Construction de la triangulation de Delaunay de segments par un
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Construction de la triangulation de Delaunay de segments par un algorithme de flip Mathieu Brévilliers Laboratoire LMIA Université de Haute-Alsace Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 1 / 23 Triangulations de points Triangulation quelconque Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 2 / 23 Triangulations de points Triangulation quelconque Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 2 / 23 Triangulations de points Triangulation quelconque Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Triangulation de Delaunay Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 2 / 23 Triangulations de points Triangulation quelconque Triangulation de Delaunay Régularité La triangulation de Delaunay maximise le minimum des angles des triangles. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 2 / 23 Légalité d’une arête Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 3 / 23 Légalité d’une arête t u r s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 3 / 23 Légalité d’une arête Arête légale Arête illégale t t u r u r s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) s Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 3 / 23 Légalité d’une arête Arête légale Arête illégale t t u r u r s s Théorème La triangulation de Delaunay de S est la seule triangulation de S dont toutes les arêtes sont légales. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 3 / 23 Algorithme de flip Arête illégale Arête légale t t u r s s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) u r Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 4 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 5 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Triangulation de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 6 / 23 Propriétés topologiques Triangulation de segments Carte S4 S4 S1 S6 S1 S7 S7 S5 S5 S8 S8 S3 S6 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) S2 Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 7 / 23 Propriétés topologiques Théorème Pour tout ensemble S de n sites, soit n′ le nombre de côtés de l’enveloppe convexe de S qui sont pas des sites. Toute triangulation de segments de S admet : 2n − n′ − 2 faces et 3n − n′ − 3 arêtes. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 8 / 23 Propriétés topologiques Triangulations de segments S4 S7 S6 S1 Carte combinatoire S8 S5 S3 S4 S2 S1 S4 S7 S5 S6 S3 S7 S8 S2 S6 S1 S5 S8 S3 S2 Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 9 / 23 Triangulation de Delaunay de segments Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 10 / 23 Dualité Théorème La triangulation de Delaunay de segments de S est duale du diagramme de Voronoï de segments de S. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 11 / 23 Légalité d’une arête Exemple 1 e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 12 / 23 Légalité d’une arête Exemple 1 Arête légale e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 12 / 23 Légalité d’une arête Exemple 1 Arête légale e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 12 / 23 Légalité d’une arête Exemple 1 Arête légale e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 12 / 23 Légalité d’une arête Exemple 1 Arête légale e Exemple 2 Arête illégale e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 12 / 23 Légalité d’une arête Théorème Une triangulation de segments dont toutes les arêtes sont légales a la même topologie que la triangulation de Delaunay de segments. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 13 / 23 Algorithme de flip t t u r s s t t u r s Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) u r u r s Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 14 / 23 Algorithme de flip e e t t v Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique v 26-30 janvier 2009 14 / 23 Triangulations de S-polygones Un S-polygone Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 15 / 23 Triangulations de S-polygones Une triangulation de segments d’un S-polygone Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 15 / 23 Triangulations de S-polygones Une triangulation de Delaunay de segments d’un S-polygone Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 15 / 23 Algorithme de flip Au départ : une triangulation de segments de S. L’algorithme traite toutes les arêtes en boucle. Pour chaque arête, on calcule la triangulation de Delaunay de segments de son polygone associé. Exemple d’étape de l’algorithme e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 16 / 23 Étude du relèvement d’une triangulation Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 17 / 23 Fonctions localement convexes Fonction localement convexe Si U est une région de R2 , une fonction φ : U → R est localement convexe si elle est convexe sur tout segment inclus dans U. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 18 / 23 Fonctions localement convexes Fonction localement convexe Si U est une région de R2 , une fonction φ : U → R est localement convexe si elle est convexe sur tout segment inclus dans U. Enveloppe convexe inférieure d’une fonction Étant donnés un S-polygone U et une fonction f : U ∩ S → R, l’enveloppe convexe inférieure de f sur (U, S), notée fU,S , est la plus grande fonction localement convexe sur U telle que fU,S ≤ f sur U ∩ S. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 18 / 23 Relèvements des triangulations de segments de U Définition Soit T une triangulation de segments de U. La fonction fU,S,T : U → R est définie de la manière suivante : – fU,S,T (p) = f (p) si p est un point de S, – fU,S,T (p) = ft,S (p) si p est dans une face t de T , – fU,S,T (p) = fe,S (p) si p est dans une arête e de T . U t e Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 19 / 23 Relèvements des triangulations de segments de U Théorème Si T est la triangulation de Delaunay de segments de U, alors fU,S,T = fU,S . Pour toute triangulation de segments T de U, fU,S,T ≥ fU,S . Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 19 / 23 Convergence de l’algorithme Théorème 1 Si U = conv(S) et si Tn est la triangulation obtenue après la n-ième étape de l’algorithme, alors la suite de fonctions (fU,S,Tn )n∈N décroît vers fU,S quand n tend vers +∞. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 20 / 23 Convergence de l’algorithme Théorème 1 Si U = conv(S) et si Tn est la triangulation obtenue après la n-ième étape de l’algorithme, alors la suite de fonctions (fU,S,Tn )n∈N décroît vers fU,S quand n tend vers +∞. Théorème 2 Il existe un entier N tel que, quel que soit n ≥ N, la triangulation Tn a la même topologie que la triangulation de Delaunay de segments de S. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 20 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple s v t u Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Exemple Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 21 / 23 Conclusion Nouvelle généralisation de la notion de triangulation d’un ensemble de segments, Extension de la légalité des arêtes pour caractériser la triangulation de Delaunay de segments, Algorithme de flip pour construire la triangulation de Delaunay de segments. Perspectives : Amélioration de l’algorithme de flip, Optimalité de la triangulation de Delaunay de segments, Sites plus généraux, Généralisation en 3D. Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 22 / 23 Exemple avec 5 000 sites Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 23 / 23 Exemple avec 5 000 sites Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 23 / 23 Exemple avec 5 000 sites Mathieu Brévilliers (LMIA, UHA) Journées de Géométrie Algorithmique 26-30 janvier 2009 23 / 23
