Sur une propriété des polyn ô mes de Nörlund

Actes des rencontres du C . I . R . M . Vol .2no 2(2010)71 − 77
Sur une propriété des polyn ô mes de Nörlund
Farid Bencherif
Résumé
In this paper , we prove a remarkable property of the coefficients of Nörlund ’ s polynomials
obtained mainly from a result of J . - L . Chabert .
1 . Introduction
Cet article synthétise des résultats obtenus dans [ 2 ] et [ 3 ] . Dans ce paragraphe , nous rappelons
la
définition des polyn ô mes de Nörlund de premi è re et deuxi è me esp è ce ainsi que celle des polyn ô
mes
de Stirling . Nous énon ccedilla ons ensuite le principal résultat qui concerne une propriété remarquable
des coefficients des polyn ô mes de Nörlund . La démonstration de ce théor è me faite au paragraphe
suivant repose essentiellement sur un résultat de J - L Chabert [ 6 ] . Un corollaire de notre théor è me
permet alors de répondre positivement à une ancienne question posée en 1 960 par D . S . Mitrinović
et R . S . Mitrinović [ 14 ] .
1 . 1 . Polyn ô mes de
Nörlund .
(x)
(x)
Les polyn ô mes de Nörlund nB ([16], chapitre 6 ) et nb sont définis par
n=0
X
(x)z
n
n!
nB
∞
=(
z
)x
z
e −1
et
n=0
X
(x)
nb z n = (
∞
z
)x.
ln(1 + z)
(1.1)
(x)
Les polyn ô mes de Nörlund nB sont
aussi appelés nombres généralisés de Bernoul l i d ’ ordre x;
(1)
(1)
nB = Bn est le n− i è me nombre ordinaire de Bernoul li ; nb = bn est appelé n− i è me nombre
de Bernoul li de s econde esp è ce et aussi n− i è me nombre de Cauchy . Il est bien connu et facile
à prouver
que
B2n+1 = 0 pourn ≥ 1.
(1.2)
On a
B0 = 1, B1 = −
1
1
1
1
B2 = B4 = −
B6 =
2,
6,
30 ,
42 ,
et
b0 = 1, b1 =
Texte exposé lors de la rencontre Troisi
1
1
19
3
1
b2 = −
b3 =
b4 = −
b5 =
2,
12 ,
24 ,
729 ,
160 .
è me Rencontre Internationale sur les Polyn ô mes à Valeurs Enti è res
organisée par Sabine Evrard . 29 novembre - 3 décembre 2010 , C . I . R . M . ( Luminy ) .
Classification Mathématique ( 2000 ) .
1 1 B 68 , 1 1 B 83 .
Mots clés . Bernoulli numbers .
71
(x)
Farid Bencherif
(x)
Pour n ≥ 1, nB
et nb
sont des polyn ô mes en x de degré nà coefficients rationnels et de
1
n
coefficients dominants respectifs ( −1
2 ) and n!2n . On a
B
(x)
B
B
{
B5
0(x)
1(x)
B
2(x)
B
3(x)
4(x)
=
==
==
=
−1
−
1 x
− 41
16
x−
x1 1
2
1
1x
1 x1
x4
2 + 1 20 48 x2
8
48
5
+
−x
−
+2
3
35 2
1
21
8
32
8
x3 5 + 11
−x
96 x
x x
48
4
et
braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceleftmid − braceex −
Les nombres de Stirling de premi è re esp è ce s(n, k) et de deuxi è me esp è ce S(n, k) sont
définis par
([8], [11]) :
n=0
X
n
s(n, k)
∞
(ln(1 + z))
z
=
n!
k!
k
et
n=0
X
(ez − 1)k
z
=
n!
k!
.
n
S(n, k)
∞
(1.3)
Il est bien connu que , pour kf ixé, s(n, n − k) et S(n + k, n) sont des polyn ô mes en n qui s ’ expriment
à l ’ aide des polyn ô mes de Nörlund ( [ 4 ] , [ 1 0 ] , [ 1 5 ] ) :
s(n, n − k) =
n−1
k
(n)
kB etS(n
+ k, n) =
n+k
k
(−n)
kB
.
(1.4)
Pour n et k ≥ 0, posons
Tn (x) =
x−1
n
(x)
nB .
(1.5)
Tn (x) est un polyn ô me de degré 2n, appelé polyn ô me de Stirling par D . S .
R . S . Mitrinović . On déduit de ( 1 . 4 ) et ( 1 . 5 ) les relations
(pourn ≥ k)etS(n + k, n) = (−1)k Tk (−n).
s(n, n − k) = Tk (n)
Mitrinović et
(1.6)
Il est facile de constater à l ’ aide des relations ( 1 . 3 ) et ( 1 . 1 ) que
s(n, n − k) = k!
n
k
(k−n)
kb
.
(1.7)
On déduit alors de ( 1 . 4 ) et ( 1 . 7 ) la relation suivante
(x)
(n−x)
(n − x)nB = −n!xnb
.
(1.8)
1 . 2 . Les suites d ’ entiers (Mn ), (dn ) et (mn ).
Nous allons définir trois suites d ’ entiers (Mn ), (dn ) et (mn ) attachées respectivement aux suites
(x)
(x)
de polyn ô mes (nb ) et (nB ) et (Tn (x)).
– La suite des nombres de Minkowski , répertoriée A53657 dans [ 1 7 ] , est la suite d ’ entiers (Mn )n ≥ 0
définie par
Mn :=
Y
n
pb p−1 c+ b
n
c + bline − twonp(p−1) c + · · ·.
p(p − 1)
ppremier
(1.9)
Remarquons que , si p > n + 1, le facteur correspond dans le produit ( 1 . 9 ) vaut 1 , et donc Mn est
en fait un produit fini . La suite d ’ entiers
(Mn )n≥0 = (1, 2, 24, 48, 5760, 11520, 2903040, 5806080, 1393459200, ...)
72
ô mes de Nörlund intervient dans de nombreuses situations ( cf
[ 6 ] , [ 7 ] ) . Les deux propriétés suivantes faciles à
prouver nous seront utiles :
Sur une propriété des polyn
(n + 1)! | Mn
et
M2n+1 = 2M2n
[12],
(1.10)
– La suite d ’ entiers (dn )n ≥ 0 = ( Mn!n )n≥0 est répertoriée A01898 dans [ 1 7 ] :
(dn )n ≥ 0 = (1, 2, 12, 8, 240, 96, 4032, 1152, 34560, 7680, 101376...).
De ( 1 . 1 0 ) , on déduit que
d2n
2n + 1
=
d2n+1
2 .
(1.11)
Mn
)n≥0 , répertoriée A163176 dans [ 1 7 ] , a été mise en évidence
– La suite d ’ entiers (mn )n ≥ 0 = ( (n+1)!
par D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović dans [ 1 4 ] :
(mn )n ≥ 0 = (1, 1, 4, 2, 48, 16, 576, 144, 3840, 768, 9216...).
Le résultat suivant est essentiel dans la démonstration du théor è me principal qui suit . Rappelons
qu ’ un polyn ô me non nul de Z[x] est dit primitif si le pgcd de l ’ ensemble de ses coefficients vaut 1 .
(x)
Lemme 1 .
Pour tout entier n ≥ 0, (1.12) Mn nb
est un polyn ô me primitif de Z[x]
(x)
(1.13) dn nB
est un polyn ô me primitif de Z[x].
(−x)
Démonstration . Dans [ 6 ] , J . - L . Chabert prouve que (−1)n Mn nb
est un polyn ô me primitif de
(n−x)
Z[x]. On en déduit ( 1 . 1 2 ) ainsi que la primitivité du polyn ô me Mn xnb
de Z[x]. Remarquons
alors qu ’ avec ( 1 . 8 ) , on a
(−x)
dn (n − x)nB
(n−x)
= −Mn xnb
.
(−x)
Par suite , dn (n − x)nB
est aussi un polyn ô me primitif de Z[x]; la relation ( 1 . 1 3 ) en résulte .
On peut aussi obtenir la relation ( 1 . 1 3 ) directement d ’ apr è s un résultat d ’ Adelberg ( [ 1 ] ,
Corollary
3). 1. 3.
Le résultat principal .
bline − twonp(p−1) c + · · ·
e t dn =
Théor è me 2 .
Mn
n! ,
Avec Mn :=
Q
n
n
c+
pb p−1 c+ b p(p−1)
on a , pour n ≥ 3 :
ppremier
x
(x)
n
2B n =
(αn 2n−1 x2n−1 + α2n−2
x2n−2 + · · · + α1n x + αn0 )
d2n
x2
(x)
n
2B n+1 = −
(β n x2n−1 + β2n−2
x2n−2 + · · · + β1n x + β0n )
d2n+1 2n−1
P2n−1
k=0
αkn xk e t
P2n−1
k=0
(1.14)
(1.15)
βkn xk é tant des polyn ô mes primitifs de Z[x] avec
αn2n−1
= 2n + 1,
n
β2n−1
αn2n−2
= 2n − 1,
n
β2n−2
αn2n−3
= 2n − 3,
n
β2n−3
αn1
= 1,
β1n
αn0
= 1.
β0n
Ainsi , on a pour n = 3
(x)
d6 6B
(x)
d7 7B
=
=
53α
= 7,
β53
x(63x5 − 315x4 + 315x3 + 91x2 − 42x − 16)
−x2 (9x5 − 63x4 + 15x3 + 7x2 − 42x − 16)
43α
= 5,
β43
3α3
= 3,
β33
3α1
= 1,
β13
3α0
= 1.
β03
et pour n = 4
(x)
d8 8 B
x(1357x − 1260x6 + 3150x5 − 840x4 − 2345x3 − 540x2 + 404x + 144)
=
(x)
d9 9B
=
−x2 (157x − 180x6 + 630x5 − 448x4 − 665x3 + 10x2 + 404x + 144)
73
Farid Bencherif
4α7
= 9,
β74
4α6
= 7,
β64
4α5
= 5,
β54
4α1
= 1,
β14
4α0
= 1.
β04
(1)
n
Remarque 3 . Pour n ≥ 1, on a 2B n+1 = B2n+1 = 0. On en déduit que le polyn ô me β2n−1
x2n−1 +
n
n
β2n−2
x2n−2 + β2n−3
x2n−3 + ... + β1n x + β0n est divisible par x − 1 dans Z[x]. Avec les notations du
théor è me 2 , on peut écrire pour n ≥ 1
(x)
2B
n
=
1
x2 (x − 1)
(x)
xP2n (x)et2B n+1 =
P2n+1 (x),
(2n + 1)m2n
(2n + 2)m2n+1
où
n
n
P2n (x) = αn2n−1 x2n−1 + α2n−2
x2n−2 + α2n−3
x2n−3 + · · · + α1n x + αn0
et
n
n
n
(x − 1)P2n+1 (x) = −(β2n−1
x2n−1 + β2n−2
x2n−2 + β2n−3
x2n−3 + · · · + β1n x + β0n ),
les polyn ô mes P2n (x) et P2n+1 (x) étant des polyn ô mes primitifs de Z[x] vérifiant
P2n (0) = αn0 = β0n = P2n+1 (0).
1 . 4 . Propriété des polyn ô mes de St ir ling .
D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović [ 1 4 ]
Tn (x) pour
n ∈ {1, 9} et ont trouvé :
ont déterminé les polyn ô mes de Stirling
x
= −
2
1
x
P2 (x)
T2 (x) =
3
4
1
x
x(x − 1)P3 (x)
T3 (x) =
4
2
1
x
T4 (x) =
P4 (x)
5
48
1
x
T5 (x) =
x(x − 1)P5 (x)
6
16
1
x
T6 (x) =
P6 (x)
7
576
1
x
x(x − 1)P7 (x)
T7 (x) =
8
144
1
x
T8 (x) =
P8 (x)
9
3840
1
x
x(x − 1)P9 (x)
T9 (x) =
10
768
T1 (x)
où
P2 (x)
=
P3 (x)
P4 (x)
=
P5 (x)
P6 (x)
=
=
−1
15x − 30x + 5x + 2
=
−3x2 + 7x + 2
=
−9x4 + 54x3 − 51x2 − 58x − 16
135x7 − 1260x6 + 3150x5 − 840x4 − 2345x3 − 540x2 + 404x + 144
P9 (x)
Ils ont constaté que
=
2
63x5 − 315x4 + 315x3 + 91x2 − 42x − 16
P7 (x)
P8 (x)
3
3x − 1
=
−15x6 + 165x5 − 465x4 − 17x3 + 648x2 + 548x + 144.
les Pn (x) sont des polyn ô mes primitifs de Z[x] vérifiant :
P2 (0) = P3 (0), P4 (0) = P5 (0), P6 (0) = P7 (0), P8 (0) = P9 (0).
74
Sur une propriété des polyn ô mes de Nörlund
Ils ont alors posé la question de savoir si cette propriété est vérifiée de mani è re générale pour le couple
de polyn ô mes (P2k (n), P2k+1 (n)) associé au couple de nombres de Stirling (s(n, n−
2k), s(n, n − (2k + 1)) pour tout k ≥ 1([14], page 4 ) . Le corollaire suivant répond positivement à cette
question .
Corollaire
4.
Pour tout entier k > 1, il
existe
deux polyn ô mes primitifs
de
Z[x], P2k (x)
et
P2k+1 (x) t e ls que
1
n
P2k (n) (n > 2k)
s(n, n − 2k) =
2k + 1
m2k
1
n
s(n, n − 2k − 1) =
n(n − 1)P2k+1 (n) (n > 2k + 1),
2k + 2
m2k+1
P2k (0) = P2k+1 (0).
(1.16)
(1.17)
(1.18)
Démonstration .
D ’ apr è s ( 1 . 6 ) , pour k ≥ 1, on a :
s(n, n − 2k) = T2k (n) si n ≥ 2k et s(n, n − 2k − 1) = T2k+1 (n) si n ≥ 2k + 1. Compte tenu de la relation
( 1 . 5 ) et de la remarque 3 , on a
n−1
T2k (n) =
B2k (n)
2k
n
n−1
P2k (n)
=
2k
(2k + 1)m2k
1
n
P2k (n)
=
2k + 1
m2k
et
n−1
2k + 1
T2k+1 (n) =
B2k+1 (n)
n2 (n − 1)
n−1
=
P2k+1 (n)
2k + 1
(2k + 2)m2k+1
1
n
=
n(n − 1)P2k+1 (n)
2k + 2
m2k+1
o ùP2k (x) et P2k+1 (x) sont primitifs dans Z[x] et vérifient P2k (0) = P2k+1 (0). 2 . Démonstration du théor è me principal
(x)
Plusieurs auteurs se sont intéressés aux coefficients du polyn ô me nB ([5], [9], [13]). Dans [ 1 3 ] ,
( Theorem 1 et Theorem 2 ) , G . D . Liu et H . M . Strivastava ont prouvé la formule explicite donnée
dans le lemme suivant :
(x)
Lemme 5 . Pour n ≥ 1, nB est un polyn ô me de degré n, de te rme constant nul e t , pour
1 ≤ k ≤ n,
l e coefficient de xk est égal à :
(x)
nB = (−1)n−k
n!
k!
i1 + i2
X
k
+···+i
=n
Bi1 ...Bik
.
(i1 ...ik ).i1 !...ik !
ij ≥ 1pourj = 1, ..., k
A l ’ aide de ce lemme , on obtient aisément les relations suivantes 75
Farid Bencherif
Lemme 6 .
Pour n ≥ 2, on a
(−1)n
2n (−1)n−1
n
=
2
3.2n
n
(−1)
n
=
4
3.2n
(x)
nB
(x)
[xn−1 ]nB
(x)
[xn−2 ]nB
n−1B
(x)
(x)
[x2 ]2B
n
[x]nB
= (−1)n
1 X
B2i B2n−2i
2n
1
1
2i
2
2i(2n − 2i)
=
n
=
i≤ ≤n−
B2n
(2n + 1)
4n
B2i B2n−2i
2n + 1 X
2n
1
1
−
2i
4
2i(2n − 2i) .
(x)
[x2 ]2B
(x)
[x3 ]2B
n+1
=
n+1
=
i≤ ≤n−
(x)
On sait que d ’ apr è s les lemmes 1 et 5 que dn nB est un polyn ô me primitif de Z[x], de terme
(x)
2n+1
constant nul . De plus d ’ apr è s la relation ( 1 . 2 ) et le lemme 6 , on a [x]2B n+1 = B2n+1
= 0 pour
(x)
n ≥ 1. Le polyn ô me d2n+1 2B n+1 est donc divisible par x2 , pour n ≥ 1. Ainsi se trouvent justifiées
les écritures ( 1 . 1 4 ) et ( 1 . 1 5 ) ainsi que la primitivité dans Z[x] des polyn ô mes
P2n−1 n k
P2n−1 n k
k=0 αk x et
k=0 βk x . Les relations ( 2 ) du théor è me 2 découlent alors de la relation ( 1 . 1 1
) et des relations
suivantes déduites du lemme 6 :
(x)
αn2n−1
=
d2n [x2n ]2B
αn2n−2
=
d2n [x2n−1 ]2B
αn2n−3
=
αn1
et
n
(x)
n
(x)
n
β2n−1
= d2n+1 [x2n+1 ]2B
et
(x)
n
d2n [x
]2B n et β2n−3
(x)
= d2n [x2n−2 ]2B n et β1n
(x)
αn0 = d2n [x]2B n et
2n−2
(x)
n
β2n−2
= d2n+1 [x2n ]2B
n+1,
n+1,
(x)
= d2n+1 [x
]2B n+1,
(x)
= d2n+1 [x2n−1 ]2B n+1,
(x)
β0n = d2n+1 [x2 ]2B n+1.
2n−1
La preuve du théor è me 2 est compl è te .
Références
(x)
[ 1 ] A . Adelberg , Arithmetic properties of the Nörlund polynomial nB , Discrete Mathematics , ( H . W . Gould
volume ) 204 ( 1 999 ) , 5 - 1 3 .
[ 2 ] F . Bencherif et T . Garici , Sur une propriété des polyn ô mes de Stirling , Preprint ( soumis ) .
[ 3 ] F . Bencherif et A . Zekiri , On some properties of Nörlund ’ s polynomials , Preprint .
(x)
nB , Proc . Amer . Math . Soc . 1 1 ( 1 960 ) , 452 - 455 .
(x)
[ 5 ] L . Carlitz , Some properties of the Norlund polynomial nB , Math . Nachr . 33 ( 1 967 ) , 297 - 3 1 1 .
[ 4 ] L . Carlitz , Note on the Nörlund polynomial
[ 6 ] J . - L . Chabert , Integer - valued polynomials on prime numbers and logarithm power expansion , European
Journal
of Combinatorics 28 ( 2007 ) , 754 - 76 1 .
[ 7 ] J . - L . Chabert and P . - J . Cahen , Old Problems and New Questions around Integer - Valued Polynomials
and
Factorial Sequences , in Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra , Springer , 2006 , 89 - 108 .
[ 8 ] L . Comtet Analyse Combinatoire , Presses Universitaires de France , Paris , Vol .1&2, 1970.
[ 9 ] I . M . Gessel , On Miki ’ s identity for Bernoulli numbers , J . Number Theory 1 1 0 ( 2005 ) , 75 - 82 . [ 10 ] H
. W . Gould , The Lagrange interpolation formula and Stirling numbers , Proc . Amer . Math . Soc . 1 1 ( 1 960 ) ,
421 - 425 .
[ 1 1 ] R . L . Graham , D . E . Knuth , and O . Patashnick , Concrete Mathematics : a Foundation for Computer Science
,
Addison - Wesley , 1 994 . [ 1 2 ] R . M . Guralnick and M . Lorentz , Orders of Finite Groups of Matrices , arXiv :
math / 51 1 1 9 1 v 1 [ math . GR ] v 1 ]
8 Nov 2005 .
[ 1 3 ] G . - D . Liu and H . M . Srivastava , Explicit Formulas for the Nörlund Polynomials
(x)
(x)
nB and nb , Computers
&
Mathematics with Applications Vol .51, n◦ 9 − 10, (2006), 1377 − 1384. [ 14 ] D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović
, Tableaux qui fournissent des polyn ô mes de Stirling , Publications de la
Faculté d ’ Electronique , série : Mathématiques et physique , N ◦ 34, (1960)1 − 23.
76
Sur une propriété des polyn
ô mes de Nörlund
[ 1 5 ] D . S . Mitrinović , Sur une relation de récurrence relative aux nombres de Bernoulli d ’ ordre supérieur , C . R .
Acad . Sc . Paris 250 ( 1 960 ) , 4266 - 4267 . [ 1 6 ] N . E . Nörlund , Vorlesungen über Differenzenrechnung ,
Springer , Berlin , 1 924 ; repr . Chelsea Publ . Comp . , New
York , 1 954 . [ 1 7 ] N . J . A . Sloane , The On - Line Encylopedia of Integer Sequences ,
http : / / www . research . att . com / ˜njas / sequences / index . htm .
USTHB , Fac . Math . , P . B . 32 , El Alia , 1 6 1 1 1 , Algiers , Algeria .
• f − b encherif
77
@ usthb . dz