Soutenance de Projet de Fin d`Etudes

Soutenance de
Projet de Fin d'Etudes
Estimation des paramètres d'un modèle physique
dans le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à
Ports : application au haut-parleur électrodynamique
Etudiant ENSEA :
DESCHAMPS Antoine
3ème Année Option Systèmes Multimédia
Laboratoire :
Encadrants :
IRCAM – Equipe Analyse/Synthèse
FALAIZE Antoine, HELIE Thomas
2 Mars 2015 – 31 Août 2015
Contexte et objectifs
Problématique :
●
Haut-parleur : transducteur non idéal, on veut compenser les
non-linéarités (suspensions, bobine, échauffement)
Contexte :
●
●
On dispose d'un modèle de type Systèmes Hamiltoniens à
Ports [Thèse Antoine FALAIZE]
On dispose d'une méthode de compensation : contrôle par
platitude [Stage Nicolas PAPAZOGLOU]
Objectif du stage :
●
Estimation des paramètres du modèle pour appliquer la
compensation avec succès
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
2
Sommaire
I – Physique du haut-parleur électrodynamique
●
Description et principe général
●
Modèle de Thiele & Small et extension non linéaire
II – Le formalisme des Systèmes Hamiltoniens à Ports
●
Présentation
●
Exemple
●
Méthode numérique et simulation
III – Estimation paramétrique
●
Présentation du modèle stochastique
●
Théorie de l'estimation
●
Maximisation de l'espérance
●
Filtrage particulaire
●
Algorithme complet
IV – Contributions et perspectives
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
3
I – Physique du haut-parleur
électrodynamique
Description et principe général
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
4
I – Physique du haut-parleur
électrodynamique
Modèle de Thiele & Small et extension non linéaire
●
Cas linéaire :
●
Cas non linéaire :
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
5
II – Le formalisme des
Systèmes
Hamiltoniens à Ports
Présentation
●
●
12/09/15
SHP : représentation d'état structurée par rapport aux
échanges de puissance d'un composant du système vers
un autre
Composants stockants :
●
Composants dissipatifs :
●
Sources de puissance :
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
6
II – Le formalisme des
Systèmes
Hamiltoniens à Ports
Présentation
●
Système dynamique structuré :
avec J antisymétrique i.e. :
●
Avec les définitions précédentes :
→ La structure SHP encode le bilan de puissance
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
7
II – Le formalisme des
Systèmes
Hamiltoniens à Ports
Exemple
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
8
II – Le formalisme des
Systèmes
Hamiltoniens à Ports
Méthode numérique
●
●
12/09/15
Discrétisation :
–
Schéma d'Euler sur l'état :
–
On définit le gradient discret
–
SHP discret :
avec
tel que :
Algorithme de Newton-Raphson
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
9
II – Le formalisme des
Systèmes
Hamiltoniens à Ports
Simulation
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
10
III – Estimation paramétrique
Présentation du modèle stochastique
→
réduction en w
Avec :
●
●
●
12/09/15
x la variable cachée
y la mesure, u le signal d'entrée
θ le vecteur des paramètres à estimer
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
11
III – Estimation paramétrique
Théorie de l'estimation
●
●
●
Objectif : approcher θ par un estimateur fonction de u et
y
p(x|θ) : probabilité d'obtenir x lorsqu'on suppose qu'on a
déjà θ
Maximum de Vraisemblance :
Cas non linéaire et pas nécessairement
gaussien : pas de solution analytique
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
12
III – Estimation paramétrique
Maximisation de l'espérance
–
Objectif : trouver θ qui maximise la log-vraisemblance
–
Méthode : approximation de son espérance sachant les
observations
–
Algorithme Espérance-Maximisation :
→ La fonction Q dépend de distributions que l'on ne connaît pas et
qui sont impossibles à calculer analytiquement : utilisation du filtrage
particulaire
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
13
III – Estimation paramétrique
Filtrage particulaire
●
●
●
Objectif : approximer une distribution de probabilité
Moyen : méthode de Monte-Carlo séquentielle i.e.
génération aléatoire d'un grand nombre de particules
et propagation dans le temps de ces particules en les
échantillonnant selon leur importance
Suivi de l'état x et observateur à l'aide des deux
équations :
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
14
III – Estimation paramétrique
Filtrage particulaire
●
Equations du système :
→ hérite des propriétés des SHP
●
Calcul des poids :
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
15
III – Estimation paramétrique
Filtrage particulaire
Test sur circuit RC linéaire :
observations
états
pondérées
associés
observation
état réel
réelle
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
16
III – Estimation paramétrique
Filtrage particulaire
Test sur circuit RC linéaire :
en haut : début de l'algorithme
en bas : fin de l'algorithme
à gauche : états à un instant fixé
au mileu : états pondérés
à droite : resampling
état réel
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
17
III – Estimation paramétrique
Filtrage particulaire
Test sur circuit RC linéaire : évolution de l'état
Etat réel
Estimation
100 particules
12/09/15
1000 particules
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
18
III – Estimation paramétrique
Algorithme complet :
●
●
Process
–
Equations dynamique et de mesure
–
Modèle SHP
–
Gradient discret
–
Newton-Raphson
Filtrage particulaire
–
●
Vraisemblance dynamique
–
●
Calcul de la densité :
Smoother
–
●
Fournit les estimations des états et les poids
Poids plus précis
Calcul de la fonction Q
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
19
III – Estimation paramétrique
Résultats
●
Problèmes :
●
●
●
●
Temps de calculs élevés
Dégénérescence numérique de la fonction Q (NaN)
Valeur de θ inchangée
Points positifs
●
●
12/09/15
Pas d'erreur à l'exécution du code
Accès à θ à partir d'un modèle SHP
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
20
Contributions et
perspectives
Contributions
●
●
●
Inclusion d'incertitudes dans la structure SHP en préservant la passivité
Etude d'une lourde bibliographie sur le filtrage particulaire et restitution dans
notre contexte
Elaboration d'une méthode d'estimation incluant les SHP dont le code est
réutilisable
Perspectives
●
●
●
●
12/09/15
Fonction Q : interpolation des histogrammes pour obtenir des densités
continues et supprimer les valeurs nulles
Validation sur système simulé puis application à un système réel (hautparleur)
Amélioration du temps de calcul des estimations : contrôle temps-réel du
système
Implémentation sur Beagleboard ou FPGA : système embarqué
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
21
Merci pour votre attention
12/09/15
DESCHAMPS Antoine
Soutenance de PFE
22