Modèle mathématique. - Collège Jean Jaurès de Saint Vit

Collège Jean Jaurès SAINT VIT
BREVET BLANC 3EME du Vendredi 17 mars 2017
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MATHÉMATIQUES
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Durée de l'épreuve : 2 heures
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 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
 L'usage de la calculatrice est autorisé.
Aucun prêt de matériel (calculatrice, compas, règle, équerre, rapporteur, …) n’est autorisé lors de
l’épreuve.
 Le sujet est composé de 7 exercices indépendants les uns des autres. Vous pouvez les traiter dans l’ordre
qui vous convient.
 L’épreuve est notée sur 60 points. Le soin, la qualité de la présentation et la rédaction entrent dans
l’annotation et l’appréciation des copies.
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Consignes : Utiliser des feuilles doubles (format 21x 29,7), ne pas indiquer vos nom, prénom et classe
sur chaque feuille mais uniquement votre numéro d’anonymat.
Toutes les réponses doivent être justifiées sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle
sera prise en compte dans la notation.
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Compétences du socle commun évaluées
Chercher
Modéliser
Représenter
Calculer
Raisonner
Communiquer
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1
niveau 1 : maîtrise insuffisante
niveau 2 : maîtrise fragile
niveau 3 : maîtrise satisfaisante
niveau 4 : très bonne maîtrise
Exercice n°1
Un panneau mural rectangulaire a pour dimensions 240 cm et 360 cm. On souhaite le
recouvrir avec des carreaux de forme carrée, tous de même taille, posés bord à bord sans
jointure et sans découpe.
1. Peut-on utiliser des carreaux de : 10 cm de côté ? 14 cm de côté ? 18 cm de côté ?
2. Quelles sont toutes les tailles possibles de carreaux comprises entre 10 et 20 cm
avec un nombre entier de cm pour recouvrir ce panneau ?
3. On choisit des carreaux de 15 cm de côté. On pose une rangée de carreaux bleus sur
le pourtour et des carreaux blancs ailleurs. Combien de carreaux bleus va-t-on
utiliser ?
Exercice n°2
Germaine souhaite réaliser un escalier pour monter à l’étage de son appartement.
Elle a besoin pour cela de connaître les dimensions du limon (planche dans laquelle viendront
se fixer les marches de cet escalier).
Elle réalise le croquis ci-dessous.
Remarque : Les longueurs DC et EA ne sont pas égales.
Sur ce croquis :
- Le limon est représenté par le quadrilatère ACDE.
- Les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
- Les points E, A et B sont alignés.
- Les points B, C et D sont alignés.
1. Prouver que ED = 450 cm.
2. Calculer les deux dimensions AC et AE de cette planche. Arrondir les résultats au
centimètre.
̂ ) ? Arrondir le
3. Calculer la mesure de l’angle que fait le limon avec le sol (l’angle 𝐷𝐸𝐵
résultat au degré.
2
Exercice n°3
Voici un programme de calcul :
Programme A :
1. Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme
résultat.
2. Compléter l’algorithme ci-dessous écrit avec le logiciel Scratch à partir du
programme A de calcul. Indiquer le numéro de la case et son contenu.
Case 1
Case 3
Case 2
Case 4
Case 6
Case 5
3. Proposer un autre algorithme équivalent, réduit à deux variables nombre1 et
nombre2.
4. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On
rappelle que les réponses doivent être justifiées.
Affirmation n°1 : Le programme A peut donner un résultat négatif.
Affirmation n°2 : Si on choisit
1
comme nombre de départ, le programme A donne
2
33
comme résultat.
4
3
Affirmation n°3 : Le programme A donne 0 comme résultat pour exactement deux
nombres.
Programme B
Affirmation n°4 : Quel que soit le nombre
que l’on choisit au départ, le programme B
ci-contre donnera toujours le même résultat
que le programme A.
- Choisir un nombre ;
- Retirer 8 ;
- Multiplier le résultat par le
nombre choisi au départ ;
- Ajouter 12.
Exercice n°4
Un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres est dit « parfait ».
Un diviseur propre d’un nombre entier est un diviseur autre que le nombre lui-même.
Par exemple, 496 est un nombre parfait. En effet 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 et 248 sont les
diviseurs propres de 496 et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
Montrer que 6 et 28 sont tous les deux des nombres parfaits et que 45 ne l’est pas.
Exercice n°5
Soient les fonctions f, g et h définies par :
f(x) = 6x
g(x) = 3x2 – 9x – 7
et
h(x) = 5x – 7.
A l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.
Elle a étiré vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2, B3 et B4.
1. Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de h(–2).
2. Ecrire les calculs montrant que : g(–3) = 47.
3. Faire une phrase avec le mot « antécédent » ou le mot « image » pour traduire
l’égalité g(–3) = 47.
4. Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4 ?
4
Exercice n°6
Pour aller de la Roche-sur-Yon à Angers, Marie prend sa voiture. Elle programme son GPS
qui lui conseille la route par l’autoroute A87, pour un trajet de 131 km.
A87
1. En utilisant les indications de temps donnés sur la carte, calculer la vitesse moyenne,
en km/h, de Marie sur ce trajet (arrondir à l’unité près), puis en m/s.
2. En mesurant sur la carte et en utilisant l’échelle indiquée, déterminer quelle est la
distance à vol d’oiseau entre les points de départ et d’arrivée de Marie.
3. Le pigeon voyageur peut se déplacer à la vitesse de pointe de 85 km/h. En
considérant qu’il peut maintenir cette vitesse sur tout le trajet, et qu’il part en
même temps que Marie, qui arrivera en premier ?
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Exercice n°7
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Madame Jean veut faire construire une piscine et l’entourer de dalles en bois sur une
largeur de 2 m.
● Information n°1 : Vue du dessus des modèles de piscines (les figures ne sont pas à
l’échelle).
● Information n°2 : Les dalles en bois
- Dalle carrée Jécoba en bois : côté 100 cm
- Référence : 628 051
- Quantité pour 1 m² : 1
- Epaisseur du produit (en mm) : 28
- Couleur : Naturel
- Prix indicatif : 13,90 € le m²
● Information n°3 : La promotion sur les dalles de bois
VENTE FLASH : 15 % de remise
Madame Jean choisit le modèle de piscine qui a la plus grande surface.
Quel prix paiera-t-elle pour ses dalles si elle profite de la vente flash ?
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