Licence STS – L1 SPM UE PHY1 Travaux dirigés d`optique 2014-2015
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Licence STS – L1 SPM UE PHY1 Travaux dirigés d’optique 2014-2015 Sommaire Préambule ............................................................................................................................... 4 I. Généralités sur la lumière ................................................................................................ 5 II. Lois de la réflexion et de la réfraction .......................................................................... 11 III. Dioptre plan et dioptre sphérique ................................................................................ 20 IV. Lentilles minces .......................................................................................................... 24 V. Miroirs .......................................................................................................................... 30 VI. Systèmes optiques ....................................................................................................... 35 Sujets d’examens 2012-2013 et 2013-2014 ......................................................................... 38 Annexe 1 : Système d’unités ................................................................................................ 45 Annexe 2 : Multiples et sous-multiples des unités SI .......................................................... 48 3 Préambule Ce fascicule est un support aux séances de travaux dirigés d’optique. Il contient les textes d’exercices répartis en 6 séries, les sujets d’examen de l’an passé, ainsi que des annexes sur le système d’unités international et la notion d’analyse dimensionnelle. • Certains textes d’exercices sont en fait des parties du cours traitées sous forme de TD. Les résultats obtenus seront à savoir, au même titre que les notions et formules vues pendant les séances de cours magistral. • Certains exercices seront à traiter en dehors des séances de TD. Les corrigés de ces exercices seront accessibles en ligne une semaine après la séance de TD correspondante. Voir http://www.physique.univ-rennes1.fr/l1 et choisir la rubrique Optique. Ce recueil est le fruit d’un travail d’équipe sur de nombreuses années. Les énoncés ont été rédigés pour la plupart par MM. Alain Le Comte et Jean-Paul Taché, aujourd’hui à la retraite. Les ajouts et modifications récents ont été faits par les équipes pédagogiques récentes. Cette année, l’équipe est constituée de : SPM 1 : Philippe Nouet, SPM 2 : Gabriel Delhaye, SPM 3 : Julien Fade, SPM 4 : Noé Ortega, SPM 5 : Christophe Cappe, SPM 6 : Marc Brunel, SPM 7 : Soraya Ababou-Girard & Nicolas David, MIEE 1 : Guy Ropars, MIEE 2 : Sophie Carles, MIEE 3 : Marco Romanelli, MIEE 4 : Ayman Hallal, MIEE 5 : Alexandra Junay & Céline Gouldieff MIEE 6 : Soraya Ababou-Girard, Quelques énoncés sont extraits de : - Physique 3-Ondes, optique et physique moderne, D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, (Dunod, 2004), ou - Physique tout en un, Collection j'intègre, Dir. B. Salamito, S. Cardini, D. Jurine, M.-N Sanz (Dunod 2013). 4 I. Généralités sur la lumière Dans cette première série d’exercices, on aborde des notions liées aux ondes lumineuses telles que la longueur d’onde, la fréquence, la célérité, l’indice de réfraction d’un milieu matériel, la puissance et l’intensité lumineuse. 1. Le système international d’unités (SI) est le système d’unités de mesures légales françaises depuis 1962. La valeur d’une grandeur physique peut s’exprimer sous différentes formes utilisant les multiples et les sous-multiples des unités SI qui sont formés au moyen de préfixes (voir tableau en annexe). Toutes les longueurs d’ondes sont données dans le vide. 1. La longueur d’onde du rayonnement infrarouge utilisé dans les télécommunications optiques étant λ = 1,553 µm, l’exprimer en mm et nm. Calculer la fréquence de ce rayonnement. Exprimer cette fréquence en Hz, puis en THz et en PHz. 2. Un laser émettant des impulsions lumineuses d’une durée τ = 95 fs, donner τ en s et en ps. 3. Le champ électrique associé à un faisceau laser utilisé en ophtalmologie vaut : E0 = 6,6 107 V/m. L’exprimer en MV/cm. 4. Soit une lumière de couleur bleue de longueur d’onde λ = 0,488 µm. Exprimer λ en nm, calculer sa fréquence ν et l’exprimer en THz. 2. 1. 2. La pleine lune est visible grâce à la réflexion de la lumière du soleil. Combien de temps s’écoule-t-il entre l’instant où la lumière quitte le soleil et celui où vos yeux l’interceptent ? La distance entre la Terre et la Lune est de 3,8 105 km, et celle entre la Terre et le soleil est de 1,5 108 km. La distance minimale entre la Terre et Mars est de 56 millions de km. Combien de temps mettent alors les ondes radio émises par le rover Curiosity pour nous parvenir ? 3. 1) 2) 3) Calculer la vitesse v de propagation de la lumière dans l’alcool éthylique dont l’indice de réfraction est n = 1,36. La vitesse de la lumière dans la glace étant de v = 2,29.105 km.s–1, déduire la valeur de l’indice de réfraction de la glace. Calculer la longueur d’onde dans le verre (nverre = 1,49) d’une lumière dont la longueur d’onde dans l’eau (neau = 1,33) est égale à 440 nm. Calculer la fréquence de cette lumière. Quelle est sa couleur ? 4. Un faisceau lumineux cylindrique, de section droite S = 1,0 cm2, de longueur d’onde λ = 0,532 nm et de puissance P = 10 W, éclaire perpendiculairement un écran. 1) 2) Calculer l’intensité de la tache lumineuse sur l’écran. Calculer le nombre N de photons arrivant chaque seconde sur l’écran. 5 5. Sécurité oculaire 1) L'œil humain est un détecteur très sensible. A une longueur d’onde λ = 550 nm, l’œil peut voir un flux lumineux N de 100 photons par seconde. Quelle est la puissance lumineuse correspondante ? 2) Un laser hélium-néon (λ = 633 nm) émet un faisceau dont la puissance est 1 mW. Le faisceau a une divergence θ = 0,4 mrad. Déterminer le flux lumineux reçu par une surface égale à celle de la pupille de l’œil (diamètre 6 mm) à une distance de 1 km. 3) A quelle distance la vision directe de ce laser vous paraîtrait-elle aussi "lumineuse" que le soleil, sachant qu'au niveau du sol, lors d'une journée ensoleillée, l’éclairement énergétique solaire Is est d'environ 9×102 W.m–2 ? (il est déconseillé de tenter l'expérience !) 6. En 1927, pour mesurer la vitesse de la lumière, Michelson réalisa, en Californie, l’expérience schématisée ci-dessous. Observateur Miroir plan fixe Miroir rotatif à 8 faces ω Source de lumière D = 35,410 km Mont San Antonio Mont Wilson La fréquence de rotation minimale du miroir à huit faces qui permettait à l’observateur de percevoir la lumière issue de la source lumineuse était ν = 529,15 Hz. En déduire la valeur de la vitesse de la lumière obtenue par Michelson. 6 7. La mesure, à l’aide d’un spectromètre (cf.TP1), de la longueur d’onde λ de la lumière rouge émise par l’atome de cadmium donne : λ = 643,8 ± 0,3 nm. Calculer la fréquence ν de cette lumière puis déterminer l’incertitude Δν sur cette fréquence. On donne c = 299 792 458 m.s –1 (valeur exacte, fixée en 1983). Source OSRAM 8. Représentation mathématique d’une onde lumineuse monochromatique dans le vide On considère une onde électromagnétique monochromatique (de fréquence ν) se propageant dans le vide dans la direction (Oz). Le champ électrique de cette onde au point d’abscisse z et à l’instant t s’écrit : z ⎤ ⎡ E ( z, t ) = E0 cos ⎢ω (t − ) ⎥ , c ⎦ ⎣ où E0 est l’amplitude du champ électrique, ω = 2πν est la pulsation et c la célérité de l’onde. 1) On se place tout d’abord en un point fixe z = 0 et on étudie l’évolution temporelle de l’onde. Quelle est la période de E(t) ? Représenter E(t). 2) On fixe à présent t = t1 = 0 et on étudie l’évolution spatiale de l’onde. Quelle est la période de E(z) ? On appelle « longueur d’onde » et on note λ cette période spatiale. Représenter E(z). 3) Représenter E(z) aux temps t2 = T/2 et t3 = T. 4) Déduire des questions 1) et 2) une relation entre la longueur d’onde et la fréquence. 9. Onde lumineuse monochromatique dans un milieu matériel On reprend l’expression de l’exercice précédent en considérant que la vitesse de propagation c est v = : n z ⎤ ⎡ E ( z, t ) = E0 cos ⎢ω (t − ) ⎥ , v ⎦ ⎣ 1) On fixe t = 0 et on étudie l’évolution spatiale de l’onde. Quelle est la période de E(z) ? 7 2) En déduire la relation entre la longueur d’onde dans le milieu d’indice n et la longueur d’onde dans le vide (qu’on notera ici λ0). 3) De manière à visualiser le sens physique précédent relatif à la longueur d’onde, compléter au sein du schéma la vibration de l’onde se propageant dans un verre (supposé parfaitement transparent). λ0 λ0 λ= ? ? Propagation onde dans vide (λ0, ν) Propagation onde dans vide (λ0, ν) (verre d’indice n) Propagation onde dans verre (λ, ν) 10. Télémétrie Laser-Lune. Pour mesurer la distance Terre-Lune, on utilise un laser de longueur d’onde λ=532 nm et un réflecteur posé sur la Lune. Le laser fonctionne en régime pulsé, chaque impulsion a une durée τ =100 ns et une énergie E0 = 10 kJ. On schématise les impulsions délivrées par le laser sur le dessin ci-dessous : Puissance τ_ Temps 1) Sachant que l’on mesure par exemple une durée d’aller-retour de la lumière de Δt = 2,666 s, en déduire la distance Terre-Lune. 2) Le faisceau laser a une divergence θ = 0,1 mrad (demi-angle au sommet du cône de lumière). a. Calculer le diamètre de la tache lumineuse sur la lune. b. Déterminer, pour chaque impulsion, l’intensité lumineuse de cette tache. c. Le réflecteur situé sur la lune étant parfaitement réfléchissant et de diamètre 2 m, calculer la puissance lumineuse Pr réfléchie pour chaque impulsion. 3) L’énergie réfléchie par le réflecteur est recueillie sur Terre par un télescope. Sachant que cette énergie est, à chaque impulsion, de Er = 6.10–10 J, calculer, pour chaque impulsion, le rapport du nombre de photons reçus sur le nombre de photons émis. Conclure. 8 11. Lors d’une expérience, il est souvent difficile de déterminer l’incertitude sur le résultat à partir des incertitudes sur les divers paramètres expérimentaux. On procède alors à l’étude statistique d’une série de mesures pour déterminer le résultat de l’expérience et l’incertitude qui lui est attachée, comme va l’illustrer l’exemple suivant : A l’aide d’un spectromètre, on veut déterminer la longueur d’onde λ d’une lumière violette émise par l’atome de mercure. L’acquisition d’une série de dix mesures donne les résultats suivants : λ (nm) 1) 2) 3) 405,5 404,1 405,0 405,3 404,3 404,0 404,9 405,1 404,6 404,2 Calculer la valeur moyenne de cette distribution de mesures. Cette valeur sera considérée comme le résultat de l’expérience. Estimer l’incertitude en calculant la valeur absolue de l’écart entre la valeur moyenne et celui des résultats expérimentaux qui en est le plus éloigné. En déduire la valeur de λ et son incertitude associée Δλ. La méthode utilisée ici est grossière mais présente l’avantage de la simplicité. On peut utiliser des méthodes plus raffinées faisant appel au calcul statistique pour étudier un grand nombre de mesures. Pour illustration, calculer l’écart type σ de cette distribution (voir le TP Incertitudes). 12. La représentation graphique est une forme de présentation des résultats très utilisée en physique. Elle permet parfois d’obtenir des caractéristiques du dispositif étudié et peut se faire de diverses façons, en choisissant judicieusement les coordonnées, comme le montre l’exemple suivant : 1) A l’aide d’un spectroscope (cf. TP1), le pointé des différentes raies d’une lampe à hélium a donné les résultats suivants : D (mm) 0,9 λ (µm) 706 1,8 668 4,5 587 9,7 504 10,3 501 10,7 492 13 472 16,1 447 17,1 438 a) Tracer la courbe λ = f(D). Donner la longueur d’onde correspondant à D = 15 mm. b) On peut montrer que 1 !2 = aD + b , où a et b sont des constantes caractéristiques du spectroscope. - Donner les dimensions de a et b. - Tracer la courbe 1/λ2 = f(D). - En déduire les coefficients a et b. Donner de nouveau la longueur d’onde correspondant à D = 15 mm. - Conclure. 9 13. Calculs d’incertitudes dans le cas de fonctions à deux variables. 1) Lors d’une expérience d’optique, un écran est déplacé sur un banc de la position repérée par x1 = 948 mm à la position repérée par x2 = 1145 mm, l’incertitude sur chaque position étant Δx = 1 mm. a) Calculer le déplacement d = x2 – x1 de l’écran. b) Déterminer l’incertitude Δd sur le déplacement et écrire le résultat sous la forme d ± Δd. 2) Soit un faisceau lumineux de puissance P focalisé sur une surface circulaire de rayon r. On mesure P = 4,00 ± 0,02 W et r = 10,0 ± 0,1 µm. a) Calculer l’intensité lumineuse I puis l’incertitude ΔI. b) Ecrire le résultat en incluant l'incertitude. 10 II. Lois de la réflexion et de la réfraction 14. La figure ci-contre présente un rayon lumineux incident sur un système à deux miroirs A et B perpendiculaires. Tracer la marche de ce rayon lumineux après réflexion sur A, puis réflexion sur B. Trouver l’angle entre le rayon incident et le rayon sortant après les deux réflexions. 15. Lequel de ces trois dessins représente-t-il une réfraction physiquement possible ? 16. Une lame à faces planes et parallèles, d'épaisseur e et d'indice de réfraction n, est placée dans l'air dont on assimilera l'indice de réfraction à l'unité. Un rayon lumineux est incident sur une face de la lame en I. On notera respectivement i et r les angles d'incidence et de réfraction. 1) Ecrire la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction en I. Représenter de manière schématique le rayon réfracté en I en indiquant les angles i et r. I 2) Le rayon réfracté en I arrive sur l'autre face de la lame en J. On note respectivement r ' et i' les e angles d'incidence et de réfraction en J. Ecrire la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction en J. n Représenter le rayon qui émerge de la lame en J en indiquant les angles i' et r'. Que peut-on dire de la direction de ce rayon ? 3) On note K le projeté orthogonal de J sur le prolongement du rayon incident en I et on note δ la longueur du segment JK. Etablir l'expression de δ en fonction de e, i et r. Que 11 représente physiquement δ ? 4) Déterminer la valeur de δ lorsque le rayon incident arrive en I sous incidence normale puis sous incidence rasante (faire les schémas correspondants). 5) Démontrer que dans le cas de petits angles d’incidence i, ce décalage latéral est donné par : ⎛ n − 1⎞ x = e⎜ i ⎝ n ⎟⎠ 17. Principe du moindre temps A l'instant t = 0, un sauveteur S situé sur la plage (milieu 1) aperçoit un nageur N en train de se noyer dans la mer (milieu 2). On veut déterminer la position du point d’entrée I du sauveteur dans la mer pour que le trajet SIN soit effectué le plus rapidement, sachant que sa vitesse v2 dans la mer est différente de sa vitesse v1 sur la plage. l S a1 i1 1 I 2 x i2 a2 sable mer N 1. Déterminer, en fonction des vitesses v1 et v2 et des distances a1, a2, l et x définies sur la figure ci-contre, l’instant t où le sauveteur atteint le nageur. 2. Montrer que la durée du parcours SIN sera minimale si la relation suivante est vérifiée : sin i1 sin i 2 = v1 v2 3. Appelons c la vitesse maximale autorisée par les lois de la physique pour le sauveteur et n1 = c / v1 et n2 = c / v2 les « indices » des milieux 1 et 2. Montrer qu'un bon sauveteur doit suivre un trajet obéissant à une loi parfaitement similaire à la loi de la réfraction. 18. Un rayon lumineux arrive en incidence normale sur la face AB d’un prisme rectangle placé dans l’air. La lumière est constituée de deux ondes de longueurs d’ondes λ1 et λ2, pour lesquelles l’indice de réfraction du prisme vaut n1=1,73 et n2=1,75, respectivement. 55° Déterminer le parcours des deux rayons associés à λ1 et λ2 jusqu’à leur sortie du prisme. B 12 C A 19. On dépose sur la surface plane d'un demi-cylindre en verre (indice n=1,6) une goutte d'un liquide dont on veut mesurer l'indice n’. On envoie sur ce dispositif un rayon lumineux (voir figure). La plus petite valeur de l'angle d'incidence i qui donne une réflexion totale à la surface de séparation verreliquide est il = 50,5 °. 1- Tracez la marche du rayon lumineux. 2- Donnez l'expression de l'indice de réfraction du liquide, puis calculer sa valeur numérique. 3- Donner l’expression de l’incertitude !n' et de la précision fonction des incertitudes !n et !il . 20. !n' en n' Une cuve est remplie d'un liquide transparent et homogène d'indice de réfraction n. Le fond de I1 M2 cette cuve est un miroir plan horizontal M1. Un miroir plan M2 est placé au dessus du liquide air parallèlement à sa surface. Une source lumineuse S α ponctuelle S est placée dans le plan horizontal correspondant à la surface du liquide et est située à égale distance h des plans des miroirs M1 et M2. liquide M1 On considère un rayon lumineux issu de S faisant un angle α avec l'horizontale. On note I1 son point d'incidence sur le miroir M2. 1) Après réflexion sur M2, le rayon est incident en I2 sur la surface du liquide. Refaire la figure, tracer le trajet I1I2 et indiquer la valeur de l'angle d'incidence en I2. 2) En I2 la lumière pénètre dans le liquide puis se réfléchit sur le miroir M1 en I3. Ecrire la loi de Snell-Descartes relative à la réfraction en I2. Représenter la marche du rayon lumineux réfracté en I2 et réfléchi en I4. Après réflexion en I3, le rayon arrive de nouveau sur la surface du liquide en I4 d’où il en émerge. Après justification, indiquer la valeur de l'angle de réfraction en I4 ; que peut-on dire du rayon émergent en I4 et du rayon SI1 ? 21. Pour chacun des prismes ci-dessous : • tracer la marche du rayon jusqu’à sa sortie du prisme. L’indice du verre est n = 1,62 et le prisme est placé dans l’air d’indice égal à 1,00. • indiquer sur les figures la normale à chaque dioptre rencontré par le rayon, les angles d’incidence et de réfraction (ou de réflexion). Préciser les valeurs numériques de ces angles. 13 h h C 22. Fibre optique à saut d’indice Le guidage de la lumière peut être assuré par des fibres optiques. Une fibre optique est constituée d'un cylindre de verre (ou de plastique) appelé cœur, entouré d'une gaine transparente d'indice de réfraction plus faible. La gaine contribue non seulement aux propriétés mécaniques de la fibre mais évite aussi les fuites de lumière vers d'autres fibres en cas de contact. Actuellement, le diamètre du cœur d'une fibre varie de 3 à 200 µm selon ses propriétés et le diamètre extérieur de la gaine peut atteindre 400 µm. gaine n2 cœur n1 n0 i O z On considère une fibre optique constituée d'un cœur cylindrique de rayon a et d'indice n1 entouré d'une gaine d'indice n2 inférieur à n1 et de rayon b. Les faces d'entrée et de sortie sont perpendiculaires à l'axe du cylindre (Oz) formé par la fibre. L'ensemble, en particulier la face d'entrée, est en contact avec un milieu d'indice n0 qui sera pris égal à l'indice de l'air (n0 = 1) pour les applications numériques. 1. Un rayon lumineux arrive en O. On appelle i l'angle d'incidence sur la surface d'entrée de la fibre; Déterminer en fonction de n0, n1 et n2 la condition que doit satisfaire i pour que le rayon réfracté ait une propagation guidée dans le cœur. On appelle angle d'acceptance ia de la fibre la valeur maximale de i. Donner l'expression de ia. 2. On appelle ouverture numérique ON de la fibre la quantité ON= n0 sin ia. Exprimer ON en fonction de n1 et n2. Application numérique : calculer la valeur de ON pour n1=1,456 (silice) et n2= 1,410 (silicone). 3. On envoie dans la fibre un faisceau lumineux avec tous les angles d'incidence i compris entre 0 et ia. Calculer la différence δt entre la durée maximale et la durée minimale de propagation d'un bout à l'autre de cette fibre. On exprimera le résultat en fonction de la longueur L de la fibre, des indices n1 et n2 et de la vitesse de la lumière dans le vide c = 3.00×108 ms-1. Application numérique L = 1,00 km, donner la valeur de δt. 14 4. Le signal transporté par la fibre est constitué d'impulsions lumineuses d'une durée T1 à intervalles réguliers T. Quelle valeur minimale de T faut-il choisir pour que les impulsions soient distinctes à la sortie de la fibre? Proposer une définition de la bande passante en bits (ou nombre d'impulsions) par seconde. Comparer la valeur de la bande passante obtenue ici avec celle d’une conversation téléphonique (64 kbits par seconde) et celle de la télévision (100 Mbits par seconde). 23. Etude du prisme (préparation au TP Mesure d’indice) La figure suivante représente la marche d’un rayon lumineux monochromatique dans un plan de section principale d’un prisme, d’angle A et d’indice n, situé dans l’air. Afin que l’angle de déviation D du rayon incident soit positif, les angles sont orientés positivement dans le sens des aiguilles d’une montre. L’angle A du prisme étant un angle arithmétique, il est toujours positif. Dans ce qui suit, on ne va s'intéresser qu'aux rayons qui pénètrent dans le prisme par la face AB (face d'entrée) et qui en émergent par la face AC (face de sortie). A + N’ N i J I r i’ D r’ R’ S base B n C L'application des relations de Snell-Descartes pour la réfraction aux points I et J et des considérations géométriques permettent d'établir les formules du prisme : Réfraction en I : sin i = n sin r, réfraction en J : sin i' = n sin r' A = r' – r, et la déviation est D = i’ – i – A 1. Tracés de rayons particuliers Pour un prisme d’angle A = 60° et d’indice de réfraction n = 1,414 (on prendra n = 2 dans les calculs), calculer les valeurs prises par les différents angles puis tracer la marche des rayons lumineux dans les quatre cas suivants : a) i = – 90°, r = ……………., r'=…………………, i'=…………….., D= …………… b) i = – 45°, r = ……………., r'=…………………, i'=…………….., D= …………… c) i = – 21,5°, r = ……………., r'=…………………, i'=…………….., D= …………… d) i = –10°, r = ……………., r'=…………………, i'=…………….., D= …………… 15 A A A A Commentez les résultats obtenus. 2. Influence de l'angle d’incidence sur la déviation : La courbe de déviation D = i’ – i – A est représentée ci-dessous en fonction de l'angle d'incidence i. D Do Dm i − π /2 im io 0 Commentez cette courbe en vous aidant des tracés de rayons réalisés dans la question précédente. 16 3. Expression de l'indice du prisme et de son incertitude: On peut montrer qu'au minimum de déviation, on a im = – i’m. a) En déduire alors la relation entre les angles rm et r’m, valeurs de r et r’ correspondant à cet extremum. b) Ecrire l’expression de rm en fonction de A, puis celle de i’m en fonction de n et de A ; écrire alors l’expression de l’angle de déviation minimale Dm et retrouver que l’indice n du prisme en fonction de A et de Dm est donné par : ⎛ D +A⎞ sin ⎜ m ⎟ 2 ⎝ ⎠ = n(λ) n= ⎛A⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝2⎠ c) Exprimer les dérivées partielles de n par rapport à A et Dm et montrer que l’incertitude absolue Δn est donnée par : ∆! 1 ∆! = ! 2 tan ! 2 Application numérique : Sur un prisme, on mesure A = 69° 56’. Le minimum de déviation est déterminé à partir de deux lectures d'angles : la première correspond à la direction du faisceau incident θ1 = 236°12' et la seconde correspond à la direction du faisceau émergent θ2 = 184°49'. Calculer Dm puis n et Δn en considérant que ΔA = ΔD = 2’ = 6×10 – 4 radians (rad) 24. En appliquant la 3ème loi de Snell–Descartes : n sin i = n’ sin r, on peut déterminer le rapport des indices n en mesurant l’angle de réfraction r pour un angle d’incidence donné i. n! L’angle i étant parfaitement connu, et l’incertitude de mesure sur r étant notée Δr, déterminer l’équation donnant l’incertitude sur le rapport n . n! 17 25. Détecteur de pluie opto-électronique Les véhicules récents sont équipés de détecteurs de pluie permettant de contrôler la mise en route et la vitesse des balais d’essuie-glaces en fonction des conditions météorologiques. Ces détecteurs fonctionnement en général de façon optique, grâce à un émetteur LED infrarouge (λ=800 nm) et un détecteur (photodiode) placés en contact avec le verre du pare-brise (derrière le rétroviseur en général. Cet exercice vise à comprendre et modéliser le fonctionnement d’un tel système. On néglige les réflexions/réfractions au niveau des contacts Emetteur/pare-brise et Détecteur/pare-brise. a) Donner l’angle maximum αmax permettant le guidage du faisceau lumineux dans l’épaisseur du pare-brise (d=5 mm). b) Que se passe-t-il pour cet angle lorsque le point d’incidence du faisceau sur la surface extérieure du pare-brise est recouvert par une goutte d’eau (indice n=1,33) ? Expliquer le principe de fonctionnement du détecteur de pluie, et donner la valeur minimale αmin permettant ce fonctionnement. c) On souhaite que le détecteur sonde 4 positions sur la surface extérieure du pare-brise. Si le pare-brise est intégralement mouillé, évaluez la proportion de l’intensité initiale émise qui parvient finalement au détecteur si l’angle du faisceau initial est fixé αmax. Utilisez pour cela les données des courbes ci-dessous. Quel angle vous paraît-il plus raisonnable de choisir ? d) On fixe pour la suite α=30°. Calculez dans ces conditions l’encombrement de ce dispositif optique. 18 e) Sachant que le détecteur a une sensibilité minimale de Imin= 2,0 mW/cm2, calculer la puissance minimale de la LED requise pour garantir efficacement le contrôle de la vitesse des balais d’essuieglaces (arrêt + 4 vitesses). On supposera pour cela que toute la puissance optique de la LED est contenue dans le faisceau de diamètre 0,8 mm, et que la puissance optique à l’issue du montage est intégralement captée par toute la surface du détecteur. f) Indiquez les numéros correspondants aux différents éléments du schéma ci-dessous, qui représente le système de détection de pluie d’une Peugeot 406. LED optique de mise en forme du faisceau photodétecteur contrôle/électronique 19 pare-brise fixations goutte d’eau III. Dioptre plan et dioptre sphérique 26. Le dioptre plan dans l’approximation paraxiale Lorsque le rayon de courbure SC d’un dioptre sphérique tend vers l'infini, le dioptre sphérique peut être assimilé à un dioptre plan.. 1. A partir de la relation de conjugaison du dioptre sphérique, établir la relation de conjugaison de position du dioptre plan 2. Que vaut le grandissement transversal ? 3. Application : la figure ci-dessous montre un objet (trombone) observé à travers un masque de plongée. Sur la photo du haut, l’objet est dans l’air. Sur la photo du bas, l’objet est dans l’eau. Commenter, analyser, mesurer et expliquer cette observation (on prendra (nair ≈ 1 et neau ≈ 4/3). 20 27. Vous êtes au Grand Aquarium de Saint-Malo et vous embarquez à bord du Nautibus pour une plongée dans le bassin des tortues. Vous pouvez les admirer à travers un hublot sphérique sur le pont de votre vaisseau. L’une d’elles se rapproche à 2 m du hublot. A quelle distance du hublot, avez-vous l’impression de la voir ? Comparez la taille de cette image à la taille réelle de la tortue. Le rayon de courbure du hublot est de 30 cm. On négligera les effets liés à l’épaisseur de la paroi en verre du hublot et on supposera que votre œil est sur l’axe CA passant par le centre du hublot et la position A de la tortue (nair ≈ 1 et neau ≈ 4/3). 28. eau air C Nautibus Un baigneur est debout dans une piscine et le niveau d'eau lui arrive à la taille. Les yeux du baigneur sont situés à 1,70 m de ses pieds et la profondeur de la piscine à l’endroit où il se trouve est de 1,20 m (nair= 1 et neau= 1,33 ≅ 4/3). a) A quelle profondeur ses pieds lui apparaissent-ils ? b) Que se passe-t-il lorsque le baigneur se déplace vers une zone plus profonde, sa tête étant toujours hors de l'eau ? 29. Discuter la validité de l’approximation de Gauss dans les trois cas suivants : 30. On considère deux dioptres sphériques, l’un concave et l’autre convexe, séparant deux milieux, d’indices n = 1,5 et n’ = 1,0, et possédant le même rayon de courbure, de valeur absolue R = 200 mm. 1) Déterminer les positions des foyers principaux, objet F et image F’, de ces deux dioptres. 21 A 2) Devant chacun de ces deux dioptres, on place un objet réel AB à 1,0 m de distance de leur sommet S. a) Déterminer la position de l’image A’B’ de l’objet AB donnée par chacun des dioptres. b) Retrouver la position de ces images par un tracé de rayons. 31. Aberration chromatique 1) On considère un dioptre sphérique convexe, de rayon de courbure R = 250 mm, séparant l’air du verre. Ce dioptre est éclairé, dans les conditions de Gauss, par un faisceau parallèle à son axe et constitué d’une lumière rouge et d’une lumière bleue, de longueurs d’ondes respectives λR = 800 nm et λB = 400 nm. Le verre étant dispersif, les indices correspondant à ces deux couleurs sont respectivement nR =1,4 et nB =1,6. Calculer, pour chacune de ces deux couleurs, la position du foyer principal image F’ du dioptre. 2) Devant ce dioptre et à une distance de 1,0 m de son sommet S, on place un objet réel AB constitué d’une source lumineuse bichromatique émettant les deux lumières précédentes. Déterminer, par un tracé de rayons, la position des images, bleue et rouge, de cet objet. Conclure. 32. Un système optique est constitué d'une demi-sphère de verre, d'indice de réfraction n et de rayon R, placée dans l'air. Un rayon lumineux parallèle à l'axe optique à la distance h de cet axe, est incident sur la face plane en I. Le centre et le sommet de la face sphérique sont respectivement notés C et S (voir figure ci-dessous). 22 I h S C Après réfraction en I, le rayon lumineux est incident en J sur la face sphérique. On note i l'angle d'incidence en J. 1) Quelle condition doit satisfaire l'angle i pour qu'il y ait un rayon émergent en J ? En déduire la valeur maximale (notée hM) de la distance h permettant l'existence de ce rayon émergent. 2) On se place dans le cas où il existe un rayon émergent en J et on note r l'angle de réfraction en J. Ce rayon émergent coupe l'axe optique en un point K. En utilisant la relation des sinus (voir ci-dessous) établir l'expression de CK en fonction de R, i et r. 3) Si h est très petit devant R (h << R), comment peut-on qualifier le rayon incident en I et quelles approximations peut-on faire ? En déduire la nouvelle expression de CK et indiquer ce que représente, dans ces conditions, le point K pour le système optique. Rappel : dans un triangle, on peut écrire : A a B BC CA AB = = sin a sin b sin c c b 23 C IV. Lentilles minces 33. Démonstration de la relation de conjugaison d’une lentille mince. Soit une lentille taillée dans un verre d’indice n et placée dans l’air, ses dioptres d’entrée et de sortie étant sphériques. On considère un objet AB perpendiculaire à l’axe optique de cette lentille, A étant sur l’axe. Le dioptre d’entrée de la lentille donne de cet objet une image intermédiaire AiBi jouant le rôle d’objet pour le dioptre de sortie qui en donne une image A’B’, image finale de AB à travers la lentille. 1) Ecrire, pour chacun des dioptres, leurs relations de conjugaison de position et de grandissement transversal. 2) On suppose maintenant que cette lentille est mince, c’est-à-dire que les points S1 et S2 peuvent être confondus avec son centre optique O. En déduire la relation de conjugaison de position de la lentille mince ainsi que l’expression de son grandissement transversal γ. 3) Application numérique : Calculer la position des foyers principaux et les vergences V d’une lentille biconvexe et d’une lentille biconcave dont les rayons de courbure de leurs dioptres valent 200 mm et dont l’indice de leur verre est n = 1,50. 34. Soit une lentille mince de centre optique O, caractérisée par son indice de réfraction n et ses rayons de courbure R 1 = S1C1 et R 2 = S 2 C 2 . 1) Donner l'expression de la distance focale f ' en fonction de R1 et R2. 2) En déduire la nature (convergente ou divergente) des lentilles suivantes : 35. 24 Pour remplacer les lentilles ‘sphériques’ classiques, plusieurs fabricants étudient des lentilles à gradient d’indice, disques à faces planes et parallèles taillés dans un matériau dont l’indice de réfraction n’est pas uniforme. Pour réaliser, selon cette technique, une lentille convergente, faut-il une répartition d’indice à symétrie cylindrique telle que : (1) (2) (3) (4) L’indice croisse exponentiellement du centre vers les bords ? L’indice croisse linéairement du centre vers les bords ? L’indice varie périodiquement du centre vers les bords ? L’indice décroisse du centre vers les bords ? Expliquer votre raisonnement. 36. Construire les rayons émergents correspondant aux rayons figurés ci-dessous, les points sur l'axe étant les foyers principaux. 37. 1°) Montrer qu'une lentille mince convergente ne peut donner une image virtuelle d'un objet réel que si celui-ci est placé entre son centre optique et son foyer principal objet. 2°) Vérifier cette propriété par un tracé de rayons. 38. Montrer qu'une lentille mince divergente ne peut donner une image réelle que pour un objet virtuel placé entre son centre optique et son foyer principal objet. 39. 1) Construire l’image A’B’ de l’objet AB dans les huit cas donnés sur les 2 pages suivantes. 2) Préciser dans chacun des cas la nature de l’objet et celle de l’image ainsi que les valeurs du grandissement transversal γ. 25 B F F’ O A B F F’ O A F O A F’ B B F O F’ 26 A B O A F’ F A O F’ F B B O F’ F A B O F’ F 27 A 40. Une lentille mince de centre optique O, placée dans l'air, donne d'un objet ponctuel A sur l'axe, une image A'. Les mesures de p = OA et p' = OA' ont permis de dresser le tableau suivant : p (cm) -100,0 -50,0 -30,0 -10,0 5,0 15,0 25,0 50,0 100,0 p'(cm) -16,7 -14,3 -12,0 -6,7 6,7 60,0 -100,0 -33,3 -25,0 Tracer la courbe donnant 1 ⎛ 1 ⎞ = f⎜ ⎟ et indiquer les trois régions que l'on peut distinguer. OA' ⎝ OA ⎠ En déduire la nature de la lentille et sa vergence en dioptries (m–1). 41. Un système optique centré donne d’un objet réel AB une image réelle A’B’ située sur un écran perpendiculaire à l’axe du système. On intercale une lentille entre le système et l’écran et on obtient, sur l’écran qu’il a fallu reculer de d = 20 cm, une image deux fois plus grande (et de même sens). Déterminer la nature de la lentille ajoutée, sa position et sa distance focale image. 42. Détermination de la distance focale d’une lentille divergente (méthode de Badal) A partir d’un point source A placé sur l’axe d’une lentille mince convergente L1, de centre optique O1 et de distance focale image f1’, on forme un faisceau lumineux parallèle. Ce faisceau éclaire une lentille mince convergente L2, de centre optique O2, de distance focale image f2’, de même axe que L1 et telle que O1O 2 > O 2 F' 2 . Après traversée de ces deux lentilles, on obtient une image A’ de A sur un écran. 1°) Faire un schéma du montage et donner la valeur de O 2 A ' . 2°) On place une lentille mince divergente L, dont on cherche à mesurer la distance focale image f ’, dans le plan focal objet de L2. Pour obtenir la nouvelle image A’’ de A, il faut alors déplacer l’écran d’une distance Δ. Faire un schéma expliquant la formation de l’image A’’. 3°) En utilisant la formule de conjugaison de position de Newton, montrer que : f '2 f' = − 2 Δ 43. Dans l’air, on considère une lentille mince de centre optique O et dont la valeur absolue des distances focales vaut 20 cm. Cette lentille donne d’un objet AB (A étant sur l’axe), situé à l’infini et de diamètre apparent θ, une image A’B’. 28 1°) La lentille étant convergente, construire l’image A’B’ sur la figure ci-dessous, où une graduation correspond à 4 cm. En déduire l’expression de A' B' en fonction de f et θ. 2°) La lentille étant divergente, construire l’image A’B’ sur la figure ci-dessous. En déduire l’expression de A' B' en fonction de f et θ. 44. Soit un objet lointain vu sous un angle θ par une lentille de distance focale f’. La hauteur y de l’image au foyer de la lentille est donnée par la formule déterminée dans l’exercice précédent. Des mesures ont donné les résultats suivants : θ = 25 ± 1 mrad et f ′ = 50,0 ± 0,2 cm. a) Calculer la hauteur y, puis l'incertitude Δy. b) Ecrire le résultat en incluant l'incertitude. 29 V. Miroirs 45. Cours-TD : Relations de conjugaison du miroir sphérique Un miroir sphérique M, de centre C et de sommet S, est utilisé dans les conditions de Gauss. Un rayon lumineux issu d'un point source A situé sur l'axe rencontre la surface réfléchissante en I ; on note α son inclinaison sur l'axe (voir figure ci-dessous). + + I + α A S C Le rayon réfléchi coupe l'axe en A', qui est l'image de A par M, et on note β son inclinaison sur l'axe. 1) L'angle entre la droite CI et l'axe étant noté ω, établir la relation entre ω, β et α. En déduire la relation de conjugaison de position du miroir sphérique avec origine au sommet. 2) A partir de cette relation, établir celle avec origine au centre. 3) Déterminer la position des foyers principaux objet et image du miroir sphérique. 4) On considère un objet AB dans le plan de front passant par A. Construire graphiquement son image A'B' ; en déduire la relation de conjugaison de grandissement avec origine au sommet puis celle avec origine au centre. On notera que les formule de conjugaison de position du miroir sphérique se retrouvent à partir de celle du dioptre sphérique en posant n’ = – n. 46. Un miroir sphérique, dont la valeur absolue du rayon de courbure vaut R, donne d'un objet réel une image virtuelle droite et deux fois plus grande que l'objet. 1) Le miroir est-il concave ou convexe ? 2) Pour R = 1,20 m, déterminer la position de l'objet et celle de l'image. 3) Retrouver les résultats obtenus par une construction graphique. 30 47. Une sphère de verre, de centre C, de rayon R et d'indice de réfraction n, est placée dans l'air. La partie arrière de cette bille est revêtue d'une couche métallique qui réfléchit la lumière. Le système est utilisé dans les conditions de Gauss. air + + n B + • A S1 • C • S2 D'un objet AB, le dioptre de sommet S1 donne une image A1B1 ; le miroir en donne une image A2B2, et on note A'B' l'image définitive de AB à travers la sphère métallisée. 1) Pour CA = –2R et n = 1,50 (assimilable à 3/2), donner, en fonction de R, les positions, par rapport à C, des points A1, A2 et A'. 2) Pour AB = 10 mm et R = 10 cm, calculer la grandeur de l'image A'B'. Est-elle droite ou renversée ? Quelle est sa nature ? 48. Soit un miroir sphérique concave de rayon de courbure un mètre. 1. A l’aide d’un tracé de rayons, déterminer la nature de l’image obtenue lorsque l’on place un objet lumineux sur l’axe à une distance SA = +0,600 m. 2. Déterminer la position de l'image. 3. Calculer l’incertitude ! SA' sachant que l’incertitude sur SC est négligeable et que celle sur SA est de 0,1 cm. 49. Télescope de Newton On veut observer la Lune grâce à un télescope dit "de Newton". Ce télescope est constitué d’un miroir sphérique de rayon de courbure R c =200 cm, d’un miroir plan (voir figure) et d’un oculaire (non représenté). Les deux miroirs sont espacés de 60,0 cm. 31 1) Quel est le rôle du miroir sphérique, notamment en termes d’énergie? Quel est le rôle du miroir plan? Est-ce que le miroir plan va occulter une partie de la Lune ? 2) On se place dans les conditions de Gauss. a) La Lune est située à 3,84× 105 km de la Terre, et son diamètre est de 3,47× 103 km. Calculer le diamètre apparent θL sous lequel est vue la Lune à l'œil nu. b) La Lune est assimilée à un objet AB, le point objet B est représenté à l’infini sur la figure. En supposant que l’axe optique du télescope est dirigé vers le centre de la Lune, construire l’image A1B1 de la Lune par le miroir sphérique, puis l’image A2B2 par le miroir plan. Calculer la taille de A2B2 ' c) On dispose d’un oculaire divergent de focale f oc = –100 mm. Placer l’oculaire sur le schéma. Peut-on utiliser un réticule? Tracer l’image A'B' de l’image intermédiaire A2B2 par cet oculaire. a) Calculer le diamètre apparent θ L' sous lequel est vue la Lune au travers de l’oculaire. Calculer le grossissement du télescope. 50. Télescope de Grégory On considère le télescope représenté schématiquement sur la figure. Les caractéristiques de l’instrument sont : rayon de courbure du miroir primaire (M1) S1C1 = 2 m, rayon de courbure du miroir secondaire (M2) S2C2 = 1 m, et distance S1S2 = 1,625 m (= 138 m). On considère un objet A à l’infini sur l’axe. a) Positionnez les foyers des deux miroirs sur la figure 3. b) Donnez sans calcul la position de l’image intermédiaire A1 formée par le miroir primaire. c) Montrez que la position de l’image A2 donnée par le miroir M2 est S2 A 2 = 2,5 m. d) Positionnez A1 et A2 sur la figure et tracez la marche des rayons jusqu’en A2. e) Calculez le grandissement transversal de M2. f) Pour un objet à l’infini de diamètre apparent θ, exprimez la taille de l’image intermédiaire A1B1 puis celle de l’image finale A2B2. g) Que faut-il ajouter au système pour qu’un astronome puisse effectuer une observation à l’œil. 32 33 Télescope de Grégory : configuration à deux miroirs concaves. Le miroir M1 est percé d’un trou à son sommet. 34 VI. Systèmes optiques 51. Appareil photographique reflex L’objectif L1 d’un appareil photographique est assimilable à une lentille mince convergente de distance focale image f ’ = 50 mm. 1°) Calculer la taille, sur un négatif « 24 × 36 » (mm2), de l’image d’une statue de 0,60 m de hauteur située à une distance d = 1,0 m de l’objectif. Quelle sera la taille de l’image sur un tirage photo « 9 × 13,5 » (cm2) ? 2°) Calculer la hauteur de l’image sur ce même négatif si la statue est située à 30 m de l’objectif. 3°) Dans ces conditions, quelle devrait être la valeur de la distance focale d’un objectif donnant, sur le négatif, une image de taille égale à 16 mm ? Quel serait l’inconvénient d’un tel objectif ? 4°) En plaçant derrière l’objectif L1 une lentille mince divergente L2, de distance focale f2’ = –20 mm, on le transforme en un téléobjectif. A quelle distance de L1 faut-il disposer L2 pour que, d’un objet situé à l’infini, le téléobjectif en donne une image nette sur la pellicule photographique sachant que celle-ci est distante de 9,5 cm de L2 ? 52. Un doublet afocal est constitué de 2 lentilles minces convergentes de centres optiques O1 et O2 et de distances focales f1’ = 20 cm et f2’ = 10 cm. 1°) Déterminer la distance e séparant les 2 lentilles. Un objet AB donne à travers la première lentille une image intermédiaire AiBi jouant le rôle d’objet pour la seconde lentille qui en donne une image définitive A’B’. 2°) Ecrire, pour chaque lentille, les formules de conjugaison, de position et de grandissement, de Newton. En déduire les formules de conjugaison du doublet et vérifier que le grandissement transversal est indépendant de la position de l’objet. 3°) Appliquer ces formules pour un objet réel placé à 30 cm de la première lentille. 4°) Retrouver ces résultats par une construction géométrique de l’image. 5°) Le diamètre angulaire d’un objet AB situé à l’infini (A sur l’axe) étant θ lorsqu’il est observé à l’œil nu (œil normal) est θ’ lorsqu’il est observé à travers l’instrument. En traçant la marche d'un rayon issu de B et passant par le foyer objet F de la première θ' lentille, déterminer le grossissement G = de la lunette. θ 35 53. Soit un système centré formé de deux lentilles minces L1 et L2 placées dans l’air, utilisé dans les conditions de Gauss. Les distances focales objet de ces deux lentilles sont respectivement f1 = 40 mm et f2 = – 60 mm. La distance entre les centres optiques O1 et O2 vaut 120 mm. 1°) Faire un schéma du système à l’échelle ½. 2°) Construire la marche d’un rayon lumineux: a) incident parallèle à l’axe optique, b) émergeant du système parallèlement à l’axe optique. A partir de ces constructions, placer les foyers principaux F et F’ du système (L1+L2). 3°) Construire l’image A’B’, donnée par le système centré, d’un objet AB situé dans un plan de front, tel que O1 A = 48 mm, A étant situé sur l’axe. 54. L’œil et ses défauts. On modélise l’œil par une lentille mince convergente de vergence variable, placée dans l’air, dont le centre est placé à 17,0 mm d’un écran (la rétine). Un œil emmétrope (“normal”) au repos donne d’un objet AB situé à l’infini une image A' B' sur la rétine. 1) Jupiter a un diamètre apparent de 44’’ (1). Exprimer cet angle en minutes d’arc, degrés et radians. Quelle est la dimension de l'image de Jupiter sur la rétine ? 2) Calculer le domaine de variation de la vergence, sachant qu'un œil emmétrope accommode de 25,0 cm (punctum proximum) à l'infini (punctum remotum). En déduire le domaine de variation de la distance focale image f ’de l’œil. 3) Les punctums proximum PP et remotum PR d’un individu presbyte sont respectivement de 2,0 m et l’infini. Quelle doit être la vergence de la lentille correctrice pour que le PP soit à 20 cm ? Où est le PR dans ce cas ? Conclure. 4) Un œil myope (respectivement hypermétrope) possède le même domaine de variation de sa vergence que celui d’un œil emmétrope, mais la distance lentille-rétine est un peu plus grande (respectivement courte) que celle d’un œil normal. 1 La minute d’arc et la seconde d’arc (symbole ’ et ’’) sont des unités d’angle. 36 55. Profondeur de champ Un objectif d’un appareil photo numérique est assimilé à une lentille mince unique de centre optique O et de distance focale f '=10 mm, qui conjugue un point objet A et un point image A’. On cherche à déterminer l’éloignement maximal du point A compatible avec une « tache » considérée comme ponctuelle sur la matrice CCD, c’est-à-dire de dimension inférieure à celle d’un pixel (de côté de 2,7 µm). On choisit par exemple de photographier une personne située à 2 m de l’objectif. On note ΔOA et ΔOA′ les écarts (supposés petits) aux positions de A et A’ (voir figure). 1) En utilisant la relation de conjugaison et les méthodes de calcul d’incertitude, calculer le grandissement axial g = ΔOA' . ΔOA 2) Déterminer la position de l’image A’ d’un point A de l’axe placé à 2 m devant l’objectif, ainsi que le grandissement axial correspondant. 3) L’appareil est parfaitement réglé sur cette position. Si le diaphragme accolé à la lentille a un rayon R = 1,8 mm (ouverture f’/2,8), établir une relation entre ΔOA et le rayon r de la tache « image » du nouveau point A’ sur le film. 4) En déduire la valeur maximale d’un déplacement du point A compatible avec une « tache » considérée comme ponctuelle, c’est-à-dire de dimension inférieure à celle d’un pixel. Est-ce compatible avec la photographie d’un portrait ? 37 Sujets d’examens 2012-2013 et 2013-2014 Examen terminal PCSTM – OPTIQUE – 20 décembre 2012 Durée conseillée 1h – Calculatrices autorisées – Tous documents interdits Soignez la rédaction – Numérotez les réponses La feuille de figures est à rendre avec la copie. I. Application directe du cours : « Principe du pyromètre optique » a) Une source lumineuse de puissance P éclaire une surface S. Exprimez l’intensité lumineuse I sur la surface. Quelle est l’unité de I ? Un pyromètre optique est un appareil permettant de mesurer la température d’un objet par analyse de l’intensité lumineuse I rayonnée par celui-ci. Le principe de cet appareil est basé sur la loi de Stefan qui lie l’intensité lumineuse I rayonnée par un corps et la température de celui-ci : I = σ T4 , avec T en Kelvin et une constante σ = 5,67. 10–8 en unités standard (s.i.) b) Quelle est l’unité de la constante σ ? c) Pour une incertitude ΔT donnée, donnez l’expression de l’incertitude ΔI. II. Tracé de rayons : Association de deux lentilles minces A compléter sur la figure 1 de la feuille réponse à rendre III. Problème : Physique du verre « chinois » Dans ce problème, on cherchera à comprendre comment une image se forme au fond d’un verre « chinois » s’il contient du liquide et disparaît lorsque le verre est vide (illustration cidessous). Verre vide Verre plein 38 Les 3 parties de ce problème et les différentes questions sont largement indépendantes. Ne restez pas bloqué(e) sur une question, mais utilisez les informations de l’énoncé pour poursuivre. On supposera les conditions de Gauss respectées pour tout le problème. Le fond d’un verre « chinois » est recouvert d’une illustration peinte. Cette illustration est recouverte d’une épaisse couche de verre de forme bombée que l’on assimilera à un dioptre sphérique. On considérera deux cas : - Verre vide : le dioptre sphérique est au contact de l’air directement (partie B du problème) - Verre plein : le dioptre sphérique est au contact d’un liquide (eau) d’indice ne (partie C du problème). Partie préliminaire A : Calcul du grossissement d’un dioptre plan eau/air : Un faisceau de rayons lumineux parallèles se propageant dans l’eau (indice ne=4/3=1,33) est incident sur un dioptre plan eau/air (nair=1). Le faisceau est incliné par rapport à la normale au dioptre d’un angle θ, comme indiqué sur la figure 2 de la feuille réponse. A-1) On considère le rayon incident au point I. On notera θ ’ l’angle de réfraction en sortie de dioptre. Ecrire la loi de Snell-Descartes pour la réfraction au point I et exprimer l’angle θ ’ en fonction de ne et de θ. Représenter schématiquement la marche des rayons à la sortie du dioptre sur la figure 1. A-2) Simplifiez l’expression de θ ’ en supposant que les angles sont faibles. A-3) Dans ces conditions, calculez le grossissement G= θ ’/ θ du dioptre plan. Partie B : Formation de l’image lorsque le verre « chinois » est vide : Le schéma optique équivalent à la situation où le verre est vide est représenté sur la figure 3 de la feuille réponse. Le dioptre sphérique a pour sommet S et rayon de courbure SC = – 1/3 cm = – 0,33 cm. L’objet AB (illustration peinte au fond du verre) est à une distance SA = – 3,0 cm. L’indice du verre est égal à nv =1,50=3/2. 39 B-1) Donner la relation de conjugaison avec origine au sommet S de ce dioptre sphérique verre/air. B-2) A partir de cette relation, calculez la position des foyers principaux objet et image du dioptre sphérique (SF et SF’). Vérifiez que vos résultats sont en accord avec la figure 3. B-3) Par une construction graphique, déterminez la position de l’image A’B’ par le dioptre sphérique de sommet S. Quelle est la valeur de SA’ ? À défaut, déterminez SA’ par le calcul. B-4) Est-ce que la position de cette image permet une observation confortable à l’œil (sans accommoder) pour un observateur regardant le fond du verre ? B-5) Où devrait se trouver l’image pour qu’un observateur puisse l’observer confortablement à l’œil ? Et dans ce cas, où devrait se trouver l’objet ? (aucun calcul demandé). Partie C : Formation de l’image lorsque le verre « chinois » est rempli : Le schéma optique équivalent à la situation où le verre est vide est représenté sur la figure 4 de la feuille réponse. La géométrie du dioptre sphérique est identique : on a toujours SA= – 3,0 cm, mais cette fois-ci, le dioptre est au contact de l’eau (ne=1,33=4/3). C-1) Le dioptre sphérique étant maintenant un dioptre verre/eau, recalculez dans ce cas la position du foyer principal objet (SF) et du foyer principal image (SF’) du dioptre sphérique. Montrez par le calcul que SF= – 3,0 cm et SF’= 8/3 cm =2,67 cm. C-2) Placez les points F et F’ sur la figure 4 de la feuille réponse. Complétez le tracé des rayons lumineux représentés en pointillés sur la figure. Arrêtez votre tracé au niveau du dioptre plan délimitant la surface eau/air. C-3) En utilisant votre tracé, ou bien par le calcul, expliquez où se forme l’image A’B’ par le dioptre sphérique verre/eau. C-4) En vous aidant des résultats trouvés dans la partie préliminaire A, complétez la marche des rayons lumineux à travers le dioptre plan. Est-ce que l’image finale obtenue après le dioptre plan correspond à une vision confortable à l’œil sans accommodation ? C-5) L’objet AB est « vu » avec un angle θ depuis le centre C du dioptre sphérique (θ est représenté sur la figure 4). En faisant l’approximation des petits angles, exprimez θ en fonction de AB et CA. Faire l’application numérique avec AB= 1/3 cm = 0,33 cm. C-6) On note θ’ l’angle d’inclinaison maximal des rayons en sortie du dioptre plan. À partir des résultats de la partie A, exprimez la valeur de θ’ en fonction de AB, CA et ne. Faites l’application numérique. 40 41 42 Examen terminal de physique -­‐ 16 décembre 2013 Calculatrices autorisées – Tous documents interdits OPTIQUE Exercice 1 Soit une fibre de verre cylindrique constituée d’un cœur de rayon 5,0 µm et d’indice de réfraction n = 1,52 ± 0,03. On injecte une lumière infrarouge de longueur d’onde dans le vide 1,55 µm et de puissance 0,65 mW. 1) Calculer la longueur d’onde de la lumière dans la fibre (on l’écrira sous la forme λ ± Δλ). 2) Calculer l’intensité lumineuse dans la fibre. Tracés de rayons (il sera tenu compte de la qualité des tracés) A l’aide d’un tracé de rayon, déterminer la nature de l’image A’B’, ainsi que la valeur du grandissement γ, associés à l’objet AB pour les deux systèmes représentés sur la feuille jointe. FIGURE 1 : Un miroir de centre C. FIGURE 2 : L’association de deux lentilles de centres O1 et O2 et de foyers principaux (F1 , F’1) et ( F2 , F’2). Exercice 2 Soit une caméra vidéo constituée d’un objectif convergent L de centre O et de distance focale f ’ = +12 mm et d’un capteur CCD rectangulaire, de centre P, de dimension : 8×6 mm2. 1) On souhaite filmer la lune, assimilée à un objet ALBL situé à l’infini et de diamètre apparent θL = 0,5°. En expliquant votre raisonnement, donner la dimension de l’image A’LB’L sur le capteur. 2) La distance OP entre l’objectif et le capteur est variable En mode autofocus (mise au point automatique), la caméra peut filmer un objet situé entre l’infini et 50 mm. Donner l’amplitude de variation de la distance OP. 3) Une fourmi de hauteur AB = 1 mm est filmée à 50 mm de L. Calculer la taille de l’image A’B’. Afin d’améliorer la résolution, on place devant l’objectif, et sans modifier la distance OP, une seconde lentille Lm (« lentille macro ») convergente de focale f m! = 7 mm, de centre Om, située à 10 mm devant L. 4) Calculer la distance AO m entre la fourmi et la lentille Lm pour que l’image de la fourmi soit de nouveau située sur le capteur. 5) Déterminer la nouvelle taille de l’image A’B’ sur le capteur. . 43 Numéro d’anonymat : FIGURE 1 B A C FIGURE 2 B A F1 O1 F’1 F’2 O2 44 F2 Annexe 1 : Système d’unités 1. Système International d'Unités (SI) Le SI est fondé sur un choix de sept unités de base bien définies et considérées par convention comme indépendantes du point de vue dimensionnel : le mètre, le kilogramme, la seconde, l'ampère, le kelvin, la mole et la candela. Les unités dérivées sont formées en combinant les unités de base d'après les relations algébriques qui lient les grandeurs correspondantes. Les noms et les symboles de certaines de ces unités peuvent être remplacés par des noms et des symboles spéciaux qui peuvent être utilisés pour exprimer les noms et symboles d'autres unités dérivées. Le SI n'est pas statique il évolue pour tenir compte des besoins des utilisateurs. (source http://www.bipm.org/fr/si/) Le tableau ci-dessous présente les grandeurs de base (ou fondamentales) du Système International ainsi que la décomposition (équation aux dimensions) de quelques grandeurs dérivées en fonction des grandeurs fondamentales. Grandeur Dimension Unité Longueur Temps Masse Intensité de courant Température Intensité lumineuse* Quantité de matière Surface Volume Vitesse Accélération Fréquence Masse volumique Force Energie Charge électrique Différence de potentiel Résistance Capacité Inductance etc. Angle plan Angle solide L T M I Θ J N L2 L3 LT–1 LT–2 T–1 ML–3 MLT–2 ML2T–2 TI ML2T–3I–1 ML2T–3I–2 M–1L–2 T4 I2 ML2 T–2 I–2 mètre (m) seconde (s) kilogramme (kg) ampère (A) kelvin (K) candela (cd) mole (mol) m2 m3 ms–1 ms–2 hertz (Hz) kg m–3 newton (N) joule (J) coulomb (C) volt (V) ohm (Ω) farad (F) henry (H) sans dimension sans dimension radian (rad) stéradian (sr) * Usage : nous appelons aussi Intensité lumineuse la puissance lumineuse par unité de surface, exprimée en W.m–2, dont le nom officiel est Eclairement. 45 2. Calcul dimensionnel : exemple, dimension de la permittivité du vide ε 0 La constante ε0 intervient dans l'expression du module de la force F s’exerçant entre deux charges électriques, q et q’, placées dans le vide à la distance r, soit : F= On en déduit, (le symbole 1 qq' . 4πε 0 r 2 [ ] signifiant « dimension »), la dimension de ε0, soit : 2 [ε 0 ]= [q ] 2 . [F ] L La charge q traversant, pendant le temps t, une section d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité I étant donnée par la relation : q = I t, on en déduit la dimension de la charge électrique : [q] = I T. D’autre part, la force F a pour dimension (voir tableau ci-dessus) : [F ]= MLT −2 , d’où, finalement : [ε 0 ] = M −1L−3 T 4 I 2 qui, d'après le tableau précédent, correspond à l'unité "farad par mètre" (F.m-1). Remarque : en Electrostatique, on montre que la capacité C, en farad, d'un condensateur s'écrit : C = sont respectivement une surface et une distance ; ceci confirme la dimension de ε0 S , où S et d d ε0 . 3. Analyse dimensionnelle et homogénéité des formules Toute relation entre grandeurs physiques à laquelle aboutit un raisonnement ou un calcul doit être homogène, c’est-à-dire que tous ses termes doivent représenter des grandeurs ayant les mêmes dimensions. On retiendra les règles suivantes : • on ne peut ajouter, retrancher ou égaler que des grandeurs de même dimension, • les fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques, ainsi que leurs arguments, sont sans dimension. Par exemple, dans l’expression y = cos(α) , les grandeurs y et α sont sans dimension. Remarque : l'expression ln u = ln E − t/τ est correcte car elle est équivalente à ln (u / E) = −t /τ . • Une relation qui ne respecte pas l'une de ces règles est FORCEMENT FAUSSE. • Une relation qui les respecte toutes n'est PAS FORCEMENT EXACTE. 46 4. Exemple d'utilisation de l'analyse dimensionnelle Supposons que l'on aboutisse à la relation suivante pour la tension électrique aux bornes d’un capteur mesurant un temps de vie de fluorescence : − t τ u(t) = U 0 + e . A l'évidence cette relation n'est pas correcte. En effet : • Le symbole "+" n'est sûrement pas correct car U0 a la dimension d'une tension tandis que l'exponentielle est sans dimension. Dans la relation correcte, le symbole "+" est, en fait, remplacé par le symbole "×" et les membres à gauche et à droite de l'équation ont alors la même dimension. 47 Annexe 2 : Multiples et sous-multiples des unités SI Depuis 1962, le système légal d’unités de mesures en France est le système international d’unités (SI). La valeur d’une grandeur physique peut s’exprimer sous différentes formes en utilisant les multiples et sous-multiples des unités SI qui sont formés au moyen de préfixes. Facteur Préfixe Symbole Facteur Préfixe Symbole 1018 exa E 10–1 déci d 1015 peta P 10–2 centi c 1012 téra T 10–3 milli m 109 giga G 10–6 micro µ 106 méga M 10–9 nano n 103 kilo k 10–12 pico p 102 hecto h 10–15 femto f 10 déca da 10–18 atto a 48
