Devoir non surveillé de mathématiques n° 12

Devoir non surveillé de mathématiques no 12
PCSI, Lycée Jean Bart — Année 2016 /2017
Devoir non surveillé de mathématiques no 12
Devoir donné mardi 4 avril 2017
À rendre mardi 25 avril 2017
Vous pouvez me poser des questions à l’adresse suivante : [email protected]
Résultats de cours à démontrer
E désigne un K-espace vectoriel.
Proposition — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On suppose que
(1) ( u~1 , . . . , u~ p ) est un système générateur de F ;
(2) (v~1 , . . . , v~q ) est un système générateur de G.
Alors, ( u~1 , . . . , u~ p , v~1 , . . . , v~q ) est un système générateur de F + G. Autrement dit,
Vect( u~1 , . . . , u~ p ) + Vect(v~1 , . . . , v~q ) = Vect( u~1 , . . . , u~ p , v~1 , . . . , v~q ).
Proposition — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E en situation de somme
directe. On suppose que
(1) ( u~1 , . . . , u~ p ) est un système libre de F ;
(2) (v~1 , . . . , v~q ) est un système libre de G.
Alors, ( u~1 , . . . , u~ p , v~1 , . . . , v~q ) est un système libre de F ⊕ G.
Corollaire — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E en situation de somme
directe. On suppose que
(1) ( u~1 , . . . , u~ p ) est une base de F ;
(2) (v~1 , . . . , v~q ) est une base de G.
Alors, ( u~1 , . . . , u~ p , v~1 , . . . , v~q ) est une base de F ⊕ G.
Proposition — Soit ( u~1 , . . . , u~ p , v~1 , . . . , v~q ) un système libre de E. Alors, Vect( u~1 , . . . , u~ p )
et Vect(v~1 , . . . , v~q ) sont en situation de somme directe.
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Devoir non surveillé de mathématiques no 12
PCSI, Lycée Jean Bart — Année 2016 /2017
Deux exercices
Exercice 1 Attention, il y avait une erreur dans l’expression de P (X ) !
On considère le polynôme P = X 6 + 2X 4 + 2X 2 + 1.
1
1. Soient x ∈ C∗ et y = x + x . Montrer que x est une racine de P si et seulement si
y ∈ {−1, 0, 1} (on pourra factoriser : P (x) = x 3 x 3 + 2x + · · · ).
2. Déterminer l’ensemble des racines complexes de P .
3. Factoriser le polynôme P en produit de facteurs irréductibles de C[X ] et de R[X ].
Exercice 2 Soit E l’ensemble des fonctions de R dans R de classe C ∞ et 2π-périodiques.
On considère l’application T : E −→ E .
f 7−→ f 0
1. Vérifier que E est un R-espace vectoriel.
2. Montrer que l’application T est correctement définie puis montrer que T est un
endomorphisme de E.
3. Déterminer Ker(T ). L’endomorphisme T est-il injectif ?
4. Montrer que
Z
Im(T ) = g ∈ E |
π
g (t ) dt = 0 .
−π
L’endomorphisme T est-il surjectif ?
5. Vérifier que Ker(T ) ⊕ Im(T ) = E.
6. Soient F = Im(T ) et l’application S : F −→ F .
f 7−→ f 0
a. Vérifier que l’application S est correctement définie puis que S est un endomorphisme de F .
b. Montrer que S est un automorphisme de F . En déduire que S n ∈ GL(F ) quel
que soit n ∈ N.
c. Vérifier que sin2017 ∈ F .
d. Déduire de ce qui précède l’existence d’un élémentR f de F (i.e. f est une
π
fonction de classe C ∞ , 2π-périodique et telle que −π f (t ) dt = 0) tel que
f (2017) = sin2017 (on pourra considérer S 2017 ). ‡
e. Sera-t-il possible de poser cet exercice l’année prochaine (i.e. où 2017 est remplacé par 2018) ?
‡. Attention aux différents sens des exposants 2017 : f (2017) désigne la dérivée d’ordre 2017 de f ,
sin
désigne la puissance 2017 de la fonction sinus et S 2017 désigne la composée S 2017 = |S ◦ S ◦{z· · · ◦ S}.
2017
2017 termes
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