Sur une propri´et´e des polyn ˆomes de N¨orlund intervient dans de nombreuses situations ( cf [12],
[ 6 ] , [ 7 ] ) . Les deux propri´et´es suivantes faciles `a
prouver nous seront utiles :
(n+ 1)! |Mnet M2n+1 = 2M2n(1.10)
– La suite d ’ entiers (dn)n≥0=(Mn
n!)n≥0est r´epertori´ee A01898 dans [ 1 7 ] :
(dn)n≥0 = (1,2,12,8,240,96,4032,1152,34560,7680,101376...).
De ( 1 . 1 0 ) , on d´eduit que
d2n
d2n+1
=2n+ 1
2.
(1.11)
– La suite d ’ entiers (mn)n≥0 = ( Mn
(n+1)! )n≥0,r´epertori´ee A163176 dans [ 1 7 ] , a ´et´emise en ´evidence
par D . S . Mitrinovi´c et R . S . Mitrinovi´c dans [ 1 4 ] :
(mn)n≥0 = (1,1,4,2,48,16,576,144,3840,768,9216...).
Le r´esultat suivant est essentiel dans la d´emonstration du th´eor `eme principal qui suit . Rappelons
qu ’ un polyn ˆome non nul de Z[x] est dit primitif si le pgcd de l ’ ensemble de ses coefficients vaut 1 .
Lemme 1 . Pour tout entier n≥0,(1.12) Mnn(x)
best un polyn ˆome primitif de Z[x]
(1.13) dnn(x)
Best un polyn ˆome primitif de Z[x].
D´emonstration . Dans [ 6 ] , J . - L . Chabert prouve que (−1)nMnn(−x)
best un polyn ˆome primitif de
Z[x].On en d´eduit ( 1 . 1 2 ) ainsi que la primitivit´e du polyn ˆome Mnxn(n−x)
bde Z[x].Remarquons
alors qu ’ avec ( 1 . 8 ) , on a
dn(n−x)n(−x)
B=−Mnxn(n−x)
b.
Par suite , dn(n−x)n(−x)
Best aussi un polyn ˆome primitif de Z[x]; la relation ( 1 . 1 3 ) en r´esulte .
On peut aussi obtenir la relation ( 1 . 1 3 ) directement d ’ apr `es un r´esultat d ’ Adelberg ( [ 1 ] ,
Corollary
3).
1 . 3 . Le r´esultat principal . Th´eor `eme 2 . Avec Mn:= Qpbn
p−1c+bn
p(p−1) c+
bline −twon
p(p−1)c+··· e t dn=Mn
n!,on a , pour n≥3 :
ppremier
2(x)
Bn=x
d2n
(αn2n−1x2n−1+αn
2n−2x2n−2+···+αn
1x+αn0) (1.14)
2(x)
Bn+1 =−x2
d2n+1
(βn
2n−1x2n−1+βn
2n−2x2n−2+···+βn
1x+βn
0) (1.15)
P2n−1
k=0 αn
kxke t P2n−1
k=0 βn
kxk´etant des polyn ˆomes primitifs de Z[x]avec
αn2n−1
βn
2n−1
= 2n+ 1,αn2n−2
βn
2n−2
= 2n−1,αn2n−3
βn
2n−3
= 2n−3,αn1
βn
1
= 1,αn0
βn
0
= 1.
Ainsi , on a pour n= 3
d66(x)
B=x(63x5−315x4+ 315x3+ 91x2−42x−16)
d77(x)
B=−x2(9x5−63x4+ 15x3+ 7x2−42x−16)
53
α
β3
5
= 7,43
α
β3
4
= 5,3α3
β3
3
= 3,3α1
β3
1
= 1,3α0
β3
0
= 1.
et pour n= 4
d88(x)
B=x(1357x−1260x6+ 3150x5−840x4−2345x3−540x2+ 404x+ 144)
d99(x)
B=−x2(157x−180x6+ 630x5−448x4−665x3+ 10x2+ 404x+ 144)
73