Le prisme d`un triangle -‐ Raoul Scholtes 1

 Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 1 Le prisme d’un triangle Soit ABC un triangle équilatéral avec les propriétés suivantes: • AB = AC = BC = x • α=β=γ= 60° Soient (AE), (BF) et (CD) les médianes de ABC. Elles sont concourantes en G, le centre de gravité de ABC. Puisque dans un triangle équilatéral les médianes, les médiatrices, les bissectrices et les hauteurs sont confondues, on a : • AÊB = 90°
• BFC = 90° • CDA = 90° Maintenant plaçons les points les points H, I et J tel que : • H = mil [AG] • I = mil [BG] • J = mil [CG] Traçons maintenant les segments [HD], [DI], [IE], [EJ], [JF] et [FH], qui connectent les milieux des côtés de ABC et les milieux de [AG], [BG] et [CG]. On constate qu’à l’intérieur de ABC, la représentation d’un prisme se forme. Questions : • Prouver que ce prisme est un cube dans le cas d’un triangle équilatéral. • Prouver que ce prisme est régulier dans le cas d’un triangle quelconque. • Quelles sont les longueurs des côtés du prisme par rapport à celles des côtés du triangle ? Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 2 Démonstration dans le triangle équilatéral : Pour que ce prisme soit un cube, les conditions suivantes doivent être accomplies : • HD = DI = IE = EJ = JF = FH = HG = DG = IG = EG = JG = FG • (HD) // (FI) // (EJ) ; (DI) // (HE) // (JF) ; (IE) // (DJ) // (FH) Soit C’ le cercle inscrit de ABC. Puisque dans un triangle équilatéral les médianes et les bissectrices sont confondues, le centre de C’ est G et le rayon DG = EG = FG = 1/3AE. Or les segments [HG], [IG] et [JG] sont aussi le rayon de C’, car leur longueur est la moitié de celle d’[AG] (qui est 1 – 1/3 = 2/ !) 3
6 angles se partagent l’espace autour de G. Puisqu’un tour complet a 360°, chaque angle de ceux-­‐
là a 60°. Regardons maintenant les 6 triangles formés dans C’. On sait qu’un angle de ces triangles a 60°, et que 2 côtés ont la même longueur. Donc forcément il s’agit de triangles équilatéraux. Donc on prouvé que : • HD = DI = IE = EJ = JF = FH = HG = DG = IG = EG = JG = FG On a trouvé que les 6 angles autour de G ont une valeur de 60°. Regroupons-­‐les dans 3 groupes de 2 : • DĜI = FĜJ = 60° • HĜD = JĜE = 60° • HĜF = IĜE = 60° On constate que chaque paire représente deux angles opposés par le sommet. Forcément (puisque HG = DG = IG = EG = JG = FG): • (HD) // (EJ) • (DI) // (JF) • (IE) // (FH) Prenons le quadrilatère HDGF. On sait que : • HD = DG = GF = FH • HDG = HFG = 60° • DĤF = DĜF = 2 Ÿ 60° = 120° Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 3 Puisque les deux paires d’angles opposés ont la même valeur, HDGF est un parallélogramme. Donc, logiquement : • (DH) // (GF) —> (DH) // (IF) I, G, F alignés • (DG) // (HF) —> (DJ) // (HF) D, G, J alignés Même raisonnement dans les autres quadrilatères du prisme : • (HD) // (FI) // (EJ) • (DI) // (HE) // (JF) • (IE) // (DJ) // (FH) C.Q.F.D. Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 4 Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 5 Démonstration dans le triangle quelconque A prouver : • [EH] // [IG] // [GF] // [DJ] —> (EH) // (IF) // (DJ) EH = IG =GF = DJ I, G , F alignés 2EH = IF = 2DJ • [HF] // [EG] // [GJ] // [ID] —> (HF) // (EJ) // (ID) HF = EG = GJ = ID E, G, J alignés 2HF = EJ = 2ID • [FJ] // [HG] // [GD] // [EI] —> (FJ) // (HD) // (EI) FJ = HG = GD = EI H, G, D alignés 2FJ = HD = 2EI On sait que le centre de gravité G est toujours situé sur une place fixe des segments des médianes à l’intérieur du triangle. La distance entre G et le côté par lequel la médiane choisie passe est de 1/3 de la longueur du segment (donc la distance entre G et le sommet par lequel la médiane choisie passe est de 2/3 de la longueur du segment). Application dans l’exemple : GD/AD = 1/3 et AG/AD = 2/3 Puisque H est par définition le milieu de [AG], on a : • AH = HG = AG/AD/2 = 2/3/2 = 1/3 Donc on vient de prouver que AH = HG = GD (de même pour les 2 autres médianes) BI = IG = GF EG = GJ = JC Regroupons les angles autour de G dans 3 paires : • EĜH = DĜJ • EĜI = FĜJ • IĜD = HĜF Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 6 On sait que : • HG = GD et H, G, D alignés • EG = GJ et E, G, J alignés • EĜH = DĜJ Prenons les triangles EGH et DGJ. Puisque 2 côtés et un angle sont identiques pour les 2 triangles, EH = DJ Alors si EH = DJ ; EĜH = DĜJ ; EG = GJ ; E, G, J alignés ; HG = GD et H, G, D alignés : (EH) // (DJ) (de même pour les 2 autres paires de triangles) ID = HF et (ID) // (HF) EI = FJ et (EI) // (FJ) Pour que (EH) // (GF) et EH = GF ; (EG) // (HF) et EG = GF, il faut que le quadrilatère EGFH soit un parallélogramme, de même pour tous les autres exemples. On sait que (EH) // (DJ) et (ID) // (HF). Traçons maintenant les droites sur lesquelles ces segments se trouvent. On voit qu’elles forment un nouveau quadrilatère KHLD (vert sur la figure) de centre G, dont il s’agit d’un parallélogramme puisque les côtés opposés sont parallèles et de même longueur (le double du segment initial). On sait que (EI) // (FJ) et (ID) // (HF). Traçons maintenant les droites sur lesquelles ces segments se trouvent. On voit qu’elles forment un nouveau quadrilatère MINF (deux côtés identiques avec KHLD et deux nouveaux dorés) de centre G, dont il s’agit d’un Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 7 parallélogramme puisque les côtés opposés sont parallèles et de même longueur (le double du segment initial). Pour simplifier la figure, cachons notre triangle initial. On voit que (HD) et (EJ) sont les axes de symétrie de MINF. Donc on peut dire qu’elles partagent ce quadrilatère en 4 parallélogrammes identiques (dont deux, EIDG et HGJF, correspondent à deux faces de notre prisme. En répétant ceci avec KHLD et le troisième quadrilatère de cette sorte (qu’on n’a pas traité ici), on obtient que les autres faces du prisme soient aussi des parallélogrammes. Ainsi, on peut affirmer que : • (EH) // (IF) // (DJ) 2EH = IF = 2DJ • (HF) // (EJ) // (ID) 2HF = EJ = 2ID • (FJ) // (HD) // (EI) 2FJ = HD = 2EI C.Q.F.D. Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 8 Relation entre la longueur des côtés du prisme et celle des côtés du triangle On sait que : • EH = 1/3BF (BF) étant une médiane du triangle • ID = 1/3EC (EC) étant une médiane du triangle • EI = 1/3AD (AD) étant une médiane du triangle Théorème des médianes dans ABC : • AB2 + AC2 = 1/2BC2 + 2AD2 AB2 + AC2 = 1/2BC2 + 2(3EI) 2 AB2 + AC2 = 1/2BC2 + 18EI2 18EI2 = AB2 + AC2 – 1/2BC2 EI2 = 1/18AB2 + 1/18AC2 – 1/36BC2 On en déduit que : x2 = 1/18 Ÿ a2 + 1/18 Ÿ b2 – 1/36 Ÿ c2 si x = longueur/largeur/hauteur recherchée du prisme, parallèle/confondue à une médiane y c = côté du triangle par lequel y passe a, b = les autres côtés du triangle Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 9 Résumé Dans chaque triangle est inscrite la représentation d’un prisme régulier, dont les côtés sont calculables. En effet, en traçant le triangle, ses trois médianes, les milieux des segments centre de gravité – angle et en reliant ces milieux avec les milieux des côtés du triangle, on voit un cube dans le triangle équilatéral et un parallélépipède dans le triangle quelconque. Les longueurs des côtés du prisme sont directement dépendantes des longueurs des côtés du triangle, de façon : x2 = 1/18 Ÿ a2 + 1/18 Ÿ b2 – 1/36 Ÿ c2 si x = longueur/largeur/hauteur recherchée du prisme, parallèle/confondue à une médiane y c = côté du triangle par lequel y passe a, b = les autres côtés du triangle Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 10 Comment je suis parvenu à cette idée Je suis venu à cette idée par pure expérimentation. Quand on m’a annoncé le concours, je savais que je ferais quelque chose dans le triangle, mais j’ignorais quoi. Alors, j’ai commencé à expérimenter dans le triangle, quand j’ai trouvé une idée : j’ai remarqué que, dans tout triangle rectangle, la longueur de la médiane croisant la hypoténuse est la demie de la hypoténuse. Mais je devais vite constater que cela avait déjà été démontré. Ainsi, je continuais à expérimenter, spécialement dans le triangle équilatéral et avec les médianes, par résultat de trouver cette idée-­‐ci. Buts • Faire quelque chose de nouveau que personne n’a fait auparavant • Ajouter un grain de sel à la science • Prendre plaisir Echecs • Echec à démontrer le parallélisme entre médiane et côté extérieurs du prisme par le théorème des sinus • Echec à démontrer le parallélisme entre médiane et côté extérieurs du prisme par une méthode de comparaison des angles • 2 fautes dans la formule de calcul (corrigées) Merci à… • Christian Scholtes, pour m’avoir aidé à démontrer la dernière partie du projet • M. Romain Glodt, pour avoir corrigé une erreur de notation et pour avoir complété une « faille de sécurité » dans le projet Index fr.wikipedia.org -­‐ recherche sur le théorème des médianes pour établir ma formule J Le prisme d’un triangle -­‐ Raoul Scholtes 11