Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique

Licence de Mathématiques Fondamentales
Calcul Scientifique
feuille de TD 7
Mardi 26 mars 2002
D’après “Astronomie” , Larousse : “La masse du Soleil étant largement prépondérante (plus de
99% de la masse du système solaire), on peut en première approximation calculer la trajectoire d’une
planète en négligeant la présence des autres : c’est le problème des 2 corps. Dans ces conditions,
la trajectoire est une ellipse située dans un plan fixe, et satisfait les lois de Kepler.
Les orbites sont rapportées à un plan de référence : pour les planètes ou la lune il s’agit du plan
de l’orbite terrestre ou écliptique. On appelle noeuds les deux points en lesquels une orbite coupe
le plan de référence. Le point de l’orbite où la distance est minimale est appelé périhélie pour les
planètes et périgée pour la lune. L’orbite d’une planète est entièrement déterminée par 5 éléments
(cf. dessin) :
– Le demi-grand axe a.
– L’excentricité e.
– L’inclinaison i du plan de l’orbite par rapport au plan de l’écliptique.
– la position de la ligne des noeuds dans le plan de l’écliptique
– l’argument du périhélie (périgée) par rapport à la ligne des noeuds
La position d’un point sur l’orbite est définie, de plus, par l’instant du passager
au périhélie. La
1+e
distance périhélique est donnée par a(1 − e), et la vitesse périhélique par (2πa/T )
où T est
1−e
la période sidérale.
En première approximation, on peut considérer que la Lune satisfait les lois de Kepler et qu’elle
gravite autour de la Terre en décrivant une orbite elliptique de période 27, 322 jours, inclinée de
5˚9’ sur l’écliptique et dont le demi-grand axe vaut 384400 km et l’excentricité 0.055. Mais toutes
les valeurs précédentes ne sont que des valeurs moyennes, compte tenu des nombreuses inégalités
qui affectent le mouvement réel de la Lune. On note en particulier :
– Une rotation de la ligne des noeuds dans le plan de l’écliptique, dans le sens rétrograde avec
une période d’environ 18, 60 ans.
– Une rotation du grand axe de l’orbite dans le plan l’orbite , avec une période de 8 ans et 310
jours par rapport aux étoiles.”
Exercice - 1 Soleil-Terre-Lune : programmation
On considère le système à 3 corps Soleil-Terre-Lune, où le Soleil est fixe et centre du repère.
On désigne par M , mT et mL les masses respectives du Soleil, de la Terre et de la Lune et par r~T
et r~L ) les vecteurs position de la Terre et de la Lune respectivement. La RFD s’écrit :

M mT
mL mT
d2~rT


 mT dt2 = −G ||~r ||3 ~rT − G ||~r − ~r ||3 (~rT − ~rL )
T
T
L
2


 mL d ~rL = −G M mL ~rL + G mL mT (~rT − ~rL )
dt2
||~rL ||3
||~rT − ~rL ||3
où G est la constante de gravitation universelle.
On souhaite comparer plusieurs méthodes numériques de résolution de ce système. Pour se
ramener à un système différentiel du premier ordre, on fait intervenir la vitesse v~T de la Terre et
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v~L de la Lune. Avec des notations en coordonnées cartésiennes évidentes (~rT = (rT1 , rT2 , rT3 ),. . . )
le système s’écrit :
 ′
rT1 = vT1




 r′ = vT

2
T2


 ′

=
v
r

T
3
T3




mL
M

′

r −G
vT1 = −G 2

3/2 (rT1 − rL1 )

2 + r2 )3/2 T1

(r
+
r
2

T1
T2
T3
(rT1 − rL1 ) + (rT2 − rL2 )2 + (rT3 − rL3 )2





M
mL


vT′ 2 = −G 2
rT2 − G

(rT2 − rL2 )
2
2
3/2

(rT1 + rT2 + rT3 )
2 3/2
2 + (r
2 + (r

)
−
r
)
−
r
)
−
r
(r

L
T
L
T
L
T
3
3
2
2
1
1




M
mL


vT′ 3 = −G 2
rT3 − G

3/2 (rT3 − rL3 )
2
2

3/2

(rT1 + rT2 + rT3 )
(rT1 − rL1 )2 + (rT2 − rL2 )2 + (rT3 − rL3 )2
′

= vL1
rL

1



′

rL2 = vL2




′

= vL3
rL

3




M
mT

′

= −G 2
vL
r +G

(rT1 − rL1 )
1
2 + r2 )3/2 L1

(r
+
r
2 3/2
2 + (r
2

L
L
L
)
−
r
)
−
r
)
+
(r
−
r
(r

1
2
3
L
T
L
T
L
T
3
3
2
2
1
1




M
mT

′

= −G 2
vL
rL2 + G

(rT2 − rL2 )

2
2
2
3/2

(rL1 + rL2 + rL3 )
2 3/2
2
2

(r
T

1 − rL1 ) + (rT2 − rL2 ) + (rT3 − rL3 )




M
mT

′


3/2 (rT3 − rL3 )
 vL3 = −G (r2 + r2 + r2 )3/2 rL3 + G
L1
L2
L3
(rT1 − rL1 )2 + (rT2 − rL2 )2 + (rT3 − rL3 )2
Les valeurs numériques sont les suivantes :
M = 2, 0.1030 kg, mT = 5, 976.1024 kg, mL =
mT
81, 3
et G = 6, 67.10−11 S.I.
On prend comme conditions initiales le Soleil, Terre, Lune alignés dans cet ordre ( “alignés”
modulo le fait que la Lune est dans un plan d’angle i = 5˚9’ = 0.103 radians par rapport à
l’écliptique), la Terre étant à sa périhélie et la Lune à son périgée. On obtient :
rT0 1 = rTP , rT0 2 = 0, rT0 3 = 0, vT0 1 = 0, vT0 2 = vTP , vT0 3 = 0,
0
0
0
0
0
0
=0
= vTP + vLP , vL
= 0, vL
= rLP sin(i), vL
= 0, rL
= rTP + rLP cos(i), rL
rL
3
2
1
3
2
1
où rTP = 1, 4706.1011 m, vTP = 3, 096.104 m/s, rLP = 3, 6326.108 m et vLP = 1.0811.103 m/s
(valeurs calculées d’après les formules données en introduction et les tableaux de valeurs).
1- Résoudre le système par la méthode d’Euler (sur une période de la Terre par exemple). Tracer
les trajectoires de la Terre et de la Lune, puis la trajectoire de la Lune autour de la Terre.
2- Mêmes questions avec la méthode de Runge-Kutta. Que se passe-t-il sur 10 ans ?
3- Faites la même simulation en utilisant les intégrateurs de Matlab . La commande est la
suivante :
[t,x] = ode113(@systeme,range,xinit);
où systeme.m est le fichier où est déclaré le système, range = [0; T ] est l’intervalle d’intégration,
et xinit = [rT0 1 ; rT0 2 ; . . .] est le vecteur des conditions initiales.
La fonction Matlab ode113 est une méthode d’intégration multi-pas (méthode d’AdamsBashforth-Moulton). Tester aussi avec les fonctions ode23 ou ode23s, qui sont des méthodes adaptées aux systèmes dits raides (voir l’aide en ligne de Matlab ).
Comparer les résultats avec les méthodes que vous avez programmées.
Exercice - 2 Une méthode de Crank-Nicholson
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Considérons le système différentiel :
(
x′ = by
y ′ = −ax
1- Montrer que si (x0 , y0 ) 6= (0, 0) alors il existe une unique solution maximale, définie sur R, telle
que x(0) = x0 et y(0) = y0 , appartenant à une ellipse E que l’on déterminera.
2- On considère le schéma numérique suivant :
(
xn+1 = xn + hb(αyn + βyn+1 )
yn+1 = yn − ha(γxn + δxn+1 )
a- Quelle méthode reconnaissez-vous lorsque :
– α = 1, β = 0, γ = 1, δ = 0 ?
– α = 0, β = 1, γ = 0, δ = 1 ?
b- Déterminer une relation entre α, β, γ, δ telle que si (xn , yn ) ∈ E alors (xn+1 , yn+1 ) ∈ E.
c- Montrer que l’on peut expliciter la méthode numérique sous la forme :
1
(1 − h2 abβγ)xn + hb(α + β)yn
1 + h2 abβδ
1
=
−ha(γ + δ)xn + (1 − h2 abαδ)yn
2
1 + h abβδ
xn+1 =
yn+1
d- En déduire les coefficients α, β, γ, δ tels que l’ellipse E est conservée, et tels que la méthode est
d’ordre au moins un. Quel est alors l’ordre de la méthode ?
e- Programmer la méthode numérique précédente, et tracer les résultats sur un même graphe (x, y)
pour les coefficients suivants :
– α = 1, β = 0, γ = 1, δ = 0 ,
– α = 0, β = 1, γ = 0, δ = 1 ,
– α = β = γ = δ = 21 .
Comparer les résultats obtenus.
Annexe : quelques sites internet pour le projet.
http://membres.lycos.fr/mad8/terre.htm
http://www.geom.umn.edu/~megraw/CR3BP_html/dynsys.html
http://www.astrosurf.com/rondi/3c/theorie.htm
http://dess-s2.obspm.fr/~kolb/TroisC/rep_traj.html
http://inforezo.u-strasbg.fr/~cellier/sciences/3corps/images.html
http://www.physique.usherb.ca/~dsenech/mec/simul/Kepler3C.htm
http://dess-s2.obspm.fr/~maury/Accueil.htm
http://www.dstu.univ-montp2.fr/PERSO/josselin/planetesol1.html