Espaces de Hilbert

D.Feyel Universit´e d’Evry M52 2008-09
Espaces de Hilbert
I. Produit scalaire.
1o. Cas r´eel.
Soit Hun espace vectoriel r´eel. On appelle produit scalaire sur Hune application
qui `a tout couple de vecteurs (x, y) associe un nombre r´eel, g´en´eralement not´e
hx, yitel que pour tous x, y ∈H
a) hx, yi=hy, xi(sym´etrie)
b) hλx +µx0, yi=λhx, yi+µhx0, yipour λ, µ ∈IR (lin´earit´e en x)
c) hx, xi ≥ 0 (positivit´e)
d) hx, xi= 0 ⇐⇒ x= 0 (positivit´e sticte).
•On notera que le produit scalaire est aussi lin´eaire dans la seconde variable, il
est “bilin´eaire sym´etrique”. On dit aussi (propri´et´e d)) qu’ il est d´efini positif.
Exemples
a) On prend H= IRn, et hx, yi=Pn
i=1 xiyi(espace euclidien).
b) On prend H=L2(µ) o`u µest une mesure, et hf, gi=Rfg dµ.
•On note parfois le produit scalaire x.y (en g´eom´etrie euclidienne), ou aussi (x|y)
(notation des physiciens).
In´egalit´e de Cauchy-Schwarz
Soient x, y ∈H,x6= 0, le trinˆome en λ∈IR
Q(λ) = hλx +y, λx +yi=λ2hx, xi+ 2λhx, yi+hy, yi
est toujours positif, de sorte que son discriminant est n´egatif. Cela s’´ecrit
hx, yi2≤ hx, xihy, yi
ou encore en posant kxk=phx, xi
|hx, yi| ≤ kxkkyk
Pour x= 0, l’ in´egalit´e est triviale.
1

•Peut-il y avoir ´egalit´e ? Cela signifie que le discriminant est nul, donc que le
trinˆome a une racine double λ0, soit Q(λ0) = 0. Cela entraˆıne que y=−λ0x: les
deux vecteurs sont colin´eaires.
Norme, in´egalit´e de Minkowski, distance
L’application x→ kxkest une norme, c’est-`a-dire
a) kx+yk ≤ kxk+kyk(in´egalit´e triangulaire)
b) kλxk=|λ|kxk(homog´en´eit´e)
c) kxk= 0 ⇐⇒ x= 0
Seule la propri´et´e a) m´erite une d´emonstration. Il suffit de montrer l’in´egalit´e
kx+yk2≤(kxk+kyk)2. En d´eveloppant et en r´eduisant, on obtient 2hx, yi ≤
2kxkkykqui vient justement de Cauchy-Schwarz.
L’ in´egalit´e triangulaire s’appelle l’ in´egalit´e de Minkowski.
•La fonction d(x, y) = kx−ykest une distance sur Hqui est donc un espace
m´etrique (cf. topologie). Il y a donc des boules ouvertes, des boules ferm´ees, des
ensembles ouverts, etc..
•Une suite xnconverge vers xsi la distance kxn−xktend vers 0.
•Une suite xnest une suite de Cauchy si la distance kxn−xmktend vers 0 quand
net mtendent vers l’ infini.
•Un espace m´etrique est complet si les suites de Cauchy sont convergentes.
1 D´efinition : Un espace de Hilbert r´eel Hest un espace vectoriel r´eel muni d’un
produit scalaire, et complet pour la norme kxk=phx, xi.
2o. Cas complexe.
Soit maintenant Hun espace vectoriel complexe. On appelle produit scalaire sur
Hune application qui `a tout couple de vecteurs (x, y)associe un nombre complexe,
g´en´eralement not´e hx, yitel que pour tous x, y ∈H
a) hx, yi=hy, xi(sym´etrie hermitienne)
b) hλx +µx0, yi=λhx, yi+µhx0, yipour λ, µ ∈| C(lin´earit´e en x)
c) hx, xi ∈ IR+(positivit´e)
d) hx, xi= 0 ⇐⇒ x= 0 (positivit´e sticte).
2

•On notera que le produit scalaire n’est pas lin´eaire dans la seconde variable, il est
antilin´eaire en y. On dit que l’on a affaire `a une forme “sesquilin´eaire hermitienne”
d´efinie positive.
Exemples
a) On prend H=| Cn, et hx, yi=Pn
i=1 xiyi(espace hermitien).
b) On prend H=L2
|
C(µ)o`u µest une mesure, et hf, gi=Rfg dµ.
•• Si l’on pose [x, y] = Rehx, yi, on obtient manifestement un produit scalaire r´eel
sur H. On constate de plus que hx, xi= [x, x], de sorte que kxk=phx, xisatisfait
l’ in´egalit´e de Minkowski.
Il y a mieux, on a selon Cauchy-Schwarz
|Rehx, yi| =|[x, y]| ≤ kxkkyk
En rempla¸cant xpar ωx ou ω=hy, xion trouve
|hx, yi|2=hy, xihx, yi= Rehωx, yi ≤ kωxkkyk=|hy, xikxkkyk=kxk2kyk2
soit lin´egalit´e de Cauchy-Schwarz du cas complexe
|hx, yi| ≤ kxkkyk
Si x6= 0, l’ in´egalit´e n’a lieu que si y=−λ0ωx, c’est-`a-dire si xet ysont | C-
colin´eaires (au lieu de IR-colin´eaires).
Enfin x→ kxkest une | C-norme, car l’homog´en´eit´e est relative `a | C:kλxk=|λ|kxk
pour tout λ∈| C.
2 D´efinition : Un espace de Hilbert complexe Hest un espace vectoriel complexe
muni d’un produit scalaire hermitien, et complet pour la norme kxk=phx, xi.
On notera qu’ il revient au mˆeme de dire qu’ il est complet au sens r´eel (i.e. pour
le produit scalaire [x, y] = Rehx, yi).
II. Orthogonalit´e
Deux vecteurs xet ysont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Il revient
au mˆeme de dire qu’ ils satisfont au th´eor`eme de Pythagore
hx, yi= 0 ⇐⇒ kx+yk2=kxk2+kyk2
L’ensemble des vecteurs orthogonaux `a un vecteur ydonn´e est un sous-espace
vectoriel ferm´e de H.
3

Si Eest sous-espace vectoriel de H, l’ensemble E⊥des vecteurs orthogonaux `a
tous les vecteurs de Eest un sous-espace vectoriel ferm´e de H, qu’on appelle
l’orthogonal de E. On a E∩E⊥={0}.
•Remarquer que Eet son adh´erence Eont le mˆeme orthogonal E⊥.
Projection orthogonale
3 Lemme de la m´ediane ou du parall´elogramme : pour tous vecteurs
x, y ∈H, on a
kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2)
D´emonstration : Trivial.
4 Th´eor`eme de la projection orthogonale : Soit Fun sous-espace vectoriel
ferm´e de H. Si x∈H, il existe un vecteur unique y∈Fqui r´ealise la distance de
x`a F.
d(x, F ) = Inf ©kx−zk±z∈Fª=kx−yk
5 Th´eor`eme (suite) : Ce vecteur yest aussi l’unique point de Ftel que x−y
soit orthogonal `a F. On l’appelle la projection orthogonale de xsur F.
•La d´ecomposition
x=y+ (x−y)
o`u y∈Fet x−y∈F⊥est donc unique.
•L’op´erateur de projection orthogonale x→y=prF(x) est lin´eaire continu. On
a
x=prF(x) + prF⊥(x),et kxk2=kprF(x)k2+kprF⊥(x)k2
et par suite
H=F⊕F⊥
•Il r´esulte de tout cela qu’un sous-espace vectoriel Eest partout dense (i.e. E=H)
si et seulement si son orthogonal E⊥se r´eduit `a {0}, et que le biorthogonal F⊥⊥
d’un sous-espace vectoriel Fest exactement l’adh´erence de F.
Syst`emes orthonorm´es
Un vecteur est norm´e si sa norme kxk= 1. Un syst`eme de vecteurs {ei}i∈Iest
orthonorm´e si l’on a
hei, eji=δij symbole de Kronecker
4

Un syst`eme orthonorm´e est toujours alg´ebriquement libre.
Si xest une combinaison lin´eaire (finie) des ei, soit x=Pi∈Jλiei(Jpartie finie
de I), on r´ecup`ere les coefficients λigrˆace aux relations de Parseval
λi=hx, eii
•Rappelons qu’un espace m´etrique est s´eparable s’ il poss`ede un sous-ensemble
d´enombrable partout dense. Tous les espaces de Hilbert usuels sont s´eparables.
Dans le cas d’un espace de Hilbert, il faut et il suffit qu’ il poss`ede un syst`eme total
d´enombrable. Un syst`eme est total si le sous-espace vectoriel engendr´e est partout
dense.
6 Proposition : Dans un espace de Hilbert s´eparable, tout syst`eme orthonorm´e
est au plus d´enombrable.
7 Th´eor`eme (proc´ed´e de Schmidt) : Soit {xn}une suite dans H. Il existe
une suite orthonorm´ee {ek}k≥1qui engendre alg´ebriquement le mˆeme sous-espace
vectoriel que la suite {xn}. Noter que si la suite {xn}est totale, la suite {ek}l’est
aussi.
Exemple : En appliquant le proc´ed´e de Schmidt `a la suite des monˆomes xn
sur [−1,1] et `a l’espace L2([−1,1], dx), on trouve les polynˆomes de Legendre. En
changeant d’espace L2, on trouve les polynˆomes de Tchebitcheff, etc..
8 Th´eor`eme : Soit {ei}i∈Iun syst`eme orthonorm´e. Pour tout x∈H, posons
xi=hx, eii. On a l’ in´egalit´e de Bessel
X
i∈I|xi|2≤ kxk2
La s´erie y=Pi∈Ixieiconverge dans H, et sa somme yest la projection
orthogonale de xsur le sous-espace vectoriel ferm´e engendr´e par les ei.
9 Corollaire : Soit {ei}un syst`eme total. On a pour tout x∈H
kxk2=X
i∈I|xi|2,et x=X
i
xiei
R´eciproquement, pour que les eiforment un syst`eme total, il faut et il suffit que
l’ in´egalit´e de Bessel soit une ´egalit´e pour tout x∈H.
5