un tel changement d’un système dont les coordonnées des différents points par rapport repéré par les mêmes coordonnées {xi} mais à un trièdre sont {xi} est le système mesurées par rapport à un nouveau trièdre . À tout changement de repère est ainsi associé une transformation du système considéré. Nous n’envisageons dans ce cours que les changements de repère suivants : • les rotations autour d’un axe C notées C(α) (α : angle de rotation) • les réflexions sur un miroir σ (ou symétries par rapport à un plan), notées par la même lettre σ. L’axe C et le plan σ sont appelés les éléments de symétrie des deux opérations citées. Comme nous souhaitons découvrir, parmi ces transformations, celles qui laissent inchangé un objet de dimensions finies comme un molécule, sans en déplacer le centre de gravité, nous nous limiterons aux rotations dont les axes passent par un même point et aux réflexions sur des miroirs passant aussi par ce point. Il est facile de définir, sur l’ensemble de ces opérations de rotations-réflexions, une loi de compostion interne appelée multiplication : le produit R2R1 du changement de repère R1 qui change en par le changement de repère R2 qui change en est le changement de repère qui change en . Cette loi de composition interne donne à l’ensemble des rotations-réflexions une structure de groupe : • l’associativité, R3(R2R1) = (R3R2)R1 est évidente, • l’élément neutre E ou identité est le changement qui transforme en lui-même. en est celui qui • L’inverse R-1 du changement de repère R qui transforme transforme en . On aura en particulier : C(α’)C(α) = C(α + α’) (1.2,1) C(α + 2kπ) = C(α) k entier (1.2,2) C(2kπ) = E (1.2,3) C-1(α) = C(-α) car C(-α)C(α) =E (1.2,4) car σσ =E (1.2,5) σ-1 = σ Le groupe de toutes les rotations-réflexions a naturellement un nombre infini d’éléments obtenus par multiplication de toutes les rotations et les réflexions entre elles. Certains éléments portent des noms : • le produit d’une rotation d’angle α autour d’un axe C par une réflexion sur un miroir perpendiculaire à C est appelé rotation impropre d’axe C est est noté S : σhC(α) = S(α) (1.2,6) (l’indice h, pour « horizontal », signifie que le miroir σ est perpendiculaire à l’axe principal C, toujours arbitrairement considéré comme vertical) • la rotation impropre d’angle π est appelée symétrie centre et est notée i : S(π) = i (1.2,7) (le centre de symétrie est l’intersection de C et de σh) Remarque : Pour découvrir le résultat de la multiplication de plusieurs rotations autour du même axe ou autour d’un deuxième axe perpendiculaire et de plusieurs réflexions sur des CHAPITRE 1 Les groupes de symétries 1.1 Introduction La recherche des solutions d’un problème physique comme par exemple la résolution des équations de la mécanique (classique ou quantique) est facilité par des considérations générales dites « de symétrie ». La théorie des groupes de transformations de symétrie a pour but de systématiser ces techniques simplificatrices. Chaque fois que l’on peut découvrir, par la simple observation des équations d’évolution d’un système, une propriété d’invariance sous l’effet d’un certain type de transformation, la recherche de la solution est simplifiée. Par exemple, pour un système mécanique isolé, les équations d’évolution sont invariantes par translation dans le temps (changement de t en t + t0). Cette propriété permet de découvrir une certaine fonction des variables positions et impulsions ({qi} et {pi}) qui reste constante au cours de l’évolution et qui est l’énergie E. Le fait que les états successifs, {qi(t), pi(t)} soient soumis à la contrainte E({qi}, {pi}) = Cte simplifie naturellement la recherche des trajectoires. Il existe d’autres invariants fondamentaux pour les systèmes mécaniques isolés : ce sont l’impulsion totale, qui résulte de l’invariance des équations par toute translation dans l’espace, et le moment cinétique total, qui résulte de l’invariance des équations par toute rotation dans l’espace. Beaucoup de systèmes modèles étudiés en physique ou en chimie ne sont pas isolés mais placés dans un environnement qui exerce sur eux des actions ayant des propriétés de symétrie bien définies. Les équations décrivant ces systèmes sont alors invariantes sous l’effet des transformations associées à ces propriétés de symétrie. Par exemple, le système des électrons de liaisons dans la molécule de méthane CH4, que l’on étudie pour expliquer la cohésion de cette molécule, est soumis à des interactions avec les cinq noyaux qui sont orientées suivant une géométrie tétraédrique bien établie par l’expérience. Les équations décrivant ces électrons sont invariantes sous l’effet de toute opération de rotation ou de réflexion qui laisse inchangé le squelette tétraédrique des cinq noyaux. La recherche des états propres de ce système quantique est simplifiée lorsqu’on postule a priori ces propriétés d’invariance. Nous nous attacherons dans ce cours à présenter la méthode permettant l’exploitation systématique des propriétés d’invariance sous l’effet des transformations de rotation ou de réflexion. 1.2 Le groupe des rotations-réflexions de l’espace Les opérations de transformation d’un système que l’on envisage peuvent être complètement décrites à partir d’opérations de changements de repère : le transformé par 1 miroirs perpendiculaires à ces axes, on peut adopter la représentation schématique suivante : On figure par un point C l’intersection de l’axe principal de rotation avec (C) est choisie de le plan de la feuille. La position initiale du trièdre manière que deux vecteurs de base soient dans le plan de la feuille et le troisième perpendiculaire à ce plan. Le premier vecteur de base est supposé dirigé vers le point C et n’est pas figuré . Le deuxième lui est perpendiculaire dans le plan de la feuille et est figuré par une flèche. Le troisième est figuré par un petit cercle entourant un point ou entourant une croix suivant qu’il est dirigé vers l’avant ou vers l’arrière de la feuille. On peut, à l’aide de ces conventions, représenter le résultat des applications successives de plusieurs rotations-réflexions sur le trièdre . Donnons deux exemples dont les résultats seront utiles : Figure 1.1 (C) D’où le résultat : dans l’ensemble des trois opérations constitué par les réflexions sur deux miroirs perpendiculaires et la rotation de π autour de leur intersection, le produit de deux quelconques d’entre elles est égal à la troisième. Le produit de deux réflexions successives sur des miroirs σv différents, repérés sur la figure 1.3 par les angles β et α que font leurs traces sur le plan de figure avec le vecteur de dirigé vers (C), est l’opération qui transforme en par l’intermédiaire de . C’est une rotation autour de (C) d’angle α +(α -2β) = 2(α -β) : σv(α) σv(β) = C(2α-2β) (1.2,11) 1.3 Les sous-groupes du groupe de toutes les rotationsréflexions 1.3.1 Position du problème Le but est de rechercher toutes les rotations-réflexions qui laissent inchangé un objet donné. Ces opérations appartiennent nécessairement au groupe de toutes les rotationsréflexions de l’espace, que nous appellerons , mais elles n’en constituent qu’un sousensemble. De plus, si R et R’ sont deux opérations de qui laissent l’objet invariant, leur produit le laisse aussi invariant et les opérations inverses également. Le sous-ensemble des éléments de ainsi recherché possède donc les deux propriétés suivantes : • il contient le produit de deux quelconques de ses éléments • il contient l’inverse de l’un quelconque de ses éléments. Comme l’identité E est le produit de deux éléments inverses, il contient aussi E et possède donc lui-même une structure de groupe . C’est un sous-groupe de que nous noterons G. Si ce sous-ensemble contient un nombre fini g d’éléments distincts, la première de ces propriétés suffit pour garantir la structure de groupe. Le nombre g s’appelle l’ordre du sous-groupe G. Cette propriété se démontre comme suit : Théorème de réarrangement : Soit G = {R1, …Ri, …Rj, …Rg} un sous ensemble de g éléments distincts de contenant le produit de deux quelconques d’entre eux. La liste des g produits (à droite ou à gauche) de tous ces éléments par l’un quelconque d’entre eux forme un ensemble identique à G dont les éléments sont rangés dans un ordre différent. Démonstration : On construit la table de multiplication de G sous la forme d’un tableau à double entrée dont les deux entrées, horizontale et verticale, sont identiques à la liste {R1, …Ri, …Rj, …Rg}. … Ri … Rj … Rg R1 R1 R1R1 … R1 Ri … R1 Rj … R1 Rg … … … Rk RkR1 … RkRi … RkRj … RkRg … … … Rg RgR1 … RgRi … RgRj … RgRg La cellule placée à l’intersection de la ligne Rk et de la colonne Ri contient le produit RkRi. Le théorème affirme que chacune des lignes (ou chacune des colonnes) est formée des (C) α β σv(α) (C’) Figure 1.2 σv(β) Figure 1.3 Le produit d’une réflexion sur un miroir σh (confondu avec le plan de la feuille) par une rotation de π autour d’un axe C’ contenu dans le même plan et passant par le point C, en par l’intermédiaire de (dont l’origine a est l’opération qui transforme pour rendre la figure 1.2 plus lisible). Cette opération est égale été décalée de celle de à une réflexion σv sur un miroir perpendiculaire au plan de la feuille et contenant C’. On désigne par C’2: l’opération de rotation de π autour de l’axe C’ et, d’une façon générale, par Cn l’opération de rotation de 2π/n autour d’un axe C. On a donc : C’2 σh = σv (1.2,8) D’où l’on déduit, en multipliant à droite par σh-1 = σh : (1.2,9) C’2 = σv σh et en multipliant à gauche par (C’2 )-1 = C’2 : (1.2,10) σh = C’2 σv 2 La propriété Rn = E suffit donc à assurer que R puisse être l’élément générateur unique d’un groupe cyclique. Toute rotation-réflexion R de ne possède pas cette propriété : Si R = σ, σ2 = E et cette opération génère le groupe d’ordre 2 noté Cs qui ne contient que les deux opérations σ et E. Si R = C(α), la condition [C(α)]n = E, qui s’écrit aussi C(nα) = C(2π), implique que l’angle α soit une fraction de 2π et limite les rotations possibles à C(2π/n), notées Cn. On note aussi Cn ces différents groupes. Si R est le produit d’une rotation autour de C par une réflexion sur un miroir quelconque σ, c’est-à-dire si R = σC(α) ou R = C(α) σ (le produit est en général non commutatif), la condition Rn = E limite à deux les possibilités d’orientation relative de C et de σ : • Le miroir σ peut contenir C. Les produits σvC(α) et C(α) σv se calculent alors aisément à partir de la relation (1.2,11) : En la multipliant à gauche par [σv(α)]-1 = σv(α) et en posant 2(α-β) = β’, on obtient : (1.3,1) σv(α) C(β’) = σv(α - β’/2) En la multipliant à droite par [σv(β)]-1 = σv(β) et en posant 2(α -β) = α’, on obtient : (1.3,2) C(α’) σv(β) = σv(β + α’/2) Dans les deux cas, l’opération R se réduit à une simple réflexion σ et génère le groupe cyclique Cs déjà étudié. Le miroir σ peut être perpendiculaire à C. Les deux opérations C(α) et σh commutent • alors et leur produit est par définition la rotation impropre S(α). La condition [S(α)] n = E s’écrit alors (σh)n [C(α)] n = E et ne peut être vérifiée que si n est paire et si α = 2π/n. Seule un rotation impropre S2p (p entier) peut engendrer un groupe cyclique . On note aussi ce groupe S2p. Il est d’ordre 2p et contient p rotations et p rotations impropres. Nous venons ainsi d’énumérer tous les sous-groupes cycliques de (sans avoir montré rigoureusement qu’il n’en existe pas d’autres). Pour poursuivre l’énumération par les sous-groupes générés par 2 ou 3 opérations, il est utile de rappeler deux notions de théorie des ensembles qui seront utiles à leur description : celle de classe d’éléments équivalents et celle de produit direct de groupe. mêmes éléments que ceux de la liste d’entrée (dans un ordre différent). Pour le montrer, notons d’abord que la ligne Rk par exemple ne contient que des éléments de la liste d’entrée, d’après la propriété de G. Il suffit de vérifier qu’elle ne peut en contenir deux identiques pour être sûr qu’elle les contient tous. Or l’identité RkRi = RkRj par exemple impliquerait Ri = Rj puisque tout Rk appartient au groupe et possède donc un inverse. Ceci est impossible car tous les éléments de G sont distincts. Conséquence : • la ligne Rk contient nécessairement Rk c’est-à-dire qu’il existe un Ri tel que RkRi = Rk. L’élément Ri est donc l’élément neutre E de qui est nécessairement inclus dans G. • la ligne Rk contient donc aussi E c’est-à-dire qu’il existe un Rj tel que RkRj = E. L’élément Rj est donc l’inverse de Rk qui est donc inclus dans G. Il en résulte que G forme un sous-groupe de . 1.3.2 Opérations génératrices Tout sous-ensemble de rotations-réflexions qui laissent inchangé un objet donné est donc un sous-groupe de . Pour découvrir un tel sous-ensemble, on cherche à extraire de tous les sous-groupes possibles. D’après le raisonnement précédent, une manière simple de vérifier qu’un sous-ensemble d’un nombre fini d’éléments de est un sous-groupe est de construire sa table de multiplication et de s’assurer qu’elle ne contient que des éléments de la liste d’entrée. On dit qu’elle est fermée. Pour détecter tous les sous-groupes de on commence par en extraire les plus petits. Pour cela on introduit d’abord dans la liste d’entrée un petit nombre d’éléments (1, 2 ou 3). Ces éléments sont appelés éléments générateurs (ou opérations génératrices) de G. On construit la table de leurs produits. S’il y apparaît des éléments différents de ceux déjà inscrits dans la liste d’entrée on les ajoute à cette liste puis on reconstruit la nouvelle table. On recommence la même opération jusqu’à l’obtention d’une table fermée. Pour un choix quelconque des éléments générateurs, la liste d’entrée croît très rapidement sans que l’on parvienne à fermer la table. Ceci n’apparaît possible que pour certains choix très particuliers des éléments générateurs. L’ensemble des éléments générateurs d’un même sous-groupe n’est pas unique ; deux ensembles différents peuvent générer le même sous-groupe. Recherchons par exemple les sous-groupes G construits à partir d’une seule rotationréflexion R. Tout élément de G ne peut être que le produit de R plusieurs fois par lui même. Il est noté Ri (i entier). Comme la fermeture de la table de multiplication implique que l’identité E soit l’un de ces éléments, il doit exister un entier n tel que Rn = E. La table de multiplication a donc l’aspect suivant : … Ri … Rn=E R R2 R R2 R3 … Ri+1 … R : : : : : : : : : : : : : : Rn=E R R2 … Ri … E Chaque ligne est une permutation circulaire de la précédente. Un tel groupe est appelé groupe cyclique. L’entier n est aussi l’ordre du groupe : n = g. 1.3.3 Éléments conjugués et structure en classes Deux éléments R et R’d’un groupe G sont dits conjugués ou équivalents (on notera R’~ R) s’il existe un élément S de G tel que : R’ = S-1RS. Cette relation est réflexive (R ~ R car R-1RR = R). Elle est symétrique (si R’ = S-1RS, R = SR’S-1 = (S’)-1R’S’ avec S’ = S-1). Elle est transitive (si R’ = S-1RS et R’’ = T-1R’T, alors R’’ = T-1S-1RST = U-1RU avec U = ST). C’est donc une relation d’équivalence. La collection de tous les éléments conjugués entre eux forme une classe d’équivalence. L’ensemble des éléments du groupe peut ainsi être structuré en classes disjointes (si un élément était commun à deux classes il serait conjugué de tous les éléments des deux classes qui n’en formeraient donc plus qu’une seule). 3 1.3.5 Énumération des sous-groupes Certains éléments ne peuvent être conjugués avec aucun autre et forment chacun une classe. C’est le cas en particulier de tout élément R qui commute avec tous les éléments de G puisque dans ce cas tout élément conjugué s’écrit S-1RS = S-1SR = R. Voici quelques règles permettant de découvrir les éléments conjugués d’une rotationréflexion d’un groupe G extrait de : • Une rotation C(α) autour d’un axe C est conjuguée de la rotation C(-α) autour du même axe s’il existe dans G soit une rotation de π, C2’ , autour d’un axe perpendiculaire, soit une réflexion σv sur un miroir contenant C. • • • Les sous-groupes de sont construits à partir d’un petit nombre d’opérations génératrices bien choisies. On sépare ces sous-groupes en deux catégories. Ceux de la première sont engendrés par une rotation d’une fraction de 2π autour d’un axe, complétée par une ou deux autres opérations génératrices qui ne peuvent être que des réflexions σv ou σh ou une rotation de π, C2’ , autour d’un axe perpendiculaire au premier. Celui-ci est appelé axe principal de rotation et ces groupes sont appelés groupes simples. Les sous-groupes de la seconde catégorie contiennent, dans leurs opérations génératrices, au moins deux rotations autour de deux axes distincts faisant entre eux un angle différent de π/2. Ils sont appelés groupes spéciaux. Exercice : En utilisant les relations fondamentales (1.2,8 à 11) et (1.3,1 et 2), démontrer les relations de conjugaison σvC(α) σv = C(-α) et C2’ C(α) C2’ = C(-α). Une rotation C(α) autour d’un axe C est conjuguée de la rotation C’(α) autour d’un axe C’ s’il existe dans G une opération qui transforme l’axe C en l’axe C’. Les mêmes règles sont valables pour les rotations impropres. Exercice : en exploitant la commutativité de σh avec σv et C2’ , démontrer les relations de conjugaison σvS(α)σv =S(-α) et C2’S(α)C2’ = S(-α). Une réflexion sur un miroir σ est conjuguée d’une réflexion sur un miroir σ’ s’il existe dans le groupe G une opération qui transforme le plan σ en le plan σ’. 1.3.5.1 Groupes simples Ils sont séparés en trois familles suivant le nombre d’opérations génératrices : 1° Nous avons déjà énuméré les sous-groupes de engendrés par une seule opération génératrice. Ce sont les groupes cycliques Cs, Cn et S2p. Ils ont respectivement 2, n et 2p éléments et autant de classes puisque tout élément d’un groupe cyclique commute avec tous les autres et ne peut donc être conjugué que de lui-même. Pour n =1, le groupe C1 se réduit à la seule opération identité E. Pour p = 1, le groupe S2 ne contient que E et S(π) = i ; et est noté Ci. 2° À partir de deux opérations génératrices, on ne peut construire un sous-groupe simple de que si les orientations des éléments de symétrie sont très particulières. On peut ainsi associer à une rotation Cn soit un miroir σv contenant l’axe de rotation, soit un miroir σh perpendiculaire, soit leur produit c’est-à-dire une rotation C2’ de π autour d’un axe perpendiculaire à C. Chacun de ces trois couples donne naissance à une famille de groupes de symétries : Le groupe Dn est engendré par Cn et C2’ . Ce groupe contient les n opérations (Cn)i (i = 1 à n) ainsi que leurs produits par C2’ . On obtient ces produits en utilisant les relations fondamentales (1.2,8 à 11) et (1.3,1 et 2). En repérant la position de l’axe de C2’ par l’angle β qu’il fait avec une direction origine passant par C dans le plan perpendiculaire à C, ces produits peuvent s’écrire C(α)C2’ (β) avec α = 2kπ/n. Noter que les arguments de C2’ et de C ont des significations différentes : le premier précise la position de l’axe C2’ et le second l’angle de la rotation autour de C. En utilisant (1.2,9), il est facile de voir que la relation (1.3,2) se transcrit directement, par multiplication des deux membres par σh, sous la forme : C(α’) C2’(β) = C2’ (β + α’/2) (1.3,3) En choisissant pour axe d’origine de mesure des angles β celui de l’opération génératrice C2’ , en notant pour simplifier par C2’ (i) l’opération C2’ (iπ/n) et par Cnk l’opération C(2kπ/n), cette relation s’écrit : (1.3,4) Cnk C2’(i) = C2’(i + k) À partir de (1.3,1) au lieu de (1.3,2) on aurait obtenu la relation équivalente : C2’(i) Cnk= C2’(i – k) (1.3,5) Nous venons ainsi d’identifier 2n éléments de Dn : les n rotations autour de C, {Cnk}, et les n rotations de π autour des axes C2’ faisant entre eux des angles de π/n, {C2’ (i)}. Notons que 1.3.4 Produit direct de deux sous-groupes Soit GR et GS deux sous-groupes de • n’ayant que E en commun • tels que RS =SR pour tout R appartenant à GR et tout S appartenant à GS. L’ensemble des produits RS = SR contient le produit de deux quelconques de ses éléments ((RS)(R’S’) = (RR’)(SS’) avec (RR’) ∈ GR et (SS’) ∈ GS) et l’inverse de l’un quelconque de ses éléments ((RS)-1 = (SR)-1 = (R-1S-1) avec R-1 ∈ GR et S-1 ∈ GS). Il forme donc un sous-groupe de appelé produit direct de GR par GS et noté GR⊗GS. Dans l’énumération des sous-groupes de , certains apparaîtront comme des produits directs de deux autres. Les deux exemples les plus courants seront les sous-groupes GR⊗Cs et GR⊗Ci où Cs et Ci sont deux sous-groupes à deux éléments : E et σ pour Cs (voir paragraphe 1.3.2), E et i = S(π) pour Ci. Le sous-groupe GR ne doit contenir que des opérations qui commutent avec σ ou i ; il possède un axe principal autour duquel se font toutes ses rotations et qui doit être perpendiculaire au miroir σ que l’on note pour cette raison σh. Si GR est un sous-groupe d’ordre g, les sous-groupes GR⊗Cs et GR⊗Ci sont tous les deux d’ordre 2g. Ils sont constitués par les g opérations de GR et leurs produits σhR ou iR. Il est facile de vérifier que si l’ensemble {R} des éléments de GR peut être divisé en plusieurs classes, il en est de même de l’ensemble {σhR} ou {iR}. (si R’ est conjugué de R, σhR’ est conjugué de σhR et iR’ de iR). Le produit direct GR⊗Cs ouGR⊗Ci possède donc deux fois plus de classes que GR. 4 C2’ (i + n) = C2’ (i) et qu’il suffit de faire varier i de 1 à n pour obtenir toutes les opérations C2’. Il est facile de vérifier que le produit de deux opérations C2’ redonne une rotation autour de C. Il suffit de multiplier les deux membres de (1.2,11) deux fois par σh pour obtenir en effet : C2’(i) C2’(j) = Cn(i – j) (1.3,6) Le groupe Dn ne contient donc que ces 2n opérations qui peuvent être réparties en classes. La classe des opérations conjuguées de Cnk est constituée des opérations {R-1CnkR} où R est l’une des 2n opérations du groupe. D’après (1.2,1), les opérations R = Cn ne donnent naissance à aucune nouvelle opération conjuguée (Cn- Cnk Cn = Cnk). Par contre, les opérations C2’ (j) fournissent, d’après (1.3,4 à 6) : C2’ (j) Cnk C2’ (j) = Cn-k. Les deux rotations d’angles opposés se rassemblent donc dans la même classe, en accord avec la règle énoncée au paragraphe 1.3.3. La classe des opérations conjuguées de C2’(i) est constituée des opérations {R-1C2’(i)R}. À l’aide des expressions (1.3,4 à 6), on montre aisément que Cn-kC2’ (i)Cnk = C2’ (i – 2k) et que C2’(j) C2’(i) C2’ (j) = C2’ (2j – i). Lorsque k et j prennent toutes les valeurs entières, les deux ensembles d’opérations obtenus sont identiques (il suffit que j = i – k pour que l’opération j du deuxième coïncide avec l’opération k du premier). Il reste à savoir si cet ensemble unique, {C2’ (i – 2k), k∈[1, n]}, recouvre toutes les opérations C2’ du groupe. On peut pour cela séparer en deux parties cet ensemble de n éléments. Cette séparation sera différente suivant que n est pair ou impair : pour n pair, on choisit les deux parties suivantes : • p1 = {C2’(i – 2k), k∈[1, n/2]} et p2 = {C2’ (i – 2(n/2 + k)), k∈[1, n/2]} pour n impair, on choisit les deux parties suivantes : • p1’ = {C2’(i – 2k), k∈[1, (n – 1)/2]} et p2’ = {C2’(i – 2((n – 1)/2 + k)), k∈[1, (n + 1)/2]} En vertu de la relation de périodicité, C2’ (j) = C2’ (j + n), il est facile de voir que p2 est identique à p1 mais que p2’ = {C2’ (i + 1 – 2k), k∈[1, (n + 1)/2]} est différent de p1’. Dans le cas où n est pair, l’ensemble des éléments conjugués de C2’ (i) ne contient donc que n/2 éléments distincts. Les n/2 autres opérations C2’ sont les conjuguées de C2’ (i + 1) et forment une seconde classe. Dans le cas où n est impair au contraire, les n opérations C2’ se retrouvent soit dans p1’, soit dans p2’ et se rassemblent donc toutes en une seule classe. Exercice : Dessiner les axes C2’ des groupes D3 et D4 en indiquant ceux qui appartiennent à Pour n pair, le groupe contient l’opération σhCnn/2 = S(π) = i et il peut aussi être décrit comme le produit direct Cn⊗Ci. On écrit alors ses n dernières opérations dans un ordre différent : iCn0 = i, iCn1, iCn2, … au lieu de σhCn0 = σh, σhCn1, σhCn2, …Il s’agit naturellement des mêmes opérations. 3° À partir de trois opérations génératrices, on peut construire deux nouveaux groupes simples. Le groupe Dnh est engendré par les trois opérations Cn, C2’ , σh. Il peut être décrit comme le produit direct Dn⊗Cs et, quand n est pair, comme Dn⊗Ci. Il contient donc deux fois plus d’opérations que Dn soit 4n. Noter que les produits de σh par C2’ (i) sont des miroirs σv(i) (voir l’équation (1.2,8)). Comme pour Dn, le regroupement des opérations en classes dépend de la parité de n. Il y a deux fois plus de classes que dans Dn. Le groupe Dnd est engendré par les trois opérations Cn, C2’ , σd. Cette dernière opération est un miroir vertical qui ne peut contenir l’un des axes C2’ (i) sinon le groupe contiendrait le produit C2’ (i)σv(i) = σh (voir l’équation (1.3,10)) et serait donc le groupe Dnh. Pour engendrer un nouveau groupe, σd est un miroir vertical dont la trace horizontale est bissectrice de l’angle entre deux C2’ successifs. Le miroir compris entre les axes C2’ (i) et C2’(i + 1) peut être repéré par l’angle (i + i +1)π/2n = (i + ½)π/n et peut être noté σv(i + ½). Le groupe contient donc les 2n opérations de Dn, les n produits des Cnk par le σd générateur c’est-à-dire les n miroirs {σv(i + ½), i ∈ [1, n]} et enfin les produits des C2’ (j) par les σv(i + ½). On obtient ces produits à l’aide des relations fondamentales : D’après (1.2,9) C2’(j) = σv(jπ/n) σh D’où σv((i + ½)π/n) C2’(j) = σv((i + ½)π/n) σv(jπ/n) σh Soit, d’après (1.2,11) σv((i + ½)π/n) C2’(j) = C((2i – 2j + 1)π/n) σh = S2n2i – 2j + 1 (1.3,7) Ces n nouvelles opérations sont donc les puissances impaires des rotations impropres d’ordre 2n (d’angle π/n). L’existence des axes C2’ (ou des miroirs σd) implique que les rotations impropres d’angles opposés appartiennent à la même classe. Noter de plus que tous les axes C2’ appartiennent à la même classe, que n soit pair ou impair, car les miroirs σd les transforment les uns dans les autres. Pour des raisons analogues, tous les miroirs σd sont conjugués grâce à l’existence des C2’. Le groupe Cnv est engendré par les deux opérations génératrices Cn et σv. Il se décrit exactement de la même façon que Dn en substituant les miroirs σv(i) aux axes C2’ (i). Le groupe Cnh est engendré par les deux opérations Cn et σh (miroir perpendiculaire à l’axe C). Il peut toujours être décrit comme le produit direct Cn⊗Cs. Il contient donc 2n opérations : {Cni} et {σhCni}. Ces dernières sont toujours notées sous la forme d’une puissance impaire de Sn = σhCn. En effet, si i est impair, Sni = σhCni et, si i est pair, on peut toujours exprimer Cni sous la forme d’une puissance impaire d’une rotation en écrivant Cni = Cn(i + n) si n est impair ou Cni = Cn/2i/2 si n est paire, ou toute combinaison de ces deux changement d’écriture permettant d’obtenir une puissance impaire. Exercice : Écrire les 2n opérations des groupes Cnh pour n = 3 et n = 6. 1.3.5.2 Les groupes spéciaux Ces groupes sont engendrés par des opérations génératrices dont les éléments de symétrie font entre eux des angles différents de 0 ou π/2. On montre que la seule possibilité pour construire un sous-groupe fini est de choisir les éléments de symétrie de ces opérations génératrices parmi ceux des cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre (4 faces triangulaires), le cube (6 faces carrées), l’octaèdre (8 faces triangulaires) le dodécaèdre (12 faces pentagonales) et l’icosaèdre (20 faces triangulaires). Le groupe T (ou groupe du tétraèdre) est engendré par deux opérations qui peuvent être par exemple deux rotations de 2π/3 autour de deux des axes de symétrie d’un tétraèdre régulier. La figure 1.4 fait apparaître ces deux axes comme deux grandes diagonales du cube dans lequel on peut inscrire le tétraèdre. On choisit par exemple pour opérations la même classe. 5 L’opération résultante laisse 2 inchangé et change 1 en 4, 4 en 3 et 3 en 1. C’est une rotation de 2π/3 autour d’une troisième grande diagonale du cube, non représentée sur la figure et passant par le sommet 2. Si l’on nomme cette rotation C3’’, ce résultat s’écrit : C3 C3’ = C3’’. Il est facile de voir qu’une rotation de 2π/3 comme C3 transforme un axe comme C3’ en un autre axe comme C3’’ et que, par conséquent, les quatre rotations de 2π/3 autour des quatre grandes diagonales du cube appartiennent à la même classe. Les quatre rotations d’angle opposé autour des mêmes axes forment une deuxième classe distincte de la première car il n’existe pas de miroir contenant l’un de ces axes ou de rotation de π autour d’un axe perpendiculaire. Les trois opérations C2 autour des axes passant par le milieu des faces du cube ou le milieu des arêtes du tétraèdre appartiennent à la même classe car les rotations C3 transforment ces axes les uns dans les autres (C3 par exemple change le milieu de (3, 4) en le milieu de (2, 3)) Le groupe T a donc finalement 12 opérations rassemblées en quatre classes : E, 4C3, 4C3-1, 3C2. Le groupe Th est engendré par exemple par les mêmes opérations C3 et C3’ auxquelles on ajoute un miroir σh comme celui qui est symbolisé sur la figure 3. Ce groupe contient naturellement les mêmes opérations que T et la symétrie centre i = S(π) = σhC2. Il peut être décrit comme le produit direct T⊗Ci. Il a donc 24 opérations Le groupe Td est engendré par les mêmes opérations C3 et C3’ auxquelles on ajoute un miroir σd comme celui qui est symbolisé sur la figure 3. C’est un miroir qui contient l’axe C2 et l’arête (3, 4) du tétraèdre. Il autorise à rassembler dans la même classe les rotations de 2π/3 de sens opposé, donc finalement toutes les opérations C3. Il génère en plus 12 nouvelles opérations : les 6 miroirs σd équivalents, contenant chacune des 6 arêtes du tétraèdres et 6 rotations impropres S4 (voir l’équation (1.3,7), résultant de la multiplication de σd par une rotation de π autour d’un axe C’2 perpendiculaire à l’axe C2 contenu dans σd (par exemple l’axe passant par le milieu de (3, 2) sur la figure1.4). Le groupe O, ou groupe de l’octaèdre, est engendré par exemple par deux rotations de π/2 autour de deux axes de symétrie d’un octaèdre régulier. Sur la figure 1.5, ces deux axes C4 et C4’ sont ceux qui joignent les centres de deux faces opposées du cube dans lequel on peut inscrire l’octaèdre. Chacune de ces rotations génère trois autres rotations multiples de π/2 autour du même axe et l’identité E. En multipliant ces opérations entre elles, on obtient à la fois les rotations de π/2 autour du troisième axe C4’’ équivalent des deux premiers, les rotations de 2π/3, C3, autour des grandes diagonales du cube, et des rotations de π, C2, autour des axes joignant les milieux de deux arêtes opposées du cube. On peut obtenir ces résultats en procédant comme précédemment . On numérote les six sommets de l’octaèdre et on obtient par exemple : génératrices les deux rotations C3 et C3’ dans les sens des flèches indiquées sur la figure. En multipliant entre elles ces opérations on obtient les deux autres opérations C32 et C33 = E pour chacun des axes, les mêmes rotations de 2π/3 autour des deux autres diagonales du cube ainsi que deux rotations de π autour des 3 axes C2 passant par les centres des faces opposées du cube. 1 2 σh 4 3 σd C2 C3’ C3 Figure 1.4 Pour obtenir le résultat d’un produit de deux opérations, il est commode de numéroter les quatre sommets du tétraèdre et de noter l’effet produit par chacune d’elles sur l’ensemble (1, 2, 3, 4). L’effet résultant de deux opérations successives se lit alors facilement. Par exemple, le produit des opérations C3 puis C3’ indiquées sur la figure 1.4 s’obtient comme suit : C C, (1, 2, 3, 4) 3 → (1, 4, 2, 3) 3 → (2, 1, 4, 3) L’opération résultante échange les deux sommets 1 et 2 ainsi que les deux sommets 3 et 4. C’est une rotation de π autour de l’axe C2 indiqué sur la figure : C3’ C3 = C2. Si on choisit pour seconde opération du produit la rotation en sens contraire autour du même axe C3’ , on génère une autre opération du groupe : C C C' 4 4 (1, 2, 3, 4, 5, 6) → (2, 4, 3, 5, 1, 6) → (2, 6, 4, 5, 3, 1) L’opération résultante fait subir une permutation circulaire aux trois sommets du triangle (1, 2, 6) ainsi qu’à ceux du triangle (3, 4, 5). C’est une rotation de 2π/3 autour de l’axe C3 indiqué sur la figure 1.5. On peut donc écrire : C4’ C4 = C3. Exercice : Montrer, en utilisant la même méthode, que C4-1 C4’ C4 = C4’’ (où l’axe C4’’ est celui qui joint les sommets 1 et 4) et que C4’2 C4 = C2. C, −1 3→ (4, 2, 1, 3) (1, 2, 3, 4) 3 → (1, 4, 2, 3) 6 contenant cet axe qui la laissent aussi inchangée. Elle ne peut donc appartenir qu’à l’un des groupes C∞v ou D∞h. Elle appartient au premier si elle n’a pas de centre de symétrie (molécule AB) et au second si elle en possède un (molécule AA). La présence de l’axe C2 perpendiculaire à l’un des axes C4 assure que les rotations d’angles opposés autour de C4 appartiennent à la même classe. Le groupe O contient finalement 24 opérations rassemblées en 5 classes : E, 6C4, 3C42, 8C3, 6C2. 1.4 Les groupes ponctuels d’un cristal périodique 3 Un cristal périodique est un objet infini qui reste invariant par un groupe de transformations qui inclut rotations-rélexions et translations. Ce groupe est appelé groupe spatial et n’est pas l’objet de ce cours, limité à l’étude des groupes ponctuels. On sait cependant qu’un tel cristal peut être engendré par un ensemble de translations dans les trois directions de l’espace d’un objet de dimensions finies qu’on appelle maille du cristal. La maille élémentaire est la plus petite qui permet d’engendrer le cristal. Il existe en fait plusieurs formes possibles de mailles élémentaires, toutes occupant le même volume. L’une d’elle a la propriété de rester invariante par toutes les rotations-réflexions qui laissent le cristal complet inchangé. On l’appelle cellule de Wigner Seitz. Le groupe ponctuel du cristal est le groupe d’invariance de cet objet de dimensions finies. Cet objet possède la propriété caractéristique d’une maille élémentaire de permettre le pavage exact de tout l’espace par un ensemble de translations. À cause de cette propriété, certains des sousgroupes de précédemment décrits ne peuvent constituer des groupes d’invariance de cet objet. Il n’en existe que 32. On peut en effet montrer simplement que cette maille ne peut posséder pour axe de rotation que des axes d’ordre 1, 2, 3, 4 ou 6. La symétrie d’ordre 5 est interdite pour une maille élémentaire d’un réseau strictement périodique. Supposons en effet que B’ par le centre A d’une maille B élémentaire passe un axe de rotation C d’angle α, perpendiculaire au plan de la figure 1.6. Il en passe nécessairement un autre, C’, par le point A’, translaté de A par une translation a du α -α a réseau. Les points A et A’ sont équivalents pour le A’ A réseau qui reste inchangé par la translation a . Puisqu’il Figure 1.6 reste également inchangé par la rotation C(α) qui transforme A’ en B, le point B est aussi équivalent à A et à A’. Il en est de même du point B’, transformé de A par la rotation C’(-α) autour d’un axe passant par A’. Puisque la droite BB’ est parallèle à AA’, l’opération du groupe spatial qui permet de transformer B en B’ est nécessairement une translation k a du réseau (k entier). Comme le 4 σh 2 5 C4’ 1 C2 6 C4 C3 Figure 1.5 Le groupe Oh est engendré par les mêmes opérations génératrices C4 et C4’ auxquelles on ajoute un miroir σh comme celui qui est symbolisé sur la figure 1.5. Il contient la symétrie centre i = S(π) = σhC2. et peut être décrit comme le produit direct O⊗Ci. Il a donc 48 opérations. Pour terminer cette énumération, il faut signaler qu’il est possible de construire des sous-groupes de à partir des rotations particulières laissant inchangé l’icosaèdre ou le dodécaèdre (les symétries du premier se retrouvant dans le second). On forme ainsi les groupes I et Ih = I ⊗ Ci mais on ne connaît pas de molécule réelle représentant ces groupes. 1.3.5.3 Les groupes ponctuels continus À la limite où l’ordre n de l’axe principal Cn des groupes Cn, Dn, Cnv, Cnh, Dnh tend vers l’infini, le nombre d’opérations du groupe tend vers l’infini et forme une ou plusieurs familles continue de rotations-réflexions. Ces groupes sont notés de la même façon en remplaçant n par ∞. Toute molécule linéaire de taille finie est effectivement inchangée par toute rotation autour de son axe mais elle possède simultanément une infinité de miroirs 7 vecteur BB's’exprime simplement en fonction de AA'et de α, cette dernière condition s’écrit : BB'= ka AA' (1 − 2 cos α ) = ka ou soit cosα = (1 – k)/2 Les seules valeurs possibles pour k, donnant au cosinus des valeurs comprises entre –1 et 1, sont donc limitées à celles du tableau suivant qui indique les valeurs résultantes de α = 2π/n et de n : k 3 2 1 0 –1 –1 –1/2 0 1/2 1 cosα 2π/3 π/2 π/3 2π α π n 2 3 4 6 1 Lorsque l’on ne retient, parmi les groupes énumérés au paragraphe précédent, que ceux dont les opérations Cn et Sn ont pour ordre n = 1, 2, 3, 4 ou 6, il ne subsiste que les suivants : C1, C2, C3, C4, C6 ; C1h = Cs, C2h, C3h, C4h, C6h ; C2v, C3v, C4v, C6v ; D2, D3, D4, D6 ; D2h, D3h, D4h, D6h ; D2d, D3d (D4d et D6d possède des rotations impropres d’ordre 8 et 12 et sont exclus) ; S2 = Ci, S4, S6 ; T, Td, Th ; O, Oh. Il existe donc bien au total 32 groupes ponctuels pour les cristaux périodiques. 8