TD 6 : Ouverture au monde quantique

LYCÉE JEAN BART
PHYSIQUE - PCSI
TD 6 : Ouverture au monde quantique
I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours
1) Quels sont les phénomènes physiques qui ont conduit à développer la mécanique quantique ?
2) Citer une expérience récente qui prouve indiscutablement l'existence du photon.
3) La lumière : onde ou corpuscule ?
4) Citer une expérience qui met en évidence le caractère ondulatoire de la matière.
5) Qu'appelle-t-on indétermination position – quantité de mouvement ?
6) La description de l’état d’une particule se fait au moyen d’une fonction d'onde complexe ψ(M,t).
Quel en est l'interprétation physique ?
II. Questions de réflexion – Physique pratique
1) Particule au repos
Montrer que dans la description quantique, une particule ne peut être immobile.
2) Vitesse d'un électron dans un atome
Un atome d'hydrogène est constitué d'un électron de masse m confiné dans une zone de taille a ≈ 10-10 m autour
d'un proton.
D'après l'inégalité de Heisenberg, estimer l'ordre de grandeur de la vitesse de l'électron.
On donne la masse de l'électron m = 9,1.10-31 kg et la constante de Planck réduite ħ = 1,0.10-34 J.s
3) Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène
On part d'une description classique (dite planétaire) d'un atome d'hydrogène, dans laquelle un électron est en
orbite circulaire de rayon r autour du proton.
De tels états sont acceptables quantiquement si, après un tour, l'onde associée à l'électron est en phase avec son
état initial.
a. Lier la longueur d'onde au rayon.
b. En déduire la condition dite de Bohr liant le rayon r de l'orbite, la quantité de mouvement p de l'électron, la
constante de Planck réduite et un entier n.
c. Un calcul classique (qui sera fait en mécanique) montre que la quantité de mouvement d'un électron en
orbite circulaire de rayon r possède une quantité de mouvement proportionnelle à
1
√r
En déduire comment varie le rayon quantifié rn d'une orbite de Bohr en fonction de l'entier n.
d. Par un raisonnement simple, dire comment les niveaux d'énergie En de l'électron dans l'atome dépendent de n.
Le résultat est-il correct ?
4) Expérience des fentes d'Young
Pourquoi est-il plus difficile de réaliser une expérience de fentes d'Young avec des atomes plutôt qu'avec des
électrons ?
5) Microscope électronique
Dans un microscope électronique, les électrons sont accélérés par une différence de potentiel d'une cinquantaine
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de kV, ce qui leur communique une énergie cinétique d'environ 50 keV.
a. Quelle est la quantité de mouvement d'un électron en sortie ?
b. Quelle est sa longueur d'onde ?
c. Conclure quant à l'intérêt par rapport à un microscope optique.
On donne la masse de l'électron : m = 9,1.10-31 kg, la constante de Planck : h = 6,6.10-34 J.s et on rappelle que
1 eV = 1,6.10-19 J
6) Dualité onde-corpuscule et inégalité d'Heisenberg
Comment concilier l'inégalité de Heisenberg et quantité de mouvement, bien définie, utilisée dans le principe de
dualité de de Broglie ?
7) Chat de Schrödinger
Erwin Schrödinger a imaginé en 1935 l'expérience de pensée suivante afin de souligner les difficultés
d'application de la mécanique quantique à notre échelle macroscopique (ainsi que le problème de la mesure).
Dans une pièce est enfermé un chat, ainsi qu'un dispositif libérant un poison tuant le chat dès que la
désintégration d'une certaine particule radioactive présente dans la pièce a lieu.
a. D'après ce que vous savez sur la description quantique d'une particule, essayer d'imaginer le paradoxe
entraînant la superposition d'un état de chat vivant et d'un état de chat mort.
b. Que pensez-vous de tout cela d'après le sens physique usuel ?
III. Exercices d'entraînement
1) Inégalités de Heisenberg
1. Quelle est l’indétermination quantique minimale sur la vitesse d’un adénovirus dont la masse est égale à
2,4.10-16 g et dont la position est connue à 10 nm près (soit un dixième de sa taille) ?
2. Un radar autoroutier « flashe » une voiture de masse m = 1,3 t roulant à une vitesse de 150 km.h-1
L’éclair du flash dure 0,01 s. Quelle est l’indétermination quantique sur la position de la voiture ?
En déduire une minoration de l’indétermination quantique de la vitesse. Conclure.
2) Confinement d'un quanton dans un puits infini
Un quanton est confiné dans la zone comprise entre les plans x = 0 et x = L dans un puits de potentiel infini.
On admet que sa fonction d’onde est stationnaire et s'écrit : Ψ(x , t )= Asin(kx) exp (−i ω t )
où A, k et ω sont des constantes réelles positives.
1. Déterminer les valeurs possibles de k en fonction de L et d’un entier n positif quelconque.
2. La probabilité de trouver la particule dans l’intervalle [x , x + dx] est (|Ψ( x , t )|)2 dx
L
2
Justifier la condition de normalisation suivante : ∫ (|Ψ( x , t)|) dx=1
0
L’utiliser pour trouver l’expression de A en fonction de L.
3. Tracer (|Ψ (x , t )|)2 en fonction de x dans les cas n = 1 et n = 2. Commenter.
Comparer au cas d’une particule classique.
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3) Expérience de G. P. Thomson
En 1927, les physiciens américains Davisson et Germer fournissaient la preuve expérimentale de l'hypothèse de
Louis de Broglie en mettant en évidence le phénomène de diffraction d'électrons sur un échantillon
monocristallin de nickel. Quelques mois plus tard, le Britannique G. P . Thomson confirmait ce résultat en
faisant passer un faisceau d'électrons monocinétique à travers une mince feuille de métal.
Avec des électrons accélérés par une différence de potentiel (tension) de l'ordre de 10 kV, il a obtenu sur une
plaque photographique placée derrière la cible une figure de diffraction identique à celle observée avec des
rayons X de même énergie.
La figure ci-contre représente les anneaux
concentriques obtenus par diffraction sur
un mince feuillet métallique :
- d'électrons (à gauche)
- de rayons X (à droite)
1. En quoi l'expérience de G. P. Thomson confirma-t-elle la nature ondulatoire des électrons ?
2. Donner l'ordre de grandeur de la longueur d'onde des rayons X. L'utilisation de ces derniers vous semble-telle adaptée pour mener une étude cristallographique par diffraction ?
3. Soumis à une différence de potentiel U > 0, un électron de charge q = - e = - 1,60.10-19 C et de masse
me = 9,11.10-31 kg, initialement au repos acquiert une énergie cinétique égale au produit eU.
Établir la relation numérique approchée λ≈
1,23
nm où U est la tension accélératrice en volts (V).
√U
En déduire la longueur d'onde des électrons utilisés par Thomson. Commenter.
4) Effet Compton
La nature corpusculaire des rayonnements électromagnétiques, et en particulier l'existence d'un quantum
d'énergie, le photon, doté d'une énergie et d'une quantité de mouvement bien définies, a été mise en évidence
expérimentalement en 1922 par le physicien américain A. H. Compton.
Dans son expérience de diffusion schématisée ci-dessous, il bombarde une mince feuille de graphite avec des
rayons X.
Derrière cette cible, il place un détecteur de rayons X qu'il peut faire tourner d'un angle θ par rapport à la
direction des rayons incidents. Il constate alors que des électrons sont arrachés de la cible.
De plus, il observe que les rayons X incidents sont diffusés dans toutes les directions avec une longueur d'onde
λ', fonction de l'angle θ, différente de leur longueur d'onde incidente λ.
Il justifie plus tard ses observations dans le cadre d'un modèle théorique de collision relativiste entre un photon
incident et un électron « libre », supposé initialement immobile et faiblement lié aux atomes de carbone dans la
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cible graphite. Il obtient ainsi la relation, conforme aux données expérimentales :
λ '−λ=
h
(1−cos θ)
me c
avec h la constante de Planck, me la masse de l'électron, c la vitesse de la lumière dans le vide.
p la quantité de mouvement du photon avant le choc, ⃗p' la
Pour démontrer l'expression précédente, on note ⃗
pe la quantité de mouvement de l'électron après le choc.
quantité de mouvement du photon après le choc et ⃗
L'électron est supposé initialement immobile dans le référentiel de la cible.
De plus, ce dernier étant considéré relativiste dans l'expérience, son énergie totale est donnée par :
√
E= p 2 c 2 + me2 c 4
1. Exprimer la conservation de la quantité de mouvement du système {photon + électron} entre avant et après le
choc.
2. Exprimer de même la conservation de l'énergie totale du système {photon + électron} entre avant et après le
choc.
3. Déduire des deux lois de conservation précédentes l'expression de la variation de longueur d'onde λ' – λ
du photon X telle qu'obtenue par Compton, en fonction de h, c, me et θ.
Calculer λ' – λ pour un angle θ = 30°. On donne la masse de l'électron me = 9,1.10-31 kg.
5) Absorption de photons par un puits quantique
1. En utilisant une analogie avec les modes propres
d’une corde vibrante, déterminer l’expression des
énergies totales En d’une particule libre de masse
m confinée dans un puits quantique de largeur L.
On exprimera le résultat en fonction de m, L, h la
constante de Planck et n un entier non nul.
2. Ce puits quantique peut émettre ou absorber un photon de fréquence νnk si l’écart En - Ek entre deux niveaux
d’énergie vérifie la relation E n −E k =h ν nk avec n > k.
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a. Donner une interprétation physique de la relation précédente.
b. Déterminer les fréquences ν21 et ν31, ainsi que les longueurs d’ondes correspondantes λ21 et λ31 pour un puits à
semi-conducteurs à base d’Arséniure de Gallium (AsGa), d’épaisseur L = 60.10-10 m, et tel que m = 0,067 me
avec me = 9,1.10-31 kg la masse de l’électron.
c. À quel domaine du spectre appartiennent les longueurs d’ondes des photons obtenues dans la question
précédente ? Proposer des applications pratiques de tels puits quantiques.
6) Énergie et fonction d'onde d'un électron confiné
Certaines molécules ayant une longue chaîne linéaire, comme le β-carotène, contiennent des électrons qui ne
sont pas attachés à un noyau particulier, mais peuvent au contraire se déplacer sur toute la longueur de la
molécule.
On modélise un tel électron, de masse m = 9,11.10-31 kg, comme une particule qui se déplace librement sur un
segment de droite, entre les abscisses x = 0 et x = L ; l'énergie potentielle Ep est nulle sur le segment et
infiniment grande partout ailleurs (particule dans une « boîte »).
Sa fonction d'onde ψ(x) est alors liée à son énergie totale E par l'équation différentielle :
2
−h
2
(
d Ψ
8 π 2 m dx 2
)=E Ψ
(équation de Schrödinger des états stationnaires), où h est la constante de Planck.
1. On cherche tout d'abord à déterminer la fonction d'onde ψ(x).
a. Justifier que ψ(x) est nulle en dehors de l'intervalle [0,L].
b. ψ(x) étant une fonction continue, elle est donc nulle aux deux extrémités de la molécule :
ψ(0) = ψ(L) = 0. Montrer que la solution de l'équation différentielle est de la forme : Ψ(x )= Asin(
nπ x
)
L
où n est un entier et A une constante d'intégration qu'on ne cherchera pas à déterminer.
2. Donner l'expression des niveaux d'énergie En en fonction de m, L, h et n.
3. Dans le β-carotène (formule ci-dessous), ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui se comportent
comme des particules libres confines, sur une longueur L = 1,83 nm.
Dans l'état fondamental, ces électrons occupent les onze niveaux d'énergie les plus bas.
a. Calculer les niveaux d'énergie E11 et E12. On donne h = 6,63.10-34 J.s-1
b. En déduire l'énergie, puis la longueur d'onde λ dans le vide, d'un photon absorbé par la molécule lorsqu'un
électron passe du niveau 11 au niveau 12. On donne c = 3,00.108 m.s-1
c. Expliquer alors la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte,
citrouille...).
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7) Confinement d'un quanton dans une boîte tridimensionnelle
On confine un quanton dans une boîte de dimensions l x∗l y∗l z (le potentiel à l'extérieur est infini).
On suppose que l'on peut écrire la partie spatiale de la fonction d'onde sous la forme suivante :
Ψ(x , y , z )=A sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z )
k =k x e⃗x + k y e⃗y +k z e⃗z
où k x , k y , k z sont les trois composantes cartésiennes du vecteur d'onde : ⃗
1. En traduisant les conditions aux limites, déterminer les valeurs possibles pour les trois composantes
cartésiennes du vecteur d'onde.
2. En utilisant l'hypothèse fondamentale de De Broglie, déduire les valeurs possibles pour les trois composantes
cartésiennes du vecteur quantité de mouvement ⃗p = p x e⃗x + p y e⃗y + p z e⃗z
3. En déduire l'expression de l'énergie mécanique d'un quanton confiné dans une boîte quantique que l'on notera
sous la forme E (n x , n y , n z ) avec n x , n y , n z nombres quantiques entiers.
4. Déterminer les 5 premiers niveaux d'énergie dans le cas particulier d'une boîte cubique pour laquelle
l x =l y=l z =l
8) Confinement d'un quanton dans une boîte tridimensionnelle (*)
On considère un quanton de masse m dans le puits de potentiel rectangulaire infini tridimensionnel :
V(x,y,z) = 0 pour 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L et 0 ≤ z ≤ L
V = + ∞ sinon
Pour un quanton soumis à un potentiel V(x,y,z) indépendant du temps, l'évolution spatiale de la fonction d'onde
est régie par l'équation de Schrödinger à trois dimensions :
−h2 ∂ 2
∂ 2 Ψ ( x , y , z )+ ∂ 2 Ψ( x , y , z ))+V ( x , y , z ) Ψ ( x , y , z )=E Ψ( x , y , z )
(
Ψ(
x
,
y
,
z
)+
8 π 2 m ∂ x2
∂ y2
∂ z2
Il s'agit de l'équation de Schrödinger des états stationnaires (indépendants du temps) où E représente l'énergie
mécanique du quanton.
On suppose que la fonction d'onde selon l'axe (Ox) s'écrit : Ψn ( x )=sin(
nπx
)
L
1. Montrer que ψ (x,y,z) = A ψn1(x) ψn2(y) ψn3(z) est solution de l'équation de Schrödinger où A est une
constante et n1, n2 et n3 sont trois entiers.
2. Quelle est l'énergie En1,n2,n3 de cet état ? On posera ε=
ℏ2 . π 2
2 m L2
3. Donner les six énergies les plus basses d'une particule dans le puits rectangulaire infini tridimensionnel.
On précisera en particulier les dégénérescences, c'est-à-dire le nombre d'états différents correspondant à une
énergie donnée. Tracer le diagramme énergétique correspondant.
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9) Quantification des niveaux d'énergie en physique nucléaire
On modélise un nucléon de masse mn dans le noyau atomique de rayon Ra par l'utilisation d'une énergie
potentielle nulle à l'intérieur et infinie à l'extérieur.
On donne la masse d'un nucléon mn = 1,67.10-27 kg et Ra ≈ 10-15 m.
1. On adopte ici une description unidimensionnelle. Quel est le domaine dans lequel est confiné le nucléon ?
2. Quelles raisons conduisent à proposer une analogie avec le modèle de la corde vibrante fixée à ses deux
extrémités ?
3. Proposer une forme mathématique pour les fonctions d'onde stationnaires en faisant intervenir un entier n.
Représenter les trois premiers modes.
4. En déduire l'énergie du nucléon confiné et justifier le terme de quantification.
5. Quel est l'état de plus basse énergie ? Pourquoi son énergie n'est-elle pas nulle ?
5. Exprimer puis calculer l'écart d'énergie entre les deux plus bas niveaux d'énergie.