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L'étude des pertes énergétiques
sur une montagne russe
Lâché à plusieurs dizaines de mètres du sol, le train d'une montagne russe prend de la vitesse
et peut atteindre la centaine de kilomètres par heure ! Mais comment expliquer qu'en fin de
parcours, le train ai perdu autant de vitesse ?
Cette étude a été réalisé dans le cadre du TIPE (Travail d'initiative personnelle et encadrée) qui est
une sorte d'exposé à présenter lors des concours aux grandes écoles. Le thème était « Les Surfaces » et mon
sujet était « Les pertes énergétiques dues aux surfaces sur un train de montagnes russes ». Cette étude a été
présenté en juillet 2010 et j'ai décidé de la partager avec vous maintenant parce que je pense que ça peut
vous intéresser, j'ai ajouter des explications et des détails que j'avais évoqué à l'oral seulement.
Afin de mieux comprendre les phénomènes qui ralentissent le train, je vais m'intéresser à un
cas en particulier: Goliath à Walibi World aux Pays-Bas.
Le Choix du Sujet d'étude:
Goliath à Walibi World est une montagne russe de type « Megacoaster » du fabricant Intamin AG
(Suisse) dessinée par Ing.-Büro Stengel GmbH (Allemagne). Je l'ai choisi car l'attraction présente un
fonctionnement simple, c'est à dire que le train est hissé en haut du parcours à l'aide d'un câble et est ensuite
laissé entre les mains de la gravité. Le parcours de Goliath fait 1200m de long mais mon étude s'intéressera
principalement aux 140m suivant la montée par câble car elle présente de grandes variations de vitesse,
altitude et inclinaison par rapport à l'horizontale tout en étant en ligne droite (par d'inclinaison par rapport à
la verticale).
Ci-dessous une photo annotée avec les principales informations liées à cette première section du
parcours:
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.

1) Choix du modèle:
Avant tout, il faut déterminer quels sont les phénomènes qui influencent la vitesse du train le long du
parcours.
→Frottements Solides: dus au contact entre les Roues et les Rails et au niveau des Roulements à billes des
essieux des roues.
Schéma explicatif du phénomène de frottement solide:
Il s'agit donc d'une force qui s'oppose au mouvement de la roue et qui est due à la déformation solide
de la roue et/ou du rail (même chose au niveau des roulements à bille avec les billes et la surface de
roulement).
Dans notre cas:
–Poli-uréthane (roue) sur Acier (rail) Déformation quasi nulle→
–Roulements à billes (essieux) Déformation quasi nulle→
→On néglige donc ces frottements.
→Frottements Fluides: dus au contact du train avec l'air, en effet l'air est constitué de particules et ses
particules s'écoulent le long du train, mais cet écoulement ralenti le train. Pour déterminer quelle est la nature
du ralentissement du au fluide, on calcul un nombre sans dimension lié au système étudié:
–Nombre de Reynolds:
Re=forces d ' inertie
forces de viscosité =v⋅l
v: vitesse / l: largeur de la section frontale / υ : viscosité dynamique
Ce nombre représente l'influence des forces d'inertie (masse) par rapport à l'influence des forces de viscosité
(difficulté d'écoulement des particules du fluide). Par exemple, si votre objet n'est pas très lourd et se déplace
lentement dans l'huile, sa force d'inertie sera faible (ne va pas vite et n'est pas lourd) alors que sa force de
viscosité sera forte (l'huile s'écoule difficilement car plus visqueux), on aura donc un nombre de Reynolds
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.

faible.
Mais à quoi va nous servir ce nombre de Reynolds ?
Deux cas de figures sont possibles:
–Si Re < 1000: Alors l'écoulement est dit laminaire et la force de frottement qui en résulte est
donnée par la formule suivante:
f=−n⋅⋅ v
α: coefficient de frottement, n: densité de l'air, v: vitesse
On a donc une force proportionnelle à la vitesse du véhicule, et si on représente l'allure de l'écoulement:
→ Pas de Turbulences
–Si Re > 1000: Alors l'écoulement est dit turbulent et la force de frottement qui en résulte est
donnée par la formule suivante:
f=−⋅S⋅Cx⋅v
2⋅
v
ρ: masse volumique de l'air, Cx: Coefficient de traînée (explications plus tard), S: surface de la section
frontale.
Le train passe suffisamment vite pour que les particules ne parviennent pas à s'écouler simplement: une fois
le train passé, une dépression se créer derrière le wagon se qui a pour effet d'attirer les particules alentours qui
vont ainsi créer des turbulences. Ce phénomène va attirer le wagon vers l'arrière et le ralentir. Cet effet
s'ajoute à l'effet de ralentissement du au simple contact avec l'air. La force n'est plus proportionnelle à la
vitesse, mais à son carré ! Un schéma pour résumer tout ça:
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.

→ Turbulences
Dans notre cas, j'ai calculé le nombre de Reynolds pour notre système:
vitesse∈[ 20 km⋅h−1;105 km⋅h−1]⇒ Re∈[ 2,7⋅105;16,7⋅105]
Notre étude est donc largement dans le cas turbulent, nous allons donc prendre en compte la seconde
formule.
→ Mise en mouvement des roues: On s'intéresse à un dernier phénomène moins intuitif, il s'agit de l'énergie
dépenser à mettre en mouvement les roues. En effet, les roues ont une masse répartie sur un disque et afin de
les mettre en rotation il faut dépenser une certaine énergie. Voici rapidement les étapes de calculs qui
permettent de déterminer une « masse équivalente » qui sera légèrement différente de la masse
gravitationnelle du train. Le rapport entre les deux masses apparaitra ensuite dans l'écriture du produit
fondamental de la dynamique.
Théorème du moment cinétique à la roue en son centre:
Jroue
r2⋅d2s dt2=−Rt , sol roue
Théorème de la résultante cinétique au chariot:
Méquivalente=Mgravité4⋅Jroue
r2
d2s
dt 2=Mgravité
Méquivalente
⋅g⋅sin 
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.

Comment déterminer les effets à conserver ?
→Modélisation à l'aide du logiciel Mathlab avec 1 chariot lâché sur le début de Goliath:
Graphique représentant la vitesse du train le long du début du parcours en fonction des phénomènes pris en compte.
En premier lieu, on peut analyser la courbe, on voit que le train accélère dans la descente puis ralentit dans la
montée, rien de choquant donc. Si on se penche plus précisément sur notre comparaison, on voit que l'effet le
plus marquant est le frottement fluide, on va donc parfaire notre modèle en ne prenant en compte que cet
effet.
•Modèle final:
Afin d'avoir un modèle réaliste et précis, je vais modélisé le train par 8 chariots à abscisses curvilignes
(distance parcourue depuis le début) indépendantes qui seront reliés par des ressort de grande constante de
raideur (méthode la plus simple pour modéliser ce genre de liaison). Les frottements fluides seront par
ailleurs appliqués uniquement au dernier wagon, en effet, les turbulences apparaissent à l'arrière des wagons et
le dernier est le seul qui a de l'espace libre derrière lui.
Rédigé par Timothée Forissier – Merci de citer Guide-O-Parc.com si vous utilisez cette présentation.