volume glissant
La stratégie des volumes de contrôle à taille variable présentée ci-dessus n’est pas la
seule méthode qui permet de tester la distribution géographique de la force volumique.
Nous avons imaginé une autre stratégie basée sur un concept de volume glissant qui
permet d’obtenir une cartographie grossière de la répartition des forces volumiques.
Cette carte peut ensuite être utilisée pour placer le volume de contrôle souhaité.
Figure 3.33 : Stratégie basée sur un concept de volume glissant.
Pour cela, il faut utiliser le volume de contrôle avec une petite taille (voir
) sur
figure 3.33. La force volumique contenue dans ce volume de contrôle est alors
estimée grâce à la méthode intégrale. Si la force est nulle, la zone est colorée en verte,
si la force est non-nulle, La zone est colorée avec une couleur représentative de la
valeur obtenue (ici en rouge). Le volume de contrôle est alors déplacé, le calcul
recommence jusqu’à ce que tout l’espace de travail ait été couvert. Cette méthode ne
permet pas de calculer la valeur de la force volumique contenue dans le petit domaine,
car le plus souvent le domaine est trop petit pour englober totalement la zone de force
volumique. En présence d’une zone de force électrique, la force n’est donc que très
rarement nulle sur le bord du volume de contrôle et le résultat du calcul est faux.
Cependant, le simple fait qu’il soit non-nul indique que très probablement la valeur de
la force est non nulle à cet endroit.
Si on applique la méthode sur un écoulement
résultats présentés figure 3.34.
=3cm et
=-30kV, on obtient les
147
Chapitre III. Étude de la force
Figure 3.34 : Distribution spatiale de la force calculée par la méthode du volume de
contrôle glissant
=2mm×2mm, = -35kV, =3cm.
Le volume de contrôle utilisé est un carré de 2mm×2mm. Dans les zones vertes, la
valeur de la force est inférieure à 0,5mN/m et peut être considérée comme nulle. Une
couleur rouge ou bleue indique qu’il a présence de force volumique dans cette zone.
La valeur calculée est, bien sûr, fausse.
On retrouve les résultats précédents. La force est très intense proche de l'électrode
lame et confinée autour de l'axe du jet.
3.3.5. Influence du potentiel appliqué et de distance inter-électrode sur la force
moyenne
La méthode a été appliquée à l’ensemble des champs PIV. Les résultats sont présentés
sur la figure 3.35.
En raison de la symétrie du système, la force électrique projectée sur
est
théoriquement égale à zéro. La figure 3.35a montre que ce n’est pas toujours le cas.
Lorsque =1cm par exemple, dès que la tension dépasse =-20kV, le jet s’incline
vers la gauche. On retrouve ce comportement sur la composante x de la force figure
3.35a. La composante
n’est plus nulle non plus lors que la tension atteint
=-40kV. Cependant, on peut voir figure 3.35b et 3.35d que l’incertitude de mesure
augmente aussi avec la tension. Les signaux sont plus turbulents, plus bruités.
Difficile de savoir si la composante
de la force est réelle ou seulement due à une
incertitude de mesure trop importante.
La figure 3.35c indique le comportement de la composante
de la force électrique
en fonction du potentiel pour différentes distances inter-électrodes. Elle augmente
visiblement de façon exponentielle avec le potentiel appliqué quelle que soit la
distance. Une valeur maximale de 230±40mN/m est obtenu avec un potentiel
=-30kV et =1cm de distance inter-électrodes.
148
Chapitre III. Étude de la force
300
300
H=1cm
H=2cm
H=3cm
H=4cm
200
200
Fx (mN/m)
100
Fx (mN/m)
H=1cm
H=2cm
H=3cm
H=4cm
250
0
-100
-200
150
100
50
-300
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
a
30
35
40
45
50
b
-300
300
H=1cm
H=2cm
H=3cm
H=4cm
-250
H=1cm
H=2cm
H=3cm
H=4cm
250
200
Fy (mN/m)
-200
Fy(mN/m)
25
U (kV)
U (kV)
-150
-100
-50
150
100
50
0
0
0
5
10
15
20
25
30
U (kV)
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
U (kV)
c
d
Figure 3.35 : Évolution de la (a) Force volumique globale projetée sur , (b)
incertitude suivant , (c) force volumique globale projetée sur , (d) incertitude dans
la direction .
3.4. Méthode RANS
3.4.1. Introduction
Les méthodes intégrales sont des techniques qui fournissent une estimation globale de
la force. Elles ne permettent pas d’obtenir la distribution spatiale du champ de force,
mais sont tout à fait adaptées à l’étude des variations temporelles de la force globale.
Cependant, toutes les études ne nécessitent pas une résolution en temps et connaître la
valeur moyenne de la force est bien souvent suffisant. Dans ce cas, nous avons vu
précédemment que la force moyenne peut être obtenue en moyennant les valeurs
instantanées. Dans le cas présent, 1000 valeurs sont nécessaires pour obtenir une
bonne précision de la valeur moyenne de la force.
On peut toutefois se demander si la méthode intégrale basée sur l’intégration de
Navier-Stokes est la meilleure façon de calculer la force moyenne. Le calcul des
termes temporels est, par exemple, inutile. En effet, il existe d’autres méthodes
intégrales qui semblent plus adaptées au calcul de la force moyenne comme par
exemple la méthode RANS intégrale.
La méthode RANS intégrale (Reynolds Averaged Navier Stokes equation) est une
méthode intégrale qui s’appuie sur une décomposition de la vitesse en valeur
149
Chapitre III. Étude de la force
moyenne et fluctuation et donne une expression directe de la force moyenne
recherchée.
′ ′
̅̅̅̅̅̅
̅
̅
̅
̅ = ̅
̅
+
− ∆ +
+
(3.83)
Les panaches EHD produits avec nos dispositifs sont sujet à des d’instabilités mais
stables en moyenne. Le terme (6) est donc nul et peut être négligé.
̅ = ̅
̅
′ ′
̅̅̅̅̅̅
− ∆̅ +
+
̅
(3.84)
On retrouve les termes classiques : (2) terme convectif, (3) force visqueuse, (5)
gradient de pression, mais ici sous leur forme moyennée. À ces termes, il faut ajouter
le terme de Reynolds (4) calculé à partir des fluctuations de la vitesse.
Si de plus on appelle ̅ le terme regroupant l’ensemble des termes qui se calculent
directement à partir du champ de vitesse, on obtient :
̅
̅
= ̅
− ∆̅ +
̅= ̅
+
′ ′
̅̅̅̅̅̅
̅
(3.85)
(3.86)
Comme pour toutes les méthodes intégrales la force électrique totale s’obtient par
intégration de l’équation RANS sur un volume de contrôle .
̅ =∭ ̅
�
+
̅
(3.87)
L’intégrale volumique du gradient de pression peut s’écrire sous la forme d’une
intégrale surfacique :
∭
�
̅
= ∬ ̅ ⃗⃗
Alors la force s’exprime sous la forme de deux termes :
150
(3.88)
Chapitre III. Étude de la force
̅ =∭ ̅
�
+ ∬ ̅ ⃗⃗
(3.89)
La pression moyenne se calcule par propagation sur la surface à partir des valeurs du
gradient. Comme la force est nulle sur la surface. En tout point, M de la surface, on a :
̅
| = ̅ | → ̅ = 0̅ + ∫ ̅
(3.90)
3.4.2. Résultats de la méthode
Pour gagner du temps de calcul, il pourrait être intéressant de négliger certains des
termes de l’équation. Malheureusement, comme pour la méthode classique aucun
terme ne peut être négligé. La figure 3.36 ci-dessous présente la cartographie de
chacun des quatre termes pour un jet obtenu avec = -35kV, =3cm.
Le terme convectif :
a
Figure 3.36 : Terme convectif de RANS en (a)
b
, (b)
.
Le terme de Reynolds :
a
Figure 3.37 : Terme de Reynolds de RANS en (a)
b
, (b)
.
151
Chapitre III. Étude de la force
Le terme d’inertie :
a
Figure 3.38 : Terme d’inertie de RANS en (a)
b
, (b)
.
Le terme visqueux :
a
Figure 3.39 : Terme visqueux de RANS en (a)
b
, (b)
.
Le terme ̅
a
Figure 3.40 : Terme ̅
152
b
de RANS en (a)
, (b)
.
Chapitre III. Étude de la force
Chacun des termes a donc à peu près le même poids dans le calcul de ̅
d’entre eux ne peut être négligé.
et aucun
Comme pour la méthode classique, le terme ̅ permet de calculer la pression sur le
bord du domaine puis par intégration le long de la surface le terme de pression. La
force s’obtient en ajoutant le terme de pression à l’intégrale volumique du terme de
convection (en vitesse moyenne), du terme de viscosité et du terme de Reynolds.
Pourtant même avec 1000 échantillons les deux méthodes ne donnent que rarement le
même résultat. Les figures 3.41a et 3.41b montrent l’évolution de la composante y de
la force appliquée au liquide en fonction du nombre de champs de vitesses utilisés
pour le calcul, dans le cas ou =3cm et =-35kV (figure 3.41a) et dans le cas ou
=1cm et =-30kV (figure 3.41b). Sur chaque figure, on peut comparer les résultats
obtenus avec la méthode Normale (en rouge) avec ceux obtenus grâce à la méthode
RANS (en noir). On peut voir que le choix de la méthode a peu d’influence sur la
vitesse de convergence puisque sur les deux cas 500 échantillons sont nécessaires
pour atteindre une valeur convergée. On s’aperçoit également que la valeur finale
diffère selon la méthode employée.
a
b
Figure 3.41 : Évolution de la composante
de la force appliquée au liquide en
fonction du nombre de champs de vitesses utilisés pour les deux méthodes, (a)
=-35kV, =3cm, (b) =-30kv, =1cm.
Comme les deux méthodes sont, à priori, identiques lorsque n devient très grand, nous
avons essayé de comprendre pourquoi les deux méthodes ne semblent pas converger
vers une même valeur.
3.4.3. Comparaison des méthodes intégrale classique et RANS intégrale
La méthode normale, basée sur l’équation de Navier-Stokes classique permet en
théorie de calculer la force instantanée. Ce calcul est, bien sûr, impossible avec la
méthode RANS qui par nature ne peut donner que la valeur moyenne de la force.
Mais ce n’est pas la seule différence entre les deux méthodes.
Dans le cas où on cherche à mesurer la force moyenne, les deux méthodes ne sont pas
exactement équivalentes. L’équation RANS est une forme moyennée de l’équation
classique. Calculer la force moyenne en utilisant l’une ou l’autre des deux méthodes
est donc théoriquement équivalent. Cependant, ceci n’est vrai que si l’écoulement est
parfaitement bidimensionnel et les mesures non bruitées (ce qui n’est, bien sûr, jamais
153
Chapitre III. Étude de la force
le cas). Pour comprendre pourquoi ces deux méthodes sont différentes, il suffit
d’étudier chacun des termes.
3.4.3.1. Terme instantané
Comme la moyenne des dérivées temporelles est égale à la dérivée temporelle de la
moyenne.
̅̅̅̅̅̅
̅
=
(3.91)
Les deux termes temporels sont parfaitement identiques. Comme de plus le régime
étudié est stationnaire, on prend
̅�
= .
3.4.3.2. Terme visqueux et terme pression
De la même façon pour le terme visqueux :
̅̅̅̅̅̅̅
∆ = ∆̅
(3.92)
Et pour le terme de pression :
̅̅̅̅
=
̅
(3.93)
Il n’y a donc pour ces trois termes aucune différence entre les deux méthodes.
3.4.3.3. Terme convectif
Le terme convectif est plus complexe. En développant le terme convectif moyenné, on
obtient plusieurs termes dont le terme de Reynolds et un autre terme que nous
appelons terme différentiel. Pour exemple, les deux termes sont présentés dans le
développement ci-dessous. Celui-ci n’est réalisé pour exemple que pour une seule
composante dans un cas bidimensionnel, mais le développement complet en 3D est
disponible en Annexe 3.4.
154
Chapitre III. Étude de la force
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
=
+
−
+
̅̅̅̅̅
=
̅ ̅
=
=
+ ̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
=
̅
̅̅̅̅̅̅
+
̅ ̅
+
̅
+̅
−
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
′ ′
̅̅̅̅̅̅
+
′ ′
̅̅̅̅̅̅
′ ′
− ̅̅̅̅̅̅
−
+
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∂̅ ∂̅
+
−
+
∂y
∂
̅
̅
+̅
̅
′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
′
′
−
+
−
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
−
+
′ ′
− ̅̅̅̅̅̅
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
(3.94)
+
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
(3.95)
On peut voir que le terme convectif moyenné de l’équation classique (en noir) égal
aux deux termes de l’équation RANS : terme convectif calculé sur les valeurs
moyennes auquel il faut ajouter le terme de Reynolds (en bleu) si seulement si le
terme en rouge est nul, c’est-à-dire si la divergence des fluctuations est nulle.
Cette condition est toujours vraie si le liquide est incompressible. Dans ce cas, les
deux équations sont exactement équivalentes.
⃗⃗
le vecteur différence entre ces deux termes. Dans un écoulement
Appelons T
bidimensionnel :
T
=
′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
′
′
+
=
T
=
′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
′
′
+
=
(3.96)
(3.97)
En théorie, comme le fluide est incompressible, la divergence des fluctuations est
⃗⃗
nulle et les deux expressions sont parfaitement équivalentes T
=⃗⃗.
155
Chapitre III. Étude de la force
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
=
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
+
= ̅
̅
̅
̅
+̅
+̅
̅
̅
−
−
′ ′
− ̅̅̅̅̅̅
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
+
+
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
(3.98)
(3.99)
En pratique, comme le plan de mesure n’est pas parfaitement parallèle à l’écoulement
et comme les mesures sont bruitées, la divergence des fluctuations n’est pas nulle et
les deux méthodes donnent des résultats différents.
Les tableaux de figures ci-dessous montrent la distribution spatiale de ⃗T⃗
. C’est
⃗⃗
est le plus fort. Pour la
dans le jet que le terme de divergence des fluctuations T
composante en
la valeur est maximale au voisinage de la pointe ; pour la
composante en
c’est plutôt au niveau du point d’impact même si la valeur proche
de la pointe est non négligeable. Ceci n’est pas surprenant puisque c’est à cet endroit
que les fluctuations sont les plus importantes.
On notera que comme le calcul de la force s’effectue par intégration au voisinage de
la pointe, et comme c’est à cet endroit que le terme ⃗⃗
est le plus grand il est
logique que les deux méthodes donnent des résultats différents.
On peut voir sur les figures 3.42 et 3.43 que la composante suivant
du terme aux
⃗⃗
devient de plus en plus faible lorsque le nombre
divergences des fluctuations T
de mesure augmente.
Les choses sont un peu différentes pour la composante . Au voisinage de la pointe,
comme pour la composante
le terme devient de plus en plus faible au fur et à
mesure que le nombre de mesures augmente. Par contre, au-dessus du plan, le terme
converge visiblement vers une valeur non-nulle.
Si l’écoulement est, en moyenne, bidimensionnel et le bruit de mesure blanc, le terme
doit converger vers zéro. Ce n’est pas tout à fait le cas ici. Au fur et à mesure que le
⃗⃗
nombre d’échantillons augmente, T
devient peu à peu nul partout. Seul l’espace
au-dessus du point d’impact n’obéit pas à cette règle. L’incertitude de mesure des
fluctuations est due à la fois au bruit de mesure et au comportement en partie
tridimensionnel de l’écoulement. On peut observer que c’est exactement le
comportement exposé sur les figures. L’écoulement
est visiblement
tridimensionnel au voisinage du point d’impact. Heureusement, cette zone n’est pas
utile au calcul intégral de la force.
156
Chapitre III. Étude de la force
a
b
c
d
e
f
g
Figure 3.42 : Convergence de terme T
en fonction du nombre de mesures, (a)
20, (b) 50, (c) 100, (d) 200, (e) 500, (f) 700, (g) 1000, =-35kV, =3cm.
a
b
c
d
e
f
g
en fonction du nombre de mesures, (a)
Figure 3.43 : Convergence du terme T
20, (b) 50, (c) 100, (d) 200, (e) 500, (f) 700, (g) 1000, =-35kV, =3cm.
⃗⃗
Si on trace l’évolution des coordonnées de T
en deux points du panache pour un
nombre d’échantillons de plus en plus grand (un point près de la lame (figure 3.44a) et
un point dans la zone de développement du panache (figure 3.44b)), on peut voir que
⃗⃗
dès 200 images l’erreur T
est du même ordre de grandeur que les autres termes et
dès 700 images la différence devient quasi-nulle.
157
Chapitre III. Étude de la force
a
b
⃗⃗
Figure 3.44 : Variations des deux coordonnées du terme de divergence T
deux points (a) =-0,25mm, =-1,12mm,(b) =-1,52mm, =-16,57mm.
en
On peut donc considérer par extension que le terme ̅ est identique pour les deux
méthodes lorsque >700. Nous avons vu que pour les petits nombres d’échantillons,
les calculs de force via les deux méthodes donnent des résultats différents. Cette
⃗⃗
différence provient probablement du terme T
qui devrait être nul car le liquide est
incompressible mais qui en pratique ne l’est pas (notamment à cause du bruit de
mesure).
Par contre avec 1000 mesures ⃗T⃗
devient presque nul partout alors que les deux
méthodes ne convergent pas vers une même valeur.
La différence observée provient du terme de pression. Comme ce terme est obtenu par
intégration de pression qui elle est calculée par propagation (c’est-à-dire accumulation)
de ̅ le long de la surface du volume de contrôle ; il est extrêmement sensible au
bruit. Un exemple de calcul de pression sur les bords haut et bas du volume de
contrôle est présenté figure 3.45. On peut voir sur ces figures que la pression calculée
par la méthode RANS en Rouge est moins bruitée que celle obtenue par la méthode
classique en noir.
a
b
Figure 3.45 : Comparaison les termes de pression sur une ligne basse du volume de
contrôle =-20mm. (a) en direction , (b) en direction .
158
Chapitre III. Étude de la force
La pression obtenue par la méthode RANS est toujours beaucoup moins bruitée que
celle estimée par la méthode normale car le terme ̅ de la méthode RANS est
toujours moins bruité que ̅ de la méthode classique. Ceci est dû au terme ⃗T⃗
,
non-nul, et particulièrement bruité qui n’est pas éliminé par la méthode classique. On
ne peut pas pour autant affirmer que la méthode RANS 2D que nous avons utilisée
donne une meilleure approximation de la force car elle estime par nature que le terme
⃗T⃗
est nul or ce n’est pas toujours le cas.
3.5. Estimation de la force par modèle théorique simplifié
Ces méthodes sont basées sur l’utilisation de modèles construits par simplifications
des équations physiques (transport de la charge, Navier-Stokes…). La force électrique
est calculée par intégration de ces équations réduites. Ces méthodes sont très
intéressantes pour des applications de contrôle parce qu’elles permettent de calculer la
force très rapidement. La précision obtenue dépend cependant très fortement de la
qualité du modèle établi. Chaque configuration nécessitant le plus souvent un
modèle spécifique.
De façon générale :
⃗ = ∭ ⃗⃗
(3.100)
Dans notre cas bidimensionnel, nous nous limitons au calcul de la force par unité de
longueur.
∞
⃗=∫ ∫
0
∞
−∞
⃗⃗
(3.101)
Où ⃗ est une force par unité de longueur.
L’analyse des champs de vitesse montre que l’écoulement est de type jet turbulent.
Nous pouvons donc supposer que la charge diffuse dans l’ensemble du panache. La
distribution de la charge sur une section donnée est supposée Gaussienne. A l’opposé,
à l’extérieur du panache la charge est supposée nulle. Si on appelle
la
demi-largeur du panache pour une section .
159
Chapitre III. Étude de la force
a
Figure 3.46 : Profil de vitesse en
=∫
b
(a), forme du panache (b).
=
+∞
=∫
−∞
+ �
=̅
− �
(3.102)
Le panache ayant une largeur faible, on suppose également que le champ électrique
est constant dans toute section du panache et dirigé perpendiculairement à la section
du panache.
⃗⃗ ≈ ̅ ⃗
⃗=∫
∞
−∞
⃗⃗
=∫
�
− �
⃗=
⃗=
⃗= ∫
0
(3.103)
⃗⃗
≈
̅ ∫
�
− �
⃗
̅ ⃗
⃗y⃗ = ∫
0
Pour calculer la force électrique il suffit de connaitre
3.5.1. Bord de panache et la vitesse moyenne
(3.104)
(3.105)
̅
⃗y⃗
(3.106)
et ̅ .
Atten et Malraison ont proposé un modèle de comportement pour les panaches plans
turbulents. Selon ce modèle si le panache est turbulent :
160
Chapitre III. Étude de la force
̅
̅
=
�
(3.107)
Toujours selon ce même modèle, pour les panaches plans en régime turbulent (voir la
partie 1.3.4.4).
Densité moyenne de charge :
̅ ≈
Quantité de mouvement :
̅̅̅̅
(�
�
̅
�
(3.108)
≈
̅
̅
�
(3.109)
Donc
=
̅
⃗=
≈
̅ ≈
̅
�
∙
̅ ⃗≈
̅
(3.110)
̅̅̅̅
(�
�
(
(3.111)
̅̅̅̅
�
�
Reste à définir la moyenne de la vitesse au carré ̅̅̅̅� et la largeur
(3.112)
de la section .
La largeur 2 d’une section quelconque d’un panache est en pratique difficile à
quantifier. La définition la plus simple consiste à considérer que le bord du panache
est le point où la vitesse devient nulle. Cette définition n’est pas compatible avec les
profils de vitesse de nos panaches voir figure 3.47.
Il faut donc trouver un autre critère pour déterminer la position du bord du panache.
Dans la littérature, la largeur d’un panache est souvent définie en utilisant sa largeur
hydraulique. Trois types de largeurs hydrauliques sont souvent utilisés :
1)
2)
: distance entre l’axe du jet et le point du profil de vitesse égale à 50
vitesse axiale.
0
: distance entre l’axe et le point de vitesse égale à 10
de la
de la vitesse axiale.
161
Chapitre III. Étude de la force
3) Enfin la largeur efficace
qui se définit comme le rapport entre le débit de
masse et la quantité de mouvement.
Comme
+∞
̅̅̅̅ =
�
∫
̅ =
∫
−∞
+∞
−∞
�
≈
∫
≈
∫
+ �
− �
�
(3.113)
�
− �
(3.114)
La largeur efficace se définit comme la largeur pour laquelle ̅ � = ̅̅̅̅� donc
=
+∞
�
−∞
+∞
�
−∞
(3.115)
Figure 3.47 : Profil de vitesse typique avec les trois largeurs
jet de =-30kV, =3cm dans une section
=0,5.
,
0
et
d’un
C’est cette définition qui est la plus commune dans les études sur les panaches
thermiques. Une fois la largeur du panache 2 définie, reste à calculer la moyenne de
la vitesse au carré. Dans le modèle proposé dans la partie 1.3.3.4, les auteurs
supposent que :
̅
≈ ̅̅̅̅�
(3.116)
et donc
̅
162
≈
̅̅̅̅
�
(3.117)
Chapitre III. Étude de la force
Ceci est vrai par définition pour un jet de largeur
quelconque. Et donc si
mais pas pour un jet de largeur
=
et
alors
Dans le cas où on suppose que
̅
(3.118)
≈
(3.119)
̅̅̅̅ ≈
�
=
(3.120)
≈ ̅̅̅̅�
̅
(3.121)
L’égalité n’est pas systématique. Dans notre cas, elle reste vraie, mais uniquement sur
la première partie du jet. On peut voir figure 3.48, qu’entre la lame et la valeur
maximale située à
=0,6, les deux courbes se superposent parfaitement. Il y a
donc bien égalité, la valeur moyenne au carré est égale au carré des valeurs moyennes.
Au voisinage du point d’impact, ceci n’est plus vrai. Cependant comme la force
électrique est située proche de la lame cela n’a pas d’influence sur le calcul de la force.
̅̅̅̅
̅
.
Nous supposons donc que
≈
�
Figure 3.48 : Comparaison de
H=3cm.
̅
et
̅̅̅̅
�
d’un jet
=-30kV,
3.5.2. Approximation polynomiale
163
Chapitre III. Étude de la force
L’idée est de décrire les différentes variables par un modèle polynomial. Pour éviter
que l’ordre du polynôme ne soit trop grand, on utilise un polynôme d’ordre 3 pour
chaque zone. Soit:
̅ =
0
+
+
+
=
0
+
+
+
0
=
0
+
+
+
0
=
0
+
+
+
(3.122)
(3.123)
(3.124)
(3.125)
3.5.2.1. Pour une largeur de jet 2
Considérons que la largeur du jet est 2 . La vitesse moyenne se définit alors comme
suit :
̅ ≈
∫
+
−
�
�
(3.126)
Dans le cas =-30kV et =3cm on obtient les comportements suivants (voir figure
3.49).
décroit rapidement puis se stabilise. La vitesse moyenne augment se
stabilise puis décroit. Ce comportement est très proche de celui observé pour la
vitesse au centre du jet.
a
b
Figure 3.49 : Approximation de deux courbes polynomiales d’ordre 3, (a) de
(b) de ̅ .
164
et
Chapitre III. Étude de la force
On peut voir sur les deux courbes ci-dessus que l’approximation polynomiale
fonctionne bien.
Tableau 3.1 : Coefficients des courbes d’estimation avec une fonction polynomiale.
= 0+
+
+
̅
Zone1
Zone2
Zone1
Zone2
0
0,01474
0,01843
0,00717
0,03576
-0,10663
0,26101
-0,00881
0,07871
0,42558
-0,71755
0,02012
-0,11772
-0,55625
0,67469
-0,01474
0,04709
Reduced Chi-Sqr
R-Square
5,23038E-10
2,18404E-7
3,54838E-9
7,45704E-8
0,99998
0,99911
0,79851
0,99003
Les équations 3.110 et 3.111 permettent de déduire le comportement de la densité
volumique de charge ainsi que celle du champ électrique.
̅ ≈
̅ ≈
̅
(̅̅̅̅�
(3.127)
∙
̅
(3.128)
La figure 3.50 présente l’évolution de la densité volumique de charge moyenne et du
champ électrique moyen dans le cas où on considère que la totalité de la charge se
trouve comprise au centre du jet dans un espace situé entre −
. On voit
bien la décroissance initiale très brutale qui montre une rapide dilution de la charge
lorsqu’on s’éloigne de la lame. Dans la zone très proche de la lame, la précision des
mesures de vitesse n’est pas suffisante pour calculer correctement le champ électrique.
Cependant des résultats trouvés dans la bibliographie suggèrent qu’un champ de
l’ordre de 10-6 V/m pourrait y être atteint. Ce résultat peut être comparé au champ
théorique calculé à l’aide d’un code éléments finis en l’absence de charges d’espace.
Le résultat numérique affiche une courbe de champ qui décroit bien plus vite que celle
obtenue expérimentalement. Il n’est donc pas impossible que la charge d’espace
influence le champ dans cette région du liquide.
a
b
c
Figure 3.50 : Evolution de la densité volumique de charge moyenne (a), du champ
électrique moyen d’un jet =-30kV, H=3cm pour le cas
=
(b), variation du
champ électrique moyen théorique en l’absence de charges d’espace (c).
165
Chapitre III. Étude de la force
3.5.2.2. Pour une largeur de jet 2
Nous avons déjà observé au chapitre précédant que les profils de vitesse sont
Gaussiens. La forme gaussienne est assez classique dans les jets mais souvent limitée
à la zone auto similaire. Dans le cas des jets EHD le profil de vitesse est quasiment
toujours gaussien dans sa zone centrale et ce même en hors de la zone autosimilaire
(Voir figure 3.51). Et donc si on considère uniquement la partie centrale du jet pour
laquelle −
, on peut supposer que la vitesse est gaussienne.
=
,
−
(3.129)
a
b
Figure 3.51 : Profil de vitesse dans zone 1 (très proche de lame) (a), dans zone3
(écoulement établi) (b) d’un jet =-30kV, H =3cm.
Grâce à cette expression gaussienne de la vitesse, nous pouvons calculer la valeur
moyenne.
̅ =
�
avec
∫
−
�
=
∫
−
(√
̅ =
�
=
,
−
, �
√
√
∫
√
=
−
0
(√
=
, �
√
(√
(3.130)
(3.131)
,
(3.132)
Où
est une constante. Pour les jets classiques, dans la zone d’écoulement établi,
k= ln2≈0,69. L’analyse des profils de vitesse des jets EHD dans différentes sections
donne des valeurs de
comprises entre 0,94
1,11, donc n≈0,74.
̅ ≈ ,
�
166
,
(3.133)
Chapitre III. Étude de la force
Tableau 3.2 : Coefficient entre ̅ � et
Zone1
1,11
0,72
,
.
Zone2
0,94
0,74
Zone3
0,94
0,74
Ce résultat se vérifie effectivement sur les courbes de vitesse. Si on multiplie la
vitesse moyenne par un coefficient 1/0,74, elle se superpose avec la courbe des
vitesses maximale (qui correspond à la vitesse sur l’axe du jet) (voir pour exemple le
cas présenté sur la figure 3.52).
En conclusion, si on considère que la demi largeur du jet est
, la vitesse moyenne
est égale à la vitesse maximale multipliée par
(constant). Avec =0,74 pour
=3cm.
Figure 3.52 : Comparaison de la variation de la vitesse moyenne et de la vitesse
maximale.
Pour représenter la vitesse moyenne par un polynôme d’ordre 3 il suffit de réaliser
l’approximation sur la vitesse maximale puis de multiplier par . Pour les mêmes
raisons de simplicité que précédemment, la courbe de vitesse maximale est approchée
par un ensemble de trois polynômes d’ordre 3 un par zone : zone d’accélération, zone
transition et la zone d’écoulement établi (Voir la figure 3.53).
a
b
Figure 3.53 : Approximation de
par trois courbes polynomiales d’ordre 3 (a),
̅
approximation de
par une courbe polynomiale d’ordre 3 (b).
167
Chapitre III. Étude de la force
Tableau 3.3 : Coefficients des courbes d’estimations avec une fonction polynôme.
̅
Zone1
Zone2
Zone3
0
0,02131
0,08731
0,1209
2,75324E-4
=
0
+
2,25621
0,39509
-0,10697
0,00814
+
-20,76665
-2,30706
0,14358
-0,00624
+
Reduced Chi-Sqr
66,01834 4,13135E-7
3,78927
1,12791E-7
-0,1183
4,41424E-8
0,00365
4,80318E-10
R-Square
0,99978
0,99494
0,99913
0,99959
Grâce au modèle simplifié, ̅ �
permettent de calculer les évolutions de la
densité volumique de charge ainsi que du champ électrique (figure 3.54).
a
b
Figure 3.54 : Evolution (a) de la densité volumique de charge moyenne (b) du champ
électrique moyen, d’un jet =-30kV, H=3cm pour le cas
=
.
La figure 3.54 montre les mêmes tendances d’évolution que celles des figures 3.50.
La densité décroit d’abord très rapidement puis plus lentement. La décroissance est
cependant beaucoup plus rapide avec ce second modèle. Les variations du champ
électrique (figure 3.54b) sont différentes des résultats obtenus figure 3.50b
principalement dans la zone très proche de la lame. La forme de la courbe s’approche
davantage de la forme de la courbe théorique mais la chute du champ est toujours
nettement moins rapide.
3.5.3. Approximation par fonction puissance
Dans leur modèle, Malraison et Atten [106] utilisent des fonctions puissances pour
décrire le comportement de la vitesse moyenne et la demi-largeur.
Dans chaque zone, tous les paramètres peuvent être décrits à partir de trois constantes
:
0
0
̅ =
�
=
168
0
0
(3,134)
(3,135)
Chapitre III. Étude de la force
0
0
=
=
+
0 0
− −
(3,136)
0 0
(3,137)
a
Figure 3.55 : Approximation par lois de puissance de (a)
Si on applique ces formulaires au cas de référence
tableau suivant :
b
, (b) ̅ .
=-30kV et
=3cm on obtient le
Tableau 3.4: Coefficients des courbes d’estimations avec une fonction puissance.
=
Reduced Chi-Sqr
R-Square
̅
Zone1
0,26038
0,39078
8,68805E-5
0,90818
�
Zone2
0,08819
-0,10189
5,37624E-7
0,93967
Zone3
0,07907
-0,17815
5,21339E-7
0,97932
0,0051
1
3,05078E-7
0,77301
Avec ces nouvelles fonctions mathématiques, on peut également estimer la densité
volumique de charge ainsi que la variation du champ électrique. On remarque une
moins bonne continuité des courbes entre les trois zones. La figure 3.56 montre les
densités de charge et le champ moyen dans le cas de référence. Il faut noter que dans
figure 3.56b, le problème existe toujours dans la zone de champs proche.
169
Chapitre III. Étude de la force
a
b
Figure 3.56 : Evolution de (a) la densité volumique de charge moyenne, (b) du champ
électrique moyen d’un jet =-30kV, H=3cm pour le cas de
en loi de puissance.
3.5.4. Résultat
Ce travail sur les modèles simplifiés a pour objectif final d’estimer la force électrique
totale générée par l’électrode active. Comme nous disposons maintenant d’une
estimation de la densité volumique de charge et du champ électrique moyen, la force
électrique totale peut être calculée grâce à l’équation 3.106. Les résultats peuvent être
comparés avec ceux obtenus par la méthode intégrale (voir chapitre 3.3).
a
b
c
Figure 3.57 : Evolution de la force
pour un jet =-30kV, H=3cm si la largeur du
jet est supposée égale à (a), 2 et en utilisant un modèle polynomial, (b) 2
et un
modèle polynomial (c),
et une approximation en loi de puissance (c).
En intégrant les courbes ci-dessus on obtient la force totale par unité de longueur (2D).
Le Tableau 3.5 présente les résultats de ces trois calculs.
Tableau 3.5 : Force électrique par unité de longueur.
Cas
Fonction
Largeur
Force
d’étude
Zone1
Zone2
Zone3
=
=
=
0-0,1
0,1-0,18
0,18-0,55
1
polynôme
-12,20
-5,346
2
polynôme
-10,02
-5,151
-7,614
3
puissance
-3,836
-4,327
-10,34
170
Totale
=
0-0,56
-17,546
-22,785
-18,503
Chapitre III. Étude de la force
On observe finalement une faible variation entre les différentes méthodes. On peut
comparer ces résultats aux -26,25mN/m trouvés dans le même cas ( =3cm, =-30kV)
par la méthode intégrale. On note que les méthodes simplifiées donnent un résultat
plus faible que la méthode intégrale.
Si on étend la comparaison à l’ensemble des cas voir figure 3.58, on observe que les
courbes ont exactement la même forme. Cependant, les valeurs sont
systématiquement plus faibles dans le cas des méthodes simplifiées.
a
b
Figure 3.58 : Force totale calculée (a), par le modèle simplifié en loi de puissance (b)
par la Méthode intégrale Normale.
Pour conclure, la définition de la largeur du panache n’a pas une grande influence sur
le résultat. L’utilisation d’une largeur de jet 2 bien que mathématiquement plus
juste est plus complexe à mettre en œuvre qu’une largeur limitée à 2
. En effet
dans ce deuxième cas, la vitesse moyenne peut être déduite directement de la vitesse
maximale sur l’axe à un scalaire près, ce qui permet de gagner du temps de calcul.
De la même façon, le modèle en loi puissance proposé par Malraison bien qu’il ne
permette pas une bonne approximation de la vitesse (en comparaison des modèles
polynomiaux) est très rapide et donne des résultats similaires.
En revanche, tous les modèles simplifiés utilisés sous-estiment la valeur de la force.
Les résultats obtenus sont inférieurs à ceux donnés par la méthode intégrale. Deux
raisons possibles à cela. Tout d’abord, le modèle simplifié proposé par Malraison et
Atten ne tient compte que des termes convectifs, alors que la méthode intégrale
considère également les autres termes. Deuxièmement, le modèle simplifié donne une
très mauvaise approximation de la force au voisinage de la pointe ce qui est
probablement une source d’erreur importante.
Le modèle simplifié proposé reste un bon moyen pour estimer la force dans le champ
lointain. D’autres modèles intégrant davantage le comportement au voisinage de la
lame devront être proposés pour développer les applications de contrôle envisagées.
171
Chapitre III. Étude de la force
3.6. Conclusion
Un mouvement électroconvectif est un déplacement de liquide dû à l’action de forces
électriques. Dans le cas du dispositif lame/plan présenté dans ce document, la force
électrique est exclusivement de type de coulombienne ; les forces d’électrostriction et
les forces diélectriques (ou diélectrophorétiques) non pas d’influence significative et
peuvent être négligées.
Plusieurs études ont été consacrées à la mesure directe de la force de poussée produite
par les actionneurs plasmas notamment de type Diélectrique Barrier Discharge
Actuator. Ces mesures sont basées sur l’utilisation de dispositifs difficilement
adaptables à des mesures dans les liquides en présence de haute tension. Dans ce
document, nous avons donc utilisé trois méthodes indirectes qui permettent d’estimer
la force produite par intégration du champ de vitesse.
L’idée fondamentale est de quantifier la force volumique qui s’exerce sur le fluide
grâce à un calcul inverse de l’équation de quantité de mouvement (Navier-Stokes).
Les méthodes intégrales peuvent être résolues en temps, mais ne donnent qu’une
valeur globale de la force. D’autres, les méthodes appelées méthodes différentielles
permettent de produire des cartes de forces détaillées, éventuellement résolues en
temps, mais sont extrêmement sensibles aux bruits. Pour cette raison, nous nous
sommes limités dans ce document aux méthodes intégrales.
La première étape de la démarche intégrale est de définir le volume de contrôle. Celui
doit englober la zone dans laquelle s’exerce la force en totalité. De plus, la force doit
impérativement être nulle sur le bord du volume. Cette étape est déterminante pour
garantir la qualité du calcul suivant. Le volume de contrôle doit ainsi être adapté au
cas étudié. Plus le champ est fort, plus le volume doit être allongé plus le champ est
faible plus il doit être élargi. La force peut alors être calculée par intégration des
différents termes. Certains de ces termes s’obtiennent facilement à partir du champ de
vitesse d’autres comme le terme de pression nécessitent des calculs et hypothèses
préalables qu’il convient de vérifier ensuite. Contrairement à ce qui est proposé dans
les études réalisées dans les gaz le terme de pression est lui un terme dominant et ne
doit pas être négligé.
Dans le cas de la méthode intégrale simple, nous avons pu remarquer que le terme
temporel est très difficile à estimer avec un système PIV à 4Hz. Il est de plus
extrêmement bruité. Ceci est cependant sans incidence sur le résultat final puisqu’il y
est en moyenne très inférieur aux autres termes et peut être négligé dans tous les cas
étudiés.
En théorie, avec les champs dont nous disposons, la méthode RANS parait mieux
adaptée au calcul de la force moyenne que la méthode simple. D’une part, le terme
temporel n’a pas à être calculé, d’autre part, l’utilisation du tenseur de Reynolds
permet de négliger des termes qui en théorie doivent être nuls (car la divergence de la
vitesse est nulle dans les liquides), mais qui à cause du bruit de mesure ne le sont pas
en pratique.
Cependant, les résultats donnés par les deux méthodes ne montrent pas de différences
dans nos cas d’études. Le niveau de bruit n’est pas suffisant pour avoir une influence
sur le résultat ce qui montre la qualité de mesure obtenue.
172
Chapitre III. Étude de la force
Les deux méthodes intégrales simples et RANS donnent des résultats similaires. Il a
été trouvé que la force varie dans une la gamme qui s’étend de 10-1 à 102 mN/m en
fonction des cas. Celle-ci augmente exponentiellement avec le potentiel et diminue
inversement avec la distance.
Une démarche basée sur l’utilisation de modèles ultrasimples, adaptés au
fonctionnement de système de contrôle et donc permettant d’estimer la force de façon
très rapide a été mise en place. Le modèle testé est celui proposé par Atten et
Malraison. Les résultats obtenus sont proches de ceux calculés avec les deux
méthodes ci-dessus. Ce résultat n’est pas surprenant puisque l’analyse individuelle de
l’ensemble des termes calculés avec les deux premières méthodes intégrales montre
que le terme convectif est le terme qui domine largement l’écoulement. Hors pour
simplifier leur modèle, les deux auteurs supposent que le flux est dominé par les
forces électriques et les forces convectives. Cependant, les valeurs nominales
obtenues avec le modèle simplifié restent systématiquement plus faibles. Il semble
que le modèle ne parvient pas à modéliser correctement le comportement au contact
de la pointe (zone de force électrique importante). Ce modèle doit donc être retravaillé
pour améliorer les résultats.
173
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à
barrière diélectrique
4.1. Introduction en générale sur l’actionneur à barrière diélectrique
Ce chapitre est consacré à l’étude des jets de paroi produits par dispositifs EHD.
Comme pour les jets classiques, il existe 2 façons d’obtenir un jet de paroi EHD : soit
directement, soit par impact sur une surface. Nous avons vu dans la partie précédence
qu’un dispositif lame plan permet d’obtenir deux jets de paroi après impact du
panache sur le plan. Dans ce chapitre, les jets de paroi étudiés sont générés à l’aide
d’un actionneur placé directement sur la surface. Il existe plusieurs actionneurs EHD
capables de mettre en mouvement le liquide sur une surface. Nous nous limiterons ici
à l’étude de l’un d’entre eux : l’actionneur à barrière diélectrique.
Deux types de jets y sont comparés. Le premier a été obtenu dans du gasoil, l’autre
dans de l’huile de silicone à faible viscosité. Dans une première partie, les champs de
vitesses sont présentés pour mettre en évidence les différences de comportement des
deux jets. Les résultats sont également confrontés aux comportements déjà observés
dans les jets de paroi dit classiques. Puis comme dans le chapitre précédent, la force
électrique produite par le dispositif est estimée en utilisant la méthode intégrale.
Depuis plusieurs années, l’équipe électrofluidodynamique de Pprime développe des
actionneurs à barrière diélectrique. Ces dispositifs très simples sont essentiellement
composés de deux électrodes séparées par un matériau diélectrique. Ils sont utilisés
pour produire une force volumique qui permet d’agir sur le fluide dans lequel ils sont
immergés. Sur l’exemple de la figure 4.1, les deux électrodes sont séparées par un
diélectrique d’épaisseur . L’électrode inférieure est noyée dans un bloc d’époxy pour
éviter tout contact avec le fluide environnant. La force électrique est produite au
voisinage de l’arête droite de l’électrode supérieure.
Pour produire cette force, l’électrode supérieure est le plus souvent connectée à une
source électrique haute tension et l’électrode inférieure est reliée à la masse. Selon
que l’actionneur est utilisé dans l’air ou dans un liquide, différents phénomènes
peuvent être obtenus. Dans les gaz, un plasma se crée sur le bord de l’électrode
supérieure alors que dans les liquides, c’est un phénomène d’injection, de conduction
ou même de double couche qui génère la force volumique. Le signal appliqué sur
l’électrode supérieure dépend lui aussi du milieu environnant. Dans les gaz, il est
souvent sinusoïdal avec une fréquence de quelques kilohertz. Dans les liquides, on
utilise le plus souvent un signal carré de 10Hz à 100Hz.
Les dispositifs à barrière diélectrique sont très intéressants parce qu’ils permettent
d'atteindre des champs électriques très élevés (ce qui signifie une importante force de
Coulomb) en évitant l'apparition d'arcs électriques.
174
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Figure 4.1 : Schéma le dispositif d’injection à barrière diélectrique et ses paramètres.
Les premiers travaux sur des actionneurs à barrière diélectrique ont été réalisés dans
les gaz par J.R.Roth en 1992. Il travaille alors avec la NASA Langley Research Center,
États-Unis sur un dispositif de décontamination de la surface et créé un dispositif pour
la production de plasma de surface dans le gaz. Après quelques expériences, il
s’aperçoit que son appareil induit un écoulement d'air de plusieurs m/s [154-156]. Il
appelle son appareil : «Dielectric Barrier Discharge Actuator (DBD)» ou système de
décharge à barrière diélectrique. Cet actionneur DBD est protégé par un brevet
américain depuis 1995 [157]. Les actionneurs DBD ont eu une grande influence sur
des recherches en contrôle d’écoulements en raison de leur simplicité et leur efficacité.
Depuis plus de dix ans, les actionneurs DBD aussi appelés actionneurs à plasma nonthermique ont été utilisés avec succès dans de nombreux domaines Moreau (2007)
[158]. À cette époque, plus d'une centaine d'articles avait été publiée sur des
actionneurs DBD et sur leurs applications dans les gaz.
Étonnamment, peu de personnes savent que les actionneurs à barrière diélectrique
peuvent également être utilisés dans les liquides. Certes, la physique est extrêmement
différente de celle des gaz puisque par exemple l’actionneur ne produit pas de plasma
dans les liquides. Plutôt que de parler, comme dans les gaz, de décharge, on utilise le
terme d’injection d’où le nom d’actionneur à injection par barrière diélectrique « DBI
actuateur ».
Les premières mesures sur les actionneurs à barrière diélectrique ont été faites par
Priol [159] en utilisant une méthode de Vélocimétrie Laser Doppler. Avec son système
il est parvenu à créer un jet de paroi de quelques dizaines de cm/s et une première
description de l'écoulement induit dans un liquide par un dispositif à barrière
diélectrique a été proposée par Louste [160-161].
Les performances des systèmes à barrière diélectrique également appelés aujourd’hui
actionneurs électrohydrodynamiques (EHD) ont sans cesse été améliorées. Des
travaux récents ont démontré qu’ils peuvent être utilisés pour générer des jets de paroi
d’origine purement électrique de plus de 0,25 m/s (Daaboul chapitre 1 (gasoil). Ils
peuvent également conduire à de nombreuses applications d'ingénierie notamment
dans le refroidissement des surfaces ou pour des applications de contrôle
d'écoulements.
175
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
4.2. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
dans gasoil
L’objectif de cette partie est de présenter rapidement les principaux résultats obtenus
par Daaboul [119] sur les jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
dans du gasoil. Puis nous complèterons son étude par une analyse comparative de ce
jet EHD avec les jets de paroi classiques, enfin nous utiliserons la méthode intégrale
pour calculer la force produite par l’actionneur à barrière diélectrique dans ces
conditions.
4.2.1. Montages expérimentaux
Pour son étude sur les jets de paroi EHD, Daaboul a utilisé le dispositif présenté dans
la figure 4.2. L’actionneur est un dispositif de l’actionneur à barrière diélectrique très
similaire à l’actionneur SDBD (L’actionneur à décharge à barrière diélectrique de
surface) utilisé dans les gaz. Il est composé de deux électrodes séparées par d’une
plaque diélectrique. Les deux électrodes sont placées de façon asymétrique de chaque
côté de la plaque. L’électrode active, située au dessus de la plaque, est constituée une
lame métallique rectangulaire (20mm ×80mm). Le rayon de courbure de son arête est
de 5µm. L’autre électrode, appelée électrode de masse (40mm×80mm), est une bande
aluminium placée en dessous de la plaque. Elle est noyée dans un bloc de résine
époxy pour éviter tout contact avec le liquide. La plaque diélectrique (150mm×90mm)
est en polymétacrylate de méthyle (abrège en PMMA). Le tableau 4.1 récapitule
l’ensemble des dimensions du dispositif. La figure 4.2a est d’une photo du dispositifà
barrière diélectrique obtenue via une interface Lavison®. On peut y apercevoir : les
deux surfaces de la plaque diélectrique, l’électrode supérieure, le fil de connexion de
l’électrode (en bas à droite), ainsi que le repère de calibration.
a
b
Figure 4.2 : Photographie du dispositif à barrière diélectrique immergé dans un
liquide diélectrique (gasoil) (a), schéma du montage expérimental utilisé par Daaboul
(b).
176
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Tableau 4.1 : Dimension de la composante d’un dispositif de l’actionneur à barrière
diélectrique.
Nom
Matériau
Taille
Electrode active
Acier inoxydable
20mm×80mm
Rayon de courbure
Acier inoxydable
5μm
Electrode de masse
Aluminium
40mm×80mm
Plaque diélectrique
PMMA
150mm×90mm
Espace inter-électrode
0mm
Épaisseur du diélectrique
4mm
L’actionneur à barrière diélectrique est placé dans une cuve en verre
(300mm×150mm×150mm) qui contient du gasoil. Les caractéristiques du liquide
diélectrique utilisé sont listées dans le Tableau 4.2 :
Tableau 4.2 : Propriétés de l’huile diélectrique à 20o C.
Paramètre
Unité
Masse volumique
kg/m3
Viscosité cinématique
mm²/s
Conductivité électrique
S/m
Permittivité relative
Valeur
850
4,3.10-6
1,15.10-9
2,2
Pour exciter son actionneur, Daaboul utilise une source de tension alternative reliée à
l’électrode active de l’actionneur. La haute tension est fournie par un amplificateur
TREK 20/20C (±20kV, ±20mA, ±20kHz). Pour cette étude, les signaux utilisés
sont carrés [119] de fréquences comprises entre 1Hz et 1kHz) et l’amplitude variant
de ±5kV à ±30kV.
4.2.2. Principaux résultats sur les champs de vitesse dans le gasoil
En utilisant la technique de l'analyse de la phase, Daaboul [119] a montré que les
actionneurs DBI offrent une grande richesse de modes d’action. Ainsi, si à haute
fréquence d’excitation, aucune structure cohérente n’est détectable dans le flux
produit et que celui-ci est semblable à un jet de paroi turbulent classique figure 4.3a ;
à basse fréquence, ils agissent plutôt comme des générateurs de tourbillons très
efficaces pour des applications de nettoyage de surface ou de mélange. La taille et la
fréquence des structures tourbillonnaires sont directement reliées à l’amplitude et à la
fréquence du signal électrique (figure 4.3b).
Le jet de paroi obtenu à haute fréquence d’excitation ressemble à un jet de paroi
classique. On peut approfondir ce rapprochement en comparant le comportement de la
vitesse maximale ̅ , et de la demi-largeur
en fonction du
des deux types de
jets. Cette comparaison a été faite par Louste et al.[162].
La figure 4.4a montre l’évolution typique de la vitesse maximale et de la demi-largeur
d’un jet de paroi (à gauche) et d’un jet de paroi EHD (à droite). On peut voir que dans
le cas du jet de paroi classique, la vitesse maximale ̅ , diminue immédiatement en
sortie de buse. La figure 4.4b montre que le jet de paroi s’élargit en fonction de la
distance. La couche extérieure du jet se comporte comme un jet libre.
177
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
a
b
Figure 4.3 : Modes d’action de l’actionneur à barrière diélectrique sur du gasoil jet de
paroi (a), générateur de tourbillon Daaboul [119] (b).
La figure 4.4c représente l’évolution de ̅ , et
en fonction de x pour un jet de
paroi électrique. Elles montrent les propriétés particulières des jets de paroi
électriques. La figure 4.4c illustre le fait que la vitesse d’un jet EHD commence par
croître jusqu’à atteindre une vitesse maximale appelée ̅
(0,14m/s). Puis décroit
après ce point, le comportement en décroissance ressemble beaucoup de celle de jet
de paroi classique. La même tendance peut être observée dans figure 3.6d
pour l’évolution de
en fonction de . Deux zones séparées par le point
sont
visibles sur cette courbe. La première partie est horizontale ; le diamètre du jet reste
constant tant que le jet accélère. Sur la deuxième partie de la courbe, en aval de la
position =12mm, le jet reprend un comportement classique et s’élargit selon une loi
linéaire.
a
b
c
d
Figure 4.4 : Évolution (a) de la vitesse maximale axiale adimensionnelle ̅ , ̅ ,0
et (b) la demi-largeur adimensionelle
en fonction de la distance pour un jet de
paroi classique, (c) de la vitesse maximale axiale ̅ , et (d) la demi-largeur
en
fonction de la distance pour un jet de paroi électrique.
Le comportement similaire des deux jets sur la deuxième partie de courbe est
probablement dû au fait que dans cette zone, la force prépondérante est la force de
frottement. Il semble que dans les deux cas, le liquide s’écoule par inertie et aucune
force extérieure ne s’exerce sur cette portion de liquide.
4.2.2.1. Comparaison des profils de vitesse
La figure 4.5 présente un ensemble de profils de vitesses moyennes adimensionnés
(jet de paroi classique (figure 4.5a), jet de paroi électrique (figure 4.5b). Les profils
178
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
sont tous issus de la section dans laquelle le jet est totalement développé. Pour le jet
de paroi classique, la hauteur de buse
est utilisée comme paramètres
d’adimensionnement. La figure 4.5a indique que la zone autrosimilare se trouve entre
20<
<100. Pour le jet électrique, l’épaisseur du diélectrique
est utilisée comme
valeur adimensionnel. La figure 4.5b montre un exemple de profils de vitesse dans la
section ou 6,25<
= 8,75. Plusieurs points clés sont soulignés ci-dessous en
comparant la figure 4.5.
3.0
2.4
signal caree
Uam=30kV
2.1
f =100Hz
2.7
y/y1/2
1.8
1.5
Vx/Vx,m , x/e=6.25
Vy/Vy,m , x/e=6.25
Vx/Vx,m ,x/e=7.5
Vy/Vy,m , x/e=7.5
Vx/Vx,m , x/e=8.75
Vy/Vy,m , x/e=8.75
1.2
0.9
0.6
0.3
0.0
-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
Vx/Vx,m , Vy/Vx,m
a
b
Figure 4.5 : Évolutions des profils de vitesse adimensionné par la vitesse maximale
axiale ̅ , et la demi-largeur
dans les deux directions pour (a) un jet de
paroi classique[163], (b) un jet de paroi EHD généré par l’actionneur à barrière
diélectrique.
1) un paramètre souvent cité pour le jet de paroi classique est le rapport
,
Les valeurs mentionnées dans l’article [164] varient de 0,13 à 0,17 (environ 0,17
dans l’étude présentée par Schneider et Goldstein [165] (1994). Par contre, pour
le jet de paroi électrique, le rapport est beaucoup plus grand que celle de jet
classique, il varie autour de 0,5. Cela signifie que la couche intérieure est plus
épaisse pour le jet électrique. Deux explications peuvent être avancées : la
viscosité du liquide utilisé ou l’influence des forces électriques. L’expérience de
Schneider et Goldstein a été exécutée dans l’eau alors que celle de Daaboul a été
réalisée dans du gasoil. Une plus grande viscosité conduit à une vitesse maximale
plus éloignée de la paroi. La deuxième raison est la présence de force électrique
en proche paroi. La force électrique qui intervient dans la zone intérieure accélère
le liquide mais semble également l’éloigner de la paroi. Il est possible que les
charges électriques collectées par la surface de paroi repoussent le fluide chargé
et favorisent l’élargissement du jet.
2) La variation de la vitesse perpendiculaire à la paroi en fonction de
est plus
grande pour le jet de paroi électrique. La vitesse projetée sur y peut être négligée
devant la vitesse projetée sur
pour le cas classique. Le jet classique sort de la
buse avec une vitesse verticale nulle et la majeure partie de la masse entrainée
provient du réservoir extérieur. Pour le jet électrique, le liquide qui forme le jet ne
sort pas d’un réservoir, tout le volume de liquide composant le jet provient de la
cuve. La force de coulomb propulse du liquide le long de la surface de la lame
mais de façon indirecte (à cause de l’incompressibilité du liquide) provoque
également une aspiration du liquide en haut vers bas au niveau de l’électrode :
179
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
c’est la vitesse verticale ̅ en direction – (figure 4.5b
>1,2), la
composante verticale joue un rôle important en apportant du débit de masse au jet
ce qui lui permet dans la première zone d’augmenter sa quantité de mouvement.
4.2.2.2. Influence des paramètres
La figure 4.6a montre que pour deux fréquences différentes, la vitesse moyenne
maximale augment avec les potentiels appliqués de façon quasi-linéaire. En accord
avec des mesures dans la littérature [161].
La courbe de 1kHz est en dessous de la courbe 100Hz, un champ de vitesse plus élevé
pour 100Hz dans un potentiel fixé. Il est déjà expliqué dans la section précédente.
La figure 4.6 montre l’évolution de la vitesse maximale en fonction de la fréquence.
On voit bien une courbe en deux parties. Une vitesse maximale qui croît avec la
fréquence dans sa première partie avant 100Hz puis une tendance légèrement
décroissante pour les fréquences supérieures.
0.30
Vmax100Hz
Vmax1kHz
0.25
Vmax (m/s)
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
U (kV)
a
b
Figure 4.6 : Variation de la vitesse maximale dans le volume de contrôle en fonction
des potentiels appliqués pour différente fréquence du signal alternatif (a), Évolution
de la vitesse maximale en fonction de la fréquence pour un signal carré 30kV (b).
Pour expliquer ce comportement, Daaboul utilise deux points importants. Pour
expliquer l’accroissement de vitesse sur la première partie de la courbe, il note que
l’injection de charge est particulièrement efficace au changement de phase et donc
que plus il y a de changement de phase plus la vitesse est importante. Lorsque le
potentiel est maintenu trop longtemps, la charge s’accumule sur la surface le potentiel
de surface augmente, le champ électrique chute et la force de Coulomb diminue
également. Au delà de 100Hz la vitesse des ions ne serait plus suffisante. Les ions
injectés n’auraient pas le temps de s’éloigner suffisamment de l’électrode avant
l’inversion de polarité. Ceux-ci seraient alors ré-attirés par l’électrode ce qui réduirait
l’efficacité du système.
4.3. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
dans du silicone
Dans cette étude, l’actionneur à barrière diélectrique est immergé dans l'huile de
180
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
silicone. Le champ de vitesse est mesuré par vélocimétrie par images de particules
(PIV). Comme pour les expériences réalisées dans le gasoil, le dispositif produit un jet
de paroi à la surface du diélectrique. La structure du jet de paroi est décrite et analysée
pour différents types de signaux. Cependant, au cours de cette étude un certain
nombre de phénomènes originaux ont pu être observés. Par exemple, contrairement à
ce qui avait été observé dans le gasoil, un flux électroconvectif peut être maintenu
pendant des heures sous signal continu dans l’huile de silicone. Un comportement
inhabituel de type flux inverses a également été observé lorsqu'une tension négative
est appliquée à l'électrode. Le travail présenté dans cette partie est consacré à la
description et à la compréhension de ces phénomènes.
4.3.1. Caractéristique de l’huile de silicone
Une huile de silicone est un siloxane polymérisé liquide avec des chaînes latérales
organiques. Le produit le plus utilisé est le polydimethylsiloxane (PDMS).
Dans la structure chimique des fluides diméthylsilicone sont très différents de tous les
autres toutefois où hydrocarbures liquides organiques sont basés sur un squelette
d'atomes de carbone-carbone, (... CCCC ...), les huiles de silicone ont une épine
dorsale de liens silicium-oxygène alternatif semblable aux liaisons Si-O (...
Si-O-Si-O-Si ...) soit siloxane, d'autres espèces se fixent aux atomes de silicium
tétravalent, et non aux atomes d'oxygène divalents, ces structures sont pleinement
engagés à former la chaîne siloxane [166].
Ce squelette moléculaire est beaucoup plus fort que la chaîne carbone-carbone
typique et est plus résistant à l'attaque par des températures extrêmes, à l'oxydation,
les contraintes de cisaillement et de produits chimiques.
a
b
Figure 4.7 : (a) Structure chimique de fluide silicone et (b) schéma représentatif.
Les huiles de silicone sont principalement utilisées comme lubrifiants ou comme
fluides hydrauliques. Ils sont d'excellents isolants électriques [167] et, contrairement à
leurs analogues de carbone, sont ininflammables. Leurs caractéristiques de transfert
de chaleur et bonne température stabilité rendent largement utilisés dans laboratoires
pour les bains de chauffage (bains d'huile) placé au-dessus d'agitateurs de plaque de
cuisson, ainsi que dans les lyophilisateurs comme réfrigérants. L’huile de silicone est
aussi couramment utilisée comme fluide de travail dans les amortisseurs, les
transformateurs de type humide, les pompes à diffusion.
Les propriétés des huiles que nous utilisons sont présentées ci-dessous.
181
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Tableau 4.3 : Spécifications des huiles silicones selon norme CEL 60836 [168-169].
Huile de silicone
Caractéristiques
Unité
Valeur
0,955 à 0,970
Densité a 20
g dm
Viscosité cinématique a 40
40±4
mm s
Point d’éclair en coupe fermée
240
Point de feu
330
Point d’écoulement
-50
Teneur en eau
50
mg g
Teneur de neutralisation
0.02
mg K � g
Permittivité a 90 et 50Hz
2,55±0,05
Tension de claquage
40
�
Résistivité volumique a 90
0,1
T ∙m
Facteur de pertes diélectriques a 90 et 50Hz
0,001
Tableau 4.4 : Caractéristique de l’huile de silicone comme un isolant.
Caractéristique
Avantage
Incontinent
comme un isolant
Chimie
Physique
Stabilité chimique[170]
Résistance a
l’oxydation.[173-174]
Faible volatile [170]
Faible variation de viscosité
avec la température
Bonne tenue au feu (haut point
de feu)
Moins de gaz produit sous l’effet
de claquage ou décharges
partielles[176].
Difficile à biodégradable
[171-172]
Viscosité
élevée
aux
hautes températures (90 )
[175]
4.3.2. Dispositif expérimental
Le dispositif expérimental est semblable à celui utilisé pour les panaches. Il est
constitué d'une cuve 30cm×30cm×30cm en matière plastique remplie d'huile de
silicone (figure 4.8a). Quatre fenêtres (2) ont été installées sur les quatre faces du cube
pour les mesures de PIV. L’actionneur à barrière diélectrique (3) est disposé
verticalement dans la cuve. Il est composé de deux électrodes séparées par une plaque
diélectrique (4) (figure 4.8b). La première électrode (électrode d’émetteur (5)) est une
bande métallique avec 20 mm de largeur et de 100mm d'épaisseur et d'un rayon de
courbure de 5 mm à son extrémité. Il est placé sur la surface supérieure de la plaque
diélectrique. La seconde électrode de masse (6) est collée sur la surface opposée et est
noyée dans une couche de résine époxy (7). La plaque diélectrique est en verre
(longueur de 80mm, largeur de 90mm, épaisseur de 3mm. l'électrode d’émetteur est
reliée à la source haute tension et la seconde électrode est à la masse. Le liquide
diélectrique utilisé dans ces expériences est l'huile de silicone.
Les propriétés sont données dans le tableau 4.5.
182
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Tableau 4.5 : Propriétés de l’huile diélectrique à 20o C.
Paramètre
Unité
Masse volumique
g m
Viscosité cinématique
mm s
Conductivité électrique
m
Permittivité relative
Rigidité diélectrique
Valeur
910
5,0.10-6
1,0.10-13
2,59
14
a
b
Figure 4.8 : Schéma du dispositif à étudier (a), schéma de l’actionneur à barrière
diélectrique (b).
4.3.3. Analyse du comportement sous signal continu
La première partie de l’étude a été réalisée sous signal continu. Dans la pratique,
personne ne travaille sous signal continu avec un actionneur à barrière diélectrique (ni
dans les liquides ni dans les gaz). Dans des études précédentes réalisées dans le gazole,
l'écoulement s'arrête moins de 10s après qu’un signal continu a été appliqué aux
électrodes. La raison en est simple. Sous signal continu, une partie des charges
injectées au niveau de l’électrode se déposent à la surface du diélectrique qui se
charge progressivement. Le potentiel de la surface augmente ainsi petit à petit jusqu’à
atteindre un potentiel proche de celui de l’électrode supérieure. Lorsque le potentiel
est suffisamment élevé (on parle de valeur seuil), le champ au niveau de l’électrode
injectrice devient trop faible et l’injection s’arrête. Sans charges injectées plus de
force de Coulomb, le fluide s’immobilise à son tour. Pour relancer l’injection et
remettre le liquide en mouvement, il est nécessaire de renverser la polarité du signal.
L’injection reprend avec des charges de signe opposé qui vont neutraliser totalement
ou partiellement, la charge accumulée puis s’accumuler de nouveau et stopper
l’injection. C’est la raison pour laquelle, un écoulement n’est maintenu que si
l'électrode émettrice est excitée par un signal alternatif.
L’objectif réel de ce travail était en fait d’observer le comportement transitoire du
système face à un échelon de tension.
Cependant, contrairement au comportement observé dans le gasoil, un jet EHD a pu
être maintenu pendant plusieurs heures dans l'huile de silicone, avec un dispositif à
183
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
barrière diélectrique sous tension continue.
Dans cette étude, le jet EHD s’est maintenu pendant plus de 6h sous un signal continu,
et indépendant de la polarité du signal. Cependant, les différents modes transitoires
ont été observés en fonction de la polarité du signal.
4.3.3.1. Polarité positive
La première expérience est réalisée en appliquant un signal continu positif de 30kV
sur l’électrode supérieure. Comme avec le gasoil, un jet de paroi se forme. Il prend sa
source sur l’arête de l’électrode et s’écoule le long de la surface. L’exemple d’un jet
obtenu à 30 kV est présenté dans figure 4.9. Contrairement aux mesures réalisées dans
le gasoil, le dispositif a été placé verticalement (pour des raisons techniques). On peut
remarquer que comparativement au gasoil la vitesse est faible. Seulement 2cm/s dans
l’huile de silicone alors que celle-ci dépasse les 30cm/s dans le gasoil. Le jet semble
également se décoller très rapidement de la surface, la position de
est plus loin de
la plaque que celle de gasoil (figure 4.9b). La figure 4.9b montre que le jet est plus
gros que le jet dans gasoil.
1.2
x/e=6.25
U=30kV
1.0
gasoil
silicone
Vy/Vy,m
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x(mm)
a
b
Figure 4.9 : Jet de paroi généré dans silicone un signal continu positif de 30kV (a),
profil de vitesse de silicone comparatifs avec le gasoil pour
=6,25 (b).
Cependant, ce comportement stable n’est atteint qu’au bout de quelques minutes.
Plusieurs changements significatifs de vitesse ont été observés dans les premières
minutes de l’expérience. Un exemple de ces variations est présenté sur la figure 4.10a.
Sur cet exemple, on voit nettement que la vitesse en un point placé à 5 mm de l’arête
et 1 mm du plan est très instable. De façon plus générale, on observe que le jet est, lui
aussi instable. Un grand nombre de fluctuations à haute fréquence de la vitesse du
liquide peut être observé (figure 4.10b). Néanmoins, aucunes fréquences particulières
ne semblent être accentuées ou modérées.
Durant les 30 premières secondes, le liquide accélère très rapidement pour atteindre
4cm/s puis sa vitesse décroît lentement pour devenir quasiment nulle au bout d’une
minute dans la figure 4.10a. Ce « trou » dans la courbe de la vitesse n’est pas unique.
Il s’observe systématiquement sur tous les essais réalisés et correspond à une variation
dans le régime d'écoulement.
184
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Durant les minutes qui suivent, la vitesse de liquide augmente de nouveau et se
stabilise vers 2cm/s à la position =1mm et = 5mm, mais il diminue brusquement à
5mm/s à =18min figure 4.10b. Cette nouvelle chute de vitesse est également un
phénomène reproductible et correspond également à un changement de régime.
`
a
b
Figure 4.10 : Évolution de la composante verticale de la vitesse en fonction du temps
en un point
( =1mm, =-5mm) le signal est continu positif. (a) enregistrement
des premières 10min, (b) enregistrement de 2h.
Pour comprendre l’origine de ces différents régimes, nous avons établi le champ
moyen de l’écoulement pendant ces différentes phases de l’écoulement. Les résultats
sont présentés sur la figure 4.11.
a
b
c
Figure 4.11 : Champs de vitesse pour la polarité positive dans (a) =0.5min, (b)
=4min, (c) =20min.
Pendant la première minute, le jet de paroi est mince et reste collé à la surface (figure
4.11a). La vitesse de ligne centrale est de 3cm/s et semble être homogène le long de
l'écoulement (figure 4.11b). Le jet semble également très allongé puisqu’il conserve
une vitesse très importante tout au long des 3cm visibles.
Entre 1min et 15min, le jet prend un tout autre aspect. Il se limite à une zone proche
de la pointe d'émetteur. Sa forme est alors celle d’un jet de paroi EHD typique comme
décrit par [161].
Au-delà de 20 min, le régime stationnaire est atteint (figure 4.11c) mais de grandes
fluctuations de fréquence sont encore visibles sur les mesures de vitesse instantanée.
185
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
L’écoulement reste clairement instable. L’écoulement electroconvectif à la forme d’un
jet de paroi large. L'épaisseur du jet est plus grande que celle observée sur jet EHD
dans le gazole.
Après plusieurs heures de fonctionnement, la vitesse diminue lentement. La
décroissance est similaire à une charge capacitive. Nous supposons que l’injection de
charges s'arrête lorsque la surface de la plaque diélectrique aura atteint la valeur seuil
ou que le réservoir expérimental sera entièrement chargé. L'expérience a été arrêtée à
=300min. La vitesse était alors 0,5 cm/s.
Pendant le temps de repos imposé entre les deux essais, l'électrode émettrice est reliée
à la terre via une résistance shunt. Comme la contre électrode est encapsulée dans de
la résine époxy, la résistance de shunt permet d’enregistrer le courant de décharge. 10
h sont nécessaires pour décharger totalement le réservoir. Les mouvements des
liquides ont également été enregistrés régulièrement pendant ce temps de décharge.
La figure 4.12 montre le comportement du fluide pendant les minutes qui suivent la
coupure du signal HT. Pendant les 3 premières minutes, un grand mouvement de
reflux s’observe. Le flux de liquide s’inverse et s’écoule vers l’électrode, provoquant
l’apparition d’un tourbillon également inverse au niveau de la pointe de l’électrode.
Après 35 minutes, on a constaté le processus de décharge persiste ce qui montre
qu’une quantité importante de charges a été accumulée dans le réservoir.
Figure 4.12 : Tourbillon auprès de l’électrode active après la coupure de la haute
tension avec la polarité positive. Vecteur de la vitesse et champs de vitesse moyenne
par 1000 images dans le régime de décharge électrique suivant le temps de 3min après
la coupure de la source électrique.
La figure 4.13 montre l’enregistrement du courant de décharge pendant les 2h qui
suivent l’interruption du signal. On voit que la décharge s’effectue de façon
exponentielle (comme une décharge capacitive), le courant de décharge diminue 90%
après les trois premières minutes avec une pente de décroissance -0,67, puis une chute
plus rapide à partir de 30min selon une loi en exposant -1,34. Cependant, le processus
de décharge se poursuit pendant plusieurs heures et des mouvements de liquide sont
toujours visibles pendant les 6h qui suivent.
186
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
courant de décharge (pA)
1000
signal continu positif 30kV
courant de décharge
100
-0,67
10
pente de décroissance
-1,34
1
0.1
1
10
100
temps(min)
Figure 4.13 : Courant de décharge de l’huile silicone avec le dispositif de l’actionneur
à barrière diélectrique, signal continu 30kV positif.
Donner une explication claire à ces différents régimes est délicat. Entre 1min et 18
min, le comportement semble classique. La forme du flux électroconvectif laisse
penser qu’une injection unipolaire se produit à la pointe de la lame. En raison du fort
champ électrique généré, les charges électriques injectées se déplacent à partir de la
lame vers la surface du diélectrique, qui produit un écoulement électroconvectif. La
faible vitesse par rapport aux jets obtenus dans le gasoil s’explique probablement par
une mauvaise injection et une plus forte viscosité. La viscosité du gasoil est deux fois
plus faible que celle de l’huile de silicone que nous avons utilisée. Or une plus forte
viscosité signifie une mobilité ionique plus faible donc une plus faible vitesse. La plus
faible vitesse et la plus forte viscosité permettent sans doute d’expliquer aussi
pourquoi le jet est plus large. L’hypothèse d’une moins bonne injection est plus
difficile à démonter même si elle semble logique. Moins de charges entrainent
forcément une force de Coulomb plus faible et donc une plus faible vitesse.
Le changement de régime observé au bout d’une minute pourrait avoir pour origine la
double couche électrique. Il est bien connu qu’une couche d’hétérocharges se
développe systématiquement aux interfaces liquide/solide. Dans le cas de l’huile de
silicone, la partie diffuse de cette couche est importante. La mise en mouvement de
grande ampleur qu’on observe à la mise sous tension correspondrait assez bien à la
mise en mouvement de cette couche naturellement chargée. Une fois la couche
soufflée par l’écoulement, son temps de reconstruction étant bien supérieur au temps
caractéristique de l’écoulement elle n’a pas le temps de se reformer et on observe un
changement de régime. En ce qui concerne le changement de régime après 20 minutes
de fonctionnement, plusieurs explications sont possibles. Il est probable que des
charges finissent par s’accumuler sur la surface et perturbent le phénomène
d’injection.
Les instabilités importantes observées sur la vitesse sont probablement dues à une
injection de charge irrégulière. L’accumulation locale de paquets de charges sur la
surface qui se décolleraient de façon aléatoire et perturberaient le processus l'injection
semble également possible.
4.3.3.2. Polarité négative
Une haute tension négative 30kV est appliquée à l'électrode émettrice. Comme dans le
187
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
cas d’un signal continu positif, les variations de vitesse considérables sont visibles sur
les 10 premières minutes (figure 4.14a). Au-delà de 20min, la vitesse d'écoulement
moyen atteint une valeur quasi-stable en régime stationnaire et diminue lentement.
Après 6h de fonctionnement, la vitesse est d'environ 0,6 cm/s. Encore une fois, cette
diminution est supposée être principalement due à l'accumulation de charge dans la
cuve et la surface de plaque diélectrique.
L'analyse des 20 première minutes (figure 4.15) fait apparaître trois régimes. Le
premier régime dure 3min. Il est caractérisé par une vitesse positive. Le second est
compris entre 3 et 6min. À la position =1mm et =5mm la vitesse est alors nulle ou
quasi-nulle. Enfin le dernier régime commence après 6min et peut persister pendant
de nombreuses heures.
a
b
Figure 4.14 : Évolution de la vitesse de la composante verticale pour un point avec la
positon x=1mm, y=-5mm en fonction du temps sous un signal continu négatif. (a)
enregistrement du première 10min, (b) enregistrement dans 2h.
Comme pour l’étude en polarité positive, nous avons réalisé des enregistrements de
l’écoulement pendant ces trois phases distinctes (figure 4.15). Pendant les trois
premières minutes, la direction d’écoulement est inversée (figure 4.15a). Ce
comportement n'a jamais été décrit auparavant dans littérature. La couche de liquide
en contact avec la surface diélectrique est comme attirée par l'électrode supérieure.
L’ensemble produit un jet de paroi montant qui tourbillonne au niveau de l’électrode.
Cet écoulement ascendant diminue rapidement. Après 3 minutes, le vortex a disparu.
Entre 3 et 6 min, le jet principal est à nouveau dirigé vers le bas, mais il est nettement
détaché de la surface (décollé de la plaque) (figure 4.15b). Ce détachement est dû à un
écoulement montant très faible vitesse qui persiste dans une couche très proche de la
surface. La confrontation entre ces deux flux de sens opposés maintient l’écoulement
autour d’une faible vitesse.
Dans le dernier régime (figure 4.15c), le liquide s'écoule comme un jet de paroi EHD.
Le liquide accélère sur une distance de 1cm puis la vitesse décroit et le jet s’élargit. Le
flux reste attaché à la plaque diélectrique, et une vitesse maximale de 3,8cm/s est
atteinte.
188
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
a
b
c
Figure 4.15 : Champs de vitesse pour la polarité négative dans (a)
(b) =4min, (c) =20min.
=0.5min,
La figure 4.16 montre que le courant de décharge diminue moins rapidement que dans
le cas positif. Durant les trois premières minutes, le courant ne décroit que de 25%, ce
qui peut conduit à un processus de décharge plus long que dans le cas positif. La
charge accumulée est également visiblement plus importante. Comme pour les autres
liquides, il semble que l’injection de charges négative dans l’huile de silicone soit
également plus efficace que l’injection positive.
signal continu negatif 30kV
courant de décharge (pA)
1000
courant de décharge
-0,65
100
pente de décroissance
-1,2
10
1
1
10
100
temps(min)
Figure 4.16 : Courant de décharge de l’huile silicone avec le dispositif de l’actionneur
à barrière diélectrique, signal continu 30kV négatif.
4.3.3.3. Discussion
Le travail expérimental présenté dans cette section est basé sur les champs de vitesse
obtenus par la mesure PIV. Cette étude se concentre sur l'écoulement induit par un
actionneur de barrière à diélectrique dans l'huile de silicone. Six régimes peuvent être
observés (trois par polarité de signal).
1) Les deux premiers régimes ont été observés durant les 3min qui suivent la mise
sous tension. En polarité positive, le jet accélère rapidement et prend une forme
qui s’étire très longuement sur la surface. Dans le cas négatif, c’est un flux
inverse qui tourbillonne au niveau de l’électrode qu’on observe. Ces deux
comportements très différents peuvent tous deux être expliqués par la présence
d’une couche diffuse (double couche électrique). Comme tous les liquides, l’huile
de silicone développe naturellement une couche chargée aux interfaces
liquide/solide. Cette couche diffuse est composée principalement de charges
189
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
libres qui peuvent être facilement mises en mouvement par l’écoulement. Dans
nos cas, cette couche est formée de charges positives. À la mise sous tension,
cette couche est attirée par l’électrode positive (polarité négative) et repoussée par
l’électrode positive (polarité positive). Comme la dynamique de création de cette
couche est beaucoup plus grande que la vitesse à laquelle les charges sont
balayées par l’écoulement, le comportement associé à sa présence disparaît
rapidement.
2) Les deux derniers régimes (au delà de 15 minutes) sont très similaires à ceux
observés dans le gasoil. L’injection de charge au niveau de la pointe crée une
force de Coulomb qui met le liquide en mouvement. L’injection négative étant
plus efficace que l’injection positive, la vitesse en polarité négative est plus
importante que celle mesurée en polarité positive.
3) Les deux régimes observés entre 3 et 20 minutes ne sont probablement que des
régimes transitoires dans lesquels la double couche persiste, mais seulement sous
une forme affaiblie. Elle reste cependant suffisante pour perturber l’écoulement.
Dans ce régime coexiste probablement une double couche et un début d’injection
de charge au niveau de la lame. Ces régimes ne persistent que quelques minutes.
Dès que la couche est complètement dispersée, le jet se forme le long de la paroi
diélectrique.
4.3.3.4. Remarque sur la double couche
Pourquoi le phénomène de double couche n’est-il pas visible dans le gasoil? Nous
allons analyser la caractéristique de la double couche électrique pour les deux
liquides.
Les paramètres clés d’une double couche électrique sont pour nous son épaisseur et
son temps de création. L’épaisseur est caractérisée par la longueur de Debye et le
temps création de la couche par le temps de relaxation du diélectrique liquide.
Lorsqu’un liquide entre en contact avec une surface solide il y a échange de charges
entre les deux milieux. Les phénomènes à l’origine de cet échange de charges sont
complexes et encore aujourd’hui mal compris. Plusieurs phénomènes physiques sont
soupçonnés de participer à cet échange de charge : adsorption, corrosion…
Une partie de la charge captée par le liquide s’étale, au voisinage de la surface pour
former une couche de charges appelée couche diffuse. Les charges, créées au niveau
de l’interface diffusent dans le liquide pour former une couche dont la concentration
obéit un profil de Boltzmann
La longueur de Debye caractérise l'épaisseur de la couche diffuse.
0
=√
Où
0
190
est la longueur de Debye,
représente le coefficient de diffusion,
(4.1)
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
est la constante diélectrique,
est la conductivité diélectrique.
Avec
Où
=
(4.2)
la mobilité des porteurs de charges,
la constante de Boltzmann,
la température thermodynamique et e la charge électrique.
Deux temps caractéristiques sont nécessaires pour estimer le temps de développement
de la couche. Le temps de dissociation/recombinaison également appelé le temps
chimique et le temps de relaxation. On admet en général que le temps de
développement de la couche est égal au maximum de ces deux temps caractéristiques.
=
0
(4.3)
Tableau 4.6 : Différentes propriétés de la double couche électrique pour le gasoil et le
silicone.
Diélectrique
0
liquide
(S/m)
(s)
(µm)
(m2/V∙s) (m2/s)
−8
-10
-11
-9
gasoil
10
2,53.10
1,95.10
1,55.10
2,07~6,54
1,69.10-2
-7
-9
-11
-13
~10
~2,53.10 2,29.10
Silicone
1,0.10
240,7-761,2 229
Comme on peut le voir dans le tableau 4.6, l’épaisseur de la couche diffuse du gasoil
est de l’ordre du micron quand celle du silicone atteint pratiquement le millimètre. Le
temps de développement passe également de quelques millisecondes pour le gasoil à
plusieurs heures pour le silicone. Dans le cas du silicone, la couche est bien présente à
la mise sous tension, cependant une fois chassée, il lui faut plusieurs heures de repos
pour se reformer. Dans le gasoil, celle-ci se forme rapidement. Cependant, son
épaisseur est si faible qu’elle ne semble pas avoir d’effet visible sur l’écoulement.
4.3.4. Jets de paroi EHD produits par le signal alternatif
La possibilité d’obtenir un flux inverse est particulièrement intéressante pour le
développement d’actionneur EHD. La section suivante est dédiée à l’étudie du
dispositif à barrière diélectrique sous signal alternatif. L’influence de l’amplitude, de
la fréquence, et du rapport cyclique y sont étudiés.
Un pré-essai a été fait pour calibrer la gamme de fréquences utilisables avec le
dispositif à barrière diélectrique dans le cas d’une utilisation dans l’huile de silicone.
Le résultat montre qu’une fréquence de quelque Hertz est favorable pour générer un
jet de paroi EHD. La pré-étude a également montré qu’une analyse en champ moyen
n’apporte pas d’information concluante sur le comportement du liquide. Les études
ont donc été réalisées par analyse de phase. Chaque période de signal est divisée en 20
positions (ou phase) distribuées uniformément sur un période. Pour chaque phase, le
champ moyen est calculé à partie de 100 champs instantanés.
191
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
4.3.4.1. Étude du comportement pour un signal carré
= 30kV,
= 0,2Hz
La haute tension est produite à l’aide d’un amplificateur TREK et un générateur de
fonctions. Le temps de montée du générateur HT est de 400 � μs. Les champs de
vitesse correspondants peuvent être consultés sur la figure 4.17.
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.17 : Champs de vitesses des 20 phases dans une période du signal carré
30kV, 0.2Hz.
192
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
La première phase 1 correspond au milieu de l’alternance positive du signal. Le jet se
comporte comme un jet de paroi classique avec un écoulement qui va du haut vers le
bas. Au changement de polarité du signal (phase 6) le jet change de sens. Très
rapidement le flux s’inverse et un tourbillon se met en place au niveau de l’électrode.
Enfin lorsque le signal redevient positif (phase 16) le flux reprend un sens descendant.
Sur la figure 4.18, on peut voir la polarité du signal en bleu ainsi que la position des
20 phases sélectionnées. Les 5 premières phases correspondent à la fin de l’alternance
négative. Les phases 6 à 15 sont prises pendant la polarité positive, tandis que phases
16 à 20 représentent le début de l’alternance négative, la vitesse augmente
régulièrement pendant 4 phases puis semble se stabiliser à 1,7 cm/s. La vitesse se
maintient à cette valeur jusqu’à la fin de l’alternance négative. Au changement de
polarité, la vitesse s’inverse. Faible au début, elle croît tout au long de l’alternance
positive pour atteindre son maximum juste avant le retour en polarité négative.
40
X=0.84mm
Y=-6.11mm
U(kV)
30
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
Vx
Vy
0.05
0.04
0.03
20
0.02
10
0.01
0
0.00
-10
-0.01
-20
-0.02
-30
-0.03
Vi(m/s)
50
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
Figure 4.18 : Vitesse du jet dans la position
30kV, 0.2Hz.
=0,8mm,
=-6,1mm et le signal carrée
La figure 4.19 montre les variations de la forme des profils de vitesse à la position
0,84mm, =-6,11mm.
0.03
vy(m/s)
0.02
phase1 t=0s
phase2 t=0.25s
phase3 t=0.5s
phase4 t=0.75s
phase5 t=1s
phase6 t=1.25s
phase7 t=1.5s
phase8 t=1.75s
phase9 t=2s
phase10 t=2.25s
phase11 t=2.5s
phase12 t=2.75s
phase13 t=3s
phase14 t=3.25s
phase15 t=3.5s
phase16 t=3.75s
phase17 t=4s
phase18 t=4.25s
phase19 t=4.5s
phase20 t=4.75s
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
Y=-6.11mm
0.01
0.00
-0.01
-0.02
-0.03
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x(mm)
0.04
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
Y=-6.11mm
0.03
0.02
phase5 t=1s
phase6 t=1.25s
phase15 t=3.5s
phase16 t=3.75s
0.01
Vy(m/s)
0.04
=
0.00
-0.01
-0.02
-0.03
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
x(mm)
a
b
Figure 4.19 : Variations du profil de vitesse position =-6,1mm, (a) pour toutes les
phases, (b) pour la phase correspondant au changement de polarités.
Pour toutes les phases, les profils sont similaires à ceux observés dans des jets de
paroi classiques. La vitesse maximale se trouve à environ =1,5mm de la surface.
C’est un plus grand que celle trouvée par Daaboul dans son étude sur les jets dans le
gasoil (1mm). La vitesse maximale est de 3cm/s pour la polarité positive et 1.8cm/s
193
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
pour la polarité négative. Durant chaque alternance, la vitesse du jet augmente
rapidement pendant les premières phases, le jet devient plus en plus large. Le taux
d’augmentation de la vitesse ralentit progressivement jusqu’au changement
d’alternance suivant.
4.3.4.2. Influence de l’amplitude du signal
L’influence de l’amplitude du signal est testée sur un signal alternatif carré de 0,2Hz.
Les résultats sont présentés en considérant l’évolution de la vitesse au point
( =0,84mm, =-6,11mm). Les phases sont les mêmes que celles présentées à 30kV.
La figure 4.20a et la figure 4.20b montrent l’évolution des deux composantes de la
vitesse. Le sens de l’écoulement n’est pas perturbé par l’amplitude du signal. En
polarité négative,
est orienté vers la paroi et
est dirigée vers le haut tandis
qu’en polarité positive, on observe exactement l’inverse. Les courbes de vitesses ont
une forme carrée similaire à la forme du signal. L’amplitude de
et
augmente
avec la tension appliquée, le taux d’accroissement sur polarité positive est plus grand
que celui sur polarité négative. La vitesse maximale de 3cm/s est atteinte pour un
potentiel maximal de 30kV.
0.020
0.015
0.010
0.03
0.02
0.000
-0.005
signal carré
f= 0.2Hz
X=0.84mm
Y=-6.11mm
U=5kV
U=10kV
U=15kV
U=20kV
U=25kV
U=30kV
0.01
Vy (m/s)
0.005
Vx (m/s)
0.04
U=5kV
U=10kV
U=15kV
U=20kV
U=25kV
U=30kV
signal carré
f= 0.2Hz
X=0.84mm
Y=-6.11mm
0.00
-0.01
-0.010
-0.02
-0.015
-0.03
-0.020
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
t (s)
t (s)
a
b
Figure 4.20 : Évolution de la composante de la vitesse
(a). Évolution de la
composante de la vitesse , dans un point ( =0,84mm, =-6,11mm) en fonction de
la phase pour différent potentiel (b).
La figure 4.21a montre l’évolution de ̅ et ̅ en fonction du potentiel appliqué.
On a constaté que pour la polarité positive, (voir sens d’écoulement dans figure 4.21b),
le jet semble poussé par l’électrode. L’augmentation de la vitesse est de plus en plus
faible il tend vers une asymptote après 30kV. Par contre en polarité négative, le jet est
comme attiré linéairement sans atteindre une valeur asymptotique. On pourrait encore
augmenter l’amplitude du signal afin d’avoir un jet plus fort lors de la polarité
négative.
194
Vi (m/s)
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
X=0.84mm
Y=-6.11mm
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
-0.005
-0.010
-0.015
-0.020
-0.025
-0.030
0
5
10
Vx, polarité positive
Polarité
négative
Polarité
positive
Vx, polarité négative
Vy, polarité positive
Vy, polarité négative
15
20
25
30
35
U (kV)
a
b
̅
̅
Figure 4.21 : Évolution de
et
en fonction du potentiel pour les deux polarités
(a), sens d’écoulement dans la zone autour du point ( =0,84mm, =-6,11mm) (b).
4.3.4.3. Influence du rapport cyclique du signal
Dans cette partie, nous étudions l’influence du rapport cyclique d’un signal. Deux
rapports cycliques ont été analysés sur un signal alternatif carré 0,2Hz. La figure
4.22a représente la variation de la vitesse
pour un rapport cyclique de 20%. Dans
nos cas, cela signifie que le temps de maintien en polarité positive est égal à 20% du
temps total d’une période. À l’opposé, sur la figure 4.22b le rapport cyclique est de
80%.
U (kV)
20
f= 0.2Hz
=20%
Vy
0.05
50
0.04
40
0.03
30
0.02
20
0.02
10
0.01
0
0.00
10
0.01
0
0.00
-10
-0.01
-20
X=0.84mm
Y=-6.11mm
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
=80%
Vy
0.05
0.04
0.03
-10
-0.01
-0.02
-20
-0.02
-30
-0.03
-30
-0.03
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
Vy (m/s)
30
signal carré
X=0.84mm
Y=-6.11mm U=30kV
U (kV)
40
Vy (m/s)
50
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
a
b
Figure 4.22 : Variations de
en un point ( =0,84mm, =-6,11mm) en fonction de
la phase pour un signal rectangulaire 30kV 0.2Hz avec le rapport cyclique (a) 20%,
(b) de 80%.
L’évolution de la vitesse
au point étudié confirme ce qui a déjà été observé sur le
signal symétrique. Le champ de vitesse change systématiquement de direction lors du
changement de polarité du signal. À 20% sur la figure 4.22, le jet reste à la même
vitesse dans les deux directions, soit environ 2cm/s. Cette vitesse est toutefois
sensiblement inférieure à celle observée sur le signal symétrique qui était de 3cm/s.
Par contre, avec un rapport cyclique de 80% figure 4.22a, la vitesse atteint seulement
la moitié de la vitesse à 20% en polarité négative alors qu’aucune variation notable
n’est visible en polarité positive. Ceci semble confirmer que le jet met beaucoup plus
de temps à s’établir en polarité négative qu’en polarité positive. On peut voir sur la
courbe de vitesse à 20% que 4 à 5 phases sont nécessaires pour que le flux s’installe.
Avec un rapport cyclique de 80% le temps de maintien en polarité négative est trop
court pour que le fluide atteigne un état stabilisé.
195
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
4.3.4.4. Influence de la fréquence du signal
Pour étudier l’influence de la fréquence du signal, nous comparons deux signaux
carrés de 30kV. Le premier a une fréquence de 0,05Hz le second une fréquence de
0,2Hz. Les tests réalisés à la fréquence plus élevée n’ont pas donné de résultats
intéressants. La figure 4.23 présente l’évolution des champs de vitesse
toujours au
même point. Les différences entre les deux signaux sont faibles, le jet atteint la vitesse
2cm/s pour chaque polarité. Pour observer une différence plus importante, il suffit
d’élever la fréquence. En effet, il faut un certain temps pour permettre au flux de
s’établir. Avec une fréquence trop rapide, les changements de polarité fréquents et
donc des changements de directions incessants ne permettent pas à l’ensemble de se
stabiliser.
40
0.03
30
20
0.02
20
0.02
10
0.01
10
0.01
0
0.00
0
0.00
-10
-0.01
-20
U (kV)
50
0.04
Vy
Vy (m/s)
U (kV)
0.05
0.05
signal carré
U=30kV
f= 0.05Hz
X=0.84mm
40 Y=-6.11mm
30
signal carré
X=0.84mm
Y=-6.11mm U=30kV
f= 0.2Hz
Vy
0.04
0.03
Vy(m/s)
50
-10
-0.01
-0.02
-20
-0.02
-30
-0.03
-30
-0.03
-40
-0.04
-0.04
-40
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
t (s)
t (s)
a
b
Figure 4.23 : Évolution de
au point ( =0,8mm, =-6,1mm) en fonction de la
phase pour un signal carre 30kV de fréquence (a) 0,05Hz, (b) 0,2 Hz.
4.3.4.5. Influence de la forme du signal
Les études ci-dessus ont montré qu’à chacune des deux polarités correspondent un
écoulement spécifique. La vitesse de l’écoulement change de sens, mais le module est
toujours à peu près le même. Nous avons voulu savoir dans quelles mesures il serait
possible de rompre cette symétrie pour favoriser l’écoulement dans l’une des deux
directions. Dans cet objectif, nous avons testé plusieurs formes de signal : le pulse,
soit (positif ou négatif), ainsi que trois formes de signaux triangulaires.
L’idée d’utiliser un pulse nous a semblé évidant au vu des résultats obtenus avec les
signaux à symétrie variable. Le faible temps de maintien à 80% de symétrie a permis
d’obtenir un déséquilibre sensible qui favorise nettement l’écoulement vers le haut. La
figure 4.24 montre l’évolution de la vitesse avec un signal pulsé positif (a) et négatif
(b). On peut nettement voir que le résultat n’est pas celui attendu. L’écoulement
conserve ses deux modes principaux avec un écoulement vers le haut et un autre vers
le bas. Tous deux ont un module de 1 à 2 cm/s. Seul le temps d’établissement semble
plus long. En fait on retrouve quasi exactement l’écoulement enregistré avec un signal
carré±15kV. L’ensemble se comporte comme si le potentiel de surface du diélectrique
fluctuait autour de la valeur moyenne du signal. Ainsi pour un signal ±15 kV, le
diélectrique conserve une valeur moyenne nulle alors que dans le cas du signal pulsé
positif celle-ci est de 15kV et dans le cas négatif -15kV. Le champ électrique au
niveau de l’électrode supérieure est ainsi le même dans les trois cas ce qui
expliquerait que la vitesse mesurée soit également la même.
196
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
signal pulsé positif
X=0.84mm
40 Y=-6.11mm U=30kV
Vy 0.05
signal pulsé négatif
X=0.84mm
40 Y=-6.11mm U=30kV
0.03
30
20
0.02
20
0.02
10
0.01
10
0.01
0
0.00
0
0.00
-10
-0.01
-20
-30
U (kV)
f= 0.2Hz
=50%
Vy (m/s)
0.04
30
U (kV)
50
0.05
Vy
0.04
f= 0.2Hz
=50%
0.03
-10
-0.01
-0.02
-20
-0.02
-0.03
-30
-0.03
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Vy (m/s)
50
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
t (s)
a
Figure 4.24 : Évolution de la vitesse
(a) pulse positif, (b) pulse négatif.
b
au un point ( =0,8mm,
=-6,1mm)
Trois autres formes ont été étudiées : deux signaux dents de scie et triangle. L’idée
cette fois est d’étudier l’influence du temps de montée. Tous les signaux ont une
fréquence de
=30kV, =0,2Hz.
Sur la figure 4.25, on peut observer les résultats obtenus pour chacun des signaux. Sur
les deux signaux de type dents de scie, on peut noter qu’une brusque variation de
vitesse se produit simultanément avec le saut de potentiel. Inversement, le long de la
rampe, la vitesse varie plus lentement. Avec le signal triangulaire, la vitesse varie
progressivement, pratiquement de façon sinusoïdale. Dans tous les cas, la vitesse
moyenne est nulle ou quasi nulle. Les deux modes de jet paraissent également pour
tous les cas. À ces fréquences, l’utilisation de signaux de type rampe ou triangle ne
permet pas d’obtenir une dissymétrie notable dans l’écoulement.
Vy 0.05
0.04
50
0.03
30
20
0.02
10
0.01
0
0.00
signal dents de scie2
U=30kV
f= 0.2Hz
Vy
0.05
20
0.02
10
0.01
10
0.01
0
0.00
0
0.00
-0.01
U (kV)
0.02
Vy (m/s)
0.03
20
-10
50 X=0.84mm
signal triangulaire
40 Y=-6.11mm U=30kV
0.04
f= 0.2Hz
Vy 0.05
0.04
0.03
-10
-0.01
-10
-0.01
-0.02
-20
-0.02
-20
-0.02
-20
-30
-0.03
-30
-0.03
-30
-0.03
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-40
-0.04
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-0.04
-40
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (min)
t (min)
a
b
Figure 4.25 : Évolution de
au point ( =0,8mm,
(b) dents de scie 2, (c) triangle respectivement.
Vy (m/s)
X=0.84mm
40 Y=-6.11mm
30
30
U (kV)
f= 0.2Hz
U (kV)
signal dents de scie1
X=0.84mm
40 Y=-6.11mm U=30kV
Vy (m/s)
50
t (s)
c
= -6,1mm) (a) dents de scie 1,
4.4. Estimation de la force produite par l’actionneur à barrière
diélectrique
4.4.1. Spécificité du calcul de la force en présence d’une paroi
L’utilisation d’une méthode intégrale nécessite de placer le volume de contrôle autour
de la zone de force. Comme par constitution, l’actionneur à barrière diélectrique
produit une force au voisinage d’une paroi, il est naturel (et inévitable) de placer
l’actionneur au-dessus de la surface (voir la figure 4.26).
197
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
SN
volume de
contrôle
So
Se
F
SS
Figure 4.26 : Schéma indiquant le placement du volume de contrôle.
La face sud du volume de contrôle est placée sur la paroi du diélectrique. Ce choix
pose deux problèmes. Le premier est fondamental. Comme la vitesse du liquide sur la
paroi est nulle (condition de non-glissement) il existe à cet endroit une force exercée
par la paroi sur le liquide (frottement). Cette force de frottement (
), est une
�
force externe et donc la condition qui stipule qu’aucune force externe ne doit
s’appliquer sur les bords du volume de contrôle ne peut être respectée. Le deuxième
point est plus technique. Comme on ne peut connaitre la valeur du gradient de
pression sur la surface, il est également impossible d’obtenir la valeur de la pression
par propagation. Même s’il est impossible de connaître la force globale produite par
l’actionneur, il est toutefois possible de déterminer sa composante dans la direction
principale de l’écoulement. La méthode de propagation permet d’estimer la pression
par propagation sur les faces Est-Nord et Ouest (figure 4.27).
D
(p12)
(p11)
(p10)
(p9)
(p8)
(p7)
(p6)
(p5)
C
(p4)
SN

(p13)
(p14)
(p3)
SE
(p2)
SO
(p15)
SS
(p16)
A
(p1)
O(i0,j0)
(p0)
B
Figure 4.27 : Schéma représentatif de la méthode de propagation, la propagation à
partir du point B.
On peut donc en déduire la composante en
198
du terme de pression.
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
̅
= ∫ ̅∙
�
Et en déduire la composante en
− ∫ ̅∙
=∫ ̅∙
−∫ ̅∙
(4.3)
de la force.
=∭
− ∫̅ ∙
+ ∫̅ ∙

(4.4)
4.4.2. Force produite par l’actionneur dans le gasoil
En reprenant les champs de vecteurs enregistrés par Daaboul, nous avons pu estimer
la force produite par l’actionneur lorsqu’il est plongé dans du gasoil.
4.4.2.1. Influence des paramètres
On constate un accroissement exponentiel de la force avec le potentiel et ce pour les
deux fréquences étudiées (la figure 4.28a pour le signal 100Hz et la figure 4.28b pour
1kHz). On note également que la force est dix fois plus grande pour le signal 100Hz.
160
signal carré
f= 100Hz
140
120
24
d=0mm
e=4mm
20
 =30mm x 10mm
fx
 =30mm x 10mm
16
fx (mN/m)
100
fy (mN/m)
signal carré d=0mm
f= 1000Hz e=4mm
fx
80
60
12
8
40
4
20
0
0
0
5
10
15
20
U (kV)
25
30
35
0
5
10
15
20
25
30
35
U (kV)
a
b
Figure 4.28 : Variation de la force électrique dans le volume de contrôle en fonction
de la fréquence pour un signal alternatif avec la fréquence, (a)100Hz, (b) 1kHz.
Les courbes ci-dessous ont été réalisées pour deux potentiels différents. Elles
montrent l’influence de la fréquence du signal sur la force moyenne. Comme cela
avait été observé sur la vitesse, avec ce dispositif, la force augmente jusqu’à une
fréquence de 100Hz puis décroît de façon asymptotique avec la fréquence. Le rapport
de dix observé entre les deux tensions semble indépendant de la fréquence.
199
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
150
2.7
signal carré
U=30kV
d=0mm
e=4mm
fx
 =30mm x 10mm
120
signal carré
U=10kV
2.4
d=0mm
e=4mm
fx
 =30mm x 10mm
2.1
90
fx (mN/m)
fx (mN/m)
1.8
60
1.5
1.2
0.9
0.6
30
0.3
0
0.0
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
f (Hz)
f (Hz)
a
b
Figure 4.29 : Variation de la force électrique moyenne dans le volume de contrôle en
fonction de la fréquence pour un signal alternatif avec (a) l’amplitude 30kV, (b)
10kV.
4.4.2.2. Variation temporelle de la force
Pour étudier les variations temporelles de la force de Coulomb, il faut être capable
d’estimer le terme temporel de façon précise. L’analyse de phase réalisée sur la
vitesse permet d’atteindre cet objectif. Dans la méthode retenue, la période a été
décomposée en 40 phases réparties uniformément. Pour chacune de ces phases, le
champ de vitesse est calculé à partir de la moyenne de 200 champs instantanés.
En théorie, le volume de contrôle peut être différent pour chacune des phases. En
pratique, dans nos cas, le volume de contrôle reste le même.
La figure 4.30a présente la variation de la vitesse sur une période de signal en point
fixe pris en aval de la pointe de la lame. La composante
est la composante dans
la direction principale du jet. Un pic de vitesse apparait immédiatement après chaque
changement de polarité du signal. Le pic le plus intense s’observe pour le passage
positif vers négatif.
signal carré
U=30kV
f= 1Hz
fx (mN/m)
300
40
30
200
20
100
10
0
0
terme temporel
terme convectif
terme visqueux
terme de pression
terme de force
-100
-200
-300
0
U (kV)
400
-10
-20
-30
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t (ms)
a
b
Figure 4.30 : Évolution de la vitesse en fonction du temps d’une période au point
=5mm, =1mm (a). Évolution de la force et du terme instationnaire suivant la
direction
en fonction du temps sur une période (signal carré
=30kV, =1Hz)
(b).
200
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Sur la figure 4.30b, la courbe bleue indique la valeur du potentiel qui est appliquée sur
l’électrode supérieure. La courbe noire montre l’évolution de la composante suivant x
de la force de Coulomb ( la direction principale du jet de paroi) en fonction du
temps. La courbe rouge indique l’évolution du terme temporel. En comparant
l’amplitude, chacun des termes (visqueux, temporel, pression, convectif) nous avons
remarqué que le terme temporel est nettement celui qui domine. Les autres sont en fait
négligeables.
1) Sur la courbe de force, on aperçoit deux pics. Ceux-ci sont situés au début de
chaque alternance, mais avec un léger retard. Ce retard étant de l’ordre d’une
phase, il nous est difficile de savoir s’il est significatif cependant, il est possible
que l’injection soit un phénomène qui prenne un peu de temps à se mettre en
place.
2) L’essentiel de la force est délivré en 100ms.
3) Le pic de force est également bien plus important lorsque la polarité passe de
positive à négative. Ce point conforte l’idée selon laquelle l’injection négative est
plus efficace que l’injection positive.
4) La vitesse et la force ne sont pas en phase. Cette différence probablement due au
fait que le point choisit pour mesurer la vitesse est à une distance 5mm de la
pointe de l’électrode.
5) La décroissance de la force après un pic est plus rapide que la décroissance de la
vitesse. Il existe donc un phénomène d’inertie important.
6) La force est liée à la présence conjointe de charges et d’un champ fort. La
décroissance rapide est donc liée soit à un arrêt de l’injection soit à la chute du
champ de surface. Ces deux phénomènes peuvent s’expliquer par une
accumulation de charges sur la surface du diélectrique.
4.4.3. Force produite par l’actionneur dans l’huile de silicone
La même méthode a été appliquée aux champs de vitesse enregistrés dans l’huile de
silicone.
La figure 4.31 montre la position du volume de contrôle. Comme l’écoulement du jet
varie en fonction de la phase, dans la zone de fluide où la force électrique s’exerce, les
charges se forment sans cesse. Différents essais ont été réalisés pour déterminer la
meilleure configuration possible en faisant varier la forme du volume de contrôle.
Dans la figure 4.31, on peut voir les deux types de volume de contrôle utilisés : la
taille de zone 1 (ligne noire) change en fonction de largeur (les positions des trois
points du volume de contrôle
=-15mm), plusieurs tests ont
0 =0mm, 0 =5mm,
été réalisés en faisant varier sa largeur de =2.5mm à =15.5mm. Les résultats
obtenus avec ces premiers volumes se trouvent sur la figure 4.32a. De la même façon
le deuxième type de volume (ligne violette) à lui une largeur fixe de 2,5mm par contre
sa hauteur s’allonge de =-2.5mm à =-20mm (les positions fixées des trois points
du volume de contrôle 0 =0mm, =2,5mm, 0 =5mm). Voir les résultats sur la
figure 4.32b.
201
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
Figure 4.31 : Deux types de volume de contrôle utilisés pour calculer la force
électrique par la méthode d’intégrale.
Les figures 4.32a et 4.32b montrent que l’évolution de la composante verticale de la
force électrique en fonction de la phase pour différents volumes de contrôle. Les
variations de
ont une forme rectangulaire assez similaire à la forme du signal.
Conformément à ce que laisse supposer l’écoulement, la force électrique s’oriente
vers le bas en polarité positive et s’inverse en polarité négative. Les mêmes tendances
de forme et d’orientation s’observent sur la force et sur la vitesse verticale . Le
résultat du calcul intégral est quasi-similaire pour l’ensemble des volumes étudiés
excepté pour les deux plus grands volumes ( =10mm et =15mm) pour lesquels on
note la présence d’un bruit excessif. Ce bruit est dû d’une part au bruit résiduel
présent sur les champs de vitesse qui n’ont été moyennés que sur 200 images, mais
également à la méthode intégrale elle-même qui par définition accumule l’erreur et le
bruit de mesure sur l’ensemble du volume de contrôle. Pour réduire ce bruit, il serait
souhaitable d’augmenter le nombre d’image pris pour chaque phase.
12
10
8
=H x L
12
25mm x 2.5mm
25mm x 5mm
25mm x 10mm
25mm x 15mm
4
10
8
6
fy(mN/m)
fy(mN/m)
6
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
2
0
4
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
=H x L
7.5mm x 2.5mm
10mm x 2.5mm
15mm x 2.5mm
20mm x 2.5mm
25mm x 2.5mm
2
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-8
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
t (s)
a
b
Figure 4.32 : Évolution de composante verticale de la force électrique en fonction de
la phase pour différents le volume de contrôle (a) hauteur
est constante, (b) largeur
est constante.
Cependant, les résultats montrent également que (figure 4.32a) quel que soit le
volume de contrôle utilisé, la force calculée reste pratiquement toujours la même,
(pour =2.5mm, jusqu’à =15.5mm) ; Le résultat est un peu différent sur la figure
202
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
4.32b, avec le volume de contrôle violet on peut voir que la force électrique augmente
avec la hauteur de volume de contrôle jusqu’à une valeur =10mm puis ne semble
plus varier.
Cette tendance se confirme figure 4.33a. On voit bien que pour la plupart des phases,
une valeur asymptotique est atteinte quand =15mm. Seule la phase 8 nécessite un
volume de contrôle plus grand. La figure 4.33b montre que l’évolution de la force
en fonction de la phase. Il est évident que la phase 5 et 14 concernent la phase juste
avant du changement de polarité.
4
3
fy (mN/m)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
5
10
15
20
25
H (mm)
30
35
5
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
4
3
=H x L
L=2.5mm
phase3 t=0.5s
phase4 t=0.75s
phase5 t=1s
phase6 t=1.25s
phase8 t=1.75s
phase14 t=3.25s
phase15 t=3.5s
phase16 t=3.75s
2
fy (mN/m)
phase1 t=0s
phase2 t=0.25s
phase3 t=0.5s
phase4 t=0.75s
phase5 t=1s
phase6 t=1.25s
phase7 t=1.5s
phase8 t=1.75s
phase9 t=2s
phase10 t=2.25s
phase11 t=2.5s
phase12 t=2.75s
phase13 t=3s
phase14 t=3.25s
phase15 t=3.5s
phase16 t=3.75s
phase17 t=4s
phase18 t=4.25s
phase19 t=4.5s
phase20 t=4.75s
signal carré =H x L
U=30kV
L=2.5mm
f= 0.2Hz
5
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
5
10
15
20
25
30
H (mm)
a
b
Figure 4.33 : Évolution de la force électrique
en fonction de la hauteur du volume
de contrôle (a) pour toutes les phases, (b) pour les phases associés au changement de
polarités.
Pour conclure, la force électrique est entièrement contenue dans un volume
rectangulaire 0 =0mm,
=2.5mm
=5mm,
=-20mm. Une force moyenne de
2mN/m est obtenue sur chaque polarité ce qui est très inférieur à la force produite
dans le gasoil. En revanche contrairement à ce qui avait été observé dans le gasoil, la
force n’est pas localisée aux changements de polarité, mais ce maintien tout au long
de chaque alternance. De plus (et toujours contrairement au gasoil) la force change de
direction à chaque alternance.
Il devient donc évident que les phénomènes qui amènent à la mise en mouvement du
gasoil et de l’huile de silicone sont différents. Si on considère que la chute de force
enregistrée pendant chaque alternance est due dans le gasoil à l’accumulation de
charges sur la surface du diélectrique, on peut supposer que le maintien de la force
dans le cas de l’huile de silicone est au contraire la conséquence de l’absence de
dépôts de charges. Encore une fois, il est probable que l’existence d’une double
couche soit à l’origine du phénomène. La faiblesse de l’intensité de la force peut-elle
avoir des origines diverses : injection difficile, viscosité importante et donc mobilité
ionique faible ?
4.4.3.1. Influence du potentiel
Les figures 4.35a et 4.35b présentent l’évolution de la force
en fonction de la
phase pour différentes tensions appliquées. Le volume de contrôle approprié pour
chaque phase est recalculé et une variation intense dans chaque polarité a été observée,
L’interprétation des résultats est difficile car la force (figure 4.35) est bruitée (figure
4.20). L’analyse de la valeur moyenne dans chaque polarité est plus claire.
203
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
L’évolution de la force électrique moyenne
est illustrée sur la figure 4.35b.
conserve la même amplitude pour les deux polarités.
augmente en fonction de la
tension appliquée. Une croissance quasi-linéaire est observée. La force est 3 fois plus
grande pour le potentiel 30kV que pour 5kV tandis que le rapport entre la vitesse est
de 6.
4
signal carré
f= 0.2Hz
3
2
fy(mN/m)
3.0
U=5kV
U=10kV
U=15kV
U=20kV
U=25kV
U=30kV
1
signal carré
f= 0.2Hz
2.7
polarité positive
polarité négative
2.4
2.1
fy(mN/m)
5
0
-1
-2
1.8
1.5
1.2
0.9
-3
0.6
-4
0.3
-5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
0.0
0
5
10
t (s)
15
20
25
30
35
40
U (kV)
a
b
Figure. 4.35 : Évolution de la composante de la force en fonction de la phase pour
différent potentiel (a). Évolution de la force
moyenne par chaque durée de polarité
en fonction du potentiel appliqué (b).
4.4.3.2. Influence du rapport cyclique du signal
Les figures 4.36a et 4.36b représentent l’évolution de la force électrique
en
fonction de la phase de deux signaux à symétrie différente. Dans la figure 4.36a pour
la polarité positive (phase1-5), la force électrique diminue progressivement avant le
moment de changement de la polarité, mais la vitesse d’écoulement maintien grâce à
l’inertie du liquide (voir la figure 4.22). La même tendance se trouve dans la figure
4.36b.
fy
40
1.5
30
1.0
20
1.0
10
0.5
10
0.5
0
0.0
0
0.0
fy
-10
-0.5
-20
U=30kV
f= 0.2Hz
=80%
2.5
2.0
1.5
-10
-0.5
-1.0
-20
-1.0
-30
-1.5
-30
-1.5
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
fy(mN/m)
20
signal rectangulaire
U=30kV
f= 0.2Hz
=20%
U (kV)
50
2.0
30
U (kV)
signal rectangulaire
2.5
40
fy(mN/m)
50
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
a
b
Figure 4.36 : Évolution de la force électrique , en fonction de la phase pour un
signal rectangulaire
=30kV, =0,2Hz) avec le rapport cyclique (a) 20%, (b)
80%.
Ni la fréquence, ni le rapport cyclique ne semblent avoir d’influence caractéristique
sur le comportement de la force. Dans tous les essais réalisés, l’orientation de la force
dépend de la polarité du signal et l’amplitude de la force de l’amplitude du signal.
Tant que le signal conserve une amplitude et une polarité constante, la force produite
204
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
conserve également une amplitude et une direction constante. Seule la forme du signal
influence sur la force.
4.4.3.2. Influence de la fréquence
On a déjà constaté qu’il n’y a pas de différence considérable au niveau de la vitesse en
comparant avec le cas de 0,2Hz, le jet atteint la vitesse 2cm/s pour chaque polarité, (la
figure 4.23a pour 0,05Hz et la figure 4.23b pour 0,2Hz), et la force électrique
moyenne dans chaque demi-période de polarité est d’environ 2mN/m respectivement
(la figure 4.37a pour 0,05Hz et la figure 4.37b pour 0,2Hz).
Même dans l’étude d’un signal continu avec la polarité positive, on voit bien le même
comportement pour le champ de vitesse dans les premières 3minutes. Cela signifie
que dans une gamme de basses fréquences, au moins dans notre étude
(2,7.10-3Hz-0,2Hz), le jet de paroi EHD présente un comportement semblable à celui
d’un signal carré 30kV. Comme on l’a déjà évoqué auparavant, dans cette gamme de
fréquences, le jet de paroi généré est dans un régime transitoire. L’injection de charges
et la présence d’une double couche électrique sur l’interface de la plaque/liquide
impacte la convection du fluide. Ce qui rend ce phénomène plus difficile à analyser
que dans gasoil.
40
3
30
20
2
20
2
10
1
10
1
0
0
0
0
signal carré
U=30kV
f= 0.2Hz
fy
5
4
3
-10
-1
-2
-20
-2
-30
-3
-30
-3
-40
-4
20
-10
-1
-20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (s)
fy(mN/m)
U (kV)
30
fy
U (kV)
50
4
signal carré
U=30kV
f= 0.05Hz
40
fy(mN/m)
5
50
-40
-4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
a
b
Figure 4.37 : Évolution de la force électrique , dans un point en fonction de la
phase pour un signal carré
=30kV. (a) =0,05Hz , (b) =0,2Hz.
4.4.3.3. Influence de la forme du signal
Les deux signaux pulsés n’apportent pas de changements notables. La direction de la
force dépend de la polarité du signal. Celle-ci change de direction lorsque la polarité
du signal change. L’amplitude reste globalement la même 2mN/m, même si on peut
voir qu’elle oscille beaucoup plus. Ces instabilités ne sont pas physiques. Il semble
que ces oscillations soient liées aux incertitudes de mesures, elles même liées
directement aux bruits résiduels sur les champs moyennés. L’utilisation d’un signal
pulsé produit un écoulement plus perturbé (probable avec des instabilités
tridimensionnelles difficiles à mesurer). Les deux signaux de type de dent de scie sont
plus intéressants. Sur les deux figures correspondantes, on peut voir que comme pour
les autres signaux un changement de signe s’opère au changement de polarité, mais le
comportement est différent selon que le changement est rapide ou lent. Dans le cas
d’un changement rapide, l’inversion du sens de la force est en phase avec le signal,
par contre lorsque le changement de polarité est lent, on observe un changement de
205
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
signe sur la force bien avant l’inversion de polarité. Puis la force augmente un peu et
revient à zéro, elle semble marquer une pause. Enfin dans une dernière phase, elle
recommence à augmenter proportionnellement à la tension. Le signal triangulaire
cumule deux changements de polarité lents.
L’origine de ce redémarrage en trois temps n’est pas très claire. Accumulation de
charges sur la plaque? Dynamique de mise en place de l’injection lente ?
Reconstitution partielle de la double couche ? Une fois encore la force change de sens
avant le changement de polarité.
50
2.0
40
1.5
30
1.5
20
1.0
20
1.0
10
0.5
10
0.5
0
0.0
0
0.0
-0.5
-20
-30
2.5
2.0
-10
-0.5
-1.0
-20
-1.0
-1.5
-30
-1.5
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
t (s)
t (s)
a
b
2.5
50
2.0
40
1.5
30
20
1.0
20
1.0
10
0.5
10
0.5
0
0.0
0
0.0
40
30
signal dents de scie1
U=30kV
f= 0.2Hz
fy
U (kV)
50
signal dents de scie2
U=30kV
f= 0.2Hz
fy
2.5
2.0
1.5
-10
-0.5
-1.0
-20
-1.0
-1.5
-30
-1.5
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-10
-0.5
-20
-30
t (s)
t (s)
c
d
40
U (kV)
30
signal triangulaire
U=30kV
f= 0.2Hz
fy
2.5
2.0
1.5
20
1.0
10
0.5
0
0.0
-10
-0.5
-20
-1.0
-30
-1.5
-40
-2.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
fy(mN/m)
50
fy(mN/m)
-10
signal pulsé négatif
U=30kV
f= 0.2Hz
fy(mN/m)
fy
U (kV)
signal pulsé positif
U=30kV
f= 0.2Hz
fy(mN/m)
U (kV)
30
U (kV)
fy
2.5
40
fy(mN/m)
50
t (s)
e
Figure 3.53 : Évolution de
en fonction de la phase pour un signal (a) pulsé positif,
(b) pulsé négatif, (c) dent de scie 1, (d) dent de scie 2, (e) triangulaire.
Pour conclure, dans l’huile de silicone la force suit la tension. Un signal carré produit
une force qui varie brusquement à chaque changement de phase et se maintient
lorsque la tension est maintenue. Il semble donc que l’accumulation de charge sur la
206
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
plaque soit limitée. Un signal triangulaire produit une force qui varie de façon lente
(proche d’une forme sinusoïdale). Lorsque la variation de tension est lente, la force
change de sens avant que la tension ne change de signe.
4.5. Conclusion
Les actionneurs à barrière diélectrique sont très intéressants pour le contrôle
d’écoulements en proche paroi. L’utilisation d’une barrière diélectrique solide permet
notamment de repousser le seuil de claquage, d’augmenter le champ électrique et
donc la force de Coulomb produite. Les études réalisées par Louste et Daaboul ont
montré, qu’en l’absence d’écoulement externe, ce type d’actionneur génère un
écoulement électroconvectif de type du jet de paroi. De nombreuses applications
d’ingénierie sont envisageables avec ces systèmes à barrière diélectriques notamment
dans le domaine du refroidissement de la surface.
À l’issu de ses travaux réalisés dans le gasoil, Daaboul a suggéré, sans pouvoir le
vérifier, que le comportement du dispositif devrait être le même dans d’autre liquides
de conductivité semblable. Certes, un accroissement de viscosité devrait avoir pour
conséquence de modifier la vitesse et l’épaisseur de jet, mais globalement la structure
de l’écoulement resterait inchangée.
Le travail que nous avons réalisé a donc consisté à vérifier ces hypothèses en plaçant
le dispositif dans de l’huile de silicone.
L’analyse des champs de vitesses montre que ce dispositif à barrière diélectrique
permet effectivement de créer des jets de paroi dans l’huile de silicone. Cependant
la vitesse maximale atteinte n’est que de (0,03m/s) ce qui est faible face au 0,25m/s
obtenu par Daaboul dans le gasoil ou aux (0,6m/s) du dispositif lame-plan. Le jet de
paroi généré est également est plus gros et nettement plus décollé que ceux de
Daaboul. Comme le cas dans gasoil, la vitesse sous la polarité négative est un peu
plus grande que dans le cas de la polarité positive.
D’autres résultats sont plus surprenants. Dans le gasoil, un actionneur à barrière
diélectrique ne fonctionne pas plus de 10s en alimentation continue. Ce phénomène
s’explique par l’accumulation de charges qui se déposent petit à petit sur la surface du
diélectrique, augmentant le potentiel de surface au point de faire chuter le champ sur
l’arête de la lame en dessous du seuil d’injection. Pour relancer l’injection, il faut
alors inverser la polarité du signal. Cependant, avec le même dispositif plongé dans
l’huile de silicone, nous avons pu constater qu’un jet de paroi se maintient pendant
plus 6 heures sous tension continue. Même si la vitesse du jet diminue lentement.
Autre phénomène intéressant, dans le gasoil une inversion de polarité n’a aucune
influence sur le sens de l’écoulement qui s’éloigne systématiquement de la lame en
longeant la paroi. Par contre, dans huile de silicone, il existe des situations pour
lesquelles le flux s’inverse. Le liquide est comme attiré par l’électrode. Ce phénomène
est un phénomène transitoire qui ne se produit que pendant quelques secondes au
moment du changement de polarité du signal (passage en polarité négative).
La double couche électrique semble jouer un rôle non-négligeable dans le cas du
silicone. La couche diffuse de l’huile de silicone est en théorie 100 fois plus grande
que celle de gasoil et le temps de relaxation est d’ordre de 104 plus important. Le
207
Chapitre IV. Jets de paroi générés par l’actionneur à barrière diélectrique
processus de décharge prend quelques heures pour le silicone. Dans le gasoil, la
double couche se forme rapidement et son épaisseur est si faible qu’elle ne semble pas
avoir d’effet visible sur l’écoulement. Pour des raisons difficiles à expliquer avec les
données dont nous disposons, l’injection de charge est bien faible dans l’huile de
silicone que dans gasoil ce qui réduit le caractère dominant du phénomène.
À la différence de ce qui avait été observé dans le gasoil, l’utilisation de signaux
alternatifs haute fréquence ne permet de produire de jet de paroi dans l’huile de
silicone. L’inversion du flux perturbe la mise en place de jet. L’application d’un
champ basse fréquence produit un jet dont la direction alterne de la gauche vers la
droite et inversement à chaque changement de polarité.
La vitesse et la force totale ont été calculées en utilisant la méthode intégrale simple.
La présence de la paroi perturbe les calculs et seule la composante horizontale de la
force peut être estimée. On note que celle-ci augmente en fonction de l’amplitude de
la tension. Le taux d’augmentation est plus grand dans le gasoil que dans l’huile de
silicone. La force mesurée s’étend de quelques dizaines de millinewtons à quelques
centaines de millinewtons dans gasoil alors qu’elle ne dépasse pas les quelques
millinewtons dans l’huile de silicone.
Une analyse de phase réalisée sur plusieurs formes de signaux a permis de montrer
que la variation de la force est particulièrement importante aux changements de
polarité. Cette variation est brusque si le signal est carré, mais se produit un peu avant
le changement de signe de la tension lorsque le signal varie plus lentement. Enfin, le
terme temporel est largement dominant dans ce cas.
Nous avons montré que le fonctionnement des actionneurs à barrière diélectrique est
bien plus complexe qu’attendu. Le choix du liquide et probablement de la barrière
diélectrique a une très grande influence sur le comportement de l’actionneur. D’autres
essais doivent être menés pour mieux comprendre la dynamique de ces actionneurs
particulièrement prometteurs pour le contrôle des écoulements.
208
Conclusion générale et perspectives
Conclusion générale et perspectives
Le travail présenté dans ce document est une synthèse des travaux réalisés sur les
panaches électrohydrodynamiques au cours de mes trois années de thèse. L’approche
a été réalisée selon deux axes principaux bien distincts. Tout d’abord, une analyse de
la structure hydrodynamique des panaches EHD avec pour ambition de faire
apparaître les spécificités et les similitudes de ce type d’écoulement. Puis, plusieurs
stratégies visant à calculer la force électrique générée ont été mises en place avec pour
objectif la construction un estimateur nécessaire au développement de dispositifs de
contrôle.
Le premier chapitre de ce document est une synthèse succincte de données
bibliographiques consacrées à la structure de trois écoulements de référence : le jet
libre, le panache thermique et le jet de paroi. Chacun de ces trois écoulements possède
des similitudes de comportement avec le panache EHD. Par exemple, le panache EHD
et le panache thermique sont tous deux mis en mouvement par une force volumique.
Dans les panaches thermiques c’est la force de flottabilité issue de la différence de
densité entre source chaude et source froide qui provoque la mise en mouvement du
fluide. Dans les panaches EHD, c’est la présence d’une densité volumique de charge
associée à un champ électrique important qui créé la force électrique de Coulomb à
l’origine du mouvement. Mais nous avons pu montrer que dans le cas d’un système
lame/plan cette similitude n’est valable que proche de la source (la lame dans notre
cas). En effet, à la différence des panaches thermiques, la force motrice est
extrêmement forte à la source, mais décroit très rapidement. Mécaniquement, au-delà
de quelques millimètres, le flux électroconvectif du panache EHD ressemble
davantage à un jet libre qu’à un panache thermique.
La structure des jets EHD en lame/plan peut donc être décrite en quatre zones. La
première (zone d’accélération) est similaire à ce qui peut être observé sur un panache
thermique. Les deux suivantes (zone de transition et zone autosimilaire) sont proches
de ce qui est décrit dans les jets libres. Enfin la quatrième zone ressemble en tout
point à la zone d’impact des jets impactant avec création de deux jets de paroi.
Pour étudier ces zones, quatre caractéristiques principales ont été retenues. Le premier
paramètre que nous avons étudié est l’évolution de la vitesse axiale. Parmi l’ensemble
des informations associées à cette étude, le taux de décroissance dans la zone
autosimilaire est particulièrement intéressant. Les données trouvées dans la littérature
montrent qu’un taux de -0,5 est caractéristique du jet plan, alors qu’un taux de -1
indique un jet rond. De la même façon dans le panache thermique, le taux est plus
important pour les panaches ronds -0,33 que pour les panaches plans. L’analyse de
panache EHD en lame/plan montre un taux qui varie de -0,04 à -0,25 ce qui souligne
l’aspect plutôt planaire de nos écoulements.
L’étude de la forme des profils de vitesses a permis d’estimer la répartition des
charges dans le panache. Ainsi, la forme extrêmement pointue des profils dans la zone
d’accélération montre qu’à cet endroit les charges sont concentrées sur l’axe du
panache. Dans la zone autosimilaire, les profils adoptent une forme gaussienne plus
classique laissant supposer une large diffusion des charges dans l’ensemble du
panache.
209
Conclusion générale et perspectives
L’accroissement de la demi-largeur bien que linéaire est plus rapide que celle
observée dans les panaches thermiques et les jets libres. Cet élargissement plus rapide,
n’a pas pu être clairement expliqué. Il peut être dû à la répulsion des charges entre
elles, mais cette explication semble peu probable. Plus vraisemblablement, elle
s’explique par l’importante viscosité du gasoil. La viscosité permet également
d’expliquer l’aspect décollé des jets de paroi produits avec le dispositif à barrière
diélectrique. Il est également possible que ce phénomène soit dû à une turbulence plus
élevée dans les panaches EHD.
Le relevé de l’intensité turbulente confirme d’ailleurs que celle-ci est plus importante
dans les panaches EHD que dans les panaches thermiques ou les jets libres.
Enfin l'analyse des champs de vitesse permet de mettre en évidence la structure des
panaches et de proposer une classification des jets EHD selon deux types.
Le premier a été appelé jet de dissipation. C’est un jet intermittent, de faible vitesse,
qui se referme sur lui-même en deux tourbillons contrarotatifs sans atteindre le plan.
Le deuxième est le jet de paroi EHD. Il prend sa source sur l’arête de la lame, impact
sur le plan et se divise en deux jets de paroi.
Le deuxième actionneur étudié est de type actionneur à barrière diélectrique. Il est
formé de deux électrodes placées de chaque côté d’un diélectrique solide. L’une des
deux électrodes est en contact avec le liquide et l’injection de charge qui se produit
sur l’une de ses arêtes produit une force suffisante pour mettre le liquide en
mouvement. Ce dispositif ayant déjà été utilisé par Daaboul pour créer des jets de
paroi dans du gasoil, nous avons décidé d’étendre l’étude à un autre liquide : l’huile
de silicone. La vitesse maximale des écoulements obtenue avec ces dispositifs dans le
gasoil est typiquement de 0,25m/s. Ceci est très inférieur aux (0,6m/s) du dispositif
lame/plan, mais beaucoup plus grand que la vitesse de (0,03m/s) que nous avons
mesurée dans l’huile de silicone mais ce n’est pas la seule différence observée.
Les jets de paroi générés dans l’huile de silicone sont plus gros et plus décollés que
dans gasoil. Un actionneur à barrière diélectrique ne peut pas fonctionner plus de 10s
sous signal continu dans le gasoil, alors qu’il produit un jet pendant plus de 6 heures
dans l’huile de silicone (toujours sous tension continue). Comme dans le gasoil, la
vitesse sous la polarité négative est un peu plus importante que celle mesurée en
polarité positive. Dans gasoil, le flux produit est indépendant de la polarité. Le liquide
s’écoule toujours le long de la paroi en partant de la lame. Dans l’huile de silicone, le
flux s’inverse lorsque la polarité passe de positif à négatif. Le liquide est alors comme
attiré par l’électrode pendant plusieurs minutes avant de s’inverser à nouveau. Tous
ces phénomènes qui peuvent vraisemblablement s’expliquer par la présence d’une
double couche importante à la surface du diélectrique, mais ce point devra encore être
vérifié.
Dans cette thèse, un gros travail de développement a été réalisé sur la méthode PIV. Il
vient compléter la démarche commencée par Daaboul en 2006. Conformément aux
recommandations de Daaboul, nous avons utilisé des particules de SiO2 de 0,5µm
avec une concentration inférieure à 0,01g/l pour limiter la charge des particules. Nous
avons ensuite montré que les très nombreux défauts de corrélation habituellement
observés dans les mesures sur fluides électrisés peuvent être considérablement réduits
210
Conclusion générale et perspectives
lorsque les réglages sont optimisés. Ainsi, en raison du haut niveau de turbulence
observée et contrairement au réglage habituellement utilisées en PIV, l'intervalle de
temps entre deux images successives doit être réglé de façon à limiter le déplacement
des particules à 4 pixels. Ce réglage permet de supprimer la plus part des problèmes
de détection tout en maintenant la précision de mesure à 1 %. Dans la majeure partie
des essais réalisés, la convergence statistique des résultats est atteinte à partir de
400-500 mesures. Comme la vérification de convergence ne peut être réalisée en tout
point de l’espace de travail, 1000 images ont été enregistrées pour chaque
configuration.
Bien que de gros progrès aient été réalisés au cours de cette thèse sur la mesure des
écoulements EHD, l’aspect turbulent nécessiterait un enregistrement tridimensionnel
de l’écoulement. De plus, dans certaines configurations, des points d’injection
apparaissent sur la lame et rendent l’écoulement 3D. L’étude de ces cas particuliers ne
peut être réalisée qu’avec un dispositif de mesure 3D. Deuxième point important, les
mesures au voisinage de l’arête restent délicates. L’utilisation d’une caméra munie
d’un zoom a permis une mesure de la vitesse en champ proche. Cependant même si la
valeur obtenue est plus précise elle reste insuffisante pour modéliser correctement le
phénomène.
Enfin dernier point concernant l’analyse des champs de vitesse. Nous avons
clairement montré qu’il existe une similitude de comportement entre les différents
tests réalisés. Il a également été exposé que l’adimensionnement en champ moyen
habituellement utilisé ne permet pas une classification correcte des panaches dans la
configuration lame/plan. Un adimensionnement construit à partir d’un champ de
référence possible été proposé. Cependant, bien qu’il permette effectivement d’obtenir
une organisation simple, il repose sur une approche mathématique et ne donne pas une
explication claire physique sous-jacente à ce classement. Ce point devra être
approfondit.
Dans cette thèse, la force électrique totale produite par deux actionneurs EHD a pu
être quantifiée pour la première fois. La mesure a été réalisée de façon indirecte à
partir du champ de vitesse. Les méthodes employées sont de type intégral. Bien que
les méthodes intégrales ne fournissent qu’une valeur globale de la force, elles ont été
préférées ici aux méthodes différentielles, plus précises, mais trop sensibles aux bruits
de mesure. Nous avons également pu noter que le choix du volume de contrôle est
crucial. Le bord de celui-ci doit rester le plus éloigné possible de l’électrode active
pour englober totalement la zone de force volumique.
Les trois méthodes intégrales utilisées sont : la méthode intégrale classique, la
méthode RANS intégrale, et la méthode intégrale par modèle simplifié. Le modèle
simplifié utilisé est fortement inspiré des travaux de Malraison et Atten.
Dans le cas de l’actionneur à barrière diélectrique, la fréquence joue un rôle important.
Dans le gasoil, et avec le dispositif utilisé, la vitesse et la force se trouvent à une
valeur optimale lorsque la fréquence du signal et de 100Hz.
Dans l’huile de silicone, la force est maximale lorsque le signal change de polarité.
Par contre, comme la force change de sens à chaque alternance, l’application d’un
signal alternatif ne produit qu’une force moyenne nulle.
211
Conclusion générale et perspectives
Nous avons observé que la force augmente de façon exponentielle avec le potentiel et
diminue de la même façon avec la distance. Selon les cas, la force a été estimée à une
valeur comprise entre 10-1 et 102 mN/m.
Au vu de ces résultats, il est maintenant important de développer une méthode qui
permette une mesure directe de la force pour confirmer les résultats obtenus.
212
Annexe
Annexe
Annexe Chapitre II
2.1. Incertitude des champs de vitesse présentés la partie 2.41
2.1.1. H= 1cm
a
b
c
d
e
Figure 2.1 : Incertitude ∆ (m/s) pour
-20kV, (e) -25kV, (f) -30kV.
f
=1cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d)
213
Annexe
2.1.2. H= 2cm
a
b
c
d
e
f
g
h
Figure 2.2 : Incertitude ∆ (m/s), =2cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d) -20kV,
(e) -25kV, (f) -30kV, (g) -35kV, (h) -40kV.
214
Annexe
2.1.3. H= 3cm
7
a
b
c
d
e
f
g
h
Figure 2.3 : Incertitude ∆ (m/s), =3cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d) -20kV,
(e) -25kV, (f) -30kV, (g) -35kV, (h) -40kV.
215
Annexe
2.1.4. H= 4cm
a
b
c
d
e
f
g
h
Figure 2.4 : Incertitude ∆ (m/s), =4cm. (a) -5kV, (b) -10kV, (c) -15kV, (d) -20kV,
(e) -25kV, (f) -30kV, (g) -35kV, (h) -40kV.
216
Annexe
2.2. Bi-dimensionnalité de l’écoulement
On va préciser l’analyse de l’effet de bord dans la figure 2.5. La vitesse du liquide est
représentée sous la forme classique de vecteurs noirs et le fond coloré représente la
composante horizontale de la vitesse . La direction des vecteurs confirme que le jet
est principalement dirigé vers la plaque. La couleur verte au centre de l’image indique
une zone dans laquelle la composante horizontale
est très faible (l’écoulement est
vertical), mais les zones rouge et bleu, à droite, et à gauche de l’image montrent que
le liquide s’écoule également horizontalement, et de façon symétrique, au voisinage
des deux coins de la lame figure 2.5. Ce mouvement est induit par l’effet de bord.
Malgré l’arrondi réalisé, la forme en angle du coin intensifie le champ électrique tout
en lui donnant une direction oblique. Le liquide qui se situe sous la lame est alors
repoussé par les coins et rejeté vers l’extérieur.
Figure 2.5 : Champ de vecteurs et module de vitesse (m/s) dans plan
EHD, =-30 �, =3cm.
=0 pour un jet
Nous avons travaillé sur une analyse statistique de la vitesse du jet dans les deux
plans : le plan de mesure =0 qui contient l’arête ainsi que dans le plan
perpendiculaire à la lame (plan de mesure =0) qui passe par le milieu de la lame.
2.2.1. Intégrale de la divergence d'un champ
Pour un fluide visqueux newtonien incompressible, l'équation de l'énergie est
découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on
peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie.
L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont
considérablement simplifiées. On obtient alors :
∇ ∙ ⃗⃗ =
Expression en coordonnées cartésiennes ( ,
+
+
(2.1)
,
):
=
(2.2)
217
Annexe
La valeur de la vitesse doit satisfaire à l’équation (2.2) théoriquement pour tous les
fluides incompressibles.
Figure 2.6 : Illustration représentant les champs de vitesse vectorielle sur un volume
Ω intérieur à la surface fermée
dont la normale extérieure en tout point est ⃗⃗.
La figure 2.6 montre que les champs de vitesse vectorielle d’un fluide dans un volume
de contrôle
avec son volume , dont la frontière de ce volume a une surface
fermée
regroupée par 4 surfaces lisses par morceaux � avec le sens de la surface
dirigée vers l’extérieur. La vecteur en pointillés noirs représente les champs de vitesse
sur l’ensemble de volume , tandis que le vecteur solide bleu indique le fluide
sortant de la surface de frontières � , � et � qui est définie par le même sens
entre le vecteur et la surface. Le vecteur solide rouge indique le fluide entrant de la
surface de frontières � qui est définie par le sens opposé entre le vecteur et la
surface.
En appliquant le théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de
Green-Ostrogradski, on peut analyser la quantité de débit du fluide qui s’écoule dans
un volume de contrôle. On peut aussi affirmer l'égalité entre l'intégrale de la
divergence d'un champ vectoriel sur un volume de contrôle et le flux de ce champ à
travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface). L'égalité est la
suivante :
∭
�
⃗⃗
= ∯ ( ⃗⃗ ∙ ⃗⃗
�
(2.3)
Où
est le volume,
est l’élément de volume, Σ est la frontière de ,
est
l’élément de surface, ⃗⃗ est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l'extérieur, ⃗⃗
est le champ de vecteur en tout point de .
L’intégrale de la divergence sur l’ensemble de volume est importante en dynamique
des fluides, ce théorème reflète la conservation de débit du fluide. On sait qu’une
divergence nulle indique pour un fluide incompressible qu’aucune source ni aucun
puits n’existe à l’intérieur de volume de contrôle.
On peut définir un débit de fluide net (la différence entre débit sortant et entrant)
ci-dessous :
218
Annexe
∭
�
∭
�
⃗⃗
=
=
m s
(2.4)
m s
(2.5)
Pour vérifier la bi-dimensionnalité de nos écoulements, on calcule l’intégrale de la
divergence sur les champs de vitesse. Les volumes de contrôle utilisés sont définis par
le maillage. Sur le résultat présenté figure 2.7, les volumes de contrôle sont des carrés
de 0,506mm×0,506mm et les calculs sont bidimensionnels.
a
b
c
d
Figure 2.4 : (a) Débit de fluide
(m /s) sur un volume de contrôle
=2 ×2 =0,506mm×0,506mm, (b) erreur du débit de fluide ∆
(m3/s), (c)
(m3/s) sur un volume contrôle 2 ×2 , (d) rapport
sur un
volume de contrôle 2 ×2 .
3
On voit bien figure 2.7a que la divergence est quasiment nulle sur l’ensemble du
domaine (couleur verte). Cela signifie que la vitesse dans la direction
est soit
constante soit nulle. Dans la zone d’accélération, on voit bien une valeur positive en
rouge qui se prolonge entre la lame et le point
=0,1, ce qui montre que
219
Annexe
l’écoulement est tridimensionnel dans à cet endroit. De la même façon, la zone en
rouge en bas de l’image met en évidence le comportement 3 du liquide au niveau de
la zone d’impact.
La figure 2.7b montre l’erreur de
. On voit bien que l’erreur est faible. Elle est
maximale dans la zone d’accélération. L’erreur est 10 fois plus faible que la valeur
.
La figure 2.7c montre le flux moyen sur l’ensemble du domaine. La figure 2.7d est le
résultat du calcul
. On voit bien que le rapport est au maximum de 2%
y compris dans les zones rouges : sous la lame et sur la plaque.
Ce résultat montre la vitesse en
est soit nulle soit constante. Nous avons déjà
observé grâce à la mesure dans le plan =0 que la vitesse
est negaligable au
centre de la lame. On peut affirmer que l’écoulement est bi-dimensionnel.
Annexe Chapitre III
3.1. Bibliographie de la méthode indirecte
Quelle que soit la méthode intégrale ou différentielle, la force EHD totale doit être
calculée dans un volume de contrôle autour duquel sont présentes des surfaces de
contrôle. D’ailleurs, le volume de contrôle choisi doit être suffisamment grand pour
qu'il contienne la totalité de la force.
Figure 3.1 : Schéma du volume de contrôle utilisé pour le calcul de bilan de quantité
de mouvement.
Dans le cas d’actionneur à barrière diélectrique, le choix du volume de contrôle est
complexe. Si on place le volume de contrôle sur la surface voit figure 3.1. Comme il
existe une force de frottement sur la surface, la condition de force nulle sur le bord du
domaine ne peut être respectée, et seule la composante
de la force peut être
calculée.
On trouve dans les littératures, plusieurs méthodes pour aborder ce problème. Ryan
Durscher [136] utilise un volume de contrôle différent qui englobe la paroi
diélectrique figure 3.2. Avec cette méthode, il calcule la poussée nette.
220
Annexe
La zone de la force
Figure 3.2 : Schéma du volume de contrôle plus grand utilisé pour le calcul de bilan
de quantité de mouvement.
3.1.1. Les méthodes intégrales
Toutes les méthodes intégrales utilisent de l’équation de bilan de quantité de
mouvement. Cependant, on trouve également dans la littérature plusieurs formes
simplifiées dédiée à l’étude des gaz. Seule la composante suivant
est étudiée. J.P.
Murphy and al. ont résumé quatre d’entre elles [177]:
Après les simplifications, la force se calcule comme la somme de quatre termes
correspondant aux flux à travers les quatre surfaces du volume de contrôle :
=
−
la force,
la longueur caractéristique,
la contrainte de cisaillement.
+
et
+
(3.1)
la composante de la vitesse.
Dans leurs articles, chacun des auteurs propose une formulation particulière de chaque
terme ou les négligés. Le tableau 3.1 montre une récapitulation de ces formulations.
Tableau 3.1 : la simplification pour différente méthode intégrale base sur l’équation
3.1, ×est le terme tient en compte, - est le terme simplifié.
Méthode
=
−
+
+
Versailles
×
×
×
×
Durscher 1
×
×
×
−
Durscher 2
×
−
−
−
Baughn
×
−
×
×
Méthode de Versailles
Versailles et al [178] ont traité leurs données PIV en prenant en compte tous les
termes de (3.1). Basé sur le mur sans glissement, ils calculent de la contrainte de
frottement de paroi par l'intermédiaire du premier point de données au-dessus de la
paroi selon l'équation :
221
Annexe
=
Δ
Δ
(3.2)
Cette Méthode est largement utilisée et citée par de nombreux auteurs, comme J.P
Murphy, cette approche suppose un écoulement incompressible non-visqueux stable et
une mesure de la vitesse en proche paroi de grande qualité.
Méthode de Durscher 1
Contrairement au cas précédent, Durscher et Roy [136] et Kotsonis et al [129] ont
calculé de la quantité de mouvement traversant les trois frontières libres, la force
calculée eprésente une force nette.
Méthode de Durscher 2
Hoskinson et al [128] [179] ont estimé la force de l'actionneur basé sur des mesures
par tube de Pitot. De plus, ils négligent l'effort de frottement sur la paroi, et ils
assument que le flux sur les surfaces haute et gauche du contrôle sont négligeable.
Méthode de Baughn
Baughn et al [180] ont conclu à partir d'expériences sur la couche limite que le profil
de vitesse à la frontière gauche n’est presque pas affectée par la présence de la force.
Par conséquent, ils ne mesurent que les vitesses sur la surface gauche et calculent les
trois autres termes grâce à l'équation de continuité.
Figure 3.3 : Contribution de chaque terme pour la force F/L dans l’équation (3.1).
La figure 3.3 montre que la contribution la plus importante provient du flux à travers
la frontière droite. Le frottement sur la paroi est le second terme le plus important. Les
termes concernant les surfaces supérieures et inférieures n'ont qu'une influence
mineure sur les résultats.
Les auteurs David [140] et Debien [141] ont appliqué cette méthode sans
simplifications, car ils disposaient de champs de vitesse complets obtenus par mesure
PIV rapide.
222
Annexe
⃗
⃗⃗
=−
( ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ ⃗⃗ − ⃗⃗
−
−
∙ ⃗⃗⃗⃗
+
̿ ∙ ⃗⃗⃗⃗
(3.3)
Cette approche leur permet même de calculer la force instationnaire générée par un
dispositif à barrière diélectrique.
3.2. Calcul de thermes de pression
̅�
Calcul �
�
̅
�
=∫ ̅∙
∫ ̅∙
�
̅
∫ ̅∙
�
∫ ̅∙
�
= 0̅ + ∆ ∑
=
̅ + ̅
=
=
̅
̅ + ̅
−
∆
+∆ ∑
=
̅
0
∆
−
+
−
−
̅
+∆ ∑ ∆ ∑
=0
�̅
=0
−
= 0̅ + ∆ ∑
=
,
+∆ ∑ ̅
=0
−
=0
̅
+∆ ∑
=
,
̅
+∆ ∑
−
∆
−∫ ̅∙
−
∆
̅ + ̅
=
−
,
=∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
= ∫ ̅∙
̅
0
+
(3.4)
,
(3.5)
,
(3.6)
−
,
̅
+∆ ∑
=0
−
−
∆ ∆ ∑
=
,
̅
(3.7)
,
̅
(3.8)
−
,
+∆ ∑
=0
−
̅ = 0̅ + ∆ ∑
=
̅
,
̅
,
(3.9)
(3.10)
223
Annexe
∫ ̅∙
�
=
∆
̅
0
+
−
∆ ∆ ∑
=
=∫ ̅∙
∫ ̅∙
̅
,
−
̅ ,
̅
= 0̅ + ∆ ∑
=
=
=
∫ ̅∙
∆
̅ + ̅
−
+∆ ∑
=
−
̅
−∆ ∑
=0
∫ ̅∙
=
−
−∆ ∑
=
−
̅ = 0̅ + ∆ ∑
=
224
̅
,
∆
̅
,
−
+∆ ∑
=0
−∆
̅
+∆ ∑
=
,
̅
0
=0
−∆
+∆ ∑
=
−
̅
(3.13)
̅
=0
,
,
(3.14)
̅
,
=0
,
,
+∆ ∑
−∆ ∑ ∆
̅
(3.12)
−
= +
−
̅
= +
∑
(3.11)
,
∑
,
,
,
=
̅
̅
−
+∆ ∑ ̅
+∆ ∑
−
∆
̅ + ̅
+
̅
0
=0
−
,
−
−
∆
,
̅
−∆ ∑
∑(
+ ∆
̅ + ̅
=
−
−∆ ∑
=
−
+∆ ∑
̅
∑
= +
̅
=0
̅
,
,
(3.15)
,
−∆ ∑
=
̅
,
(3.16)
Annexe
−
̅
̅ = �̅ − ∆ ∑
=
,
−
̅
= 0̅ + ∆ ∑
=
=
∫ ̅∙
∆
̅
0
=
=
�
̅
∆
̅
0
̅
=
,
−
+
=0
+∆ ∑
̅
∆ ∆ ∑
=
�
,
−
=0
−∆ ∆ ∑ ( +
=
�
̅
= ∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
�
∫ ̅∙
=
=∫ ̅∙
̅ + ̅
̅
̅
=0
,
,
̅
−
∆
∑
−
(3.17)
,
(3.18)
∑(
=0
,
,
−
−
=
̅
−
,
̅
(3.19)
,
(3.20)
−∫ ̅∙
∆
=
=
+ ∆
̅
=∆ ∆ ∑( +
̅�
Calcul �
∑
̅
−∆ ∑
+∆ ∑
− ∆
̅
,
−
,
− ∫ ̅∙
= ∫ ̅∙
̅
+∆ ∑
−
−∆ ∑
∫ ̅∙
−
,
−∫ ̅∙
(3.21)
,
(3.22)
0
−
+∆ ∑ ̅
=
225
Annexe
̅ = ̅
−
,
= 0̅ + ∆ ∑
−∆ ∑
=
̅
=
∫ ̅∙
=
+∆
0
−
−
̅
+ ∆ (∑
=0
=
∆
̅
0
,
0
+ ∆
̅
−
̅ = 0̅ + ∆ ∑
=
226
̅
,
̅
=
+∆ ∑
=
−∑
=
−
=0
=0
−∆ ∑
−
−
∑
=0
−
+∆ ∑
=0
̅
̅
0
∆
̅
̅
,
̅
−
−∑
−
,
−
=
,
−
=0
̅
,
,
̅
,
−
−
=
=0
,
−∑
=
̅
(3.23)
̅
∑ ∑
+ ∆
̅
̅
+∆ ∑
=
̅
=
,
−∑
,
∑
,
0
̅
+∆ ∑
−
+ ∆ (∑
On remplace
,
̅ +∆ ( 0−
+∆
−
,
∆
̅ + ̅
∫ ̅∙
̅
,
(3.24)
,
,
(3.25)
−∆ ∑
=
̅
,
−∆ ∑
=
̅
,
(3.26)
Annexe
∫ ̅∙
=
0
∆
̅
0
+∆ ( 0−
−
+ ∆ (∑
=0
∫ ̅∙
∫ ̅∙
=
=
On remplace
=0
=
̅ + ̅
∆
̅ + ̅
̅ + ̅
∆
+∆
=
̅ +
̅
0
=∆
0
−
+∆ ∑
−
∑
+ ∆
∫ ̅∙
+∆
−
̅
∫ ̅∙
0
=
=
−
0
̅
0
−
̅
∑
=
,
∑
+ ∆
∫ ̅∙
∆
̅
−
−
̅
−∑
−
−
∆
=
∑
=
,
,
−
∑
= +
̅
0
+∆ ∑
=
−
∑
+ ∆
∆
,
̅
−
−
∑
=
,
̅
−
̅
0
= +
+ ∆
̅
−∑
(3.27)
−
̅
,
̅
+∆
−
,
,
=
+∆
(3.28)
̅
,
(3.29)
−
̅
−
−
0
−
,
(3.30)
̅
0
(3.31)
−
−
̅
,
(3.32)
227
Annexe
∫ ̅∙
=
0
∆
̅
0
+∆ ( 0−
−
+ ∆ (∑
=0
−
∑
+ ∆
�
∆
=
,
−
+ ∆ (∑
=0
228
,
= 0̅ + ∆ ∑
=
=
=
,
̅
−
,
(3.33)
0
(3.34)
̅
=
̅
̅ + ̅
,
̅
[−∆ ∑
∑
=
,
+∫ ̅∙
=0
−
+ ∆
̅ = ̅
−
∑
+ ∆
−
̅
̅
−∑
̅
0
−
=∫ ̅∙
,
−∑
+∆ ( 0−
∫ ̅∙
̅
∑
=∫ ̅∙
�
=
∆
0
=0
∫ ̅∙
∫ ̅∙
̅
−
=
,
0
−∑
−
−
−
+
∆
−
+∆ ∑
=0
=
0
̅
,
̅
,
]
,
̅
−
−
+∆ ∑ ̅
̅
=
,
−∆
,
(3.35)
,
(3.36)
∑
= +
̅
,
(3.37)
Annexe
∫ ̅
=
∆
̅ + ̅
−
+∆ ∑
̅
0
=
=
∫ ̅∙
−
+∆ ∑
=
∆
̅ + ̅
+
=
=∆
̅
0
− ∆
̅
= ∫ ̅∙
− ∫ ̅∙
= ∆
+ ∆
�
−
∑
=0
−
∑
=
+∆ ∆ ( 0−
̅
=
̅
̅
−
−
=
∑
+ −
+ −
−
∑
=0
̅
0
0
̅
̅
,
̅
,
(3.40)
̅
−∆ ∑
=
,
̅
+∆ ∑
=0
+∆ ∆ ( −
− ∆
,
(3.41)
,
(3.42)
,
,
(3.38)
,
−
,
̅
+
=0
,
̅
∆ ∑
= +
,
(3.39)
=0
=0
̅
∑
̅
=0
+∆ ∑
+∆ ∑
−∆
+∆ ∑
−
,
,
−
,
,
−
,
+∆
̅
0
−
̅
= 0̅ + ∆ ∑
=
∆
−
−
̅
=0
∆ ∑
=
̅ = 0̅ + ∆ ∑
∫ ̅∙
∆
̅
+∆ ∑
−
∑
−
−
,
+
−
− ∆
�̅
̅
−
∑
=0
−
0
0
+
+
−
∑
=0
̅
̅
,
,
(3.43)
229
Annexe
3.3. Évolution de la force électrique en fonction du volume de contrôle
3.3.1.
= 1cm
300
250
200
150
100
50
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
H=1cm
250
200
Fx (mN/m)
Fx (mN/m)
300
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
H=1cm
0
-50
-100
150
100
-150
-200
50
-250
-300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
a
300
250
300
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
H=1cm
270
H=1cm
180
0.9
150
120
90
-150
-200
60
30
-250
-300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
l/H
100
270
-100
-200
H=1cm
0.8
0.9
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
240
210
 Fx(mN/m)
0
180
150
120
-300
90
60
-400
30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.4
0.5
f
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
Fy (mN/m)
0
-50
-100
-150
-200
0.3
0.3
e
100
50
0.2
0.2
2d/H
H=1cm
0.1
0.1
2d/H
200
150
-250
-300
0.0
0.7
300
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
H=1cm
300
250
0.6
d
200
-500
0.0
0.5
l/H
c
Fx (mN/m)
0.8
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
210
0
-50
-100
Fy(mN/m)
0.7
240
Fy (mN/m)
100
50
300
0.6
b
200
150
Fy(mN/m)
0.5
l/H
l/H
0.4
0.5
2d/H
0.6
0.7
0.8
0.9
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0.0
0.6
H=1cm
0.1
0.2
0.7
0.8
0.9
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2d/H
g
h
̅
̅
̅
̅
Figure 3.4 : Évolution de (a)
(b) Δ , (c) , (d) Δ en fonction des différentes
, 2 =2/3 , évolution de (e) ̅ , (f) Δ ̅ , (g) ̅ , (h) Δ ̅ en fonction des
différentes 2
, =2/3 , =1cm.
230
Annexe
300
250
= 2cm
200
150
Fx (mN/m)
300
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H= 2cm
100
50
270
0
-50
-100
Fx (mN/m)
150
120
30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
l/H
a
b
H=2cm
300
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
100
50
0
-50
-100
200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
150
100
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
d
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=2cm
100
50
0
-50
-100
300
270
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=2cm
240
210
Fx (mN/m)
Fx (mN/m)
0.5
l/H
-150
-200
180
150
120
90
60
30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
2d/H
0.4
100
50
Fy (mN/m)
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
200
150
0
-50
-100
-150
-200
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
f
H=2cm
0.1
0.5
2d/H
e
Fy (mN/m)
0.9
50
200
150
-250
-300
0.0
0.8
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
c
300
250
0.7
H=2cm
l/H
-250
-300
0.0
0.6
250
-150
-200
300
250
0.5
l/H
200
150
-250
-300
0.0
180
60
Fy (mN/m)
300
250
210
90
-150
-200
-250
-300
0.0
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=2cm
240
Fx (mN/m)
3.3.2.
0.5
2d/H
0.6
0.7
0.8
0.9
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0.0
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=2cm
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2d/H
g
h
̅
̅
̅
̅
Figure 3.5 : Évolution de (a)
(b) Δ , (c) , (d) Δ en fonction des différentes
, 2 =2/3 , évolution de (e) ̅ , (f) Δ ̅ , (g) ̅ , (h) Δ ̅ en fonction des
différentes 2
, =2/3 , =2cm.
231
Annexe
= 3cm
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
150
120
H=3cm
90
60
Fx (mN/m)
30
150
H=3cm
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
120
90
Fx (mN/m)
3.3.3.
0
-30
-60
60
-90
30
-120
-150
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
l/H
a
120
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=3cm
90
Fy (mN/m)
60
30
0
-30
-60
-90
-120
150
120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.7
0.8
0.9
0.9
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
0.3
0.4
0.5
l/H
l/H
c
d
60
30
0
0.6
0.7
0.8
0.9
150
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=3cm
90
Fx (mN/m)
0.8
150
H=3cm
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.0 0.1 0.2
H=3cm
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
120
Fx (mN/m)
-150
0.0
0.6
b
Fy (mN/m)
150
0.5
l/H
-30
-60
-90
90
60
30
-120
-150
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
2d/H
e
120
0.7
0.8
0.9
140
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=3cm
90
60
Fy (mN/m)
0.6
f
30
0
H=3cm
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
120
100
Fy (mN/m)
150
0.5
2d/H
-30
80
60
-60
40
-90
20
-120
-150
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2d/H
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2d/H
g
h
̅
̅
̅
̅
Figure 3.6 : Évolution de (a)
(b) Δ , (c) , (d) Δ en fonction des différentes
, 2 =2/3 , évolution de (e) ̅ , (f) Δ ̅ , (g) ̅ , (h) Δ ̅ en fonction des
différentes 2
, =2/3 , =3cm.
232
Annexe
= 4cm
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
30
H=4cm
20
Fx (mN/m)
10
30
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
20
0
-10
15
10
5
-20
-30
0.0
H=4cm
25
Fx (mN/m)
3.3.4.
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
a
Fy (mN/m)
10
5
0
-5
-10
H=4cm
20
15
5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
30
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
Fx (mN/m)
10
5
0
-5
-10
H=4cm
0.7
0.8
0.9
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
25
20
Fx (mN/m)
H=4cm
15
10
-15
-20
5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.0
0.9
0.1
0.2
0.3
2d/H
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2d/H
e
f
H=4cm
30
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
10
5
0
-5
-10
H=4cm
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
25
20
Fy (mN/m)
20
15
Fy (mN/m)
0.6
d
20
15
-15
-20
-25
-30
0.0
0.5
l/H
c
30
25
0.9
10
l/H
-25
-30
0.0
0.8
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
25
-15
-20
30
25
0.7
30
U=-10kV
U=-15kV
U=-20kV
U=-25kV
U=-30kV
U=-35kV
U=-40kV
H=4cm
20
15
-25
-30
0.0
0.6
b
Fy (mN/m)
30
25
0.5
l/H
l/H
15
10
5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2d/H
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2d/H
g
h
Figure 3.7 : Évolution de (a) ̅ (b) Δ ̅ , (c) ̅ , (d) Δ ̅ en fonction des différentes
, 2 =2/3 , évolution de (e) ̅ , (f) Δ ̅ , (g) ̅ , (h) Δ ̅ en fonction des
différentes 2
, =2/3 , =4cm.
233
Annexe
3.4. RANS équation en déduire de N-S
L’équation RANS est une forme moyennée de l’équation de Navier-Stokes. Elle se
déduit de l’équation classique en considérant que tout terme instantané peut s’écrire
sous la forme de la somme d’un terme moyen et d‘une fluctuation.
= ̅ +
̅ =
̅̅̅′ =
Prenant la direction de
′
(3.44)
∫
0
(3.45)
−̅
∫
0
=
(3.46)
, selon la propriété de la divergence :
( ⃗�⃗ =
⃗⃗ +
∙�
⃗�⃗
(3.47)
Où φ est une fonction scalaire, ⃗�⃗ un champ de vecteur. On prend ici φ =
⃗⃗,
vitesse ⃗�⃗ = ⃗⃗ = ⃗ + ⃗ + �
( ⃗⃗ =
On aura :
+
+
=
+
+
On aura :
+
Une N-S équation en
+
234
∙ ⃗⃗⃗ +
+
+
+
=
⃗⃗
+
(3.48)
+
+
(3.49)
=
+
, et
(3.50)
+
(3.51)
:
+
+
=−
+
+
+
+
(3.52)
Annexe
En remplaçant les équations :
+
Opération moyennée :
̅
Car
̅̅̅̅̅
+
+
+
̅̅̅̅̅̅
+
=−
̅̅̅̅̅
+
+
̅
=−
+
̅
+
+
̅
+
+
+
̅
+ ̅
′ ′
̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ + ̅̅̅̅̅̅
̅ ̅
+
(3.56)
′ ′
̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ + ̅̅̅̅̅̅
+
̅ ̅
=−
̅
+
+
̅ ̅
̅
(3.57)
′ ′
̅̅̅̅̅̅
+
̅
+
(3.54)
(3.55)
′ ′
̅̅̅̅̅̅ = ̅ ̅ + ̅̅̅̅̅̅
̅
(3.53)
+
+
̅
′ ′
̅̅̅̅̅̅
+
′ ′
̅̅̅̅̅̅
+ ̅
(3.58)
Pour un écoulement incompressible, on effectue une opération moyennée en
l’équation de continuité :
Et
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅ + �′
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅ + �′
̅ + �′
∂�
∂�
∂
�
∂�
∂�
∂�
∂
�
∂
�
∂�
+
+
=
+
+
=
+
+
∂y
∂z
∂
∂y
∂z
∂
∂y
∂z
∂
̅
̅
̅
∂�
∂�
∂�
=
+
+
=
∂
∂y
∂z
(3.59)
′
+
′
′
+
=
(3.60)
Selon équation 3.52 et 3.53, on aura :
̅ ̅
+
̅ ̅
+
̅ ̅
= ̅
̅
+̅
̅
+̅
̅
+̅
∂̅ ∂̅
∂̅
+
+
∂y
∂
∂z
(3.61)
On aura la RANS en 3 :
235
Annexe
̅
̅
+
̅
+̅
=−
+
̅
̅
+
+̅
′ ′
− ̅̅̅̅̅̅
̅
+
̅
̅
+
+
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
̅
+
′ ′
− ̅̅̅̅̅̅
+ ̅
(3.62)
En effet, la seule différence est venante de l’application de l’équation de continuité
(3.50). Pour cas de 2 :
̅
+
̅
̅
+̅
=−
̅
̅
̅
+
+
̅
+
′ ′
− ̅̅̅̅̅̅
+
′ ′
(− ̅̅̅̅̅̅
+ ̅
(3.63)
3.5. Cas d’étude de terme termes convectifs pour les deux méthodes,
�=3cm
a
b
c
=-10kV,
d
e
f
g
Figure 3.8: Convergence de terme T
en fonction du nombre de mesures (a)20,
(b) 50, (c)100, (d) 200, (e)500, (f) 700, (g) 1000, =-35kV, =3cm.
236
Annexe
a
b
c
d
e
f
g
Figure 3.9 : Convergence de terme T
en fonction du nombre de mesures (a)20,
(b) 50, (c)100, (d) 200, (e)500, (f) 700, (g) 1000, =-35kV, =3cm.
a
b
⃗⃗
Figure 3.10 : Variations des deux coordonnées du terme de divergence T
deux points (a) =-0,51mm, y=-1,12mm,(b) =-4,30mm, y=-17.33mm.
en
237
Annexe
Annexe Chapitre IV
4.1. Champs de vitesse pour un pulse positif avec un rapport cyclique 50%
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.1 : Champs de vitesse sur d’une période (20 phases) pour un signal pulse
positif avec un rapport cyclique 50%.
238
Annexe
4.2. Champs de vitesse pour un pulse négatif avec un rapport cyclique 50%
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.2 : Champs de vitesse d’une période (20 phases) pour un signal pulse négatif
avec un rapport cyclique 50%.
239
Annexe
4.3. Champs de vitesse pour un signal en dents de scie 1
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.3 : Champs de vitesse d’une période (20 phases) pour un signal en dents de
scie 1.
240
Annexe
4.4. Champs de vitesse pour un signal en dents de scie 2
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.4 : Champs de vitesse d’une période (20 phases) pour un signal en dents de
scie 2.
241
Annexe
4.5. Champs de vitesse pour un triangle avec un rapport cyclique 50%
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.5 : Champs de vitesse d’une période (20 phases) pour un signal triangle avec
un rapport cyclique 50%.
242
Annexe
4.6. Champs de vitesse pour un carré avec un rapport cyclique 20%.
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.6 : Champs de vitesse d’une période (20 phases) pour un signal carrée avec
un rapport cyclique 20%.
243
Annexe
4.7. Champs de vitesse pour un carré avec un rapport cyclique 80%
Phase 1, =0s
Phase 2, =0,25s
Phase 3, =0,5s
Phase 4, =0,75s
Phase 5, =1s
Phase 6, =1,25s
Phase 7, =1,5s
Phase 8, =1,75s
Phase 9, =2s
Phase 10, =2,25s
Phase 11, =2,5s
Phase 12, =2,75s
Phase 13, =3s
Phase 14, =3,25s
Phase 15, =3,5s
Phase 16, =3,75s
Phase 17, =4s
Phase 18, =4,25s
Phase 19, =4,5s
Phase 20, =4,75s
Figure 4.7: Champs de vitesse d’une période (une 20 phases) pour un signal carré
avec un rapport cyclique 80%.
244
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