Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal Sujets de TER 2009/2010 Le TER est un court stage d’initiation à la recherche encadré par un membre du laboratoire de mathématiques, qui consiste en l’étude de textes mathématiques sur un domaine voisin de ceux au programme du M1. Ce travail se conclut par la rédaction d’un mémoire et un exposé oral (20 minutes par étudiant). Les étudiants devront communiquer leur choix pour le lundi 18 janvier. Le début effectif du TER est donc fixé au 19 janvier. Table des matières 1 Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulation-fragmentation 2 2 Etude du comportement organisé d’une volée d’oiseaux 2 3 Fonctions entières à croissances exponentielles 3 4 Groupe de Brauer d’un corps (commutatif) 3 5 Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu 4 6 Le théorème de Peter-Weyl 4 7 Le théorème de Kronecker-Weber 4 8 Un théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre pn qm 5 9 Noethérianité des anneaux de polynômes non commutatifs 5 10 Le théorème de Poincaré–Hopf 5 11 Courbure et Topologie 6 12 Polynômes d’Euler et groupe des classes des corps quadratiques imaginaires. 6 13 Existence et unicité de solutions classiques au système de Vlasov-Poisson 7 14 Inégalités fonctionnelles : meilleure constante dans l’ inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev 7 15 Théorèmes Tauberiens et fonctions zeta 8 16 Groupes de Coxeter et algèbres de Hecke 8 17 Égalités arithmétiques et formes modulaires 9 18 Introduction aux groupes libres 9 19 Dimensions des ensembles et des mesures 10 1 1 Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulationfragmentation Sujet proposé par Véronique Bagland On considère un système infini d’amas de particules dont la dynamique est régie par des phénomènes de coagulation et de fragmentation. Les amas peuvent fusionner pour former de plus grands amas ou, au contraire, se diviser en de plus petits amas. Ces amas sont uniquement déterminés par leur taille i ∈ N∗ . Pour chaque i ∈ N∗ , on note ci (t) le nombre d’amas de taille i par unité de volume au temps t. Les (ci )i≥1 vérifient un système infini d’équations différentielles. On s’intéresse ici au poblème de Cauchy associé. Bien que s’appuyant sur un article de recherche, les démonstrations utilisent des outils de niveau Licence ou Master 1. Il s’agit tout d’abord de se ramener à un système fini d’équations différentielles, ce qui permet d’utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. Le théorème d’Arzela-Ascoli permet alors de passer à la limite. Davantage de renseignements sont disponibles à partir du lien : http ://math.univ-bpclermont.fr/ bagland/ter.pdf Bibliographie H. Amann, Ordinary Differential Equations, An Introduction to Nonlinear Analysis. J. M. Ball ; J. Carr, The discrete coagulation-fragmentation equations : existence, uniqueness, and density conservation, J. Statist. Phys., 61 : 203–234, 1990. S. Lang, Analyse réelle. 2 Etude du comportement organisé d’une volée d’oiseaux Sujet proposé par Véronique Bagland On considère un groupe constitué de N oiseaux, N ∈ N, se déplaçant dans R3 . On suppose que chaque animal ajuste sa vitesse en fonction de la vitesse de ses voisins et de sa distance avec eux, ce qui implique que les positions et les vitesses de ces oiseaux satisfont un système différentiel, introduit par Cucker et Smale. Le but de ce TER est de comprendre le modèle continu en temps obtenu par Cucker et Smale, de justifier mathématiquement l’existence d’une solution globale en temps au problème de Cauchy associé puis de considérer le comportement asymptotique de ces solutions. En effet, Cucker et Smale ont montré que, sous certaines conditions sur les données initiales, les oiseaux tendent tous à voler à la même vitesse. Des simulations numériques peuvent également être envisagées. Bien qu’issues d’articles de recherche, les démonstrations utilisent des outils de niveau Licence ou Master 1. D’ailleurs, lors de la session 2009 du concours de l’agrégation de Mathématiques, un des textes de l’épreuve orale de modélisation traitait d’un problème proche. Les démonstrations utilisent aussi bien des résultats sur les équations différentielles avec notamment des inégalités de type Gronwall que de l’algèbre bilinéaire. Bibliographie (Je tiens à la disposition de tout étudiant intéressé les deux articles ci-dessous) M. W. Hirsch ; S. Smale, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. F. Cucker ; S. Smale, On the mathematics of emergence. Jpn. J. Math., 197–227, 2007. F. Cucker ; S. Smale, Emergent behavior in flocks. IEEE Trans. Automat. Control, 852–862, 2007. 2 3 Fonctions entières à croissances exponentielles Sujet proposé par Frédéric Bayart R ÉSUMÉ - Par le théorème de Liouville, une fonction entière bornée est constante. Plus généralement, si f est une fonction holomorphe dans C vérifiant | f (z)| ≤ A + B|z|n pour des constantes A, B > 0 et N ∈ N, alors f est un polynôme de degré N. On remarque en particulier que plus un polynôme a de racines, plus il croît vite à l’infini. On s’intéressera dans ce TER aux fonctions entières à croissances exponentielles, c’est-à-dire aux fonctions f holomorphes dans le plan complexe et telles que | f (z)| ≤ A exp(|z|σ ), pour des constantes A, σ > 0. Ces fonctions ont des propriétés intéressantes. En particulier, la répartition de leurs zéros dépend de la croissance qui est autorisée. Les outils utilisés seront des méthodes classiques d’analyse complexe. P RÉREQUIS - Les théorèmes usuels sur les fonctions holomorphes vus en L3 ou M1. B IBLIOGRAPHIE – R. Boas, Entire functions – Y. Levin, Lecture on entire functions 4 Groupe de Brauer d’un corps (commutatif) Sujet proposé par Julien Bichon Soit k un corps commutatif. Le groupe de Brauer de k, noté Br(k), est un groupe abélien important associé à k. Le but du TER est de construire le groupe de Brauer Br(k) et de le calculer dans des cas simples mais importants. Etape 1. En tant qu’ensemble, Br(k) est l’ensemble des classes de k-isomorphismes d’extensions k ⊂ D, où D est un corps non nécessairement commutatif tel que dimk (D) < ∞ et dont le centre est k. Dans un premier temps, on déterminera l’ensemble Br(k) pour les cas suivant : - k est algébriquement clos, - k est un corps fini (théorème de Wedderburn), - k = R (théorème de Frobénius). Etape 2. Il s’agit ensuite de construire la loi de groupe de Br(k). Pour cela on étudiera la notion de module sur un anneau (qui est l’analogue, pour les anneaux, des opérations de groupes sur des ensembles). On étudiera en particulier les anneaux semisimples (théorème de classification de Wedderburn) et les produits tensoriels de modules. Tout cela est strictement contenu dans le livre [1]. Références. [1] B. Farb, R. Dennis, Noncommutative algebra, Springer, 1993. [2] S. Lang, Algebra, third edition, Addison-Wesley, 1993. 3 5 Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu Sujet proposé par Jérôme Chabert Une matrice de Toeplitz (ou “circulante”) est une matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes. Plus généralement, on dit qu’un opérateur sur `2 (N) est un opérateur de Tœplitz s’il associe à la suite (xn ) la suite de terme général ∑k∈N cn−k xk , (où (cn )Z est une suite complexe fixée). Ces opérateurs apparaissent dans de multiples applications des mathématiques et le calcul de leur spectre est une branche de recherche encore active. Le but de ce TER est de comprendre le cas particulier de tels opérateurs “à symboles continus”. Ce cas élémentaire fait intervenir à la fois des notions de théorie des opérateurs, d’analyse complexe et de topologie des courbes. On abordera l’étude de l’algèbre de Calkin et des opérateurs de Fredholm. La démarche est décrite dans [1] et [2]. Prérequis : le cours de theorie spectrale. Bibliographie : [1] W. Arveson, “A short course in spectral theory”, GTM 209, Springer [2] K. Davidson, “C ∗ -algebras by example”, Field institute monographs, AMS. 6 Le théorème de Peter-Weyl Sujet proposé par Jérôme Chabert Ce théorème est un résultat classique d’analyse harmonique sur les groupes, qui généralise au cas des groupes compacts un résultat sur les groupes finis du à Frobenius et Schur. Ce résultat possède de nombreux corollaires, permettant en particulier d’obtenir des informations sur la structure d’un groupe compact. L’objectif du TER est la preuve de ce théorème, par une méthode faisant intervenir le théorème de Gel’fand sur les C ∗ -algèbres commutatives. Le travail se basera sur [1] Prérequis : les cours d’analyse fonctionnelle, d’analyse complexe et de theorie spectrale. Bibliographie : [1] T. Coquand and B. Spitters, “A constructive proof of the Peter-Weyl theorem”, Math. Log. Quart. No. 4, 351-359. 7 Le théorème de Kronecker-Weber Sujet proposé par Jérôme Chabert C’est un exercice classique, dans le cadre d’un cours sur la théorie de Galois, que de montrer qu’une extension quadratique de Q est toujours un sous-corps d’un corps cyclotomique, c’est à dire de Q[ζ], où ζ ∈ C est une racine de l’unité. Le théorème de Kronecker-Weber généralise ce résultat : toute extension abélienne de Q est contenue dans une extension cyclotomique. Cet énoncé, dont la première démonstration complète a été réalisée par D. Hilbert, est à l’origine du développement de la théorie du corps de classe, une branche très importante de la théorie des nombres algébriques, très active aujourd’hui. Le but de ce TER est de compléter les notions abordées dans le cours d’algèbre approfondie, en étudiant la démonstration de ce théorème proposée dans [1]. Prérequis : le cours d’algèbre approfondie. Bibliographie : [1] P. Ribenboim, “Algebraic numbers”, pure and applied mathematics vol. 27. Wiley-Interscience. 4 8 Un théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre pn qm Sujet proposé par François Dumas Présentation du sujet : il s’agit de démontrer que tout groupe fini dont l’ordre admet seulement deux diviseurs premiers est résoluble. Il se situe donc dans la continuité directe des connaissances acquises en cours de M1 sur la notion de groupe résoluble et sur les entiers algébriques, tout en nécessitant d’apprendre les premiers éléments d’une théorie importante en mathématiques, celle des caractères pour les groupes finis. Références bibliographiques : (les ouvrages ci-dessous sont présents à la bibliothèque de maths) : - J.L. Alperin & R.B. Bell, Groups and representations, Springer, 1995 - M. Burrow, Representation theory of finite groups, Academic Press, 1965 - D. Gorenstein, Finite groups, Harper & Row, 1968 - M.-P. Malliavin, les groupes finis et leurs représentations complexes, Masson, 1981 - Derek J.S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer, 1996 9 Noethérianité des anneaux de polynômes non commutatifs Sujet proposé par François Dumas Présentation du sujet : il s’agit d’étendre à des anneaux non commutatifs de polynômes le théorème de Hilbert sur le caractère héréditaire de la noethérianité. Il se situe donc dans la continuité directe des connaissances acquises en cours de M1 sur les anneaux noethériens et les algèbres commutatives de polynômes, tout en s’initiant à des notions qui les étendent dans un contexte non commutatif aux nombreuses applications. Références bibliographiques : (les ouvrages ci-dessous sont présents à la bibliothèque de maths) : - K. R. Goodearl and R. B. Warfield, An introduction to noncommutative Noetherian rings, Cambridge University Press, 1989 - J.C. Mc Connell and J. C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, Wiley-Interscience, 1987 - T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, Springer-Verlag, 1991 10 Le théorème de Poincaré–Hopf Sujet proposé par Michaël Heusener Descriptif : Le but de ce TER est de montrer le théorème de Poincaré–Hopf (aussi connu sous le nom de formule de Poincaré–Hopf, ou théorème de l’index de Poincaré–Hopf, ou encore théorème de l’index de Hopf) est un important résultat en géométrie différentielle. Il porte le nom de Henri Poincaré et Heinz Hopf. Théorème : Soit M une variété différentielle compacte sans bord. Soit X un champ vectoriel sur M avec des zéros isolés. Nous avons alors la formule suivante : ∑ indexX (xi ) = χ(M) i où la somme s’étend sur tous les zéros isoles de X et χ(M) est la caractéristique d’Euler de M. Ce théorème a été prouvé en 2 dimensions par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz Hopf. Références : [1] J.W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. [2] V. Guillemin et A. Pollack. Differential topology. 5 11 Courbure et Topologie Sujet proposé par Michaël Heusener Descriptif : Si M est une variété riemannienne, la courbure de M est un invariant local d’isométrie : en dimension 2, M a courbure positive, resp. nulle, resp. négative, en un point x si un petit cercle centré en x a une longueur plus grande, resp. égale, resp. plus petite, que 2π. La formule de Gauss-Bonnet lie la courbure d’une surface à sa topologie, via la caractéristique d’Euler. Le but de ce TER est de étudier le théorème de Gauss-Bonnet en commençant par une étude approfondie des notions élémentaires de géométrie riemannienne : connexion, courbure, géodésique,.... Références : M.P. do Carmo “Differential Geometry of curves and surfaces”. J.M. Lee “Riemannian manifolds, an introduction to curvature” GTM 176 Springer-Verlag. 12 Polynômes d’Euler et groupe des classes des corps quadratiques imaginaires. Sujet proposé par Thierry lambre Les 40 valeurs P(n), 0 ≤ n < 40, du polynôme P(X) = X 2 + X + 41 sont toutes des nombres premiers : 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601. En revanche, P(40) = 1681 = 412 . Il ne s’agit pas d’une simple curiosité arithmétique. De solides connaissances en théorie algébrique des nombres sont nécessaires pour comprendre complètement cette situation. Le bon cadre est de remarquer que le discriminant de ce polynôme est −163, puis de se placer dans √ 1 + −163 l’anneau A = Z . Dans cet anneau, l’arithmétique est certes plus compliquée que pour Z, 2 mais elle reste suffisamment proche de celle de Z pour que des calculs explicites soient encore possibles. Des arguments de théorie algébrique des nombres permettent de montrer que la curieuse propriété arithmétique observée plus haut se résume à montrer que l’anneau A est principal ! Le résultat à comprendre et à démontrer dans ce TER sera le suivant : Théorème. Soit q un nombre premier et soit Pq (X) le polynôme X 2 + X + q. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) On a q ∈ {2, 3, 5, 11, 17, 41} ; (ii) Le nombre P"q (n) est premier # pour 0 ≤ n ≤ q − 2 ; p 1 + 1 − 4q (iii) L’anneau Z est principal. 2 Nous avons pris q = 41 dans notre exemple initial. Bibliographie. P. Samuel, Théorie algébrique des nombres. P. Ribenboim, Euler’s famous prime generating polynomial and the class number of imaginary quadratic fields, L’Ens. Math., 34, 1988, 23-42. 6 13 Existence et unicité de solutions classiques au système de VlasovPoisson Sujet proposé par Bertrand Lods On s’intéressera ici à l’étude mathématique d’une EDP non linéaire intervenant notamment en astrophysique ou en physique des plasmas : le systême de Vlasov-Poisson dont l’inconnue f (t, x, v) représente la distibution de particules (pour un plasma) ayant la position x ∈ R3 et la vitesse v ∈ R3 à R l’instant t > 0, i.e. $(t, x) = R3 f (t, x, v)dv mesure la densité particules ayant la position x à l’instant t. Les particules sont soumises à un champ de force ∇E(t, x) qui dépend de la densité de particules en tant que solution de l’équation de Poisson : −∆E(t, x) = $(t, x). On s’intéressera dans ce travail au caractère bien posé du système de Vlasov-Poisson en démontrant l’existence et l’unicité d’une solution (globale en temps) au problème de Cauchy associé. La preuve de l’existence repose sur la méthode des caractéristiques (qui permet de démontrer l’existence de solutions locales en temps) ainsi que sur des estimations fines de la taille du support des solutions f . On suivra l’approche présentée en détails dans l’ouvrage de Glassey. Références : R. G LASSEY. The Cauchy Problem in Kinetic Theory, SIAM, 1996. L. C. E VANS. Partial Differential Equations, AMS, 1998. E. L IEB , M. L OSS, Analysis, AMS, 2000. 14 Inégalités fonctionnelles : meilleure constante dans l’ inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev Sujet proposé par Bertrand Lods On démontrera dans ce travail les inégalités de Young et de Hardy-Littlewood-Sobolev qui sont deux exemples importants d’inégalités fonctionnelles dans les espaces L p . L’inégalité de Hardy-LittlewoodSobolev affirme par exemple que, pour tout p, r, > 1 et tout 0 < λ < n vérifiant 1p + λn + 1r = 2, il existe une constante C ≥ 0 telle que Z Z −λ f (x)|x − y| h(y)dxdy ≤ Ck f k p khkr Rn Rn pour toutes fonctions f ∈ L p (Rn ) et h ∈ Lr (Rn ). Cette inégalité a été obtenue indépendamment par Hardy & Littlewood (1930) et S. Sobolev (1938) mais l’obtention de la meilleure constante C ≥ 0 dans l’inégalité ci-dessus est beaucoup plus récente (Lieb, 1983). On démontrera ces inégalités et on déterminera également la meilleure constante pour l’inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. La preuve repose sur l’usage répété d’inégalités plus classiques (Hölder par exemple) ainsi que des inégalités de réarrangements permettant de se limiter à des classes de fonctions f et g ayant certaines propriétés de symétrie. On pourra éventuellement s’intéresser aux applications de ces inégalités à un certain nombre d’équations aux dérivées partielles. Références : E. L IEB , M. L OSS, Analysis, AMS, 2000. 7 15 Théorèmes Tauberiens et fonctions zeta Sujet proposé par Sylvie Paycha Les théorèmes Taubériens ont pour objet d’attribuer une valeur à la somme de certaines séries divergentes. L’une de ces séries divergentes est la fonction ζ de Riemann ∞ ζ(s) = ∑ n−s n=1 qui joue un rôle important en théorie des nombres et qui a été généralisée à des fonctions ζ associées à des opérateurs (comme par exemple les Laplaciens sur un tore) qui elles jouent un rôle central dans la théorie de l’indice et en géométrie noncommutative. Par ailleurs, les fonctions multizeta, que l’on peut naivement voir comme des fonctions zeta emboitées, ont fait l’objet de nombreux travaux récents en théorie des nombres. Ce projet de mémoire s’inscrit dans la perspective encore lointaine et ambitieuse (qui pourrait faire l’objet d’un sujet de thèse) de généraliser les fonctions multizeta à des fonctions multizeta associées à des Laplaciens sur le tore. Le théorème Taubérien d’Ikehara (Théorème 14.1 [Sh]) est un outil de base dans ce contexte et l’objet de ce mémoire est d’en comprendre la démonstration et la conséquence pour le comportement asymptotique lorsque λ → ∞ de la fonction Fσ (λ) = ∑ λiσ λi ≤λ où les λi sont les valeurs propres d’un Laplacien sur un tore. Ce n’est là qu’un point de départ pour d’autres développements possibles si l’étudiant/e en manifeste le souhait. Références [Ca] P. Cartier, An introduction to zeta functions, in “ From number theory to physics”, ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer Verlag (1992). [Sh] M.A. Shubin, Pseudo-differential operators and spectral theory, Springer Verlag 1980. 16 Groupes de Coxeter et algèbres de Hecke Sujet proposé par Simon Riche Les groupes de Coxeter sont une famille de groupes (finis ou infinis) définis par générateurs et relations, et qui peuvent également se décrire géométriquement, comme des sous-groupes de GLn (R) engendrés par des réflexions. Cette famille comprend notamment les groupes symétriques Sn pour tout n ≥ 1. A chaque groupe de Coxeter on peut associer une algèbre de Hecke, qui en est une déformation. Ce TER propose d’étudier les propriétés élémentaires des groupes de Coxeter, et quelques résultats concernant leurs algèbres de Hecke. Il mèlera un petit peu de combinatoire, de la géométrie, de l’algèbre générale et de l’algèbre linéaire. Bibliographie : A. Björner, F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Springer, 2005. J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990. J. Michel, Groupes de réflexions complexes, http ://people.math.jussieu.fr/∼jmichel/cours2004.pdf. G. Lusztig, On a theorem of Benson and Curtis, Journal of Algebra 71 (1981), 490–498. C. W. Curtis, Representations of Hecke algebras, Astérisque 168 (1988), 13–60. 8 17 Égalités arithmétiques et formes modulaires Sujet proposé par Emmanuel Royer Si k ≥ 0 est un entier, on note σk la fonction définie sur les entiers par σk (n) = ∑ dk , d|n la somme portant sur les entiers naturels divisant n. De nombreuses égalités arithmétiques faisant intervenir ces fonctions existent. Par exemple : n−1 σ13 (n) = −10σ3 (n) + 11σ9 (n) + 2640 ∑ σ3 (m)σ9 (m − n) m=1 n−1 = 21σ5 (n) − 20σ7 (n) + 10080 ∑ σ5 (m)σ7 (m − n). m=1 La preuve de ce type d’égalité sera surtout un prétexte à une première étude des formes modulaires. Une référence de départ sera le chapitre 7 du cours d’arithmétique de Jean-Pierre Serre : Serre, J.-P. A course in arithmetic. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973. 18 Introduction aux groupes libres Sujet proposé par Yves Stalder Un groupe libre de base X est un groupe F engendré par X et tel que toute application φ : X → G, où G est un groupe quelconque, s’étende de manière unique en un morphisme de groupes φ̃ : F → G. Les groupes libres sont des objets qui apparaîssent très naturellement en théorie des groupes et qu’on peut voir comme des analogues non commutatifs des Z-modules. On commencera par démontrer l’existence et l’unicité (à isomorphisme près) du groupe libre de base X pour tout ensemble X, après quoi on s’intéressera au résultat suivant. Théorème de Nielsen-Schreier. Tout sous-groupe d’un groupe libre est un groupe libre. Ce résultat est moins trivial qu’il n’y paraît. On le démontrera grâce à la méthode de Nielsen, qui permet, étant donné une partie U d’un groupe libre, d’aboutir à une base du sous-groupe engendré par U. On en donnera si possible une seconde démonstration basée sur une caractérisation des groupes libres en termes d’actions sur des arbres. Ces deux méthodes ont leur intérêt propre. On s’intéressera ensuite à un critère, le lemme du ping-pong qui permet de démontrer que certains groupes sont libres, par exemple certains sous-groupes de SL2 (Z). Références : – P. de la Harpe. Topics in Geometric Group Theory, The University of Chicago Press. (2000). – R. C. Lyndon and P. E. Schupp, Combinatorial group theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 89. Springer-Verlag, Berlin-New York. (1977). – J.-P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin-New York. (1980). 9 19 Dimensions des ensembles et des mesures Sujet proposé par Andrzej Stós Le terme fractale designe, en gros, des formes géométriques irrégulieres et avec des détails à toute échelle. Malgré cette définition irréaliste, certains objets réels sont naturellement modelisés par des fractales. Il est donc important de préciser comment peut-on mesurer de tels objets et de décrire un cadre théorique dans lequel on effectue ces mesures. On propose ici de comprendre la géométrie fractale à l’aide des outils précis des mathématiques. On étudiera la notion de dimension non-entière et on déterminera des characteristiques d’un certain nombre de fractales bien connues. Il s’agira aussi d’étudier l’approche plus générale qui permet d’analyser des mesures définissant plusieurs ensembles fractales à la fois. Prérequis : Théorie de la mesure. Références : K. Falconer, Fractal geometry et Techniques in fractal geometry, John Wiley and Sons K. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge University Press 10