Les angles - Mathovore

DES ANGLES
Les angles des dessins suivants présentent des particularités.
Mesure-les et indique ces particularités
Les deux droites sont sécantes en O................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Deux droites sont parallèles..............................................
............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
ABC est un triangle quelconque ; la somme de ses
angles est :
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
ABC est un triangle particulier ........................................
.............................................................................................................
ll
BC
+
=..........................................................................................
.............................................................................................................

DES ANGLES SAILLANTS
(Angles dont la mesure est inférieure ou égale à 180 °)
X - Angles adjacents
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet et si leur seule partie
commune est un de leurs côtés.
O
x
y
z
Les angles
n
xO et sont adjacents car : y
n
yOz
 Ils ont le même sommet O
 [Oy) est leur seule partie commune.
n
n
n
xOy yOz xOz+=
Y - Angles complémentaires
A
B
Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90°
l
A30=°
l
B60=°
l
l
A B 30 60 90+= + = °
Les angles
l
A et
l
B sont complémentaires.
A1
2
Remarque :
Angles adjacents complémentaires
m m
12
AA 90+=°
Z - Angles supplémentaires
A
B
Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 180°.
l
A120=°
l
B60=°
l
l
A B 120 60 180+= + = °
Les angles
l
A et
l
B sont supplémentaires.
A
1
2
Remarque :
Angles adjacents supplémentaires
m
m
12
A A 180+=°

[ - Angles opposés par le sommet
Deux droites sécantes définissent des angles opposés par le sommet
A
1
2
3
4
Les angles
m
1
A et
m
3
A sont opposés par le sommet A.
Les angles
m
2
A et
m
4
A sont opposés par le sommet A.
Ils sont égaux car ils sont symétriques par rapport à A.
Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
m
m
1
AA=3
m
m
24
AA=
\ - Angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante
a) Angles alternes internes
Les angles
m
1
A et sont dits « alternes internes »
Les droites qui les définissent étant parallèles, ils sont symétriques par rapport au milieu I de [AB]
Ils sont donc égaux
De même
l
1
B
m
2
A et
m
2
B sont égaux
Deux angles alternes internes sont égaux.
A
B
12
1
2
I
A
B
1
2
3
4
b) Angles correspondants
Les angles et
l
1
B
m
3
A sont dits correspondants.
Ils sont égaux car :
l
m
1
BA=1
(angles alternes internes)
m
m
1
AA=3
(angles opposés par le sommet A)
(voir le schéma précédent)
De même, les angles
m
2
B et
m
4
A, correspondants,
sont égaux
Deux angles correspondants sont égaux

c) Inversement, si deux angles, qui occupent une position d’angles alternes internes, sont formés par deux
droites parallèles et une sécante, alors ces deux angles sont égaux.
d) De même, si deux angles, qui occupent une position d’angles correspondants, sont formés par deux droites
parallèles et une sécante, alors ces deux angles sont égaux.
] - Somme des angles d’un triangle A
BC
1
2
3
xy
Par le sommet A, on construit la droite (xy), parallèle au
côté[BC] du triangle ABC.
m
l
1
AB=
(angles alternes internes)
l
m
3
CA= (angles alternes internes)
Par conséquent :
m
l
l
m
m
m
n
2231
BACAxy 18AAA0++= + + = = °
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
^ - Angles des triangles particuliers
A
B
C
a) Le triangle rectangle
l
l
l
A B C 180++= ° or :
l
A90=°
donc :
ll
BC90+= °
Les angles non droits d’un triangle rectangle sont
complémentaires. A
B
C
b) Le triangle isocèle
Ses angles « à la base »
l
B et C sont égaux car ils sont symétriques par
rapport à l’axe de symétrie du triangle ABC.
l
l
l
BC=
Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux.
c) Le triangle équilatéral
A
B
C
Ses trois angles sont égaux puisqu’il a trois axes de symétrie.
l
ll
ABC==
Or : leur somme étant égale à 180°,
l ll
l
l
l
A B C 180
ABC 60
33
++
=== = =°
Les angles d’un triangle équilatéral sont égaux à 60°.

d) Le triangle rectangle isocèle A
B
C
Ses angles
l
B et sont égaux puisque le triangle ABC est isocèle de
base [BC].
l
C
Ses angles
l
B et sont complémentaires puisque le triangle est aussi
rectangle en A.
l
C
Donc :
ll
l
l
BC 90
BC 45
22
+
== = = °
Les angles non droits d’un triangle rectangle isocèle mesurent 45°.
_ - Le triangle inscrit dans un demi-cercle dont un diamètre est un des côtés du triangle.
Le triangle AOB est isocèle car : ; donc :
A
BC
O
12
OA OB=
m
l
1
AB
=
De même, le triangle AOC est iso :
m l
AC
=
cèle ; donc 2
La somme des angles du triangle ABC s’écrit :
m
l
m
l
m m
m m
()
m m
m m
12
12
12
12
12
ABAC180++ += °
2A 2A 180
2AA 180
180
AA 2
AA 90
×+× = °
×+ =°
°
+=
+=°
Le triangle ABC est rectangle en A.