Devoir non surveillé de mathématiques n° 12

Devoir non surveillé de mathématiques no12 PCSI, Lycée Jean Bart —Année 2016 /2017
Devoir non surveillé de mathématiques no12
Devoir donné mardi 4avril 2017
À rendre mardi 25 avril 2017
Vous pouvez me poser des questions à l’adresse suivante : [email protected]
Résultats de cours à démontrer
Edésigne un K-espace vectoriel.
Proposition —Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. On suppose que
(1)(~ u1, . . . , ~ up)est un système générateur de F;
(2)(~ v1, . . . , ~ vq)est un système générateur de G.
Alors, (~ u1, . . . , ~ up,~ v1, . . . , ~ vq)est un système générateur de F+G. Autrement dit,
Vect(~ u1, . . . , ~ up) + Vect(~ v1, . . . , ~ vq) = Vect(~ u1, . . . , ~ up,~ v1, . . . , ~ vq).
Proposition —Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Een situation de somme
directe. On suppose que
(1)(~ u1, . . . , ~ up)est un système libre de F;
(2)(~ v1, . . . , ~ vq)est un système libre de G.
Alors, (~ u1, . . . , ~ up,~ v1, . . . , ~ vq)est un système libre de F⊕G.
Corollaire —Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Een situation de somme
directe. On suppose que
(1)(~ u1, . . . , ~ up)est une base de F;
(2)(~ v1, . . . , ~ vq)est une base de G.
Alors, (~ u1, . . . , ~ up,~ v1, . . . , ~ vq)est une base de F⊕G.
Proposition —Soit (~ u1, . . . , ~ up,~ v1, . . . , ~ vq)un système libre de E. Alors, Vect(~ u1, . . . , ~ up)
et Vect(~ v1, . . . , ~ vq)sont en situation de somme directe.
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Devoir non surveillé de mathématiques no12 PCSI, Lycée Jean Bart —Année 2016 /2017
Deux exercices
Exercice 1Attention, il y avait une erreur dans l’expression de P(X)!
On considère le polynôme P=X6+2X4+2X2+1.
1. Soient x∈C∗et y=x+1
x. Montrer que xest une racine de Psi et seulement si
y∈{−1, 0, 1}(on pourra factoriser : P(x) = x3x3+2x+··· ).
2. Déterminer l’ensemble des racines complexes de P.
3. Factoriser le polynôme Pen produit de facteurs irréductibles de C[X]et de R[X].
Exercice 2Soit El’ensemble des fonctions de Rdans Rde classe C∞et 2π-périodiques.
On considère l’application T:E−→ E.
f7−→ f0
1. Vérifier que Eest un R-espace vectoriel.
2. Montrer que l’application Test correctement définie puis montrer que Test un
endomorphisme de E.
3. Déterminer Ker(T). L’endomorphisme Test-il injectif ?
4. Montrer que
Im(T) = g∈E|Zπ
−π
g(t)dt=0.
L’endomorphisme Test-il surjectif ?
5. Vérifier que Ker(T)⊕Im(T) = E.
6. Soient F=Im(T)et l’application S:F−→ F.
f7−→ f0
a. Vérifier que l’application Sest correctement définie puis que Sest un endomor-
phisme de F.
b. Montrer que Sest un automorphisme de F. En déduire que Sn∈GL(F)quel
que soit n∈N.
c. Vérifier que sin2017 ∈F.
d. Déduire de ce qui précède l’existence d’un élément fde F(i.e. fest une
fonction de classe C∞,2π-périodique et telle que Rπ
−πf(t)dt=0) tel que
f(2017)=sin2017 (on pourra considérer S2017).‡
e. Sera-t-il possible de poser cet exercice l’année prochaine (i.e. où 2017 est rem-
placé par 2018) ?
‡. Attention aux différents sens des exposants 2017 :f(2017)désigne la dérivée d’ordre 2017 de f,
sin2017 désigne la puissance 2017 de la fonction sinus et S2017 désigne la composée S2017 =S◦S◦ · ·· ◦ S
| {z }
2017 termes
.
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