Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal Sujets de TER

Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal
Sujets de TER 2009/2010
Le TER est un court stage d’initiation à la recherche encadré par un membre du laboratoire de mathé-
matiques, qui consiste en l’étude de textes mathématiques sur un domaine voisin de ceux au programme
du M1. Ce travail se conclut par la rédaction d’un mémoire et un exposé oral (20 minutes par étudiant).
Les étudiants devront communiquer leur choix pour le lundi 18 janvier. Le début effectif du TER est
donc fixé au 19 janvier.
Table des matières
1 Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulation-fragmentation 2
2 Etude du comportement organisé d’une volée d’oiseaux 2
3 Fonctions entières à croissances exponentielles 3
4 Groupe de Brauer d’un corps (commutatif) 3
5 Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu 4
6 Le théorème de Peter-Weyl 4
7 Le théorème de Kronecker-Weber 4
8 Un théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre pnqm5
9 Noethérianité des anneaux de polynômes non commutatifs 5
10 Le théorème de Poincaré–Hopf 5
11 Courbure et Topologie 6
12 Polynômes d’Euler et groupe des classes des corps quadratiques imaginaires. 6
13 Existence et unicité de solutions classiques au système de Vlasov-Poisson 7
14 Inégalités fonctionnelles : meilleure constante dans l’ inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev 7
15 Théorèmes Tauberiens et fonctions zeta 8
16 Groupes de Coxeter et algèbres de Hecke 8
17 Égalités arithmétiques et formes modulaires 9
18 Introduction aux groupes libres 9
19 Dimensions des ensembles et des mesures 10
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1 Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulation-
fragmentation
Sujet proposé par Véronique Bagland
On considère un système infini d’amas de particules dont la dynamique est régie par des phéno-
mènes de coagulation et de fragmentation. Les amas peuvent fusionner pour former de plus grands
amas ou, au contraire, se diviser en de plus petits amas. Ces amas sont uniquement déterminés par leur
taille i∈N∗. Pour chaque i∈N∗, on note ci(t)le nombre d’amas de taille ipar unité de volume au
temps t. Les (ci)i≥1vérifient un système infini d’équations différentielles. On s’intéresse ici au poblème
de Cauchy associé.
Bien que s’appuyant sur un article de recherche, les démonstrations utilisent des outils de niveau
Licence ou Master 1. Il s’agit tout d’abord de se ramener à un système fini d’équations différentielles,
ce qui permet d’utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz. Le théorème d’Arzela-Ascoli permet alors de
passer à la limite. Davantage de renseignements sont disponibles à partir du lien :
http ://math.univ-bpclermont.fr/ bagland/ter.pdf
Bibliographie
H. Amann, Ordinary Differential Equations, An Introduction to Nonlinear Analysis.
J. M. Ball ; J. Carr, The discrete coagulation-fragmentation equations : existence, uniqueness, and density
conservation, J. Statist. Phys., 61 : 203–234, 1990.
S. Lang, Analyse réelle.
2 Etude du comportement organisé d’une volée d’oiseaux
Sujet proposé par Véronique Bagland
On considère un groupe constitué de Noiseaux, N∈N, se déplaçant dans R3. On suppose que
chaque animal ajuste sa vitesse en fonction de la vitesse de ses voisins et de sa distance avec eux, ce qui
implique que les positions et les vitesses de ces oiseaux satisfont un système différentiel, introduit par
Cucker et Smale. Le but de ce TER est de comprendre le modèle continu en temps obtenu par Cucker
et Smale, de justifier mathématiquement l’existence d’une solution globale en temps au problème de
Cauchy associé puis de considérer le comportement asymptotique de ces solutions. En effet, Cucker et
Smale ont montré que, sous certaines conditions sur les données initiales, les oiseaux tendent tous à
voler à la même vitesse. Des simulations numériques peuvent également être envisagées.
Bien qu’issues d’articles de recherche, les démonstrations utilisent des outils de niveau Licence ou
Master 1. D’ailleurs, lors de la session 2009 du concours de l’agrégation de Mathématiques, un des textes
de l’épreuve orale de modélisation traitait d’un problème proche. Les démonstrations utilisent aussi bien
des résultats sur les équations différentielles avec notamment des inégalités de type Gronwall que de
l’algèbre bilinéaire.
Bibliographie (Je tiens à la disposition de tout étudiant intéressé les deux articles ci-dessous)
M. W. Hirsch ; S. Smale, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra.
F. Cucker ; S. Smale, On the mathematics of emergence. Jpn. J. Math., 197–227, 2007.
F. Cucker ; S. Smale, Emergent behavior in flocks. IEEE Trans. Automat. Control, 852–862, 2007.
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3 Fonctions entières à croissances exponentielles
Sujet proposé par Frédéric Bayart
RÉSUMÉ - Par le théorème de Liouville, une fonction entière bornée est constante. Plus généralement,
si fest une fonction holomorphe dans Cvérifiant |f(z)| ≤ A+B|z|npour des constantes A,B>0 et
N∈N, alors fest un polynôme de degré N. On remarque en particulier que plus un polynôme a de
racines, plus il croît vite à l’infini.
On s’intéressera dans ce TER aux fonctions entières à croissances exponentielles, c’est-à-dire aux
fonctions fholomorphes dans le plan complexe et telles que |f(z)| ≤ Aexp(|z|σ), pour des constantes
A,σ>0. Ces fonctions ont des propriétés intéressantes. En particulier, la répartition de leurs zéros
dépend de la croissance qui est autorisée. Les outils utilisés seront des méthodes classiques d’analyse
complexe.
PRÉREQUIS - Les théorèmes usuels sur les fonctions holomorphes vus en L3 ou M1.
BIBLIOGRAPHIE -
– R. Boas, Entire functions
– Y. Levin, Lecture on entire functions
4 Groupe de Brauer d’un corps (commutatif)
Sujet proposé par Julien Bichon
Soit kun corps commutatif. Le groupe de Brauer de k, noté Br(k), est un groupe abélien important
associé à k. Le but du TER est de construire le groupe de Brauer Br(k)et de le calculer dans des cas
simples mais importants.
Etape 1. En tant qu’ensemble, Br(k)est l’ensemble des classes de k-isomorphismes d’extensions k⊂D,
où Dest un corps non nécessairement commutatif tel que dimk(D)<∞et dont le centre est k.
Dans un premier temps, on déterminera l’ensemble Br(k)pour les cas suivant :
-kest algébriquement clos,
-kest un corps fini (théorème de Wedderburn),
-k=R(théorème de Frobénius).
Etape 2. Il s’agit ensuite de construire la loi de groupe de Br(k). Pour cela on étudiera la notion de mo-
dule sur un anneau (qui est l’analogue, pour les anneaux, des opérations de groupes sur des ensembles).
On étudiera en particulier les anneaux semisimples (théorème de classification de Wedderburn) et les
produits tensoriels de modules.
Tout cela est strictement contenu dans le livre [1].
Références. [1] B. Farb, R. Dennis, Noncommutative algebra, Springer, 1993.
[2] S. Lang, Algebra, third edition, Addison-Wesley, 1993.
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5 Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu
Sujet proposé par Jérôme Chabert
Une matrice de Toeplitz (ou “circulante”) est une matrice dont les coefficients sur une diagonale
descendant de gauche à droite sont les mêmes.
Plus généralement, on dit qu’un opérateur sur `2(N)est un opérateur de Tœplitz s’il associe à la
suite (xn)la suite de terme général ∑k∈Ncn−kxk, (où (cn)Zest une suite complexe fixée).
Ces opérateurs apparaissent dans de multiples applications des mathématiques et le calcul de leur
spectre est une branche de recherche encore active.
Le but de ce TER est de comprendre le cas particulier de tels opérateurs “à symboles continus”. Ce
cas élémentaire fait intervenir à la fois des notions de théorie des opérateurs, d’analyse complexe et de
topologie des courbes. On abordera l’étude de l’algèbre de Calkin et des opérateurs de Fredholm. La
démarche est décrite dans [1] et [2].
Prérequis : le cours de theorie spectrale. Bibliographie :
[1] W. Arveson, “A short course in spectral theory”, GTM 209, Springer
[2] K. Davidson, “C∗-algebras by example”, Field institute monographs, AMS.
6 Le théorème de Peter-Weyl
Sujet proposé par Jérôme Chabert
Ce théorème est un résultat classique d’analyse harmonique sur les groupes, qui généralise au cas
des groupes compacts un résultat sur les groupes finis du à Frobenius et Schur. Ce résultat possède de
nombreux corollaires, permettant en particulier d’obtenir des informations sur la structure d’un groupe
compact. L’objectif du TER est la preuve de ce théorème, par une méthode faisant intervenir le théorème
de Gel’fand sur les C∗-algèbres commutatives. Le travail se basera sur [1]
Prérequis : les cours d’analyse fonctionnelle, d’analyse complexe et de theorie spectrale. Bibliographie :
[1] T. Coquand and B. Spitters, “A constructive proof of the Peter-Weyl theorem”, Math. Log. Quart.
No. 4, 351-359.
7 Le théorème de Kronecker-Weber
Sujet proposé par Jérôme Chabert
C’est un exercice classique, dans le cadre d’un cours sur la théorie de Galois, que de montrer qu’une
extension quadratique de Qest toujours un sous-corps d’un corps cyclotomique, c’est à dire de Q[ζ], où
ζ∈Cest une racine de l’unité. Le théorème de Kronecker-Weber généralise ce résultat : toute extension
abélienne de Qest contenue dans une extension cyclotomique.
Cet énoncé, dont la première démonstration complète a été réalisée par D. Hilbert, est à l’origine du
développement de la théorie du corps de classe, une branche très importante de la théorie des nombres
algébriques, très active aujourd’hui. Le but de ce TER est de compléter les notions abordées dans le
cours d’algèbre approfondie, en étudiant la démonstration de ce théorème proposée dans [1].
Prérequis : le cours d’algèbre approfondie. Bibliographie :
[1] P. Ribenboim, “Algebraic numbers”, pure and applied mathematics vol. 27. Wiley-Interscience.
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8 Un théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre
pnqm
Sujet proposé par François Dumas
Présentation du sujet : il s’agit de démontrer que tout groupe fini dont l’ordre admet seulement deux
diviseurs premiers est résoluble. Il se situe donc dans la continuité directe des connaissances acquises
en cours de M1 sur la notion de groupe résoluble et sur les entiers algébriques, tout en nécessitant
d’apprendre les premiers éléments d’une théorie importante en mathématiques, celle des caractères
pour les groupes finis.
Références bibliographiques : (les ouvrages ci-dessous sont présents à la bibliothèque de maths) :
- J.L. Alperin & R.B. Bell, Groups and representations, Springer, 1995
- M. Burrow, Representation theory of finite groups, Academic Press, 1965
- D. Gorenstein, Finite groups, Harper & Row, 1968
- M.-P. Malliavin, les groupes finis et leurs représentations complexes, Masson, 1981
- Derek J.S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer, 1996
9 Noethérianité des anneaux de polynômes non commutatifs
Sujet proposé par François Dumas
Présentation du sujet : il s’agit d’étendre à des anneaux non commutatifs de polynômes le théorème
de Hilbert sur le caractère héréditaire de la noethérianité. Il se situe donc dans la continuité directe
des connaissances acquises en cours de M1 sur les anneaux noethériens et les algèbres commutatives
de polynômes, tout en s’initiant à des notions qui les étendent dans un contexte non commutatif aux
nombreuses applications.
Références bibliographiques : (les ouvrages ci-dessous sont présents à la bibliothèque de maths) :
- K. R. Goodearl and R. B. Warfield, An introduction to noncommutative Noetherian rings, Cam-
bridge University Press, 1989
- J.C. Mc Connell and J. C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, Wiley-Interscience, 1987
- T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, Springer-Verlag, 1991
10 Le théorème de Poincaré–Hopf
Sujet proposé par Michaël Heusener
Descriptif : Le but de ce TER est de montrer le théorème de Poincaré–Hopf (aussi connu sous le
nom de formule de Poincaré–Hopf, ou théorème de l’index de Poincaré–Hopf, ou encore théorème de
l’index de Hopf) est un important résultat en géométrie différentielle. Il porte le nom de Henri Poincaré
et Heinz Hopf.
Théorème : Soit Mune variété différentielle compacte sans bord. Soit Xun champ vectoriel sur Mavec
des zéros isolés. Nous avons alors la formule suivante :
∑
i
indexX(xi) = χ(M)
où la somme s’étend sur tous les zéros isoles de Xet χ(M)est la caractéristique d’Euler de M.
Ce théorème a été prouvé en 2 dimensions par Henri Poincaré et généralisé ultérieurement par Heinz
Hopf.
Références :
[1] J.W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint.
[2] V. Guillemin et A. Pollack. Differential topology.
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