Arithmétique : exercices supplémentaires

M2 NA
Année 2016/2017
Arithmétique : exercices supplémentaires
Exercice 1. Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justier.
1. Tout multiple de 3 est multiple de 9.
2. Un nombre divisible par 4 est divisible par 2.
3. Un nombre divisible par 2 est divisible par 4.
4. Tout nombre divisible par 12 est divisible par 24.
5. Tous les nombres premiers sont impairs.
6. La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
Un nombre à trois chires a 4 pour chire
des centaines. Ce nombre est 26 fois plus grand que le nombre à 2 chires
obtenu en enlevant le chire des centaines. Trouver ce nombre.
Exercice 2 (Marseille 1999).
Des billes doivent être partagées entre deux
enfants de telle sorte que le produit du nombre de billes attribuées au premier
par le nombre de billes attribuées au second soit égal à 285. Quels sont tous
les résultats possibles du partage ? Expliquez.
Exercice 3 (Amiens 2001).
Dans un jeu, une cagnotte d'un montant
exprimé par un nombre entier inférieur à 4 000 e est partagée entre les
gagnants. Chacun reçoit 129 e. Il reste 28 e dans la cagnotte. Quel est le
montant maximal de la cagnotte ? Expliquez votre démarche.
Exercice 4 (Amiens 2001).
Une boîte de chocolats contient moins
de 100 chocolats. En répartissant les chocolats en tas de deux, ou en tas de
trois, ou en tas de quatre, il en reste un à chaque fois, mais en les répartisant
en tas de cinq, il n'en reste pas. Combien peut-il y avoir de chocolats dans
la boîte ? Justier.
Exercice 5. (CRPE 2008 et 1994)
Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles.
Si l'on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7 il en reste toujours 2. Sachant que
le nombre de bouteilles est compris entre 1500 et 1600, déterminer le nombre
de bouteilles reçues.
Exercice 6 (Lyon 2002).
Répondre par vrai ou faux aux armations
suivantes en justiant les réponses.
1. Si a est un nombre entier pair alors a2 est aussi un nombre entier pair.
2. a et q sont deux nombres entiers naturels. L'égalité a = 13q + 18 montre
que q est le quotient euclidien de a par 13.
3. Si le nombre à quatre chires 8b76 est un multiple de trois alors le nombre
b est un multiple de 3.
Exercice 7 (Marseille 2005).
Exercice 8.
Tous les raisonnements et calculs devront être clairement ex-
plicités.
1. Trouver l'écriture chirée du nombre 1 + 3 + 32 + 34 + 36 en base trois.
2. Trouver l'écriture de ce même nombre en base neuf.
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3. Trouver l'écriture chirée du nombre 5 × (5 × (5 × (5 + 4) + 3) + 2) + 1 en
base cinq.
4. Pour écrire un nombre dans la base seize, on utilise les chires 0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 A B C D E F. Trouver l'écriture chirée du nombre (43 − 1) × (43 + 1)
en base seize.
On veut paver un rectangle avec des dalles carrées toutes exactement superposables, les plus grandes possibles, et de dimensions entières
(en cm). Combien devra mesurer le côté de chaque dalle si le rectangle a
pour dimensions :
a) 42 cm sur 98 cm ?
b) 462 cm sur 165 cm ?
c) 176 cm sur 315 cm ?
Exercice 9.
Exercice 10 (Rennes 2002).
1. Le reste de la division euclidienne d'un entier naturel n par 3 est 1. Quel
est le reste de la division euclidienne par 3 de l'entier précédent n ? De l'entier
suivant n ?
2. Démontrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est toujours
divisible par 3.
3. La somme des carrés de trois entiers naturels consécutifs est-elle divisible
par 3 ? Justier la réponse.
Les nombres dont il est question sont écrits
en système décimal de position.
1. Montrez que les nombres qui s'écrivent aaa, où a est un chire, sont
divisibles par 37.
2. Déduisez-en que tous les nombres de la forme aaabbb, où a et b sont des
chires, sont aussi divisibles par 37.
Exercice 11 (CRPE 2003).
Exercice 12 (d'après CRPE 2004). Un nombre s'écrit en système décimal
de position sous la forme a97b où a et b sont des chires.
1. Donner toutes les valeurs possibles pour a et b sachant que la somme des
chires de ce nombre est égale à 29.
2. Donner toutes les valeurs possibles pour a et b si on sait, de plus, que le
produit des chires de ce nombre est égal à 2268.
Exercice 13 (Lyon 2005).
1. Combien y a-t-il de nombres, écrits en système décimal de position, avec
deux chires ? Avec 3 chires ? Avec 4 chires ?
2. Parmi les nombres écrits avec 3 chires, combien y en a-t-il qui sont écrits
avec 3 chires identiques ? Combien y en a-t-il qui sont écrits avec 3 chires
diérents ?
3. Combien le nombre 72, 4116 × 1028 possède-t-il de chires ?
4. 9726 s'écrit avec moins de 55 chires. Dire, en justiant, si cette armation
est vraie ou fausse.
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