Ascension d’un ballon stratosphérique
Auteur : Fabrice Gély
Site Internet : http://gely.info, http://profgeek.fr
Un ballon stratosphérique tel que ceux envoyés par les
élèves de l’option MPI du lycée Duby est constitué
d’une enveloppe en latex renfermant un certain volume
d’hélium, qui entraîne une nacelle. Celle-ci abrite
différents capteurs (température, pression…), ainsi
qu’un émetteur radio qui transmet au sol les résultats
des mesures pendant le vol.
La masse de l’ensemble {enveloppe + hélium + nacelle
+ divers} est m = 8,0 kg.
L’enveloppe de latex sera considérée comme une
sphère de diamètre d. Son volume sera noté ϑ.
Dans la prise en compte des frottements dus à l’air et
de la poussée d’Archimède, on ne tiendra compte que
de l’enveloppe de latex. En effet, en raison de son
faible volume, la nacelle est peu soumise à ces forces.
Le ballon stratosphérique sera représenté par un point
M, correspondant au centre d’inertie de l’ensemble. Le
mouvement du ballon sera étudié sur un axe (Oz)
vertical, dirigé vers le haut. En t = 0, le point M
représentant notre ballon se trouve en O. Le ballon est
alors lâché sans vitesse initiale.
On notera vz la composante de la vitesse sur l’axe
(Oz), az la composante de son accélération.
On rappelle que le volume d’une sphère de rayon r est
égal à 3
4r
3π.
On prendra g = 9,81 m.s-2.
Au décollage, le diamètre de l’enveloppe de latex est
voisin de 2,6 m. On considèrera qu’il reste constant au
cours du vol.
On choisit de modéliser la valeur de la force de
frottement R
f
ainsi : 2
R0x
1
f.C.S.v
2
=ρ , où :
• 0
= 1,22 kg.m-3 est la masse volumique de l’air,
• x
C = 0,70 est le coefficient de traînée,
• S est la surface offerte par la section du ballon (qui
vaut donc 2
rπ),
• v est la valeur de la vitesse.
1) Quelle est l’unité de Cx ? Justifier.
2) Citer et projeter sur l’axe (Oz) les différentes
forces s’appliquant à l’ensemble du ballon.
3) Montrer que le mouvement du ballon obéit à
l’équation différentielle
2
0x 0
zz
.C .S
dv v1g
dt 2m m
ρρϑ
=− + −
4) On utilise la méthode d’Euler avec un pas
tΔ = 0,25 s.
On appellera vn la valeur de la vitesse du ballon à
l’instant tn, et vn+1 la valeur de sa vitesse à l’instant
n1 n
ttt
+=+Δ
.
Déduire de la question précédente que l’on a
2
n1 n n
v v 0,071 v 0,99
+≈− +
5) Calculer et tracer l’évolution de la vitesse entre
t = 0 et t = 3,0 s. Déduire du tracé une valeur
approchée de la vitesse limite.
6) A partir de l’équation différentielle, exprimer
littéralement la vitesse limite du ballon vlim.
Calculer sa valeur. Celle-ci est-elle en accord
avec la valeur déterminée au 5) ?
Lors de la montée, la pression atmosphérique baisse,
et, par conséquent, le volume de l’enveloppe de latex
augmente. En général aux alentours de 35 km
d’altitude, le ballon finit par éclater. Ensuite, il
redescend, sa chute étant freinée par l’ouverture d’un
petit parachute.
7) En considérant que la vitesse limite calculée
précédemment est atteinte immédiatement après
le décollage, et se conserve pendant toute
l’ascension, calculer la durée de celle-ci.
8) En conservant les mêmes hypothèses, tracer
l’allure de l’évolution de z(t) pendant l’ascension
du ballon.
ballon de
diamètre d
nacelle